第11讲 反比例函数（5考点+14题型）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（广东专用）

第三章 函数 第11讲 反比例函数（6~12分） ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 反比例函数的相关概念 考点二 反比例函数的图象与性质 考点三 反比例系数k的几何意义 考点四 反比例函数与一次函数综合 考点五 反比例函数的实际应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 反比例函数的相关概念 题型01 反比例函数描述数量关系或者判断 题型02 根据反比例函数的定义求字母的值 命题点二 反比例函数的图象与性质 题型01 判断反比例函数图象 题型02 已知反比例函数图象，判断其解析式 题型03 由反比例函数解析式判断其性质 题型04 由反比例函数的性质比较大小 题型05 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围 命题点三 反比例系数k的几何意义 题型01 已知比例系数求特殊图像面积 题型02 已知图像面积求反比例函数 命题点四 反比例函数与一次函数综合 题型01 一次函数图象与反比例函数图象综合 题型02 一次函数与反比例函数交点问题 题型03 一次函数与反比例函数综合应用 命题点五 反比例函数的实际应用 题型01 反比例与实际问题 题型02 反比例与几何问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 反比例函数相关概念 理解与掌握反比例函数相关概念. 10年7考 反比例函数是非常重要的函数，年年都会考，总分值为12分左右，常考考点为: 反比例函数图象的性质k的几何意义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的应用与综合题等.其中前三个考点多以选择、填空题的形式出题，后三个考点则是基础解答题以及压轴题的形式出题.在填空题中,对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一起出题,多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意.另外压轴题中也常以反比例函数为背景，考察一些新定义类问题. 综合反比例函数以上特点，考生在复习该考点时，需要准备堂握其各性质规律，并日多注意其与几何图形结合题的思考探究. 反比例函数的图象与性质 能画反比例函数的图象，根据图象和表达式 ()探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况.能根据已知条件确定反比例函数的表达式. 近10年连续考查 反比例系数k的几何意义 理解与掌握反比例系数k的几何意义. 10年8考 反比例函数与一次函数综合 理解与掌握反比例和一次函数交点的几何意义，面积、不等式等问题 10年7考 反比例函数的实际应用 能用反比例函数解决简单实际问题 10年6考 考点一 反比例函数的相关概念 反比例函数的概念：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数，等号右边是一个分式； ②； ③分母中含有自变量x，且指数为1. ( 1 . 反比例 函数 （ ）的自变量 的取值为一切非零实数，函数 的取值是一切非零实数 . 2 . 反比例 函数的表达式中，分子是不为零的常数 k ，分母不能是多项式，只能是 x 的一次单项式． 3 . 反比例函数图象上的点的横纵坐标之积是定值 k . ) 考点二 反比例函数的图象与性质 一、反比例函数的图象与性质 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． ( 1 . 反比例函数的图象不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当 k ＞ 0 时，在每一象限（第一、三象限）内 y 随 x 的增大而减小，但不能笼统地说当 k ＞ 0 时， y 随 x 的增大而减小．同样，当 k ＜ 0 时，也不能笼统地说 y 随 x 的增大而增大． 2 . 反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由常数 k 的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出 k 的符号。 3 . 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或 第二、四象限）． ) 考点三 反比例系数k的几何意义 一、一点一垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】(前提：OA=AC) 结论：S△AOB=S△COD S△AOE=S四边形CEBD S△AOC= 二、一点两垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】 结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ▱ABCD= 三、两点一垂线 【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|， 结论：S△ABC =2S△ABO = 【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|yA|+co•|yB|=co(|yA|+|yB|) 如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|xA|+co•|xB|=co(|xA|+|xB|) 四、两点两垂线 【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k| 五、两点和原点 方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB． 方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】 方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD•（|yA|-|yB|） 方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC•（|xB|-|xA|） 【拓展】 方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S四边形OADB＝m|k|． 方法二：作AE⊥x轴于E，则S△OAB＝S直角梯形AEFB（类型一）． 六、两曲一平行 【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解． 类型一 两条双曲线的k值符号相同 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2| 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE 类型二 两条双曲线的k值符号相同 结论：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2| 考点四 反比例函数与一次函数综合 1.涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 考点五 反比例函数的实际应用 用反比例函数解决实际问题的步骤： 1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 命题点一 反比例函数的相关概念 ►题型01 反比例函数描述数量关系或者判断 1．（2023·广东肇庆·二模）下列各变量之间的关系属于反比例函数关系的有（　　） ①当路程一定时，汽车行驶的平均速度v与行驶时间t之间的关系； ②当商品的进价一定时，利润k与售价a之间的函数关系； ③当矩形的面积一定时，矩形的长a与宽b之间的函数关系； ④当电压一定时，电路中通过的电流强度I与电阻R之间的函数关系． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2023·北京海淀·模拟预测）下面的三个问题中都有两个变量： ①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度与所用时间； ②一个体积固定的长方体，长方体的高与底面积； ③矩形面积一定时，周长与一边长； 其中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（2024·湖南株洲·一模）下列关系中，成反比例函数关系的是（　　） A．圆的面积与它的半径之间的关系 B．用频率估计概率时，概率与频率的关系 C．电压一定时，电流与电阻之间的关系 D．小明的身高与年龄之间的关系 4．（2024·天津红桥·一模）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． ►题型02 根据反比例函数的定义求字母的值 5．（2023·云南·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则n是（    ） A．3 B． C． D． 6．（2023·海南·中考真题）若反比例函数（）的图象经过点，则k的值是（    ） A．2 B． C． D． 7．（2023·浙江台州·一模）若反比例函数的图象经过点，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 8．（2022·海南·中考真题）若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 命题点二 反比例函数的图象与性质 ►题型01 判断反比例函数图象 9．（2024·广东汕头·二模）已知抛物线与轴没有交点，则函数的大致图象是（  ） A．B． C． D． 10．（2023·江苏扬州·中考真题）函数的大致图像是(   ) A．  B．   C．   D．   11．（2022·广东深圳·三模）二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像是（　　） A．B．C． D． 12．（2022·广东阳江·一模）已知函数与函数，则它们在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A．B．C．D． ►题型02 已知反比例函数图象，判断其解析式 13．（2023·重庆渝北·二模）下列各点中，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 14．（2023·贵州贵阳·一模）反比例函数（）的图象如图所示，则的值可能是（    ）    A．5 B．12 C． D． 15．（2023·河北沧州·三模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（    ）    A． B．1 C．3 D．5 16．（22-23九年级上·山东德州·期末）如图，直线与双曲线交于A、B两点．过点A作轴，垂足为M，连结BM．若，则k的值是（    ） A．2 B． C．m D．4 ►题型03 由反比例函数解析式判断其性质 17．（2024·安徽·模拟预测）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．经过点 C．图象关于原点成中心对称 D．当时，y随x的增大而减小 18．（2024·广东·模拟预测）对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．y随x的增大而增大 B．图象在第一、三象限 C．图象经过点 D．图象关于直线对称 19．（2024·广东东莞·一模）对于反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象必经过点 B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限内 D．图象关于坐标原点中心对称 20．（2023·山西晋城·一模）已知反比例函数，则下列描述正确的是（　　） A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而增大 C．图象不可能与坐标轴相交 D．图象必经过点 ►题型04 由反比例函数的性质比较大小 21．（2024·广东东莞·模拟预测）双曲线有两点．其中，则的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能确定 22．（2024·广东·模拟预测）已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 23．（2024·广东梅州·模拟预测）已知点，，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为 （   ） A． B． C． D． 24．（2024·广东深圳·模拟预测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． ►题型05 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围 25．（2024·广东广州·二模）反比例函数 的图像的每一支上，y随着x的减小而增大，那么m的取值范围（   ） A． B． C． D． 26．（2023·湖北·中考真题）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（2022·广东清远·一模）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 28．（2022·广东佛山·一模）设y1＝，y2＝（k＞1），当2≤x≤4时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣，则ak＝（　　） A．2 B． C． D． 命题点三 反比例系数k的几何意义 ►题型01 已知比例系数求特殊图像面积 29．（2024·广东汕头·一模）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 30．（2022·广东深圳·模拟预测）如图，已知反比例函数图象上一点A，以原点为位似中心得到第四象限的点B，位似比为，过点B作轴于点C，连接，则的面积为（    ）    A．6 B．8 C． D． 31．（2023·广东揭阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数的图象于点C，连接，则的面积为（　　）    A．1 B．3 C．5 D．7 32．（2022·广东湛江·二模）如图，已知双曲线，，点P为双曲线上的一点，且轴于点A，轴于点B，，分别交双曲线于D，C两点，则的面积是（　　）    A． B． C．2 D．3 ►题型02 已知图像面积求反比例函数 33．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，的一条直角边在轴上，双曲线经过斜边的中点，与另一直角边交于点．若，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 34．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，点A，B在x轴上，且，交y轴于点C，．若的面积是2，则k的值是（   ） A． B．2 C．1 D． 35．（2024·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接. 若的面积为2 ， 则（    ） A． B． C．2 D．4 36．（2024·安徽池州·二模）如图，反比例函数的图象上有A，两点，过点作轴于点，交于点．若，的面积为2，则的值为（    ） A． B． C． D． 命题点四 反比例函数与一次函数综合 ►题型01 一次函数图象与反比例函数图象综合 37．（2024·广东广州·二模）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A．B． C． D． 38．（2024·广东珠海·三模）已知二次函数的图象如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 39．（2024·广东广州·二模）定义新运算：例如 ，则的大致图象是（   ） A．B． C． D． 40．（2024·天津红桥·一模）已知一次函数(k， m为常数， 的图象如图所示，则二次函数 和反比例函数 在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．B．C． D． ►题型02 一次函数与反比例函数交点问题 41．（2024·广东河源·二模）已知一次函数和反比例函数，当时，的取值范围为（    ） A．或 B． C．或 D． 42．（2024·广东深圳·一模）一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，则不等式的解集是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 43．（2024·广东汕头·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为，当时，x的取值范围是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 44．（2024·广东广州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 ►题型03 一次函数与反比例函数综合应用 45．（2024·广东东莞·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点与点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)若动点是第二象限内双曲线上的点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，连接，，，，若的面积等于的面积的三分之一，则点的横坐标为 ． 46．（2023·广东潮州·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D． (1)求一次函数的解析式； (2)对于反比例函数，当时，写出x的取值范围； (3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S△BDP＝S△ODA，请求出点P的坐标． 47．（2021·广东江门·三模）如图，菱形的边在x轴上，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，直线经过点C，与y轴交于点E，与x轴交于点M，连接、． (1)求k、b的值； (2)求的面积； (3)在x轴上取点P，求出使取得最大值时点P的坐标． 48．（2023·广东广州·二模）如图，双曲线与直线交于点、，与两坐标轴分别交于点，已知点，连接．    (1)求的面积； (2)作直线，将直线向上平移个单位后，与双曲线有唯一交点，求的值． 命题点五 反比例函数的实际应用 ►题型01 反比例与实际问题 49．（2023·广东阳江·一模）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为，阻力臂为． (1)求动力F与动力臂l的函数关系式． (2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？ 50．（2024·广东广州·三模）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求一次函数和反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 51．（2024·广东佛山·三模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻的阻值随着尾气中一氧化碳的含量变化的关系图象如图2所示，为定值电阻，电源电压恒定不变． (1)请根据图2，判断气敏电阻与尾气中一氧化碳的含量之间成　　　函数，并求出它的函数解析式； (2)该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于．若某辆小轿车的尾气检测阻值为，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准？请说明理由． 52．（2024·广东江门·三模）综合与实践 如图，某校数学兴趣小组取一根长为的匀质木杆，把细绳绑在木杆的中点处并将其吊起．在中点左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点的距离（单位：），观察弹簧秤的示数（单位：）有什么变化，得到下表： 5 10 15 20 25 30 35 40 16 指导老师发现其中有一组数据明显是错误的． (1)当 时，所对应的的值明显是错误的； (2)写出与之间的函数关系式，并求当弹簧秤的示数是时，弹簧秤与中点之间的距离． ►题型02 反比例与几何问题 53．（2024·广东广州·一模）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 54．（2024·广东东莞·三模）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．（其中均为坐标原点） 【数学理解】 (1)①已知点，则______，②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，则点的坐标是__________； (2)函数的图象如图②所示，求证：该函数的图象上不存在点，使． (3)函数的图象如图③所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标． 55．（2024·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交双曲线于点，C，线段都垂直于x轴，． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)在第一象限内，根据图象直接写出当x取何值时，； (3)在直线上找一点P，连接，当时，求点P的坐标． 56．（2024·广东揭阳·三模）如图，反比例函数 的图象与直线交于和，该函数关于x轴对称后的图象经过点． (1)求和的解析式及m值； (2)点M是x轴上一动点，求当取得最大值时M的坐标． 基础巩固 1、 单选题 1．（2023·广东阳江·一模）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（    ） A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于 3．（2024·广东·模拟预测）已知点在反比例函数（）的图像上，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东揭阳·二模）如果四点，和和在反比例函数的图象上，那，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·广东江门·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广东佛山·二模）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则它的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（    ） A．B． C． D． 7．（2024·广东汕头·二模）如图，点，分别在反比例函数和的图象上，分别过，两点向轴，轴作垂线，形成的阴影部分的面积为7，则的值为（    ） A．6 B．7 C．5 D．8 8．（2022·山西大同·三模）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流．与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）    A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时， D．当时，I的取值范围是 二、填空题 9．（2024·广东清远·模拟预测）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，当横截面积为时，面条的总长度为，请写出y与s的函数关系式 ． 10．（2024·广东惠州·三模）对于双曲线，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为 ； 11．（2024·广东中山·三模）在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率与做功所用的时间成反比例函数关系，图象如图所示，当时， ． 12．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，的边在轴上，反比例函数的图象经过点，与边交于点，若，，则的值为 ． 三、解答题 13．（2024·广东广州·二模）一艘载满货物的轮船到达南沙港码头后开始卸货．平均卸货速度y（单位：吨/天）与卸货天数t是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求y与t之间的函数解析式； (2)南沙港码头收到气象部门的紧急通知，在某海域形成新的台风，预计7天后影响码头卸货，因此要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 14．（2023·广东清远·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点D，与y轴交于点B，与x轴交于点C．        (1)求m的值以及点D坐标； (2)P为x轴上的一动点，的面积6时，求P点坐标． 能力提升 一、单选题 1．（2024·广东广州·模拟预测）已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·广东·模拟预测）关于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．反比例函数图象经过点 B．当时， C．该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D．若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上 3．（2023·广东清远·一模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线，垂足分别为，延长线段交轴于点，若，，点的坐标为，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 4．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为（     ） A．6 B．12 C．24 D．48 5．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上， 点A，点C在反比例函数，若直线BC的函数表达式为，则反比例函数表达式为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·广东广州·三模）如图，为双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于、两点，若直线与轴交于点，与轴交于点，则值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2024·广东广州·模拟预测）一次函数与反比例函数有且仅有一个交点，则的值为 ． 8．（2023·广东清远·二模）已知和是同一个反比例函数图象上的两个点，C是x轴上的一点，当时，点C的坐标为 ． 9．（2024·广东东莞·模拟预测）如图1是电压为定值的蓄电池，使用该蓄电池时，电流I(单位：) 与电阻R(单位：) 是反比例函数关系，它的图象如图2所示，如果以该蓄电池为电源的电器限制电流不超过， 那么用电器可变电阻 R 应控制的范围是 10．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边、都在x轴上，反比例函数的图象经过点C．已知的面积为，则k的值为 ． 11．（2023·广东深圳·三模）如图，点B在反比例函数的图象上，连接，将绕B点顺时针旋转得到，且，交y轴于点C，若，的面积为，则k的值为 ． 三、解答题 12．（2024·广东·模拟预测）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接，． (1)求k的值． (2)x轴上是否存在一点E，使为等腰三角形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 13．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于， 两点，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点是线段的中点，连接，求的正切值． 14．（2024·广东广州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点．    (1)求此反比例函数的表达式及点的坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在轴上存在点，使得的周长最小，求点的坐标并直接写出的周长． 15．（2024·广东惠州·模拟预测）定义运算：，当时 ，； 当时 ，．例如：；根据以上材料，解决下列问题． (1) ； (2)若，求x的取值范围． (3)如图和在同一平面直角坐标系中，当，结合图象，直接写出x 的取值范围． $$ 第三章 函数 第11讲 反比例函数（6~12分） ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 01考情透视·目标导航 02知识导图·思维引航 03考点突破·考法探究 考点一 反比例函数的相关概念 考点二 反比例函数的图象与性质 考点三 反比例系数k的几何意义 考点四 反比例函数与一次函数综合 考点五 反比例函数的实际应用 04题型精研·考向洞悉 命题点一 反比例函数的相关概念 题型01 反比例函数描述数量关系或者判断 题型02 根据反比例函数的定义求字母的值 命题点二 反比例函数的图象与性质 题型01 判断反比例函数图象 题型02 已知反比例函数图象，判断其解析式 题型03 由反比例函数解析式判断其性质 题型04 由反比例函数的性质比较大小 题型05 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围 命题点三 反比例系数k的几何意义 题型01 已知比例系数求特殊图像面积 题型02 已知图像面积求反比例函数 命题点四 反比例函数与一次函数综合 题型01 一次函数图象与反比例函数图象综合 题型02 一次函数与反比例函数交点问题 题型03 一次函数与反比例函数综合应用 命题点五 反比例函数的实际应用 题型01 反比例与实际问题 题型02 反比例与几何问题 05分层训练·巩固提升 基础巩固 能力提升 考点要求 新课标要求 考查频次 命题预测 反比例函数相关概念 理解与掌握反比例函数相关概念. 10年7考 反比例函数是非常重要的函数，年年都会考，总分值为12分左右，常考考点为: 反比例函数图象的性质k的几何意义、双曲线上点的坐标特征、反比例函数与一次函数的交点问题以及反比例函数的应用与综合题等.其中前三个考点多以选择、填空题的形式出题，后三个考点则是基础解答题以及压轴题的形式出题.在填空题中,对反比例函数点的坐标特征考察的比较多，而且难度逐渐增大，常结合其他规则几何图形的性质一起出题,多数题目的技巧性较强，复习中需要多加注意.另外压轴题中也常以反比例函数为背景，考察一些新定义类问题. 综合反比例函数以上特点，考生在复习该考点时，需要准备堂握其各性质规律，并日多注意其与几何图形结合题的思考探究. 反比例函数的图象与性质 能画反比例函数的图象，根据图象和表达式 ()探索并理解k>0和k<0时图象的变化情况.能根据已知条件确定反比例函数的表达式. 近10年连续考查 反比例系数k的几何意义 理解与掌握反比例系数k的几何意义. 10年8考 反比例函数与一次函数综合 理解与掌握反比例和一次函数交点的几何意义，面积、不等式等问题 10年7考 反比例函数的实际应用 能用反比例函数解决简单实际问题 10年6考 考点一 反比例函数的相关概念 反比例函数的概念：一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数.反比例函数的解析式也可以写成xy=k（k≠0、xy≠0）、的形式. 反比例函数解析式的特征: ①等号左边是函数，等号右边是一个分式； ②； ③分母中含有自变量x，且指数为1. ( 1 . 反比例 函数 （ ）的自变量 的取值为 一切非零实数 ，函数 的取值是 一切非零实数 . 2 . 反比例 函数的表达式中，分子是不为零的常数 k ，分母不能是多项式，只能是 x 的一次单项式． 3 . 反比例函数 图象 上的点的横纵坐标之积是定值 k . ) 考点二 反比例函数的图象与性质 一、反比例函数的图象与性质 图象特征 1）反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴． 2）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=±x，对称中心为原点． 性质 表达 式 （为常数，） 图象 k>0 k<0 经过 象限 一、三象限（x、y同号） 二、四象限（x、y异号） 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 对称性 ①图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上; ②图象关于直线 对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）在双曲线的另一支上; ③图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-b，-a）在双曲线的另一支上. 即：反比例函数的图象关于直线y=±x成轴对称,关于原点成中心对称. 反比例函数解析式的确定方法 待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤： 1）设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0）； 2）把已知的一对x，y的值带入解析式，得到一个关于待定系数k的方程； 3）解方程求出待定系数k； 4）将所求的k值代入所设解析式中. 【说明】由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式． ( 1 . 反比例函数的 图象 不是连续的，因此在描述反比例函数的增减性时，一定要有“在其每个象限内”这个前提．当 k ＞ 0 时，在每一象限（第一、三象限）内 y 随 x 的增大而减小，但不能笼统地说当 k ＞ 0 时， y 随 x 的增大而减小．同样，当 k ＜ 0 时，也不能笼统地说 y 随 x 的增大而增大． 2 . 反比例函数 图象 的位置和函数的增减性，都是由常数 k 的符号决定的，反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出 k 的符号。 3 . 双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说 图象 的两个分支分别在第一、三象限（或 第二、四象限）． ) 考点三 反比例系数k的几何意义 一、一点一垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点关于坐标轴的垂线、与另一坐标轴上一点（含原点）围成的三角形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】(前提：OA=AC) 结论：S△AOB=S△COD S△AOE=S四边形CEBD S△AOC= 二、一点两垂线 【模型结论】反比例函数图象上一点与坐标轴的两条垂线围成的矩形面积为. 【拓展一】 【拓展二】 【拓展三】 结论：S矩形ABOE=S矩形CDOF S矩形AEFG=S矩形CGBD S ▱ABCD= 三、两点一垂线 【模型结论一】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作垂线围成的三角形面积等于|k|， 结论：S△ABC =2S△ABO = 【模型结论二】反比例函数与一次函数图象的交点及坐标轴上任一点构成三角形的面积，等于坐标轴所分的两个三角形面积之和． 如左图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|yA|+co•|yB|=co(|yA|+|yB|) 如右图，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与y轴交于点C， 则S△AOB=S△AOC+S△BOC=co•|xA|+co•|xB|=co(|xA|+|xB|) 四、两点两垂线 【模型结论】反比例函数与正比例函数图象的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形面积等于2|k| 五、两点和原点 方法一：S△AOB＝S△COD－S△AOC－S△BOD．【分割】 方法二：作AE⊥x轴于点E，交OB于点M，BF⊥x轴于点F，而S△OAM＝S四边形MEFB，则S△AOB＝S直角梯形AEFB． 方法三：S△AOB＝S四边形COFD－S△AOC－S△BOF. 【补形】 方法四：S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝OD•（|yA|-|yB|） 方法五：S△AOB＝S△BOC－S△AOC＝OC•（|xB|-|xA|） 【拓展】 方法一：当AD/AC(或BD/BF)＝m时，则S四边形OADB＝m|k|． 方法二：作AE⊥x轴于E，则S△OAB＝S直角梯形AEFB（类型一）． 六、两曲一平行 【模型讲解】两条双曲线上的两点的连线与一条（或两条）坐标轴平行，求这两点与原点或坐标轴上的点围成的图形面积，过这两点作坐标轴的垂线，结合k的几何意义求解． 类型一 两条双曲线的k值符号相同 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2| 结论：S阴影＝|k1|-|k2| S阴影＝|k1|-|k2|- S直角梯形AFDE 类型二 两条双曲线的k值符号相同 结论：S△AOB＝S△ACB＝(|k1|+|k2|) S阴影＝|k1|+|k2| 考点四 反比例函数与一次函数综合 1.涉及自变量取值范围 当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对y1>y2时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围．例如，如下图，当y1>y2时，x的取值范围为x>xA或xB<x<0；同理，当y1<y2时，x的取值范围为0<x<xA或x<xB． 2.求一次函数与反比例函数的交点坐标 1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定． ①k值同号，两个函数必有两个交点； ②k值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点； 考点五 反比例函数的实际应用 用反比例函数解决实际问题的步骤： 1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系； 2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； 3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数； 4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； 5）解：用函数解析式去解决实际问题． 利用反比例函数解决实际问题，要做到： 1）能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型； 2）注意在自变量和函数值的取值上的实际意义； 3）问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明． 【易错点】 1.利用反比例函数的性质时，误认为所给出的点在同一曲线上； 2.利用函数图象解决实际问题时，容易忽视自变量在实际问题的意义． 2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况． 命题点一 反比例函数的相关概念 ►题型01 反比例函数描述数量关系或者判断 1．（2023·广东肇庆·二模）下列各变量之间的关系属于反比例函数关系的有（　　） ①当路程一定时，汽车行驶的平均速度v与行驶时间t之间的关系； ②当商品的进价一定时，利润k与售价a之间的函数关系； ③当矩形的面积一定时，矩形的长a与宽b之间的函数关系； ④当电压一定时，电路中通过的电流强度I与电阻R之间的函数关系． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，正确表示出各量之间的函数关系是解决本题的关键．此题可先根据题意列出各个函数关系式，再根据反比例函数的定义进行判断． 【详解】解：①由题意得： ，s为常数，故该函数为反比例函数； ②由题意得：利润售价进价x，其中x一定，即x是常数，故该函数不是反比例函数； ③由题意得：，即，其中S是常数，故该函数是反比例函数； ④由题意得： ，其中U一定，即U是常数，故该函数为反比例函数； 综上分析可知，各变量之间的关系属于反比例函数关系的有3个． 故选：C． 2．（2023·北京海淀·模拟预测）下面的三个问题中都有两个变量： ①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度与所用时间； ②一个体积固定的长方体，长方体的高与底面积； ③矩形面积一定时，周长与一边长； 其中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据图象，可以得到两个变量之间成反比关系，即两个变量的乘积为定值，逐一进行判断即可． 