精品解析：河北省衡水市阜城县2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024—2025学年度第一学期期末教学质量检测 九年级数学（R） 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 3. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的弦，，，则的直径等于（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，= ，DE∥BC，若ΔADE的面积为6，则ΔABC的面积等于（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 54 6. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，则点A到BC的距离（　　） A. B. C. D. 9. 用一个圆心角为（为常数，）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为，所作的圆锥的底面圆的周长为，侧面积为，当在一定范围内变化时，与都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（ ） A. 一次函数关系，一次函数关系 B. 二次函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 二次函数关系，一次函数关系 10. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：；②；③；（m为任意实数）；．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④⑤ 12. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.） 13. “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是________． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，若的面积是2，则k的值是______． 15. 如图，将二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分不变，即得到的图像．根据图像，若关于x的方程有四个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________． 16. 如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 _____． 三、解答题（本大题8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：． （2）计算：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（2，1）、O（0，0）、B（1，﹣2）． （1）△AOB向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的△A1O1B1； （2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2，使它与△AOB的相似比为2：1； （3）若△A2OB2与△A1O1B1是关于某一点Q为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标． 19. 两个质地均匀的正方体M和N，正方体M的六个面分别标有数字“0”，“1”，“2”，“3”，“4”，“5；正方体N的六个面分别标有数字“0”，“1”，“2”，“6”，“7”，“8”．掷小正方体后，观察朝上一面的数字． （1）掷一次正方体M时，出现奇数的概率是多少； （2）如果先掷一次正方体M，再掷一次正方体N得到两个数字，如先后掷到“0”和“1”记为，可表示某月的日；先后掷到“5”和“8”记为，不能表示某月的日期．求先后各掷一次正方体M和正方体N，得到的两个数字能组成一月的一个日期的概率． 20. 如图所示，直线与反比例函数的图象交于点，，与坐标轴交于A、B两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）观察图象，当时，直接写出不等式的解集； （3）连接，求三角形的面积． 21. 如图，为的直径，C为上一点，的切线交的延长线于点D，E为的中点，连接并延长，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 22. 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． （1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标； （3）若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 23. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． （1）当时，求抛物线的对称轴； （2）若抛物线经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； （3）当时，点，在抛物线上．若，请直接写出m的取值范围． 24. 对于在平面直角坐标系中和外的点P，给出如下定义：已知的半径为1，若上存在点Q，满足，则称点P为的关联点． （1）如图，若点T的坐标为， ①在点，，中，是的关联点的是______； ②直线分别交x轴，y轴于点A，B，若线段AB存在的关联点，求b的取值范围； （2）已知点，，，上的每一个点都是的关联点，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期末教学质量检测 九年级数学（R） 一、选择题（本大题有12个小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：在圆、正六边形、平行四边形、等边三角形这四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的图形有圆、正六边形，共两个． 故选：B． 2. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，将方程化为标准形式后因式分解，利用零乘积性质求解即可． 【详解】解：∵, ∴, ∴, ∴或, ∴方程的根为,． 故选：A． 3. 把抛物线向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数图象与几何变换，解题关键是熟练掌握二次函数图象平移规律． 二次函数图象平移规律：（横坐标）左加右减，（纵坐标）上加下减．根据此规律即可求得新解析式． 【详解】解：依题得：抛物线向左平移个单位长度可得：； 再向上平移个单位长度可得， 故选：． 4. 如图，是的弦，，，则的直径等于（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】作直径，连接，根据圆周角定理得到，，根据直角三角形的性质解答． 【详解】解：作直径，连接， 由圆周角定理得，，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理及其推论是解题的关键． 5. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，= ，DE∥BC，若ΔADE的面积为6，则ΔABC的面积等于（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 54 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理可得ΔADE~ΔABC，利用其性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出ΔABC的面积． 【详解】， ， ， ， ， ， ， 故答案选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 6. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 7. 如图是由个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，左视图每一列的小正方体个数，由该方向上的小正方体个数最多的那个来确定，通过观察即可得出结论．掌握几何体三种视图之间的关系是解题的关键． 【详解】解：通过左边看可以确定出左视图一共有列，每列上小正方体个数从左往右分别为、、． 故选：D． 8. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，测得，则点A到BC的距离（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点A作，垂足为D，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点A作，垂足为D， 在中，， ∴， ∴点A到的距离为， 故选：A． 9. 用一个圆心角为（为常数，）的扇形作圆锥的侧面，记扇形的半径为，所作的圆锥的底面圆的周长为，侧面积为，当在一定范围内变化时，与都随的变化而变化，则与与满足的函数关系分别是（ ） A. 一次函数关系，一次函数关系 B. 二次函数关系，二次函数关系 C. 一次函数关系，二次函数关系 D. 二次函数关系，一次函数关系 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数、二次函数的定义以及弧长、扇形面积的计算，根据弧长公式，扇形面积的计算公式得出与，与的函数关系式，再根据一次函数、二次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：圆锥的底面圆的周长为，即扇形的弧长； 圆锥的侧面积，即扇形的面积， 所以是的一次函数，是的二次函数， 故选：C． 10. 如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为，则该半圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接、、，证明，得出，设，则，根据勾股定理求出，列出关于a的方程，求出即可． 【详解】解：连接、、，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵在和中， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得： ， ∵小正方形的面积为， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍去），， ， 即该半圆的半径为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 11. 如图，已知二次函数（a，b，c是常数）的图象关于直线对称，则下列五个结论：；②；③；（m为任意实数）；．其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③⑤ C. ①②④⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据对称轴及a与b的符号关系可得，则可判断①②，由对称轴是直线，且与x轴交点到对称轴距离大于1，小于2，当时，可判断③；由当时，函数有最大值，可判断④；由及，可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， 抛物线的对称轴在负半轴， ， ， ，故①正确． 即，故②正确． 抛物线的对称轴为直线，且时，函数值小于零， 与x轴交点到对称轴距离大于1，小于2， 当时，函数值小于零， 即，故③正确． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大， 当时，， 当时，， ， 所以，故④正确． 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 则， ， 所以，故⑤正确． 综上所述：正确的有 故选：D． 12. 如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C错误； 过点E作于G，于H， ∵平分，，， ∴ ∴，故D正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分.） 13. “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， 由题意得：， 在中， ， ∴， 即水的最大深度为， 故答案为：． 14. 如图，点A在反比例函数的图象上，轴于点B，若的面积是2，则k的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，反比例函数图象上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积是.根据反比例函数比例系数的几何意义，即可得到，计算出来即可． 【详解】解：根据题意可知：， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，将二次函数的图像在x轴下方的部分沿x轴翻折，图像的其余部分不变，即得到的图像．根据图像，若关于x的方程有四个不相等的实数根，则k的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】把关于的方程有四个不相等的实数根转化为图象的交点，利用数形结合的思想解答即可． 【详解】解：若关于的方程有四个不相等的实数根，则函数的图象与的图象有四个交点，如图： 由函数图象可知，的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，关键是数形结合思想的应用． 16. 如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】设PQ与AC交点为O，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线，然后根据和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出，得到PQ的最小值． 【详解】解：设PQ与AC交点为O， ∵∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4， ∴BC＝＝2， ∵四边形APCQ是平行四边形， ∴PO＝QO，CO＝AO， ∵PQ最短也就是PO最短， ∴过O作BC的垂线， ∵，， ∴△CAB∽△， ∴， ∴， ∴＝， ∴则PQ的最小值为2＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作垂线段，构建相似三角形． 三、解答题（本大题8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）解方程：． （2）计算：． 【答案】（1），；（2）1 【解析】 【分析】本题解一元二次方程以及特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题关键． （1）用公式法解一元二次方程即可； （2）将特殊角的三角函数值代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． ，． （2）解： ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（2，1）、O（0，0）、B（1，﹣2）． （1）△AOB向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的△A1O1B1； （2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2，使它与△AOB的相似比为2：1； （3）若△A2OB2与△A1O1B1是关于某一点Q为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标． 【答案】 （1）如图，即为所求作的三角形； （2）如图，即为所求作的三角形； （3）如图所示，由的交点为 所以与是关于点Q为位似中心的位似图形， 此时． 【解析】 【分析】本题是相似三角形综合题，主要考查了作图-位似变换，平移变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． （1）分别确定向左平移3个单位，向上平移1个单位后的对应点，再顺次连接，从而可得答案； （2）点O为位似中心，分别确定的对应点,再顺次连接即可得到答案； （3）由的交点为从而可得位似中心，再根据的位置可得点的坐标. 【详解】略 19. 两个质地均匀的正方体M和N，正方体M的六个面分别标有数字“0”，“1”，“2”，“3”，“4”，“5；正方体N的六个面分别标有数字“0”，“1”，“2”，“6”，“7”，“8”．掷小正方体后，观察朝上一面的数字． （1）掷一次正方体M时，出现奇数的概率是多少； （2）如果先掷一次正方体M，再掷一次正方体N得到两个数字，如先后掷到“0”和“1”记为，可表示某月的日；先后掷到“5”和“8”记为，不能表示某月的日期．求先后各掷一次正方体M和正方体N，得到的两个数字能组成一月的一个日期的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单的概率计算，列举法求概率．熟练掌握简单的概率计算，正确的列表格是解题的关键． （1）由题意知，掷一次正方体M时共有6种等可能的结果，出现奇数有3种等可能的结果，然后求概率即可； （2）根据题意列表格，然后求概率即可． 【小问1详解】 解：由题意知，掷一次正方体M时共有6种等可能的结果，出现奇数有3种等可能的结果， ∵， ∴掷一次正方体M时，出现奇数的概率是； 【小问2详解】 解：由题意列表如下： 0 1 2 6 7 8 0 1 2 3 4 5 由表可知，共有种等可能的结果，其中得到的两个数字能组成一月的一个日期有种等可能的结果， ∴得到的两个数字能组成一月的一个日期的概率为． 20. 如图所示，直线与反比例函数的图象交于点，，与坐标轴交于A、B两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）观察图象，当时，直接写出不等式的解集； （3）连接，求三角形的面积． 【答案】（1）； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把代入，求出，得到反比例函数的解析式，把点代入反比例函数解析式，求出，即，4)，再将、两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）根据、两点的坐标以及两函数的图象即可得出结论； （3）解出A、B两点坐标，利用计算即可； 【小问1详解】 解：把代入得：， ∴反比例函数的解析式为． 把代入得：，解得， ∴． 把分别代入得： ，解之得：， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 ， 由图象可得：当或时，一次函数图象在反比例函数下方， 故当时，不等式的解集或； 【小问3详解】 由一次函数与坐标轴交于A、B两点， 令，解得， 令，解得， ． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，一次函数与几何图形的面积，灵活利用数形结合与方程思想是解题的关键． 21. 如图，为的直径，C为上一点，的切线交的延长线于点D，E为的中点，连接并延长，交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接，， ∵为的直径， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，根据圆周角定理可得，求得，根据切线的性质得到，，再根据切线的判定定理即可得到结论； （2）根据直角三角形的性质可得，求得，得到，过O作于H，求得，根据扇形和三角形的面积公式即可求得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过O作于H， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查切线的判定与性质、扇形的面积公式、直角三角形的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 22. 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． （1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程； （2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标； （3）若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 【答案】（1）上边缘抛物线喷出水的最大射程为； （2）； （3） 解：灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带，理由如下； ∵， ∴绿化带的左边部分可以灌溉到， 由题意可得： 将代入到可得： 因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）求得上边缘的抛物线解析式，即可求解； （2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解； （3）根据题意，求得点的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点即可； 【小问1详解】 解：由题意可得：， 且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为： 将代入可得： 即上边缘的抛物线为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即 上边缘抛物线喷出水的最大射程为； 【小问2详解】 解：由（1）可得， 上边缘抛物线为：，可得对称轴为： 点关于对称轴对称的点为： 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即点； 【小问3详解】 略 23. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上． （1）当时，求抛物线的对称轴； （2）若抛物线经过点，当自变量x的值满足时，y随x的增大而增大，求a的取值范围； （3）当时，点，在抛物线上．若，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）a的取值范围是或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答． （1）当时，，为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴； （2）把，代入抛物线解析式得出a，b的关系，然后求出对称轴，再分和，由函数的增减性求出a的取值范围； （3）先画出函数图象，再根据确定m的取值范围． 【小问1详解】 解：∵，为抛物线上的对称点， ∴， 抛物线的对称轴； 【小问2详解】 解：∵过，， ∴，，， ∴对称轴． ①当时， ∵时，y随x的增大而增大， ∴，， ∴． ②当时， ∵时，y随x的增大而增大， ∴，， ∴， 综上：a的取值范围是或； 【小问3详解】 解：∵点在抛物线上， ， ∵点，在抛物线上， ∴对称轴为直线， ①如图所示： ， 且， ； ②如图所示： ， ， ， 综上所述，m的取值范围为或． 24. 对于在平面直角坐标系中和外的点P，给出如下定义：已知的半径为1，若上存在点Q，满足，则称点P为的关联点． （1）如图，若点T的坐标为， ①在点，，中，是的关联点的是______； ②直线分别交x轴，y轴于点A，B，若线段AB存在的关联点，求b的取值范围； （2）已知点，，，上的每一个点都是的关联点，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）①，；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①求出三点到圆心的距离，通过关联点定义判断； ②分类讨论，画出临界点，求出临界点是b的值，从而求出b的取值范围； （2）分类讨论，通过画图发现数量关系，通过解不等式求出m的取值范围． 【小问1详解】 解：①由关联点的定义可知，当时，点P为的关联点， ∵，，， ∴，，， ∵， ∴点和点是的关联点； 故答案为：； ②如图所示，点P在直线上，，且， 由直线分别交x轴，y轴于点，得，， 当线段在第二象限时，则，， ∵， ∴， ∴ 即， 解得， 另外当时，线段在内部，此时线段上没有的关联点， 则得， 当线段在第四象限时，同理可得； 综上所示，当得或时，线段AB存在⊙T的关联点； 【小问2详解】 解：如图所示， 由上的每一个点都是的关联点，可知需在以T为圆心1和3为半径，所构成的圆环中， ①若点T在第二象限，可得，点T到距离大于1方能保证在圆环内， 得， 解得， ②若点T在第一象限，可得，点T到线段的距离大于1方能保证在圆环内， 得，解得， 设直线解析式为代入点，得直线解析式为， ∵， ∴ ∴， 过点T作轴，交于点E，作，交于点F， ∵， ∴， ∴， 得， 由，得 解得， 得， 综上所述，或． 【点睛】本题考查新定义概念的判断，解不等式，勾股定理、相似三角形的性质和判断，待定系数法求函数解析式，难点在于分类讨论画图象并通过图象得到不等式，从而解出取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $