精品解析：安徽省蚌埠市五河县2024-2025学年九年级上学期1月期末考试数学试卷

蚌埠市五河县2024-2025学年第一学期期末监测 九年级 数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在的正方形网格图中，，，均为格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 将二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③同圆或等圆中，相等的弦所对弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；⑤同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．其中正确的说法有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 5. 如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶的直径为，油漆面宽为，则现在油漆桶中油漆的最大深长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点是线段的黄金分割点)，则下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 7. 如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等份，，若图中阴影部分的面积是，则四边形的面积为（ ） A. 46 B. 40 C. 36 D. 30 8. 如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，直线与相交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，顶点为，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，一个边长为2的菱形，，过点A作直线，将直线沿线段向右平移，直至经过点C时停止，在平移的过程中，若菱形在直线左边的部分面积为y，则y与直线平移的距离x之间的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若2x＝3y≠0，则＝__． 12. 在中，，都是锐角，且，则的度数为______． 13. 双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作y轴的平行线交于点B．若，则_____． 14. 定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“线性曲线”．例如：二次函数和的图象都是“线性曲线”．若“线性曲线”与坐标轴只有两个公共点，则k的值____________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，在中，． （1）求的值． （2）求的面积（结果保留根号） 16. 如图，已知为的直径，，为上两点，且平分，连接，，若，求的度数． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求在方格纸上画格点三角形（各顶点都在格点上）． （1）在图1中画出，使它由绕着点B旋转得到； （2）在图2中找到格点M，N，使得与相似，且相似比为． 18. 如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上，问当这个矩形面积最大时，它的边长各是多少？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求此反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出关于的不等式的解集． 20. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，当销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为x元，销售该品牌玩具获得的利润为元． （1）求出与x之间的函数关系式； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 六、（本题满分12分） 21. 如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的D处看见飞机A的仰角为，已知斜坡CF的坡度：，铅垂高度米（点，，，同一水平线上）．（结果保留根号） （1）求此时甲、乙两市民的距离； （2）求飞机此时距离地面的高度． 七、（本题满分12分） 22. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求、两点的坐标； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）抛物线在第二象限内是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，点E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，连接CE并延长交AD于点F，连接AE． （1）求证：△AEF∽△ADE； （2）若正方形ABCD的边长为4． ①求的值； ②如图2，过点B作BG⊥AE交AD于点G，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 蚌埠市五河县2024-2025学年第一学期期末监测 九年级 数学试卷 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项识别即可． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形． 故选C． 2. 如图，在的正方形网格图中，，，均为格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，解答本题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．在中，根据正切的定义计算即可． 【详解】解：如图，在的正方形网格图中， 在中，， ． 故选：D． 3. 将二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据二次函数平移规律左加右减，上加下减，得出平移后解析式即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线相应的函数表达式为：，即， 故选：C． 4. 下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③同圆或等圆中，相等的弦所对弦心距相等；④同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等；⑤同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等．其中正确的说法有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查弧，弦，圆心角，利用等弧和弦的概念，根据弧，弦与圆心角之间的关系进行判断即可． 【详解】解：①直径是弦，故说法正确； ②弧是圆的一部分，不一定是半圆，故说法错误； ③同圆或等圆中，相等的弦所对弦心距相等，故说法正确； ④在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧有优弧和劣弧两段，不一定相等，故说法错误； ⑤同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，故说法正确； 综上所述，正确的序号是①③⑤． 故选：B． 5. 如图是平放在地上的油漆桶横截面，已知油漆桶的直径为，油漆面宽为，则现在油漆桶中油漆的最大深长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理，根据垂径定理和勾股定理即可求出答案，先求出的长，再由垂径定理求出的长，根据勾股定理求出的长，然后用即可求出结果． 