（趣味奥数）第十七讲 巧求周长（一）-三年级下册奥数精讲精练（通用版）

第十七讲 巧求周长（一） 阿明的围栏难题 在美丽的田园小镇，住着聪明的小男孩阿明。他家有一块形状奇特的菜地，呈 L 形。这年丰收后，阿明爸爸决定给菜地围上一圈新围栏，便把这个任务交给了阿明。 阿明来到菜地前，发现这块菜地的边歪歪扭扭，测量起来很不方便。常规方法要把每一条边的长度都测量出来，再相加，可这菜地的边实在太多，有的还不好靠近测量。阿明皱起眉头，在菜地旁踱步思考。 突然，他灵机一动，想到一个好办法。他发现可以通过平移，把 L 形菜地的边转化为一个大长方形。原本弯曲的边，经过平移后，组成了长方形的长和宽。阿明只需测量出这个长方形的长和宽，就能计算出周长。 阿明兴奋地找来卷尺，测量出转化后的长方形长是 8 米，宽是 5 米。根据长方形周长公式：（长 + 宽）×2，算出这块菜地的周长为 (8 + 5)×2 = 26 米。 阿明开心地把结果告诉爸爸，爸爸夸奖他聪明，还说：“阿明，你用巧办法解决了难题，以后遇到类似问题，都可以尝试转化思路哦。” 阿明用力地点点头，他不仅学会了求不规则图形的周长，还懂得了遇到困难换个角度思考的道理。 一个图形的周长是指围成它的所有线段的长度和。我们已经学会了求长方形、正方形这些标准图形的周长，那么怎样运用长方形、正方形的周长计算公式，巧妙地求一些复杂图形的周长呢？ 对于一些不规则的比较复杂的几何图形，要求它们的周长，我们可以运用平移的方法，把它转化为标准的长方形或正方形，然后再利用周长公式进行计算。 将一个大长方形或正方形分割成若干个长方形和正方形，那么图形周长就会增加几个长或宽；反之，将若干个小长方形或正方形合成一个大长方形或正方形，图形周长就会减少几个长或宽。 1：如图，大长方形由9个正方形组成，已知中间最小的正方形边长为1厘米，求大长方形的周长。 【思路分析】 大长方形由9个正方形组成，根据正方形的特点，可以设右上角的正方形边长为x厘米，再根据图片得出其余几个正方形的边长。如下图。再根据长方形的对边相等的特点，上边的长是（x＋x＋2x＋2x＋1）厘米，下边的长是（2x＋3＋2x＋2）厘米，相等得出x＝2。再分别得出长方形的长和宽，再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数据计算。 【标准答案】 解：设右上角的正方形边长为x厘米，则9个正方形的边长从小到大依次是1、x、2x、2x＋1、2x＋2、2x＋3。 x＋x＋2x＋2x＋1＝2x＋3＋2x＋2 6x＋1＝4x＋5 6x－4x＝5－1 2x＝4 x＝4÷2 x＝2 长：2×2＋1＋2×2＋2＋2 ＝4＋1＋4＋4 ＝13（厘米） 2×2＋1＋2×2＋2 ＝4＋1＋4＋2 ＝11（厘米） （13＋11）×2 ＝24×2 ＝48（厘米） 答：大长方形的周长是48厘米。 1.下图是用7个完全一样的小长方形拼成的一个大长方形。已知大长方形的周长是102厘米，那么大长方形的面积是多少平方厘米？ 2. 如图，已知大正方形的边长为8厘米，将正方形沿虚线折叠，得到一个新的图形，求阴影部分的周长。 3．王老汉别无财产，只有一块薄田，临终前想把它均匀地（面积相等）分给两个儿子，要求只能在中间筑一道田埂。 （1）请你在图上直接画出分割线表示你设计的方案，并加以必要的文字说明。 （2）按你设计的方案，哪块地的周长较长些？（要说明理由。） 2：如图，在长方形ABCD中，EFGH是正方形，如果AG＝15厘米，EC＝11厘米，那么长方形ABCD的周长是多少厘米？ 【思路分析】 从图中可知AG＝AH＋HG，EC＝EF＋FC，EFGH是正方形，AG＝AH＋HG＝AB＋BE，EC＝EF＋FC＝CD＋GD，则根据周长的意义，长方形的周长＝AB＋CD＋AD＋BC＝AB＋BE＋ GH＋AH＋FE＋FC＋CD＋DG＝AG＋AG＋EC＋EC。 【标准答案】 15＋15＋11＋11＝52（厘米） 答：长方形ABCD的周长是52厘米。 4．如图所示，一张长方形的纸，剪去一个最大的正方形后，剩下一个小长方形，这个小长方形的周长是多少？ 5．下图是由16个同样大小的正方形组成的一个“5”字形，已知它的面积是400cm2 ，求它的周长． 6．用四个完全一样的长方形和一个小正方形，拼成一个周长是48dm的大正方形（如图），求每个长方形的周长． 3：下图是一个楼梯的侧面图．已知每步台阶宽3分米，高2分米．你能算出这个楼梯侧面的周长是多少分米吗？ 【思路分析】 此题考查点是不规则图形的周长的求法，实际还是考查长方形的周长的计算方法．可以把原图变化一下，转化成一个长方形．可以把每层台阶的宽度向上平移到和最上层台阶同样高的地方，把每层台阶的高度再向右平移到台阶的最右侧，这样原图就转化成一个长方形，原图和现在的长方形的周长是一样的，原楼梯侧面的周长就可以求出来了． 要点提示： 把不规则图形转化成规则图形求周长是解决此类题的关键． 【标准答案】 （3×6+2×6）×2=60（分米） 答：这个楼梯侧面的周长是60分米． 7．如图，有3个长方形，长方形①的长为16厘米，宽为8厘米；长方形②的长、宽分别是长方形 ①长、宽的一半；长方形 ③的长、宽分别是长方形 ②长、宽的一半．则这个图形的周长是   厘米． 8．用同样的长方形条砖，在一个盆的周围砌成一个正方形边框，如右图所示．已知外面大正方形的周长是厘米，里面小正方形的面积是平方厘米，每块长方形条砖的长是多少厘米，宽是多少厘米？ 9．右图的长方形被分割成个正方形，已知原长方形的面积为平方厘米，求原长方形的长与宽． 阿基里斯追不上乌龟 曾经有一个非常的逻辑学悖论，叫阿基里斯追不上乌龟。 内容很有趣，说的是一名长跑运动员叫阿基里斯。一次，他和一只乌龟赛跑。假设运动员的速度是乌龟的12倍，这场比赛的结果是显而易见的，乌龟一定会输。 现在我们把乌龟的起跑线放在运动员前面12千米处。那么结果会是如何呢?　　有人认为，这名运动员永远也追不上乌龟!理由是：当运动员跑了12千米时，那只乌龟也跑了1千米，在运动员的前面。当运动员又跑了1千米的时候，那只乌龟又跑了1/12千米，还是在运动员前面。就这样一直跑下去，虽然每次距离都在拉近，但是运动员每次都必须先到达乌龟的起始地点，那么这时又相当于他们两个相距一段路程跑步了。这样下去，运动员是永远也追不上乌龟的。你是怎么认为的呢? 1：如图，大长方形由9个正方形组成，已知中间最小的正方形边长为1厘米，求大长方形的周长。 【思路分析】 大长方形由9个正方形组成，根据正方形的特点，可以设右上角的正方形边长为x厘米，再根据图片得出其余几个正方形的边长。如下图。再根据长方形的对边相等的特点，上边的长是（x＋x＋2x＋2x＋1）厘米，下边的长是（2x＋3＋2x＋2）厘米，相等得出x＝2。再分别得出长方形的长和宽，再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数据计算。 【标准答案】 解：设右上角的正方形边长为x厘米，则9个正方形的边长从小到大依次是1、x、2x、2x＋1、2x＋2、2x＋3。 x＋x＋2x＋2x＋1＝2x＋3＋2x＋2 6x＋1＝4x＋5 6x－4x＝5－1 2x＝4 x＝4÷2 x＝2 长：2×2＋1＋2×2＋2＋2 ＝4＋1＋4＋4 ＝13（厘米） 2×2＋1＋2×2＋2 ＝4＋1＋4＋2 ＝11（厘米） （13＋11）×2 ＝24×2 ＝48（厘米） 答：大长方形的周长是48厘米。 1.下图是用7个完全一样的小长方形拼成的一个大长方形。已知大长方形的周长是102厘米，那么大长方形的面积是多少平方厘米？ 答案：630平方厘米 分析：根据图形可以看出2个小长方形的长＝5个小长方形的宽，则小长方形的长和宽的比是5∶2，小长方形的长是5份，宽是这样的2份，大长方形长是由2个小长方形的长组成也就是10份，宽是由小长方形的长和宽组成也就是7份，整个周长就是34份为102厘米，每一份是3厘米。用乘法分别得出长方形的长和宽，利用长方形的面积＝长×宽。代入数据解答即可。 详解：长方形的长和宽的比是5∶2 5×2＋5＋2＝17 102÷（17×2） ＝102÷34 ＝3（厘米） 大长方形的长：3×（5×2）＝30（厘米） 大长方形的宽：3×（5＋2） ＝3×7 ＝21（厘米） 30×21＝630（平方厘米） 答：大长方形的面积是630平方厘米。 2. 如图，已知大正方形的边长为8厘米，将正方形沿虚线折叠，得到一个新的图形，求阴影部分的周长。 答案：32厘米 分析：由题意可知，将正方形沿虚线折叠，则如图所示： A长度＝a长度，B长度＝b长度，可知，阴影部分周长等于原来正方形周长。据此解答即可。 详解：由分析可知，阴影部分周长等于原来正方形的周长。 8×4＝32（厘米） 答：阴影部分的周长是32厘米。 3．王老汉别无财产，只有一块薄田，临终前想把它均匀地（面积相等）分给两个儿子，要求只能在中间筑一道田埂。 （1）请你在图上直接画出分割线表示你设计的方案，并加以必要的文字说明。 （2）按你设计的方案，哪块地的周长较长些？（要说明理由。） 答案：见详解 分析：（1）所谓对称，应该是图形经过反射，或者旋转，或者平移后，图形作为整体，没有发生变化。如果是这样，就认为是对称图形。数学中对称的概念，不但赋予了准确的涵义，而且比生活直觉中理解的对称概念要广泛得多。主要有轴对称、中心对称、镜面对称几大类。其中中心对称的图形中，过中心的直线总把图形分成形状和面积相等的两部分。把这个图形先分成两个长方形，再连接两个长方形的对角线，连接两组对角线的交点就是每个长方形的中心，过这个点的直线可以将长方形分为两个面积相等的图形。 （2）将两个图形的围成的线进行平移，将上面的图形变成了一个梯形，这样更好对比两个图形的周长。 详解：（1） 红色的线是这块地的分割线。因为长方形是中线对称的图形，对称中心就是对角线的交点。左边的长方形沿着中心对称旋转180°，即可以将红线上下两部分完全重合，即面积相等。同理右边的长方形也可以。则面积可以平分。 （2）上面的那块地的周长较长些。 因为通过线段的平移可以看出，公共部分（田埂）一样长，上下部梯形的腰也一样长，但是上面的梯形的上下底的和，大于下面的梯形的上下底的和，则上面这块地的周长长一些。 2：如图，在长方形ABCD中，EFGH是正方形，如果AG＝15厘米，EC＝11厘米，那么长方形ABCD的周长是多少厘米？ 【思路分析】 从图中可知AG＝AH＋HG，EC＝EF＋FC，EFGH是正方形，AG＝AH＋HG＝AB＋BE，EC＝EF＋FC＝CD＋GD，则根据周长的意义，长方形的周长＝AB＋CD＋AD＋BC＝AB＋BE＋ GH＋AH＋FE＋FC＋CD＋DG＝AG＋AG＋EC＋EC。 【标准答案】 15＋15＋11＋11＝52（厘米） 答：长方形ABCD的周长是52厘米。 4．如图所示，一张长方形的纸，剪去一个最大的正方形后，剩下一个小长方形，这个小长方形的周长是多少？ 答案：120厘米 分析：看做“小长方形的长+宽=大长方形的长” 详解：60×2=120（厘米） 答：这个小长方形的周长是120厘米． 5．下图是由16个同样大小的正方形组成的一个“5”字形，已知它的面积是400cm2 ，求它的周长． 答案：170厘米 详解：解：设小正方形边长为a 400÷16=25 a×a=25 a=5 周长：（5×4+7×5）×2+3×4×5 =55×2+60 =110+60 =170（厘米） 6．用四个完全一样的长方形和一个小正方形，拼成一个周长是48dm的大正方形（如图），求每个长方形的周长． 答案：24分米 详解：大正方形边长：48÷4=12（分米） 实际上是四个完全一样的长方形的“长+宽”的和； 长方形的周长是：12×2=24（分米） 3：下图是一个楼梯的侧面图．已知每步台阶宽3分米，高2分米．你能算出这个楼梯侧面的周长是多少分米吗？ 【思路分析】 此题考查点是不规则图形的周长的求法，实际还是考查长方形的周长的计算方法．可以把原图变化一下，转化成一个长方形．可以把每层台阶的宽度向上平移到和最上层台阶同样高的地方，把每层台阶的高度再向右平移到台阶的最右侧，这样原图就转化成一个长方形，原图和现在的长方形的周长是一样的，原楼梯侧面的周长就可以求出来了． 要点提示： 把不规则图形转化成规则图形求周长是解决此类题的关键． 【标准答案】 （3×6+2×6）×2=60（分米） 答：这个楼梯侧面的周长是60分米． 7．如图，有3个长方形，长方形①的长为16厘米，宽为8厘米；长方形②的长、宽分别是长方形 ①长、宽的一半；长方形 ③的长、宽分别是长方形 ②长、宽的一半．则这个图形的周长是   厘米． 答案：60 详解：解：[16+（8+8÷2+8÷2÷2）]×2 =（16+14）×2 =60（厘米） 答：这个图形的周长是60厘米． 故答案为60． 8．用同样的长方形条砖，在一个盆的周围砌成一个正方形边框，如右图所示．已知外面大正方形的周长是厘米，里面小正方形的面积是平方厘米，每块长方形条砖的长是多少厘米，宽是多少厘米？ 答案：18；24 详解：外面大正方形的边长为厘米，里面小正方形的边长为厘米，从图中可以看出，长方形的宽为厘米，长方形的长为厘米． 9．右图的长方形被分割成个正方形，已知原长方形的面积为平方厘米，求原长方形的长与宽． 答案：12；10 详解：大正方形边长的倍等于小正方形边长的倍，所以大正方形的边长是小正方形边长的倍，大正方形的面积是小正方形面积的倍，所以小正方形面积为平方厘米，所以小正方形的边长为厘米，大正方形的边长为厘米，原长方形的长为厘米，宽为厘米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$