第一章 直角三角形（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）

第一章 直角三角形（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）（24-25八年级上·山西晋中·期末）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．2，3，4 B．6，7，8 C．1，，3 D．9，12，15 2．（本题3分）（24-25九年级上·海南海口·期末）如图，在中，，点D是的中点，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（本题3分）（24-25八年级上·河南三门峡·期末）如图所示，在中，，是两条高，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）（八年级上·福建泉州·期末）在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是 （  ） A．如果那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 5．（本题3分）（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若，则的值为（    ）    A．10 B．100 C． D． 6．（本题3分）（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，的角平分线交于点于点．若，则的周长为（   ） A．6 B．12 C．15 D．21 7．（本题3分）（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，若，以点A为圆心，任意长为半径面弧、交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于为半径画弧、交于点P，作射线交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）（23-24八年级下·河南安阳·期末）古代数学名著《算法统宗》中有一首计算秋千绳索长度的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”．翻译成现代文：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为（    ） A．13.5尺 B．14尺 C．14.5尺 D．15尺 9．（本题3分）（24-25八年级上·山西晋中·期末）2024年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），则装饰带的长度最短为（    ）    A． B． C． D． 10．（本题3分）（24-25八年级上·四川雅安·期中）如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知，若要用“”证明，则还需补充条件 ． 12．（本题3分）（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，为的角平分线，则的面积为 ． 13．（本题3分）（24-25八年级上·福建三明·期中）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？经过计算，折断处离地面的高度为 尺； 14．（本题3分）（重庆市长寿区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则 ． 15．（本题3分）（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点（即），其结果是他在水中实际游了（即），则该河处的宽度是 ． 16．（本题3分）（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为3，则次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 17．（本题3分）（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”、由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为，，，若，则的值为 ． 18．（本题3分）（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，中，，，，点与数轴上表示的点重合，将沿数轴正方向旋转一次使得点落在数轴上，第二次旋转使得点落在数轴上，依此类推，第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的点表示的数是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）已知：如图，，，，为上一点，连接、相交于，，求证：． 20．（本题6分）（24-25八年级上·江苏镇江·期中）一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中为直角，工人师傅量得零件各边尺寸为，，，．请计算这个零件的面积． 21．（本题8分）（24-25八年级上·重庆潼南·期末）如图，，，，垂足分别为，分别交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 22．（本题8分）（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图所示，是等腰三角形，，、分别为线段、上一点，，过点作的垂线交于点，交于点，连接，． (1)证明：． (2)若，求的度数． 23．（本题9分）（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，一架长为的云梯斜靠在一面墙上，水平地面． (1)若云梯放置在底端距墙脚的距离时，求消防员达到救火的高度的长． (2)在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 24．（本题9分）如图，在中，，是过点A的直线，于D，于点E； (1)若B、C在的同侧（如图1所示）且．求证：； (2)若B、C在的两侧（如图2所示），且，其他条件不变，与仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由． 25．（本题10分）（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为． (1)求的长； (2)当时，求的长； (3)若点在的平分线上，求的值． 26．（本题10分）（24-25八年级上·重庆潼南·期末）如图1，都是等腰三角形，，，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)如图2，若，点F为上一点，，连接，，交于点G，求证：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 直角三角形（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）（24-25八年级上·山西晋中·期末）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（    ） A．2，3，4 B．6，7，8 C．1，，3 D．9，12，15 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理可知，两条较小的边的平方和等于第三条边的平方，即可构成直角三角形，据此逐项判断即可求出答案． 【详解】解：A、∵，∴不能构成直角三角形，故A不符合题意； B、∵， ∴不能构成直角三角形，故B不符合题意； C、∵，∴不能构成直角三角形，即故C不符合题意； D、∵，∴能构成直角三角形，故D符合题意； 故选：D． 2．（本题3分）（24-25九年级上·海南海口·期末）如图，在中，，点D是的中点，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，点D是的中点， ∴， 故选：B． 3．（本题3分）（24-25八年级上·河南三门峡·期末）如图所示，在中，，是两条高，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高的定义，直角三角形两个锐角互余，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．