陕青宁晋四省2025届高三上学期1月大联考数学试卷

2025高三陕青宁晋四省大联考 数学参考答案及评分意见 1.B【解析】由存在量词命题的否定是全称量词命题知,命题g:3x∈(3,5),c一3x+5<0的否定是Vx∈(3, 5.e-3江+6≥0.故选B. 2.A【解析】由题可知4 6一2a=0,则a=12.故选A. 3.A 11-i|-1-il-21 【解析1:-+3+2了,故选A 4A【解桥如图所示,由题意可得际=Di+亦=成+号正=-b+号引+)-号a-号b,放选A 5.C【解析】由题意得圆C的标准方程为(x一8)2+(y一6)2=2,所以圆心为C(8.6),半径r=√2.因为圆心C到 直线1的距离为8+6-10=22>2,所以直线1与圆C相离,所以圆C上的点到直线1的最小距离为22一 +1下 2=2,故选C 6.C【解析】设等差数列{a.}的公差为d,由题意得a6+2a1=a1+5d+2(a1+2d)=3a1+9d=3a:=24,则a,= 8,所以S,=7a1+7X(7-1 d=7a4=56.故选C. 2 b=3, 7.C【解析】由题意得 a=6 c=3, 所以双商线方程为号-号=1.如图,设PF,=1PF, a2+b2=c2, 1 y(x>y),∠F,PF:=0,由双曲线的定义得x一y=2a=25,S F,e:=2 zysin0=30.在 FPF:中,由余弦 定理得x2+y2-2 rycos0=4c2=36,即(.x-y)2+2xy-2 rycos0=36,即xy-xycos0=6②. 由①②得1-cos0=sin0.解得0=2.故选C 另解:由题意得b2=3,设∠F1PF,=0,则S F1, ”。=3,得an2=1,所以0=2故选C tan 2 8.B【解析因为销圆片+y=1的右顶点为2.0),所以F(2,0).所以号-2,即p=4,所以范物线方程为y- 8x.当直线l的斜率不存在时,|FA|=|FB|=4,不满足|FA1IFB=20,所以直线1的斜率存在且不为0.设直 数学答案第1页(共6页) 线l的方程为y=k(x一2),A(x1,y1),B(x:y),联立直线方程和抛物线方程,消去y得k2(x一2)2=8.x,即 5x-(462+8)x+43=0,4,=[-(462+8)]-16k=64(1+k2)>0,所以x,十4=6:+8 k2—,2x2=4由 1FA11FB1=20,得(x,+2x,+2)=1,+2x1十,十4=什2X4:+8+4=20,所以:=4,=士2.不妨 设=2,如图所示,则1B1=1十x:十4=10直线CD的方程为y=2x一14.由-2x-一14 消去y得(2x- y2=8.x, 14)2-8x=0,即x2-16.x+49=0, :=(-16)2-4 49=60>0,设C(x1,y:).D(x4,y),则x1+x4=16, xx,=49,所以|CD|=√1+2lx1-x,|=5√/(x+x,)2-4xx,=5 16-4X49=10V3.作FE⊥CD于 点E.因为FM1=5,所以FE1=2,5.所以梯形ABCD的面积S=2 25X10+10,)=10,5+10V5,故 选B. D,AD【解析因为椭圆的长轴长为4,所以2a=4,即a=2,因为椭圆的离心率为 所以二=号 因此c=尼 公一。一。=2.当销圆的焦点在x箱上时,椭圆的方程为号+兮-1:当椭圆的焦点在y轴上时,箱圆的方程为 若+写=1.故选AD, 0.解得一3, x十3=0, 10.ABC【解析】直线l:mx十y十3m一5=0可变换为m(x十3)十y-5=0,令 所以直线 y-5=0. y=5. 1恒过定点P(一3,5):圆C:(x+2)2+(y-3)2=9的圆心为C(-2,3),半径r=3. 因为|PC2=(一3+2)2+(5-3)2=5<9,所以点P在圆C内.当CP⊥1时,圆心C到直线1的距离最大,为 d=|PC1=√5,此时,直线l被圆C截得的弦长最小,最小值为2√一d=4.最长弦为圆C的直径,其长度为 6.故选ABC 11.AB【解析】由函数∫(x)的解析式画出其大致图象,如图.由图可知,0<1≤1,x1,x2,x,x:是方程x2十4x十 1|一4=0的四个根,所以x1十x:=-4,x:十x=一4,所以x1十x2十x:十x4=一8:xsx6是方程logx|=1 的两个根,所以xx。=1,且0<r:<1,x6>1,所以x3十xa>2/xg 4=2.故选AB. 数学答案第2页(共6页) 12.(-1,5}【解析】已知集合B={x∈N|x2-3x-4≤0}=(0,1,2,3,4),又知A=(-1,0,3,5},A⑧B={x1 x∈A,x任B},所以A B={-1,5},故答案为{-1,5. 10@【得折]设两数/)的最小正周期为T.由题图可得A=2,号T=竖-音=行T==华=2.当 x-管时r+p-2x+p=2张x+受∈D.9=2-号∈2.lp<受 令=1可得g=子 1x)=2n2x+引故①正确:令x=-智则2 (-)十号=-3(-到=0.曲线y=x)关于 点(-警0中心对称放 正确:r∈( 吾)2+∈0,号)令2x+子-登则x=意当x (-音,)时x)单调递增,当x∈(侣 若)时,)单调递减放⊙错误故答案为D@。 14.一1【解析】因为f(.x+3)+∫(5-x)=0.所以曲线y=f(x)关于点(4,0)中心对称,即f(4)=0:又f(2x+ 3)为偶函数,所以f(2x十3)=f(一2x+3).所以曲线y=∫(x)关于直线x=3成轴对称.所以函数(x)的周 期T=4 (4-3)=4,在∫(.x+3)+∫(5-x)=0中,令x=0,得∫(3)+∫(5)=0,又∫(4)=0∫(3)=1,所以 f5)=-1,(2)=f4)=0f(1)=5)=-1,…,所以f1)+f2)+f(3)+f4)=0,则芝f)=f1)+ f(2)+∫(3)+∫(4)+…+f(2021)+∫(2022)+f(2023)+∫(2024)+f(2025)=0 506+f(1)=-1.故答 案为一1. 15.解:1)根据题意,数列1a,}满足.=2pm一P~ 解得p=1. …3分 a,=5, 所以数列{an》的通项公式为a。=2n一1.… …5分 (2)由(1)知a.=2n一1,可得b.= ……7分 所以数列{b}的前n项和S.= [-)+合)+(传-)++(】 S24 0 即2>得则49m>24(2n+1D.解得n>24。…12分 所以升的最小值为25。………13分 16.(1)证明:如图所示,取CD的中点E,连接PE,BE 因为CD=2AB,AB∥CD,所以DE∥AB且DE=AB,所以四边形ABED是平行四边形. 所以BE∥AD.因为CD⊥AD,所以BE⊥CD,…3分 又因为 PCD为等边三角形,所以PE⊥CD. 因为PE∩BE-E,PE,BEC平面PBE,所以CD⊥平面PBE. 因为PBC平面PBE,所以PB⊥CD。………6分 数学答案第3页(共6页) (2)解:设四棱锥P一ABCD的高为h. 由四棱锥P一ABCD的体积为45,得V= 3Su8mh=号 2 (2+0 2Xh=4尽,所以h=25. 由(1)知,PE=2√3,所以PE⊥底面ABCD.………………8分 如图所示,以点E为坐标原点,直线EB为x轴,EC为y轴,EP为轴,建立空间直角坐标系,则E(0,0,0), B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,25),A(2,-2,0),D(0,-2,0) 所以PB=(2,0,-25),BC=(-2,2,0),Dp=(0,2,23),DA=(2,0,0).…9分 设平面PBC的法向量为m=(x1y1z1) m PB=0,n2.x1-23x1=0 则 即 令1=1,则x1=3,y1=3, m BC=0,-2x1+2y1=0, 所以m=(,):… …11分 设平面PAD的法向量为n=(x:y2z2), D币=0即2:+2w5:=0 则 令2=1,则y2=一5,x2=0, n Di=0.2.x2=0. 所以=(0,一√3,1)。444…44”13分 设平面PAD与平面PBC的夹角为0,因为cos(m,n〉= -3+1 √3+3+IX√3+I7 71 所以sin0=4夜 7 即平面PAD与平面PBC的夹角正弦值为 7 ……15分 2 1a=2. 17.解:(1)由题意可得 2 解得 a 61, b=√2. a2=b2+c2, 所以椭圆的标准方程为+ 4+2 =l. …5分 (2)已知T(1,2),由题意可知直线MN,PQ的斜率均存在, 设直线MN的方程为y一2=k(.x一1),则直线PQ的方程为y-2=一k(.x一1). 设M(x1,y1),N(x2yz),P(xy1),Q(x4y4).则TM=(x1-1y,-2),TN=(x-1,y2-2).…7分 y-2=k(x-1). 联立直线MN的方程与椭圆的方程,得 r y ……………………9分 4+2=1. 数学答案第4页(共6页) 整理得,(1+2k2)x2一4k(k-2).x+2(k-2)2-4=0. 由4>0,即3k2+4k-2>0,得k<-2二 3 或>一2+10 3 4k(k一2) 所以x1+x:=1+2k11= 2(k-2)2-4 1+2k2 于是TM.TN=(x1-1)(x:-1)+(y1-2)(y:-2)=(1+k2)汇x1x:-(x1+x:)+1门 =(1+2) [2(k-2)3-44k(k-2) 5 .1+2k2 1+2+1=(1+6) 1+2 4…11分 y-2=-k(x-1), 联立直线PQ的方程与椭圆的方程,得z:y。 4+2=1. 整理得,(1+2k2).x2-4k(k十2)x十2(k+2)2-4=0. 由4:>0,即36:-4h-2>0,得k<2-,或>2+而 3 3 1+26xx,=2+2)2-1 所以x+x,=6+2) 1+2k1 …13分 于是Tp.T=(x2-1)(x4-1)+(y-2)(y-2)=(1+k2)[x1x4-(xa+x)+1] 1+2十2)一4422+1]=1+) 1+2 5 L1+2k2 综上k<-2+或>2+,成,T-币,T戒=0,所以T成,T-市,夜是定值,其定值为0. 3 3 ……………15分 18.解:(1)当a=2时,f(x)=2.x+x2+xe,x∈R,则f'(x)=2+2x+e'(x+1)=(2+e)(x+1), 所以切线的斜率k=(0)=3,又了(0)=0,所以切线方程为y=3.x,…4分 (2)因为了x)=ar+受r+xe(a∈R)reR.所以f(r)=a+ax+er+1)=(a+cr+1D.5分 当a≥0时,a+e>0,所以函数f(x)的单调递减区间为(一∞,一1),单调递增区间为(一1,十oo);…6分 当-1<a<0时,令a十e=0,则x=ln(-a)<-1.令f'(x)<0.则n(-a)<x<-1,令f(x)>0,则x< ln(一a)或x>一1,所以函数f(x)的单调递减区间为(ln(一a),一l).单调递增区间为(一o,ln(一a),(-1. 当a=一是时,了飞 )≥0,所以函数了)的单调递增区间为(-0,十6,无单调适减区间:…1D分 当a<-时,令a十e=0.则x=la(-a)>-1,令了x)K0,则-1Kx<ln(-a:令fx)>0,则x<-1或 x>ln(一a),所以函数f(x)的单调递诚区间为(一1,ln(一a)),单调递增区间为(一o∞,一1),(ln(一a),+oo). …4…4…4……12分 。,则由(2)可知,函数了(c)在区间(一∞,-1)上单调递增,在区间(-1,h(-)上 区间(ln(一a),十o)上单调递增,所以一1和ln(一a)分别为函数∫(x)的极大值点和极小值点,且∫(x)的极 大值和极小值分别为 数学答案第5页(共6页) f-1D=-a+号-e1=-号-el,fa(-a》=h(-a)[+受n(-a)+-]-号[a(-a).…13分 因为a<-日所以当a-1时,ln(-a-0,01a(-a》-0/(-1>0/(-2=-2<0所以两数 f(x)有2个零点. 当a<。,且a≠一1时,广n(-a)<0,由指数函数和幂函数的增长性质可知,当x++o时∫(x) 十e网 令f(一1)=0,得-2-e1=0,解得a=-名 当-名<a<-时,-10,所以函数fx)有1个零底: 当a=-2时了(-1)=0,所以函数∫(x)有2个零点: 二,且u≠一1时,(-)>0,所以函数∫x)有3个零点.… 综上,当a∈(名-时,函数)的零点个数是1:当a∈{1一是时,函数了)的零点个数是2:当 a∈(-o,-1U(1,-名)时.函数fx)的零点个数是3.…17分 x2-xx<-1. 19.解:(1)由题知,d(A,P)=|x-1|+y-1|=|x-1+1.x2-1|=-x2-x+2,-1≤x<1.…5分 x2十x-2,x≥1. (2)由题意d(B,N)=|x-m|+lxe-nl,M(,n)=max{x+xe-m一nl.lx-xe-m+nl).…8分 令g(x)=x十xc.-1≤x≤c.则g'(x)=1+(x+1)e>0在区间[-1,c]内恒成立, 则gr)在区间[-1,e内单调递增.则-1-是=g(一1)≤g(x)≤g(e)=e十e4.…10分 令h(.x)=x一xe,-1≤x≤e,则h'(x)=1一(x+1)e,h'(x)>0在区间[-1.0)内恒成立,h'(x)<0在区间 (0,e]内恒成立, 则h(x)在区间[-1.0)内单调递增,在区间(0,e]内单调递减,且h(-1)=】-1>h()=c一e+, e 可得:当x∈[-1,e]时,h(x)≥h(e)=e一e+1,h(x)≤h(0)=0.…13分 所以Mm)=max-1-m-le+e1-m-l.-m+l.le-e1-m+nl e+e*+1+ 所以M(m,n)≥ma -e-1-0 e+e+-1 当m十n= 2 C时,等号成立,M(m,n)取得最小值, e+e1+1+。 故M(m,n)的最小值为 2 …4………”17分 数学答案第6页(共6页)2025高三陕青宁晋四省大联考 数学试题 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知命题q:3z∈(3,5)，e-3z+<0,则命题？的否定是 A.3x∈(3,5)，e-3z+6≥0 Bx∈(3,5)，c-3x+5≥0 C3z48,5,e-3z+<0 D.1x∈3,5)，e-3z+6<0 2.已知两条直线l1:4x一2y+5=0和L2:6x+ay一7=0，若l1⊥l2,则a= A.12 B.-12 C.3 D.-3 3.已知复数z 3+3其中i为虚数单位，则1z= 1-i A号 C.3 D.2 4.已知在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为线段AE上靠近点E的三等分点.设 AB=a,AD=b,则DF= B后a-0 2 c2a-b 1 5.圆C:x+y2一16x一12y+98=0上的点到直线l:x+y一10=0的最小距离为 A.3√2 B.2√2 C.2 D.4 6.已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和.若a6十2a3=24,则S,= A.42 B.49 C.56 D.84 1.已知双曲线号 y2 令=1的离心率为，F1,P2为双曲线的左、右焦点，点P是双曲线上的一 点，且△F1PF2的面积为3，则∠F1PF2= A B号 c D. 2x 黛1五（共4百） 8.已知抛物线方程为y2=2px(p>0),椭圆车十y2=1的右顶点为抛物线的焦点F,过焦点F 的直线L与抛物线交于A,B两点，满足|FAFB|=20.若平行于直线L且过点M(7,0)的直 线与抛物线交于C,D两点，则梯形ABCD的面积为 A.10W5+10√10 B.10W5+10w15 C.10W10+10/15 D.30√5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知箱圆的离心率为受，长箱长为4，则该箱圆的标准方程可能为 +答 c+若=1 D+号=1 10.已知圆C:(x+2)2+(y一3)2=9，直线l:mx+y+3m一5=0，则直线l被圆C截得的弦长 可以是 A.4 B.5 C.2√5 D.210 (lx2+4x十1|，x≤0， 11.已知函数f(x)= 若存在x1<x2<x3<x4<x5<x6满足f(x1)= 11ogs1,>0, f(x2)=f(x)=f(x4)=f(xs)=f(x6)=t,则下列说法正确的是 A.x1十x2十x3十x4=-8 B.x5x6=1 C,t的取值范围是(0,2) D.x5十x6的取值范围是[2，十∞) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合A=(一1,0,3,5}，B={x∈Nx2一3x-4≤0}，若A☒B={x|x∈A,x庄B},则 A☒B=— 13.已知函数f(x)=Asin(ar+p)A>0w>0,lpl<分的 部分图象如图所示，则下列说法正确的是 (填正确 说法的序号) ①f(x)=2sin 2x+写)：②曲线y=f(x)关于点 (,0中心对称，®f)在(-若，若)上单调道增。 14.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2x十3)为偶函数，同时f(x十3)十f(5一x)=0,且 f(3)=1,则罗f()=」 第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知等差数列(an},满足点An(n,√am)在曲线y2=2px一p上，且a3=5. (1)求数列{an}的通项公式； (2设6，=a,数列6，)的前n项和为S,若S,>答求n的最小值 an·an+i 16.(15分)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为直角梯形，△PCD为等边三角形， AB∥CD,CD⊥AD,CD=2AB=2AD=4. (1)求证：PB⊥CD; (2)若四棱锥P一ABCD的体积为4√3，求平面PAD与平面PBC的夹角正弦值. D 17.(15分)已知离心率为 7治的精圆后 +6=1(a>b>0)过点(W2,-1). (1)求椭圆的标准方程 (2)过点T(1,2)引出两条相交直线MN和PQ,分别交椭圆于M,N,P,Q四点，若两条直 线斜率互为相反数，判断TM.TN-T户，T是否为定值？如果是定值，求出其定值. 第3页（共4页） 18.(17分)已知函数f(x)=ax+x2+xe(a∈R). (1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调区间； (3)若a<-是，判断f(x)的零点个数. l9.(17分)曼哈顿距离(Manhattan Distance)也称为城市街区距离，是一种在几何空间中测量两 点之间距离的度量方式在二维空间中，曼哈顿距离可以理解为从一个点到另一个点只能沿 着水平或垂直方向行走的最小距离.两点P(x1,y1),Q(x2,y2)的“曼哈顿距离”定义为 |x1-x2|+ly1一y2l,记为d(P,Q). (1)已知点P(x,y)在抛物线y=x2上，点A(1,1)与点P的曼哈顿距离为d(A,P),求 d(A,P)关于x的表达式； (2)若函数f(x)=xe,一1≤x≤e的图象上有一动点B,其中e是自然对数的底数，点 N(m,n),d(B,N)的最大值为M(m,n),求M(m,n)的最小值. 第4页（共4页）