山东省聊城市2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试题

,在国图体AiD中，∠BAD=∠CAD一60，AC⊥ABAB=AD-2:AC=3,别释面直线 2024一2025学年度第一学期期末教学质量抽测 AC与BD所成的角为 A30 且.45 G60° D.90 高二数学试题 品已细双曲线C号一苦-1的一条前经线方要为+y-0,虚轴长为2，C的两酯点为 注意事项： F,P,P为C上一点，L∠FPF,=6.若△F,PF,的外接调和内切图的半径分别R,r, 1本试卷调分10分，考试用时120分件。容每曹：考生务多特自己的姓名，考生号等 则子的值为 填写在若超卡的相应位置上， 2.时答悬择避时，选出每小题的答案行，用2超经笔把着题卡上对应面门的容多标号蜂 a8+区 c4+20 5 D4T-者 3 露。如需改骑，用像皮擦干净后，再远偷其他容案标号。回养非速择照叶，转答案写在若题 二、选择顺：未题其3小题，每小鼠6分，其1塔外，在每小题给出的选项中，有多项符合题口 餐上，可在本试上无敏. 要求，金忽德对的得6分，相分进对的得帮分分，有选铅的得0分 3,专试结束后，具将容题卡交回。 已知圆C:25+16y=400的两佛点为F,形：国 一，远年盟：本顾共多小题，每小围手分，共伯分在每小醒地出的四个选项中，只有一项科 A.F,-3,0,F《3:0) 合量口要津 且长轴长为10 L老直线4一y+3=0和直线4上十4y+5一0平行，附：的值为 A-2 且.2 C±2 D.I C离心米一音 2.已知等差数利e,)的前g项和为8。，且e一，■1日一南圳5一 D,C上不#在点P使∠PP书=0 A.260 &130 C110 D.65 10.已知圆G:P+y-4r+6y+9=0和mG:d+y+4r+12y+31=0,期 3若平面。经过点P《一1,1.2白，且以u=《2,3,一2)为拉向量，P(…y:)是平置▣内任意 A.直线CG的方程为3一4y一18=0 一点，明点P的我遵方程为 县两翼有四条公切线 A.2r+3y-2e+3=0 安子号 CP为围C,上一动点，Q为C,上一点.博06IPQG10 n-- D若动国C与C,和G每外切，则点C的轨连是双自线 C2a十3y-2a-3=0 11,若数判(4,1病尾4。++（一1”。=2m一1，则 4.过点P(1,2)作圆C十y一2一4细y十4+4a一3=0的切线有两条，料量的数值范 A.d-1十0.4n=2 蛋为 0.+.a=4《n中1D 入(-m…)U1,+∞) 8t-oo,1》U(3,+9e) C,若前2到项的和为211，则=1 D当顶数为2：时，国数项的轴与合数项的和的差为(2m一1) c(侵) n(-,量)u3,+e) 三，填空膜本题共多小题，每小题5分，共1年分， 玉设a}是公比为？的等比数列，阳”g>0,且≠1“是“数列a,)为单河递增或单调通减数 12已知a=《2,-3,1):b=(2,0,3),e=《0,0,2).若g中Ab+ne=《6,-3,1).则w= 列”的 A龙分不多要条特 (忽圈不充分条件 白克要条件 D成不充分也不多要条韩 13.两直线一y十k=0和r+与一1=0的奖点A与B(一2,0)距离的最大航为 忘若剂物候Cy一(P>0)的面点F再其准线的距离为2，期C上一点P(a,一4)到F 14.某特大养殖场2025年年初羊的存机数为10万，通过引进和自然紧殖面叶以后每年存栏 的厘离为 数的增长率为0%，且在年底卖由3万只：周年年初的计刻存栏数为 万 A.2 且1 C.4 D.5 商二数学试通第1面《共4面》 高二数学试想第2页（先4[） 1n.t17分》 四，解答第末通共5小到，共行分，解答应写出文字境明、证明过程或清算步量 巴知过点P00的有线和同圆后，希+学-1交手AB两点AB不在坐标轴上，且 15,13分 A在上航上月， 已知图C的图心在y箱上+且过点(4，一1)和3：6)： (1)求调C的方程。 2记尼的上下两个谓在分精为C,D,若直线y-1与直线BC交手热M:次证A,M,D 《1)棠IPA·1P的取真枚国 (2》若过M(一，03的直线/被图C所就得的装长为暴，深直线/的方程： 三点共线 1盒，(15分3 仁如数鲜知1一“一出-(m>2)是首项为2，公差为1的等楚数到。 (1求{a,的通项公式。 19.(17分) G2记一片。y为帝数，且0，着数列61是等边数到，求户g满是的类系式 如图，两个正方形ABCD,ABEF的边长部是1，且它门所在的平而互相漏直：种点M,N 分别在正方形对角线AC和BF(不含顶点)上移动.且CM一BN (1)求证：MN⊥AB: (2)当M是线段AC上靠近A的三等分点时，源平面MNA与 平面MNB夹角的余弦值， (3)四面体ABMN的各个顶点都在球O的球面上，求球O的 17.《15分) 表面积S的最小值， 已知公比大手1的等比数列《仙，】的前测项和为A,且一A:,A,A,成等态数列.正项数 列6的前▣摸和为B.,且且=言(6+1)（么十2），a:>1 (1)求a,.6》的通顶公式 (2)求数列合的前项和8 高二数学试题第3页（共4页》 高二数学试题第4页《共4页) 2024一2025学年度第一学期期末教学质量抽测 高二期末数学试题答案 一、选择题 1-4 ABAD 5-8 CDCB 二、选择题 9.BCD 10.AC 11.ACD 三、填空题 12.-6 13.3 14.291 8 四、解答题 15.解：(1)因为圆C的圆心在y轴上，可设圆C的方程为x2+y2+Ey+F=0,…1分 16+1-E+F=0, 又因为点(4，一1)和(3,6)都在圆上，故 …3分 9+36+6E+F=0, E=-4, 解得 ……4分 F=-21, 所以圆C的方程是x2十y2一4y-21=0;…5分 (2)由(1)知，圆C的标准方程为x2+（y-2)2=25,则圆心C(0,2),半径r=5.·6分 若直线l的斜率不存在，则直线1的方程为x=一3，圆心C(0,2)到（的距离为3， 则弦长2√52-32=8，满足题意. 8分 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k(x十3)，即kx一y十3k=0,…9分 圆心C0,2)到1的距离d=l36二2，由+（受）°=5，解得= √1+k 12…11分 收y=-(x十3)，即5x十12y十15=0，… 12分 综上，直线1的方程为x=一3，或5x+12y+15=0. 13分 16.解：(1)当n≥2时，an-a-1=2十n-1=n十1.…2分 由a1=2,a2-a1=3,…,am-anm-1=n十1，得 an=a1十(a2-a1)+(a3-a2)十…十(an-am-1) =2+3+…+(m+1)=n(2+n+1)=n(n+3) 2 2 6分 a6-+g动 7分 若数列{bn}是等差数列，则b1,b2,b3成等差数列，即2b2=b1十b3, 2×51×4 3×6 即2×22p十g=2(p+q)十2(3p+g' 9分 化简得g2=3g,则q=0或q=3p. 10分 高二数学参考答案第1页（共4页） 当g=0时，b,=n(n+3)=n十3 2pn 2p b1一.=，十4-，十3-，为常数，满足数列6.是等差数列.…12分 2p2p2p'2p1 当g=3p时，6=+一分 6+1一b。气”2力-。=2b,2b为常数，满足数列b是等差数列.……14 综上，若数列{bn}是等差数列，p,9满足的关系式是g2=3pq.…15分 17.解：(1)设等比数列{am}的公比为q(q>1). 由一A1,A2,Ag成等差数列，则2A2=Ag一A1,…1分 即2(a1十a2)=a1十a2十a3一a1,化简得a3-a2一2a1=0,即a1g2-a1q一2a1=0, 解得q=2或q=一1（舍）.…………2分 当n=1时，由B.=若（6，+1D6,+2),得6=若么+1Da+2, 解得b1=1(舍)或b1=2.……3分 由a1=b1=2,所以an=2X2w-1=2.…4分 当n≥2时，6.=B.-B1=名6，十1D6,+2)-君61+1)(6.-1+2)，…5分 化简得(bn+b,-1)(bn一bn-1一3)=0. 因为bm>0,所以bn一bm-1一3=0，即bn一bw-1=3,…7分 所以数列{b.}是以2为首项，3为公差的等差数列，所以bn=2十3(n一1)=3n一1. 综上，an=2",bn=3n-1.… …………………8分 (2)由(1)知，a=2”,b,=3n-1,则=3m-1 9分 由=号+是+是+++，0 21 20 得2.=是+员++…+4+ 2+5+8 2 11分 2m+1，②………………………………… ①-@得28.=1+是+是+…+是- 22+1 12分 是a-) =1 3n-1 1- 21+1 =1+6}2-3 20+1 53n+5 2 20+1Γ， ………………14分 所以S。=5- 3n+5 2 15分 高二数学参考答案第2页（共4页） 18.解：(1)由题意知，直线1的斜率存在，设直线l的方程为y=kx十4，A(x,y),B(x2,y2). 00…4…4…0……………4…………0………………………】分 y=kx+4, 由 3分 0+义=1得(5十2）x十40kx十60=0，……… △=(40k)2-4(52+2)×60>0,解得k2> 5, 4分 -40k 60 x1十x=5k2+2x1x=5k2+2' 5分 |PA|=√+(y-4)7=√+kx=√1+k|x1| 同理|PB|=√1十2|x2. 6分 |PA|·|PB|=√1+k|x1|×√1十k2|x2|=(1+k)川x1x2| -60+2=12+欢42 36 5k2+2 8分 因为k>号，所以12<12++2<2， 3633 所以PA·PB的取值范围是(12，)： 10分 (2)由题意，C(0,2),D(0,-2),所以直线BC的方程为y=业-2 x十2，…11分 令y1,则2产2所以M-21小 12分 DM=(23Di=(m+2)=+6). 13分 因为3-(2千）水+6)=3++6》-6计+ 2十kx2 2+kx2 60 4×2+6( 40k 5k2+2 2十kx2 16分 所以DM∥DA,所以A,M,D三点共线， 17分 19.解：(1)因为两个正方形ABCD,ABEF的边长都是1，且它们所 在的平面互相垂直，平面ABCD∩平面ABEF=AB,BCC平面 ABCD,BC⊥AB,所以BC⊥平面ABEF,所以以B为原点， BA,BE,BC所在直线分别为x轴，y轴，之轴，建立如图所示的 空间直角坐标系，设CM=BN=√2a,(0<a<1), 则M(a,0,1-a),N(a,a,0),B(0,0,0),A(1,0,0),2分 所以M=(0,a,a-1),BA=(1,0,0). Mi.BA=0×1+a×0+(a-1)×0=0, 4分 所以MN⊥AB.…5分 高二数学参考答案第3页（共4页) (2)当M是线段AC上靠近A的三等分点时，N也是线段BF靠近F的三等分点， 则M号0，宁，Nc号号，0)，Ai=(-号0，宁，AN=(-号，号，0.…6分 设平面MNA的法向量为n1=(x1,y,之)， n1·AM=0, +号1=0 1 则由 得 m1·AN=0, Γ+号y=0 -1x 取x1=1,则1=2名=1. 所以n=(1,2,1)是平面MNA的一个法向量.… 7分 又i=(号0，号》，B时=（号号0. 设平面MNB的法向量为n2=(x2,y2,22) 2 n2·BM=0, 则由 得 +g=0 取x2=1,则y2=一1，x2=一2. n2·BN=0, 2 号+号%=0 所以n2=(1,一1，一2)是平面MNB的一个法向量.…8分 设平面MNA与平面MNB的夹角为O, 11- 则og=osmm川一 -21 6 √1+4+1×1+1+4 6 10分 所以当M是线段AC靠近A的三等分点时，平面MNA与平面MNB夹角的余弦值为 6 6 11分 (3)设球心O(x,y,z),则OA=OB=OM=ON, 由OB=OA,得x2+y2+z2=(x-1)2+y2+x2, 解得x三7… 12分 由OB=OM得x2+y2+x2=(x-a)2+y2+(x-1+a)2, 解得=名-a, 13分 由OB=ON,得x2+y2+x2=(x-a)2+(y-a)2+z2, 解得y=a一 1 14分 所以球心0（分a一合，乞 11 -a), 球0的半径R=0B=√2)+(a-2)2+(号-a) =/2(a-)2+1 15分 又0<a<1,所以当a=2时，Rm= 2.S=4xX- 16分 所以球O的表面积S的最小值为π.… 17分 高二数学参考答案第4页（共4页)