根据直角三角形中的两个锐角互余求得：，根据三角形的外角性质可得，即可求解． 【详解】解： 在中，，是两条高，， ，， ， 故选：C． 4．（本题3分）（八年级上·福建泉州·期末）在中，的对边分别记为下列结论中不正确的是 （  ） A．如果那么是直角三角形 B．如果，那么是直角三角形 C．如果，那么是直角三角形 D．如果，那么是直角三角形 【答案】C 【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项B中如果 a2＝b2+c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 选项C中如果∠A：∠B：∠C＝3：4：5，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝45°，∠B=60°，∠C =75°，没有直角，不是直角三角形，故选项C错误， 选项D中如果 a：b：c＝3：4：5，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确； 故选：C 5．（本题3分）（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图，分别以直角三角形的三边为边，向外作三个正方形，是分别以直角三角形的三边长为直径的圆的面积．若，则的值为（    ）    A．10 B．100 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理结合圆的面积公式，推出，即可得出结果． 【详解】解：如图，    由勾股定理得：， 由题意，得：， ∴； 故选B． 6．（本题3分）（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，的角平分线交于点于点．若，则的周长为（   ） A．6 B．12 C．15 D．21 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，解题关键是掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等．由角平分线的性质得，证明得，进而可求出的周长． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 故选B． 7．（本题3分）（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，若，以点A为圆心，任意长为半径面弧、交，于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于为半径画弧、交于点P，作射线交于点D，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的计算，直角三角形的性质及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本作图及三角形外角的性质．先求出，再求出，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知：平分， ， 故选：C 8．（本题3分）（23-24八年级下·河南安阳·期末）古代数学名著《算法统宗》中有一首计算秋千绳索长度的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”．翻译成现代文：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），则秋千绳索（或）的长度为（    ） A．13.5尺 B．14尺 C．14.5尺 D．15尺 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设秋千绳索长为尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设秋千绳索长为尺， 则（尺）， 在中，，即， 解得：， 故选：C． 9．（本题3分）（24-25八年级上·山西晋中·期末）2024年9月22日是第七个中国农民丰收节，小彬用3D打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），则装饰带的长度最短为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用勾股定理求展开图中的最短距离问题，正确画出展开图是解题的关键．根据圆柱的侧面展开图是长方形，画出圆柱的展开图，由勾股定理即可求出． 【详解】解：根据题意，该圆柱的侧面展开图如图所示：    可转化为下图求解：    则，， ∴， ∴装饰带的最短长度为， 故选：D． 10．（本题3分）（24-25八年级上·四川雅安·期中）如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出④，再根据勾股定理即可得出③． 【详解】解：，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 由①中证明， ， ，， ， ， 连接， ， ， ，， ， 故②正确； 设与的交点为， ，， ，， ， 故④正确； ，， ， 故③不正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，已知，若要用“”证明，则还需补充条件 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，熟记定理是解此题的关键． 已知公共边为斜边，再添加一组直角边相等，即可求解． 【详解】补充， 在和中， ， ∴， 补充， 在和中， ， ∴． 故答案为：或． 12．（本题3分）（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，为的角平分线，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理及勾股定理；根据角平分线的性质可得，根据勾股定理求得，设，进而根据三角形的面积公式列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵为的角平分线， ∴ 在中，，， ∴， ∵ 设， ∴ ∴ 解得： ∴ 故答案为：． 13．（本题3分）（24-25八年级上·福建三明·期中）九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹稍触地处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？经过计算，折断处离地面的高度为 尺； 【答案】4.2 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为尺，则尺，在中，由勾股定理得出方程，求解即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即折断处离地面的高度为4.2尺， 故答案为：4.2． 14．（本题3分）（重庆市长寿区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．由，可得，，再根据线段垂直平分线的性质可得：，推出，进而得到是含角的直角三角形，所以，推出，即可得解． 【详解】解：， ， ∴； ∵是的垂直平分线， ∴， ； 又， ； ， 是含角的直角三角形， ， ， ∴； 故答案为：3． 15．（本题3分）（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，某人欲垂直横渡一条河，由于水流的影响，他实际上岸地点C偏离了想要到达的B点（即），其结果是他在水中实际游了（即），则该河处的宽度是 ． 【答案】480 【分析】本题考查了勾股定理的应用；根据勾股定理求出即可． 【详解】解：， 即该河处的宽度是； 故答案为：480． 16．（本题3分）（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为3，则次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形规律，直角三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识，根据图形找到规律是解题的关键．根据题意分别计算出图①、图②的面积，得出规律即可求解． 【详解】图①中的直角三角形斜边长为3， 如图可知， ，， 图①中正方形的和为， 图②中所有正方形面积和， 即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 则2次操作后的图形中所有正方形的面积和为， ， ∴次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 故答案为： 17．