【详解】解：过O点作垂直于的半径，交于点D，连接，如下图， ∵油漆桶的直径为， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴油漆桶中油漆的最大深长为． 故选：B． 6. 如图，点是线段的黄金分割点)，则下列结论中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割的定义：把线段分成两条线段和 ，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．根据黄金分割点的定义，知为较长线段；则，进而判断即可． 【详解】解：因为点是线段的黄金分割点)， 所以，， 故选：C 7. 如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等份，，若图中阴影部分的面积是，则四边形的面积为（ ） A. 46 B. 40 C. 36 D. 30 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意可得，从而推出，，再由相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， ∵被截成三等分， ∴， ∴，， ∴，， ∵图中阴影部分的面积是18，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，直线，直线分别交，，于点A，B，C，直线分别交，，于点D，E，F，直线与相交于点，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查平行线所截线段成比例，熟练掌握平行线所截线段成比例是解题的关键；根据题意易得，，则有，然后根据平行线所截线段成比例可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 9. 已知二次函数的图象如图所示，顶点为，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得抛物线开口向上，与轴交于正半轴，对称轴为直线，从而得出，，，即可判断①；根据二次函数与轴只有一个交点即可判断②；由即可判断③；由图象可得，当时，即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，与轴交于正半轴，对称轴为直线， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵二次函数与轴只有一个交点， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③正确； 由图象可得，当时，，故④错误； 综上所述，正确的有②③，共个， 故选：B． 10. 如图，一个边长为2的菱形，，过点A作直线，将直线沿线段向右平移，直至经过点C时停止，在平移的过程中，若菱形在直线左边的部分面积为y，则y与直线平移的距离x之间的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，函数的解析式与图像，利用面积公式，分别计算出三个距离段的面积对应的解析式，根据相应图像即可解答． 【详解】∵边长为2的菱形，，过点A作直线， 当时，如图所示， 则 ，，，， 此时， 此时函数图像为开口向上的一段抛物线； ②∵边长为2的菱形，，过点A作直线， 当时，如图所示， 则 ，，，， 此时， 此时，函数图像是线段的一部分； ③当时，如图， ， ∵边长为2的菱形，，过点A作直线， 则， ，， 则 ，，，， 此时， 此时函数图像为开口向下的一段抛物线； 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若2x＝3y≠0，则＝__． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，设y＝2k，则x＝3k，代入分式求解即可． 【详解】解：设y＝2k，则x＝3k，则． 故答案为． 【点睛】本题主要考查分式求值，掌握代入消元法以及分式的基本性质是解此类题的关键． 12. 在中，，都是锐角，且，则的度数为______． 【答案】##75度 【解析】 【分析】本题主要考查偶次幂与绝对值的非负性及特殊三角函数值，熟练掌握偶次幂与绝对值的非负性及特殊三角函数值是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：∵，且， ∴，即， ∴， ∴； 故答案为． 13. 双曲线和在第二象限内的图象如图所示，过上任意一点作y轴的平行线交于点B．若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．根据，列出方程，求出k的值． 【详解】解：如图，延长交x轴于点C， ∵过上任意一点作y轴的平行线交于点B． ∴，， ∵，， ∴， 解得，， ∵在第二象限内， ∴， ∴ 故答案为：． 14. 定义：如果二次函数的图象经过点，那么称此二次函数图象为“线性曲线”．例如：二次函数和的图象都是“线性曲线”．若“线性曲线”与坐标轴只有两个公共点，则k的值____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据题意可得抛物线经过点，再分两种情况：当抛物线过原点时，当点为顶点时，分别求解即可得解． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴当抛物线过原点时，抛物线与坐标轴只有两个公共点，此时， 解得：； 当点为顶点时，抛物线与坐标轴只有两个公共点，则， 解得：， 把代入得：， 解得：， 综上所述，k的值为或， 故答案为：或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，在中，． （1）求的值． （2）求的面积（结果保留根号） 【答案】（1） （2）的面积为 【解析】 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）知：在中，，， ， ． 16. 如图，已知为的直径，，为上两点，且平分，连接，，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理及推论，熟练掌握圆周角定理及推论是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角及同弧所对的圆周角相等，可求得，进一步可推得，再根据同弧所对的圆周角相等，即得答案． 【详解】解：为的直径， ， ， ， ， 平分， ， ． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求在方格纸上画格点三角形（各顶点都在格点上）． （1）在图1中画出，使它由绕着点B旋转得到； （2）在图2中找到格点M，N，使得与相似，且相似比为． 【答案】（1） 如图，即为所作： （2） 如图，即为所作： 【解析】 【分析】本题考查作图-相似变换，旋转变换等知识: （1）根据要求作出图形； （2）根据对应边的比为，构造相似三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．在这个三角形内有一个内接矩形，矩形的一边在上，其余两个顶点分别在上，问当这个矩形面积最大时，它的边长各是多少？ 【答案】这个矩形面积最大时，它的长为，宽为 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，二次函数的性质．由矩形的性质可得，设，则，再由结合矩形的面积公式即可得，最后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ． 设，则， ， 解得， 矩形的面积 ， 时，有最大值24， 即的长为，的长为，矩形面积最大． 