【详解】解：①一个容积固定的游泳池，游泳池注满水的过程中注水速度与所用时间的乘积为定值，符合题意； ②一个体积固定的长方体，长方体的高与底面积的乘积为定值，符合题意； ③矩形面积一定时，周长与一边长的乘积不是定值，不符合题意； ∴变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是①②； 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数．通过图象得到两个变量之间成反比关系，是解题的关键． 3．（2024·湖南株洲·一模）下列关系中，成反比例函数关系的是（　　） A．圆的面积与它的半径之间的关系 B．用频率估计概率时，概率与频率的关系 C．电压一定时，电流与电阻之间的关系 D．小明的身高与年龄之间的关系 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据题意写出关系式，再根据反比例函数的定义判断即可．解题的关键是掌握：形如（为常数，）的函数称为反比例函数．其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于的一切实数． 【详解】解：A．圆的面积与半径的关系，即，是二次函数关系，故此选项不符合题意； B．用频率估计概率时，概率与频率的关系为，是正比例函数关系，故此选项不符合题意； C．电压一定时，电流与电阻之间的关系为，电流与电阻之间的关系是反比例函数关系，故此选项符合题意； D．小明的身高与年龄之间没有特定关系，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．（2024·天津红桥·一模）下面四个关系式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的识别，形如（k为常数且）的函数叫做反比例函数，由此判断即可． 【详解】解：A，是一次函数，不是反比例函数，不合题意； B，是一次函数，不是反比例函数，不合题意； C，是二次函数，不是反比例函数，不合题意； D，是反比例函数，符合题意； 故选D． ►题型02 根据反比例函数的定义求字母的值 5．（2023·云南·模拟预测）已知反比例函数的图象经过点，若该反比例函数的图象也经过点，则n是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式，反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．根据建立等式解答即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点，也经过点， ，解得， 故选：B． 6．（2023·海南·中考真题）若反比例函数（）的图象经过点，则k的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】把点代入反比例函数解析式即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数（）的图象经过点， ∴， 解得， 故选：B 【点睛】此题考查了反比例函数，把点的坐标代入函数解析式准确计算是解题的关键． 7．（2023·浙江台州·一模）若反比例函数的图象经过点，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将点代入，求出的值，再根据，即可求出的取值范围． 【详解】反比例函数的图象经过点， 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数，熟知将点坐标代入解析式左右相等是解题的关键． 8．（2022·海南·中考真题）若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴k＝2×（﹣3）＝﹣6， ∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6， （﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6， 1×（﹣6）＝﹣6， ,6×1＝6≠﹣6， 则它一定还经过（1，﹣6）， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 命题点二 反比例函数的图象与性质 ►题型01 判断反比例函数图象 9．（2024·广东汕头·二模）已知抛物线与轴没有交点，则函数的大致图象是（  ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象，二次函数性质，求m的取值范围是本题的关键．由抛物线与轴没有交点可求得，即可求解． 【详解】∵抛物线与轴没有交点， ∴没有实数根， ∴ ∴ ∴函数的图象在第一、第三象限， 故选：A． 10．（2023·江苏扬州·中考真题）函数的大致图像是(   ) A．  B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据函数自变量的取值范围排除错误选项． 【详解】解：函数自变量的取值范围为． 对于B、C，函数图像可以取到的点，不符合题意； 对于D，函数图像只有的部分，没有的部分，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了根据函数表达式选函数图像，解题的关键是根据函数表达式分析出图像的特点，进而对错误选项进行排除． 11．（2022·广东深圳·三模）二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的图像判断a、b、c的正负，再根据函数性质判断图像即可得到答案； 【详解】解：由二次函数的图像可得， ，，， ∴， 根据，，即可得到一次函数图像过一二四象限， 根据，可得反比例函数图像过二四象限， 故选A． 【点睛】本题考查二次函数图像性质，一次函数图像性质，反比例函数图像性质，解题的关键是熟练掌握图像性质． 12．（2022·广东阳江·一模）已知函数与函数，则它们在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】根据题条件可知，再根据，可知该函数与x轴两个交点，且坐标为、；根据a的符号决定了二次函数和反比例函数在直角坐标系的形状即可求解． 【详解】根据题条件可知， ∵， ∴该二次函数与x轴有两个交点，坐标为、，且该二次函数对称轴为，即该对称轴在y轴左侧； 当时，二次函数图像开口向上，反比例函数图像在第一、三象限； 当时，二次函数图像开口向下，反比例函数图像在第二、四象限； 综上条件，可判断 选项A，二次函数的对称轴在y轴右侧，不符合题，A项错误； 选项B，二次函数的对称轴在y轴左侧，当时，二次函数图像开口向下，反比例函数图像在第二、四象限，符合题意，B项正确； 选项C，二次函数的对称轴在y轴右侧，不符条件，C项错误； 选项D，二次函数与x轴只有一个交点，不符合题，D项错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数和反比例函数图像的有关性质．熟练掌握二次函数和反比例函数图像的有关性质是解答本题关键． ►题型02 已知反比例函数图象，判断其解析式 13．（2023·重庆渝北·二模）下列各点中，在反比例函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中的特点是解答此题的关键．根据反比例函数中对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，此点不在反比例函数的图象上； B、，此点不在反比例函数的图象上； C、，此点不在反比例函数的图象上； D、，此点在反比例函数的图象上． 故选：D 14．（2023·贵州贵阳·一模）反比例函数（）的图象如图所示，则的值可能是（    ）    A．5 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】根据图象，当时，，则；当时，，则，所以，即可求解． 【详解】解：由图可知：当时，，即，则， 当时，，即，则， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图象性质，关键是要结合函数的图象，掌握反比例函数的性质． 15．（2023·河北沧州·三模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则k的值可能是（    ）    A． B．1 C．3 D．5 【答案】C 【分析】由题意可得：k的取值应该满足，进而可得答案. 【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即， 所以k的值可能是3； 故选：C. 【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据函数图象得出是解题的关键. 16．（22-23九年级上·山东德州·期末）如图，直线与双曲线交于A、B两点．过点A作轴，垂足为M，连结BM．若，则k的值是（    ） A．2 B． C．m D．4 【答案】A 【分析】设A坐标为，根据直线与双曲线的对称性得到点B坐标为，即可得到，根据点A在点第一象限，即可得到． 【详解】解：设点A坐标为，由直线与双曲线的对称性得点A和点B关于原点对称， ∴点B坐标为， ∴， ∵点A在点第一象限， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了反比例函数的几何意义和中心对称性，熟知反比例函数的中心对称性根据点A坐标确定点B的坐标是解题关键． ►题型03 由反比例函数解析式判断其性质 17．（2024·安徽·模拟预测）下列关于反比例函数的说法中，正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．经过点 C．图象关于原点成中心对称 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数图象上点的坐标特征，以及反比例函数，当时，图象分布在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，当时，图象分布在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．据此逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴该反比例函数图形位于二、四象限，故A不正确，不符合题意； ∵， ∴B不正确，不符合题意； 该反比例函数图象关于原点成中心对称，故C正确，符合题意； ∵， ∴在每一象限内，y随x的增大而增大，故D不正确，不符合题意； 故选；C． 18．（2024·广东·模拟预测）对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．y随x的增大而增大 B．图象在第一、三象限 C．图象经过点 D．图象关于直线对称 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，求反比例函数值，根据解析式得到函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，据此可判断A、B；求出时的函数值即可判断C；反比例函数图象关于直线对称，据此可判断D． 【详解】解：对于反比例函数，∵． ∴该函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项A，B错误；把代入中，得， ∴图象不经过点，故选项C错误． 反比例函数的图象关于直线对称，故选项D正确． 故选D． 19．（2024·广东东莞·一模）对于反比例函数，下列结论不正确的是（    ） A．图象必经过点 B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限内 D．图象关于坐标原点中心对称 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，利用排除法求解即可． 【详解】解：A、把代入解析式得，所以点在函数图象上，故本选项正确，不符合题意； B、，∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意； C、，∴函数图象在二、四象限内，故本选项正确，不符合题意； D、反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意． 故选：B． 20．（2023·山西晋城·一模）已知反比例函数，则下列描述正确的是（　　） A．图象位于第一、三象限 B．y随x的增大而增大 C．图象不可能与坐标轴相交 D．图象必经过点 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象性质进行逐项分析即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，∴函数的图象在第二、四象限，故选项A不符合题意； B、∵，∴，在每个象限内，y随x的增大而增大，故选项B不符合题意； C、反比例函数的图象不可能与坐标轴相交，选项C符合题意； D、当时，则，∴函数图象经过点，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，当，反比例函数经过第一、三象限；当，反比例函数经过第二、四象限；难度较小． ►题型04 由反比例函数的性质比较大小 21．（2024·广东东莞·模拟预测）双曲线有两点．其中，则的大小关系为（     ） A． B． C． D．不能确定 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较反比例函数值的大小，根据解析式可得反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，则可得到当时， ，当，，当时，，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∴当时， ， 当，， 当时，， 故选：D． 22．（2024·广东·模拟预测）已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的增减性比较大小，根据反比例函数的性质得到函数（k为常数）的图象分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小，则，． 【详解】解：∵， ∴函数（k为常数）的图像分布在第一、三象限，在每一象限，y随x的增大而减小， ∵， ∴，， ∴． 故选：C． 23．（2024·广东梅州·模拟预测）已知点，，，都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的增减性，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及反比例函数的增减性． 先用待定系数法求出该反比例函数的解析式，再根据反比例函数的增减性，即可解答． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴该反比例函数图象位于二、四象限，再每一象限内，y随x的增大而增大， ∵， ∴点A和点B位于第二象限，第C位于第四象限， ∴， 故选：C． 24．（2024·广东深圳·模拟预测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查反比例函数的图象和性质，反比例函数的图象在一、三象限，根据反比例函数的性质，在每个象限内随的增大而减小对，，对的大小关系做出判断． 【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限， ∴在每个象限内随的增大而减小， ∵点，，在第一象限双曲线上，， ∴． 故选C． ►题型05 已知反比例函数增减性，求参数的取值范围 25．（2024·广东广州·二模）反比例函数 的图像的每一支上，y随着x的减小而增大，那么m的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出，解不等式即可求解． 【详解】解：∵在反比例函数图象的每一支上，都随的减小而增大， ∴反比例函数图象在第一、三象限， ∴， ∴， 故选：B． 26．（2023·湖北·中考真题）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得反比例函数的图象在一三象限，进而可得，解不等式即可求解． 【详解】解：∵当时，有， ∴反比例函数的图象在一三象限， ∴ 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数的图象在一三象限是解题的关键． 27．（2022·广东清远·一模）若点，在反比例函数的图象上，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据反比例函数的性质，分类讨论，列出不等式组即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上，且， 若A、B两点在同一象限，则； 故A、B两点不在同一象限，则点A在第二象限，点B在第四象限， a−1<0<a，解得，0<a<1， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质和一元一次不等式（组），解题关键是熟练运用反比例函数性质列出不等式． 28．（2022·广东佛山·一模）设y1＝，y2＝（k＞1），当2≤x≤4时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a﹣，则ak＝（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数的性质可进行求解． 【详解】解：∵k＞1， ∴， ∴当2≤x≤4时，函数随x的增大而减小，函数随x的增大而增大， ∴当x=2时，有最大值，有最小值， ∴， 解得：， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 命题点三 反比例系数k的几何意义 ►题型01 已知比例系数求特殊图像面积 29．（2024·广东汕头·一模）如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点，则四边形的面积为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键． 延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， 轴， 轴， 点在函数的图象上， ， 轴于点，轴，点在函数的图象上， ， 四边形的面积等于； 故选：C． 30．（2022·广东深圳·模拟预测）如图，已知反比例函数图象上一点A，以原点为位似中心得到第四象限的点B，位似比为，过点B作轴于点C，连接，则的面积为（    ）    A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【分析】根据点A在反比例函数图象上，设，根据位似比为1∶2得，设过点B的反比例函数解析式为：，计算得，可得过点B的反比例函数解析式为：，根据反比例函数中k的几何意义，可得的面积，再算出的面积即可得． 【详解】解：∵点A在反比例函数图象上， ∴设， ∵以原点为位似中心得到第四象限的点B，位似比为1∶2， ∴， 设过点B的反比例函数解析式为：， 则， ∴过点B的反比例函数解析式为：， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了位似比，待定系数法求反比例函数，反比例函数k的几何意义，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 31．（2023·广东揭阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数的图象于点C，连接，则的面积为（　　）    A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】连接，根据图象先证明与的面积相等，再根据题意分别计算出与的面积即可得的面积． 【详解】解：连接，设与y轴交于点D，如图，    ∵反比例函数与函数的图象为中心对称图形， ∴O为的中点， ∴， ∵由题意得A点在上，B点在上， ∴，； ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积公式，解题的关键是熟练的掌握一次函数与反比例函数的交点问题与三角形面积运算． 32．（2022·广东湛江·二模）如图，已知双曲线，，点P为双曲线上的一点，且轴于点A，轴于点B，，分别交双曲线于D，C两点，则的面积是（　　）    A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据，，得出，再利用，，得出，进而求出，即可得出答案． 【详解】作于E，于F，    ∵双曲线，，且轴于点A，轴于点B，，分别交双曲线于D，C两点， ∴矩形的面积为：， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为：． 故选：A 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，解题的关键是利用数形结合思想解答． ►题型02 已知图像面积求反比例函数 33．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，的一条直角边在轴上，双曲线经过斜边的中点，与另一直角边交于点．若，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了反比函数的几何意义，双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作轴，垂足为，根据、在双曲线上得到，再根据点是的中点可推出，，得到，从而得到，最后由，得到，解方程即可． 【详解】过点作轴，垂足为， 由题意可知， 为斜边的中点 为的中位线， ，即，， 中为底时与中为底时等高 双曲线的解析式为，即 ， 由 得： 解得： 故选：A． 34．（2024·广东梅州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数的图象上，点A，B在x轴上，且，交y轴于点C，．若的面积是2，则k的值是（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义的应用，等边三角形的确定、三角形中线平分面积是解题关键．连接，作轴于D，根据三角形中线平分面积求出三角形的面积，再求证出三角形是等边三角形，再利用反比例函数的几何意义求出k即可． 【详解】解：连接，作轴于D， 的面积是2，， 的面积为2， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ∵， ∴， ， ， ， ∵反比例函数的图象位于第一象限， ． 故选：C． 35．（2024·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，过点A作x轴的垂线，垂足为B，连接. 若的面积为2 ， 则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】设，则，结合点A在反比例函数的图象上，的面积为2，得到，，计算即可，本题考查了反比例函数的解析式的计算，正确理解三角形的面积与的关系是解题的关键． 【详解】设， 则， ∵点A在反比例函数的图象上，的面积为2， ∴，， 解得， 故选D． 36．（2024·安徽池州·二模）如图，反比例函数的图象上有A，两点，过点作轴于点，交于点．若，的面积为2，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义．解决问题的关键是运用数形结合的思想方法进行求解．作轴于点E，轴于点F，轴于点G，设点，，则点，根据点B的坐标可得，根据，可得点A坐标为，根据的面积为2，可得，而，用含a，b的代数式代入即可求出，从而得到k的值． 【详解】解：作轴于点E，轴于点F，轴于点G，如图所示： 设点，，则点， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A坐标为， ∵，且， ∴， ∵ ， 即， ∴， ∴． 故选：B． 命题点四 反比例函数与一次函数综合 ►题型01 一次函数图象与反比例函数图象综合 37．（2024·广东广州·二模）在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象等知识，分和两种情况讨论即可．灵活应用反比例函数及一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当时，函数的图象经过一、二、三象限，反比例函数的图象分布在一、三象限，选项A符合题意； 当时，函数的图象经过一、二、四象限，反比例函数的图象分布在二、四象限，没有正确选项． 故选：A． 38．（2024·广东珠海·三模）已知二次函数的图象如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象大致是（    ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象开口方向与对称轴判断出的正负情况，再根据二次函数图象与轴的交点判断出的正负情况，然后根据一次函数图象与系数的关系，反比例函数图象与系数的关系判断出两图象的大致情况即可得解． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴， ， 二次函数图象与轴交于正半轴， ， 一次函数过第一、三、四象限，反比例函数位于第一、三、象限， 纵观各选项，只有B选项符合． 故选：B． 39．（2024·广东广州·二模）定义新运算：例如 ，则的大致图象是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查定义新运算，一次函数与反比例函数的图象，根据新运算的法则，列出关系式，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴当时，函数图象是过原点的向上的直线，当时，函数图象是过第三象限的双曲线； 故符合题意的是：C 40．（2024·天津红桥·一模）已知一次函数(k， m为常数， 的图象如图所示，则二次函数 和反比例函数 在同一坐标系中的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象分布，反比例函数图象的分布，熟练掌握图象分布与k，m的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数图象经过一、二、四象限， ∴， ∴二次函数 的开口向下，顶点在y轴的正半轴；反比例函数的图象位于二、四象限， 符合的图象为A， 故选A． ►题型02 一次函数与反比例函数交点问题 41．（2024·广东河源·二模）已知一次函数和反比例函数，当时，的取值范围为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象与性质、根据一次函数和反比例函数的交点求不等式的解集，先求出一次函数和反比例函数的交点横坐标，根据函数图象分析得出答案即可，熟练掌握根据一次函数和反比例函数的交点求不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数和反比例函数， ∴时，， 整理得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，， 如图，画出图象观察分析， ∴当时，的取值范围为或， 故选：A． 42．（2024·广东深圳·一模）一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，则不等式的解集是（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与反比例函数图象的交点问题，先求出点坐标，再画出函数图象，根据函数图象得到一次函数图象在反比例函数的图象上方时的取值即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象过点，， ∴， ∴， ∴， 画出函数图象如下： 由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数的图象上方时，的取值范围是或， ∴不等式的解集是或， 故选：． 43．（2024·广东汕头·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为，当时，x的取值范围是（    ）    A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题．根据不等式与函数图象的关系，当时，的取值范围是指反比例函数在一次函数下方图象对应的的取值范围，数形结合即可得到答案． 【详解】解：由图可知，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点的横坐标为1，点的横坐标为， 当或时，有反比例函数图象在一次函数图象下方， 即当时，的取值范围是或， 故选：C． 44．（2024·广东广州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，不等式的解集，即为一次函数的图象在反比例函数的图象上方时的自变量的取值范围． 【详解】解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， 由图象可知，关于x的不等式的解集是：或， 故选：C． ►题型03 一次函数与反比例函数综合应用 45．（2024·广东东莞·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点与点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)若动点是第二象限内双曲线上的点（不与点重合），过点作轴的平行线交直线于点，连接，，，，若的面积等于的面积的三分之一，则点的横坐标为 ． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）由反比例函数解析式求出点、的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数的表达式； （2）根据图象即可求得； （3）先求得的面积，设点的坐标为，，则，用表示出的面积，从而列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：点与点在反比例函数的图象上， ， ， ，， 一次函数的图象经过点、， ，解得， 一次函数的表达式为； （2）观察图象可知，不等式的解集为或； （3）在直线中，令，则， ， ， 设点的坐标为，，则，如图，连接，，，， ，点到直线的距离为， 的面积等于的面积的三分之一， 的面积， 整理得：或， 解得：或， 又 或， 点的横坐标为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积．本题属于中考常考题型． 46．（2023·广东潮州·二模）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，，一次函数图象与y轴的交于点C，与x轴交于点D． (1)求一次函数的解析式； (2)对于反比例函数，当时，写出x的取值范围； (3)点P是第三象限内反比例图象上的一点，若点P满足S△BDP＝S△ODA，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查二次函数性质，一次函数性质，图形的面积等，解题的关键在于利用反比例函数得出交点坐标，从而求出一次函数解析式，以及懂得观察图象，获取图象信息，从而得到自变量的取值范围，以及利用割补法求面积． （1）利用反比例函数求出交点A、点B的坐标分别为，，再利用待定系数法即可求出一次函数的解析式． （2）当时，即为B点右侧图象，观察图象，从而得出此段图象对应的自变量的取值范围为． （3）先求出的面积为1，从而确定的面积为，再通过点P的不同的位置，设点P的坐标为，根据图形面积列出方程，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，点A、B的横坐标分别为1，﹣2； ∴A，B； 把A、B的坐标代入得； 解得； ∴一次函数的解析式为． （2）∵； 由图象可知，当时，． （3）∵一次函数为； ∴D； ∵A， ∴； ∴， 设点P的坐标为： ，； ∴，； 当P在直线下方时，如图1，则； ； 解得； ∴点P． 当P在直线AB的上方时，如图2，则； ； 解得； ∴点P； 综上可得：点P的坐标为： 或 ． 47．（2021·广东江门·三模）如图，菱形的边在x轴上，点A的坐标为，点在反比例函数的图象上，直线经过点C，与y轴交于点E，与x轴交于点M，连接、． (1)求k、b的值； (2)求的面积； (3)在x轴上取点P，求出使取得最大值时点P的坐标． 【答案】(1)k的值为16，b的值为； (2)的面积为6 (3)点P的坐标为 【分析】（1）将点代入反比例函数，利用待定系数法即可求出k的值；根据坐标两点的公式，求得，再根据菱形的性质，得到，，进而得到，将代入，利用待定系数法即可求出b的值； （2）先求出直线与坐标轴的交点坐标和，再求出 ，，即可得到的面积； （3）作关于x轴的对称点，连接，连接并延长交轴于，连接，根据坐标两点的公式，求得，再根据轴对称的性质，得到，进而得到，即当P、、C不构成三角形，即P、、C共线时，取最大值，此时P与重合，利用待定系数法求出直线的解析式为，令，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 解得：； 点A的坐标为，点D的坐标为， ， 四边形是菱形， ，， 轴， ， 将代入，得：， 解得：， 的值为16，b的值为； （2）解：由（1）知，直线解析式为， 令，则，令，则，解得：， ，， ， 点A的坐标为， ， ， ，， ； 的面积为6； （3）解：如图，作关于x轴的对称点，连接，连接并延长交轴于，连接， ，， ， 、关于轴对称， ， ， 当P、、C构成三角形时，，即， 当P、、C不构成三角形，即P、、C共线时，取最大值，此时P与重合， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， 令，则，解得：， ， 取得最大值时，点P的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，代行系数法求函数解析式，坐标两点的公式，菱形的性质，三角形面积问题，轴对称的性质等知识，灵活运用相关知识点解决问题是解题关键． 48．（2023·广东广州·二模）如图，双曲线与直线交于点、，与两坐标轴分别交于点，已知点，连接．    (1)求的面积； (2)作直线，将直线向上平移个单位后，与双曲线有唯一交点，求的值． 【答案】(1)17.5 (2) 【分析】（1）将点代入直线和双曲线，即可求得直线和双曲线的解析式；由图形可得面积为和面积的和，分别求得和的面积即可求解； （2）先求得直线解析式，根据平移法则求得平移后的直线解析式，联立双曲线，得到一元二次方程，令，即可求解． 【详解】（1）解：将代入直线得： ，解得 将代入双曲线得： ，解得 将代入直线得，，即 将代入直线得，，即 ∴ ， 由图像可得 （2）解：设直线解析式为，将、代入，得： ，解得 ∴直线解析式为 直线向上平移个单位，则，联立双曲线得： ，化简得 ∵与双曲线有唯一交点 ∴ 解得 又∵ ∴ 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的综合应用、涉及了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 命题点五 反比例函数的实际应用 ►题型01 反比例与实际问题 49．（2023·广东阳江·一模）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图，已知石头的重力（阻力）为，阻力臂为． (1)求动力F与动力臂l的函数关系式． (2)小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他最多能使出的力，问他用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为多少？ 【答案】(1)动力F与动力臂l的函数关系式为 (2)小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为 【分析】本题考查了列代数式，理解成反比例关系的定义是解题关键．根据阻力×阻力臂=动力×动力臂求解即可得到结论． 【详解】（1）依题意，得． ∴． 答：动力F与动力臂l的函数关系式为． （2）当时， 解得． ∵小华最多能使出的力， ∴． 答：小华用撬棍撬起这块石头时的动力臂长度最短为． 50．（2024·广东广州·三模）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求一次函数和反比例函数的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？ 【答案】(1)一次函数解析式为，反比例函数的解析式为； (2)从消毒开始，至少在分钟内，师生不能待在教室． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）把分别代入（）中所得的函数解析式，求出的值，再结合函数图象解答即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的应用，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 设正比例函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：由可得，当时，， 由可得，当时，， 由函数图象可得，当时，， ∵， ∴从消毒开始，至少在分钟内，师生不能待在教室． 51．（2024·广东佛山·三模）某二手车管理站，用一种一氧化碳（）检测仪测量二手家用汽油小轿车尾气中一氧化碳的含量，这种检测仪的电路图如图1所示，其工作原理为：当尾气中一氧化碳的浓度增加，气敏电阻的阻值变小，电流随之增大，即所显示的一氧化碳含量就越高．已知气敏电阻的阻值随着尾气中一氧化碳的含量变化的关系图象如图2所示，为定值电阻，电源电压恒定不变． (1)请根据图2，判断气敏电阻与尾气中一氧化碳的含量之间成　　　函数，并求出它的函数解析式； (2)该管理站对家用汽油小轿车尾气中一氧化碳检测数据的标准要求为不高于．若某辆小轿车的尾气检测阻值为，则该小轿车尾气中一氧化碳的含量是否达到标准？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数， (2)该小轿车尾气中一氧化碳的含量没有达到标准 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象和性质是关键． （1）根据图像上点的坐标可判断函数类型，从而得到解析式； （2）将代入函数解析式求得，比较即可得出结论即可； 【详解】（1）解：由图2可知，图象上的点有， ∴，即， ∴与之间成反比例函数，解析式为：． 故答案为：反比例函数，． （2）将代入函数解析式得：，解得， ∴该小轿车尾气中一氧化碳的含量是， ∵， ∴该小较车尾气中一氧，化碳的含量没有达到标准． 52．（2024·广东江门·三模）综合与实践 如图，某校数学兴趣小组取一根长为的匀质木杆，把细绳绑在木杆的中点处并将其吊起．在中点左侧距离中点处挂一个重的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．改变弹簧秤与中点的距离（单位：），观察弹簧秤的示数（单位：）有什么变化，得到下表： 5 10 15 20 25 30 35 40 16 指导老师发现其中有一组数据明显是错误的． (1)当 时，所对应的的值明显是错误的； (2)写出与之间的函数关系式，并求当弹簧秤的示数是时，弹簧秤与中点之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，理解题目中数量的关系，掌握反比例函数的计算是解题的关键． （1）根据表格信息，结合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”即可求解； （2）根据杠杆原理，把代入即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴当时，对应的的值错误； 故答案为：； （2）解：根据题意，， ∴， 当时，（）， ∴弹簧秤的示数 是时，弹簧秤与中点 之间的距离  ． ►题型02 反比例与几何问题 53．（2024·广东广州·一模）如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在，或或 【分析】本题考查了反比例函数综合应用，熟练掌握平行四边形的存在性求法是解答本题的关键． （1）利用三角形全等求出点坐标，由点坐标求出反比例函数解析式即可； （2）根据点为定点，分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时即可． 【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为， 是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：； （2）解：存在，理由如下： 根据（1）中求点坐标，同理可得点坐标， 设直线解析式为， 代入点坐标得：， 解得：， 直线解析式为：， 设， ， 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 综上所述，符合条件的点有3个，坐标为或或． 54．（2024·广东东莞·三模）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．（其中均为坐标原点） 【数学理解】 (1)①已知点，则______，②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，则点的坐标是__________； (2)函数的图象如图②所示，求证：该函数的图象上不存在点，使． (3)函数的图象如图③所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标． 【答案】(1)①3；② (2)证明过程见详解 (3) 【分析】本题主要考查定义新运算，一次函数图象的性质，反比例函数的性质，二次函数图象的性质，掌握以上图象的性质，两点之间距离的计算方法是，根与系数的关系，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）①根据材料提示即可求解；②根据题意，设，结合材料提示进行计算即可求解； （2）根据题意，设，可得的表达式，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解； （3）根据根的判别式可得二次函数在轴上方，即恒大于零，结合材料表示出的式子，结合二次函数最值的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：①根据材料提示得，； ②， 设， ∴， ∴， 解得，， ∴； 故答案为：； （2）证明：设， ∴， ∴，整理得，， ∴， ∴原方程无解， ∴反比例函数的图象上不存在点，使得； （3）解：二次函数， ∴， ∴二次函数与轴无交点， ∵点在二次函数图象上， ∴设， ∴，整理得，， ∴当时，的最小值为， ∴． 55．（2024·广东东莞·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线交双曲线于点，C，线段都垂直于x轴，． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)在第一象限内，根据图象直接写出当x取何值时，； (3)在直线上找一点P，连接，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为，双曲线的解析式为 (2)在第一象限内当时， (3)点P的坐标是或 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进一步求得点的坐标，然后把、点的坐标代入即可求得直线的解析式； （2）根据图象求得即可； （3）设，分两种情况讨论，根据题意列出关于的方程，解方程即可求得点的坐标． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，三角形的面积，数形结合、分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】（1）解： 双曲线过点， ， 双曲线的解析式为， 点，线段，都垂直于轴，， 点的横坐标为6， 把代入解得， ， 把、点的坐标代入得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：观察图象可知，在第一象限内当时，； （3）解：设， ，， ，，，， 当点在的左侧时， ， ， ， ，解得， 此时， 当点在的右侧时， ，， ， ，解得， 此时， 综上，点的坐标是或． 56．（2024·广东揭阳·三模）如图，反比例函数 的图象与直线交于和，该函数关于x轴对称后的图象经过点． (1)求和的解析式及m值； (2)点M是x轴上一动点，求当取得最大值时M的坐标． 【答案】(1)；， (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质： （1）将点A代入即可求函数解析；将点B代入，求出B点坐标，再将A点、B点坐标代入，可求一次函数的解析式；求出点代入，可求m的值； （2）射线交x轴于点M，连接，此时有最大值，求出与x轴的交点即为所求点． 【详解】（1）解：（1）∵图象过点， ∴， ∴； 把点代入， ∴， ∴， ∵过点A，B， ∴把和代入得， ， 解得， ∴， ∵关于x轴对称点在图象上， ∴； （2）解：由（1）得，，，点C关于x轴的对称点为，射线交x轴于点M，连接， ∴， ∴，此时有最大值， 设的解析式为， 把，分别代入中， ， ∴， ∴的解析式为， 令，则， ∴当最大时M的坐标为． 基础巩固 1、 单选题 1．（2023·广东阳江·一模）点在反比例函数的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值，即，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．先利用反比例函数的图象经过点，求出的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：∵过点， ∴， A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意； D．，故不符合题意； 故选：A． 2．（2024·广东·模拟预测）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（    ） A．不大于 B．不小于 C．不大于 D．不小于 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，求反比例函数的解析式，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解反比例函数解析式的方法和步骤，设该反比例函数的解析式为，把代入求出，得出该反比例函数的解析式为，再把代入求出，根据反比例函数的增减性，即可解答． 【详解】解：设该反比例函数的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴该反比例函数的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∵， ∴在第一象限内，p随V的增大而减小， ∴为了安全起见，气球的体积应不大于， 故选：A． 3．（2024·广东·模拟预测）已知点在反比例函数（）的图像上，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图像及增减性，当时，反比例函数的图像位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此即可解答． 【详解】解：∵当时，反比例函数的图像位于第二、四象限， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点在反比例函数（）的图像上， 又， ∴． 故选：C 4．（2024·广东揭阳·二模）如果四点，和和在反比例函数的图象上，那，，之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据反比例函数图象上的点的横纵坐标之积相等，求出各点纵坐标，比较大小即可． 【详解】解：，和和在反比例函数的图象上， ， ，，， ， 故选A． 5．（2024·广东江门·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图像所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．此题考查的是反比例函数图像上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴此函数图像在一、三象限，在每个象限内x随y的增大而减小， ∵， ∴点，在第一象限， ∴， ∵， ∴点点在第三象限， ∴， ∴． 故选：B． 6．（2024·广东佛山·二模）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则它的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的应用，直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可． 【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力和阻力臂分别是和， ∴动力F和动力臂l之间的函数解析式为， 则，是反比例函数， 又∵动力臂， 故选：B． 7．（2024·广东汕头·二模）如图，点，分别在反比例函数和的图象上，分别过，两点向轴，轴作垂线，形成的阴影部分的面积为7，则的值为（    ） A．6 B．7 C．5 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握几何意义求出反比例函数k值是解题的关键；点A、B分别在反比例函数和图象上，分别过A、B两点向x轴，y轴作垂线，利用几何意义，表示出，，再利用阴影部分的面积为7，得出，由此解出k即可． 【详解】如图所示： 点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴， 四边形和为矩形， 点A、B在第一象限， ， 根据反比例函数比例系数的几何意义，得： ，， 阴影部分的面积为7， ， ， 解得：． 故选：C． 8．（2022·山西大同·三模）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流．与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）    A．当时， B．I与R的函数关系式是 C．当时， D．当时，I的取值范围是 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论． 【详解】解：设I与R的函数关系式是， ∵该图象经过点， ∴， ∴， ∴I与R的函数关系式是，故选项B不符合题意； 当时，，当时，， ∵反比例函数I随R的增大而减小， 当时，，当时，，故选项A，C不符合题意； ∵时，，当时，， ∴当时，I的取值范围是，故D符合题意． 故选：D． 二、填空题 9．（2024·广东清远·模拟预测）你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，当横截面积为时，面条的总长度为，请写出y与s的函数关系式 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设y与x的函数关系式为，把代入求解即可． 【详解】解：设y与x的函数关系式为． 将代入上式， 解得：， ∴． 故答案为：． 10．（2024·广东惠州·三模）对于双曲线，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为 ； 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的单调性结合反比例函数的性质，即可得出反比例函数系数的正负，由此即可得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】由题意得：， 解得： 故答案为：． 11．（2024·广东中山·三模）在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率与做功所用的时间成反比例函数关系，图象如图所示，当时， ． 【答案】1200 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，关键是正确掌握反比例函数的图像和性质． 首先设，再把代入可求得k的值，进而可得解析式；再把代入函数解析式求解即可． 【详解】设， ∵图像经过点， ∴，解得， ∴ 把代入可得． 故答案为：1200． 12．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，的边在轴上，反比例函数的图象经过点，与边交于点，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．作轴，垂足为，轴，垂足为，连接，由条件可知，根据反比例函数值几何意义可得，代入数据计算即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为，轴，垂足为，连接， ，， ， 由反比例函数值的几何意义可知： ， 设，则， ， ， 解得：． 故答案为：． 三、解答题 13．（2024·广东广州·二模）一艘载满货物的轮船到达南沙港码头后开始卸货．平均卸货速度y（单位：吨/天）与卸货天数t是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求y与t之间的函数解析式； (2)南沙港码头收到气象部门的紧急通知，在某海域形成新的台风，预计7天后影响码头卸货，因此要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 【答案】(1) (2)平均每天至少要卸载48吨． 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解题关键． （1）直接利用待定系数法确定函数关系式，进而得出答案； （2）直接利用（1）中函数解析式，将代入，进而得出答案． 【详解】（1）解： 与是反比例函数关系， 设， 图象过点， ， 与之间的函数解析式为：； （2）解：当时，， 当时，随的增大而减小， 当时，， 答：平均每天至少要卸载48吨． 14．（2023·广东清远·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点D，与y轴交于点B，与x轴交于点C．        (1)求m的值以及点D坐标； (2)P为x轴上的一动点，的面积6时，求P点坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题． （1）把点A的坐标代入一次函数的解析式求出m，联立方程组求 D点坐标； （2）根据题意得出B ，C点的坐标，根据面积6，求得的长，设P点坐标为，故，解得或．进而得出结论． 【详解】（1）解：把点代入，得．     联立， 得． （2）易知，，， 则．     设P点坐标为，故， 解得或．     所以P点坐标为或． 能力提升 一、单选题 1．（2024·广东广州·模拟预测）已知点与点分别在反比例函数与的图像上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，过点作轴，过点作轴，根据值的几何意义，得到，，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值，即可． 【详解】解：过点作轴，过点作轴，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点与点分别在反比例函数与的图像上， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 2．（2024·广东·模拟预测）关于反比例函数，下列说法错误的是（    ） A．反比例函数图象经过点 B．当时， C．该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D．若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象特征，熟悉掌握反比例函数的图象性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象特征逐一判断即可． 【详解】解：将代入反比例函数表达式中，得，A选项正确，不符合题意； 当时，， 函数在第一象限， ∴ ∴，B选项正确，不符合题意； ∵无解， ∴反比例函数与函数的图象没有交点，C选项正确，不符合题意； ∵反比例函数图象关于原点中心对称， ∴当点在该反比例函数的图象上时，点，在其图象上， ∴点不在其图象上，D选项错误，符合题意． 故选：D． 3．（2023·广东清远·一模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线，垂足分别为，延长线段交轴于点，若，，点的坐标为，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用，解题的关键是数形结合． 根据点的坐标为和，得出，，再根据三角形的面积公式即可求解； 【详解】解：点的坐标为， ， ． ， 分别垂直于轴， ，， ， 解得：， ∴点的坐标为． 故选：C． 4．（2024·广东东莞·模拟预测）如图，点A、B在x轴上，分别以，为边，在x轴上方作正方形，．反比例函数的图象分别交边，于点P，Q．作轴于点M，轴于点N．若，Q为的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为（     ） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】C 【分析】设，则，从而可得、，由正方形的性质可得，由轴，点P在上，可得，由于Q为的中点，轴，可得，则，由于点Q在反比例函数的图象上可得，根据阴影部分为矩形，且长为，宽为a，面积为6，从而可得，即可求解． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵Q为的中点， ∴， ∴， ∵Q在反比例函数的图象上， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵P在上， ∴P点纵坐标为， ∵P点在反比例函数的图象上， ∴P点横坐标为， ∴， 设、交于点H， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形得判定及其面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键． 5．（2024·广东佛山·模拟预测）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上， 点A，点C在反比例函数，若直线BC的函数表达式为，则反比例函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论． 【详解】解：在中，令，则， 令，则， ，， ，， 过作轴于，过作轴于， 四边形是正方形， ，， ， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ∴， ， 设，， ，， ，， 点，点在反比例函数图象上， ， ，（不合题意舍去）， ， ， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（2024·广东广州·三模）如图，为双曲线上一点，过点作轴、轴的垂线，分别交直线于、两点，若直线与轴交于点，与轴交于点，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用，熟练掌握一次函数及反比例函数的性质是解题关键．过点作轴于点，过点作轴于点，首先求得两点坐标，进而可知、长度，利用三角函数解得，；设点坐标为，可知，再在与中计算、的长度，最后计算的值即可． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图， 对于直线，令，解得， 令，解得， ∴点，， ∴，， ∴， ∴，， 设点坐标为， 则有， ∴， 根据题意，点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵轴，轴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题 7．（2024·广东广州·模拟预测）一次函数与反比例函数有且仅有一个交点，则的值为 ． 【答案】12 【分析】该题主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一元二次方程根判别式等知识点，解题的关键是理解题意． 联立一次函数与反比例函数解析式，根据题意得出，即可求解； 【详解】解：将代入得， 整理得， ∵反比例函数与一次函数的图象有且只有一个交点， ， 或0（舍去）， 故答案是：12． 8．（2023·广东清远·二模）已知和是同一个反比例函数图象上的两个点，C是x轴上的一点，当时，点C的坐标为 ． 【答案】或/或 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，三角形相似的判定和性质，先根据反比例函数的性质求出，得出，，设点C的坐标为，分两种情况进行讨论：当点C在x轴的负半轴上时，当点C在x轴的正半轴上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵和是同一个反比例函数图象上的两个点， ∴， 解得：， ∴，， ∵， ∴， 设点C的坐标为， 当点C在x轴的负半轴上时，过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，如图所示： 则，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴此时点C的坐标为； 当点C在x轴的正半轴上时，过点A作轴于点E，过点B作轴于点D，如图所示： 则，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴此时点C的坐标为； 综上分析可知：点C的坐标为：或． 故答案为：或． 9．（2024·广东东莞·模拟预测）如图1是电压为定值的蓄电池，使用该蓄电池时，电流I(单位：) 与电阻R(单位：) 是反比例函数关系，它的图象如图2所示，如果以该蓄电池为电源的电器限制电流不超过， 那么用电器可变电阻 R 应控制的范围是 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确求出是解题的关键．设电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系为，利用待定系数求出，再求出当，，最后根据反比例函数的增减性进行求解即可． 【详解】解：设电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系为， 把点代入中得，， ∴， ∴， 当时，，解得， ∵， ∴电流I随电阻R的增大而减小， ∴限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是， 故答案为：． 10．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，等边和菱形的边、都在x轴上，反比例函数的图象经过点C．已知的面积为，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义、菱形的性质、等边三角形的性质，连接，根据等边三角形及菱形得到是菱形，结合反比例函数k的几何意义列式求解即可得到答案； 【详解】解：连接， ， ∵等边和菱形的边、都在x轴上， ∴，，轴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．（2023·广东深圳·三模）如图，点B在反比例函数的图象上，连接，将绕B点顺时针旋转得到，且，交y轴于点C，若，的面积为，则k的值为 ． 【答案】18 【分析】本题以反比例函数为背景考查了反比例函数系数k的几何意义，过点B作轴于点M，作垂直y轴，交延长线于点N，根据，的面积为，求出的面积，进而求得和的面积之和．通过证得，得出两三角形面积之比，求出的面积值，根据反比例函数中k的几何意义求出k的值． 【详解】解：过点B作轴于点M，作垂直y轴，交延长线于点N，则四边形是矩形， ∵，的面积为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，， ， ∵点B在反比例函数上， ∴． 故答案为：18． 三、解答题 12．（2024·广东·模拟预测）如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连接，． (1)求k的值． (2)x轴上是否存在一点E，使为等腰三角形?若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10 (2)存在，或或或或 【分析】此题是一道反比例函数综合题，涉及待定系数法，一次函数与反比例函数的交点问题，解一元二次方程； （1）先求出，再根据求出点坐标，最后代入计算即可； （2）先求出，，再设，根据为等腰三角形列方程求解即可． 【详解】（1）对于，当时，． ∴， ∴， 设点B的横坐标为t，则 ∵， ∴， 解得． ∴， 把代入中，得 ∴． （2）由（1）得，则反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴，． 设，则 ，，． ①若，即， ∴， 解得． 此时点E的坐标为．· ②若，即， ∴， 解得， 此时点E的坐标为或， ③若，即， ∴， 解得， 此时点E的坐标为或， 综上所述，x轴上存在一点或或或或，使为等腰三角形． 13．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于， 两点，与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)若点是线段的中点，连接，求的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，直角三角形斜边上的中线定理及正切的定义，解题的关键是掌握相关知识． （1）先根据反比例函数求出点的坐标，再利用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数的解析式求出点、的 坐 标 ，进 而 得 到 ，，然后根据直角三角形的斜边中线定理可得，进而得到，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图像经过点， ，即．     一次函数的图像经过点，， ， 解得，    一次函数的解析式为； （2）如图，连接， ，分别是直线与轴，轴的交点， 令，则，令，则，解得：， ，， ，， ，点是线段的中点， ， ，   ． 14．（2024·广东广州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点．    (1)求此反比例函数的表达式及点的坐标； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)在轴上存在点，使得的周长最小，求点的坐标并直接写出的周长． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，点的坐标为 (2)或 (3) 【分析】（1）由点在一次函数图象上即可求出值，从而得出点的坐标，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数的关系式，再联立直线与反比例函数关系式成方程组，解方程组即可求出点的坐标； （2）观察函数图象，结合反比例函数的对称性，根据函数图象的上下位置关系即可找出不等式的解集； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，则的周长最小，根据点的坐标即可得出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的函数关系式，令其求出值即可得出点的坐标，再利用勾股定理求得线段的长度即可求出的周长． 【详解】（1）解：点在一次函数的图象上， ， 点的坐标为． 点在反比例函数为常数且的图象上， ， 反比例函数的表达式为． 联立直线与反比例函数的表达式，得：， 解得：或， 点的坐标为． （2）解：∵， ∴， ∴观察函数图象可知：当或时，一次函数的图象在（为常数且）的图象的下方， ∴时，的取值范围为：或． （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，则的周长最小，如图所示．   点， 点． 设直线的表达式为， 则，解得：， 直线的表达式为． 令中，令，则， 点的坐标为． ，，． ，， 的周长． 【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，函数与不等式的关系，已知两点求距离，轴对称最短路线问题，求得函数的解析式是解题的关键． 15．（2024·广东惠州·模拟预测）定义运算：，当时 ，； 当时 ，．例如：；根据以上材料，解决下列问题． (1) ； (2)若，求x的取值范围． (3)如图和在同一平面直角坐标系中，当，结合图象，直接写出x 的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，新定义，二次根式比较大小，解一元一次不等式： （1）关键二次根式比较大小的方法得到，再根据新定义即可得到答案； （2）根据新定义可得，解不等式即可得到答案； （3）根据新定义得到，据此根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方或二者的交点处时，自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 由函数图象可知，当或时，一次函数图象在反比例函数图象上方或二者的交点处， ∴当时，或． $$