（本题3分）（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图，我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（图1），后人称其为“赵爽弦图”、由图1变化得到图2，它是用八个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形，正方形，正方形的的面积分别为，，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了以赵爽弦图为背景的勾股定理的证明，理解正方形的面积，全等三角形面积相等是解题的关键． 根据题意，是4个全等的三角形，设每个的面积为，由此可得，根据，即可求解． 【详解】解：正方形，正方形，正方形的的面积分别为，，，是4个全等的三角形，设每个的面积为， ∴， ∴， 故答案为：8 ． 18．（本题3分）（24-25九年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，中，，，，点与数轴上表示的点重合，将沿数轴正方向旋转一次使得点落在数轴上，第二次旋转使得点落在数轴上，依此类推，第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系，勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握实数与数轴的关系．根据题意的三个顶点按的顺序依次落在数轴上，每三次一个循环，一个循环中在数轴上第一个点到第三个的长为的周长，很容易求出它的周长为．因为，所以2024次旋转共经历674个循环还余2，第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的是点C，再求解即可． 【详解】解：中，，，， ． 的周长为． 有三个顶点， 次旋转中每三次一个循环． ， 次旋转共经历674个循环还余2． 第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的是点C， 次旋转后点C共向右移动的总长为． 第一次的起点为， 右边的点表示的数是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）已知：如图，，，，为上一点，连接、相交于，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，根据证明三角形全等得，进而得，再得，即可得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（本题6分）（24-25八年级上·江苏镇江·期中）一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中为直角，工人师傅量得零件各边尺寸为，，，．请计算这个零件的面积． 【答案】144 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理判断的形状．连接，根据勾股定理的逆定理，可判断的形状，再由即可得出结论． 【详解】解：连接， 是直角，，， ， 在中，，，， ， 是直角三角形， ． 21．（本题8分）（24-25八年级上·重庆潼南·期末）如图，，，，垂足分别为，分别交于点． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，掌握其判定方法及性质是解题的关键． （1）根据题意，运用“斜边直角边”即可求解； （2）根据题意，运用三角形的外角和性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．（本题8分）（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图所示，是等腰三角形，，、分别为线段、上一点，，过点作的垂线交于点，交于点，连接，． (1)证明：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再结合已知条件证明即可 （2）先求解，，结合，求解，证明，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 23．（本题9分）（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，一架长为的云梯斜靠在一面墙上，水平地面． (1)若云梯放置在底端距墙脚的距离时，求消防员达到救火的高度的长． (2)在演练中，高的墙头有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全．在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的墙头去救援被困人员？ 【答案】(1)24米 (2)能 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． （1）先说明，再根据勾股定理求出的长即可； （2）设米，运用勾股定理求得的长，然后与云梯长度的比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． 答：的长为24米． （2）解：设米，则． ∵， ∴能达到． 24．（本题9分）如图，在中，，是过点A的直线，于D，于点E； (1)若B、C在的同侧（如图1所示）且．求证：； (2)若B、C在的两侧（如图2所示），且，其他条件不变，与仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质． （1）通过证明，根据全等三角形对应角相等，即可求证； （2）用和（1）相同的方法证明，根据全等三角形对应角相等，即可求证． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴ ∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：．理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴，即， ∴． 25．（本题10分）（24-25八年级上·江西南昌·期末）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动．设点的运动时间为． (1)求的长； (2)当时，求的长； (3)若点在的平分线上，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）利用股定理即可求解； （2）根据点的运动路径及速度表示出，再利用勾股定理即可解答； （3）过点作于，利用角平分线的性质可知，再证，推出，最后利用股定理解即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ； （2）解：如图， 由（2） 得 点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，，， 当时，， ∵，， ∴； （3）解：当点在的角平分线上时，过点作于，如图所示， 平分，，， ．， 又， ． ，则． ∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，，， ， ∴， 在中，即， 解得． 点在的平分线上时，． 26．（本题10分）（24-25八年级上·重庆潼南·期末）如图1，都是等腰三角形，，，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)求证：平分； (3)如图2，若，点F为上一点，，连接，，交于点G，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识． （1）证明，即可得到结论； （2）过点O作于M，于N，证明，得到，即可得到结论； （3）证明，，得到，得到为等腰三角形，证明，由（2）知平分，得到，则，即可证明． 【详解】（1）证明：∵ ∴ 即， 在和中， ∴， ∴； （2）证明：过点O作于M，于N，如下图， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分； （3）证明：∵； ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰三角形， 由（2）知， ∵， ∴， 由（2）知平分， ∴， ∴， ∴ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$