答：这个矩形面积最大时，它的长为，宽为 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，已知是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． （1）求此反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图象直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，能够熟练运用待定系数法求得函数的解析式；能够运用数形结合的思想观察两个函数值的大小关系是解题的关键． （1）点代入可求出反比例函数的解析式，从而得到点B的坐标，再把点A，B的坐标代入，可求出一次函数的解析式，即可； （2）设直线与x轴交于点C，求出点C的坐标，再根据，即可求解； （3）直接观察函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得： ，解得：， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴点， 把点，代入，得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，设直线与x轴交于点C， 对于，当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵点，， ∴； 【小问3详解】 解：观察图象得：当或时，一次函数的图象位于反比例函数的图象的下方， ∴关于x的不等式的解集为或． 20. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价为30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价为40元时，销售量是600件，当销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具．设该种品牌玩具的实际销售单价为x元，销售该品牌玩具获得的利润为元． （1）求出与x之间的函数关系式； （2）若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于500件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键在于理解题意找出等量或不等关系． （1）根据“利润每件利润件数”列出关系式，即可解题； （2）根据题意列出不等式组，得到的取值范围，再利用（1）表达式结合二次函数的最值情况求解，即可解题． 【小问1详解】 解：由题意得， 整理得． 答：与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得， 解得． ，， 当时，函数取得最大值，且最大值为． 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是10000元． 六、（本题满分12分） 21. 如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为，同时另一市民乙在斜坡上的D处看见飞机A的仰角为，已知斜坡CF的坡度：，铅垂高度米（点，，，同一水平线上）．（结果保留根号） （1）求此时甲、乙两市民的距离； （2）求飞机此时距离地面的高度． 【答案】（1）米 （2）飞机距离地面的高度为米 【解析】 【分析】（1）根据题意可得：，然后根据已知斜坡CD的坡度为，可求出的长，从而在中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得；米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义用表示出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义用求出的长，从而求出的长，进而列出关于的方程，进行计算即可解答， 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， 斜坡的坡度，铅垂高度米， ， 米． ， （米）； 【小问2详解】 ，，, 四边形是矩形， 米，， ，， 是等腰直角三角形， ． 设米，则米， 米． 在中，， 解得．经检验是方程的解， 米． 答：飞机距离地面的高度为米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，考查了勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，特殊角三角函数值等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 七、（本题满分12分） 22. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求、两点的坐标； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）抛物线在第二象限内是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标及的面积最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在，点 （3）,的面积最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点，二次函数的性质，面积问题； （1）令，求得的坐标，令，求得的坐标 （2）根据对称性可得，是对称点，确定直线的解析式，计算当时的函数值即可确定坐标． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． 当时，，则， 当时，， 解得： ∴，； 【小问2详解】 存在，点．理由如下： ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴，；是对称点，且，对称轴为直线 如图所示，当是与的交点时，的周长最小， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，，故点． 【小问3详解】 如图，设，过点作交于点，则 ∴ ∴ ∴当时，的面积最大，最大值为 ∴ ∴ 八、（本题满分14分） 23. 如图1，点E是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，连接CE并延长交AD于点F，连接AE． （1）求证：△AEF∽△ADE； （2）若正方形ABCD的边长为4． ①求的值； ②如图2，过点B作BG⊥AE交AD于点G，求的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABD=∠CBD=∠ADB=45°，AB=BC， ∵BC=CE， ∴． 同理∠AEB=67.5°， ∴∠AEF=180°-∠AEB-∠BEC=180°-67.5°-67.5°=45°， ∴∠AEF=∠ADE=45°． ∵∠EAF=∠DAE， ∴△AEF∽△ADE； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质证明∠AEF=∠ADE=45°，再根据有个公共角∠EAF，证明△AEF∽△ADE； （2）①根据正方形的边长求出对角线BD的长，求出DE的长，再利用角相等得到DF=DE，从而求出AF的长，再利用（1）中的△AEF∽△ADE得到AE2=AF•AD，进而求出AE的长． ②利用已知条件求出AG=GE=DE，即求出AG的长，再求出GF的长，然后比较即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①∵正方形ABCD的边长为4， ∴， ∴． ∵ADBC， ∴∠DFE=∠BCE=∠BEC=∠DEF． ∴． ∴． 由（1）得△AEF∽△ADE， ∴， ∴； ②连接EG，如图所示， ∵AB=BE，BG⊥AE ∴BG垂直平分AE， ∴AG=EG， ∴Rt△ABG≌Rt△EBG（HL）． ∴∠BEG=∠BAG=90°． ∵∠ABD=45°， ∴∠DGE=∠ABD=45°． ∴∠BDA=∠DGE． ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题是一道以正方形为背景的综合题，主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质，利用三角形相似的性质对应边成比例求有关线段是解此类题目的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $