专题01 平行线中的常见的四种“拐角”模型-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（江苏专用）

专题01 平行线中的常见的四种“拐角”模型 模型一：“猪蹄”模型（含“锯齿”模型） 1 模型二、“铅笔”模型 6 模型三、“鸡翅”模型 9 模型四、“骨折模型” 11 15 模型一：“猪蹄”模型（含“锯齿”模型） 一、“猪蹄”模型 猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。 猪蹄模型（又名燕尾模型、M字模型） 步骤总结 步骤一：过猪蹄（拐点）作平行线 步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角 步骤三：推导出角的数量关系 模型结论：∠B＋∠D＝∠DEB． 二、锯齿模型 已知 图示 结论（性质） 证明方法 AB∥DE ∠B+∠E=∠C 遇拐点做平行线（方法不唯一） AB∥DE ∠B+∠M+∠E=∠C+∠N a∥b 所有朝左角之和等于所有朝右角的和 如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系． 思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∴∠DEB=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．∴∠DEB=∠B+∠D． 思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠D+∠BFD=∠BED，∴∠B+∠D=∠E． 【典例1】（2023春•赣县区期末）【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． 【问题探究】：（1）如图1，，为、之间一点，连接、，得到与、之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线，若，，，求的度数； 【灵活应用】：（3）如图3，直线，若，，则　　度． 【变式1-1】（淮安区校级二模）如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠3＝75°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【变式1-2】（宿迁中考）如图，AB∥CD，下列结论中正确的是（　　） A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2+∠3＝360° C．∠1+∠3＝2∠2 D．∠1+∠3＝∠2 【变式1-3】（2023•如皋市一模）如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°则∠BEC的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【变式1-4】（2023春•临淄区期末）如图，，，则、和的关系是　　 A． B． C． D． 【变式1-5】（大丰区一模）如图，已知：AB∥CD，∠1＝50°，则∠3＝　　度． 【变式1-6】（亭湖区校级模拟）如图所示，l1∥l2，则∠1＝　 　度． 【变式1-7】（清浦区模拟）如图，直线a∥b，则∠ACB＝　　度． 【变式1-8】（2024春•建邺区校级期中）已知：如图，∠ABE+∠CEB＝180°，∠1＝∠2。求证：∠M=∠N． 【变式1-9】（南通模拟）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由，若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论； （2）在如图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；； （3）根据（2）的结论求如图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数． 【变式1-10】（2023春•仪征市期末）如图1，已知线段AB、线段CD被直线l所截于点A、点C，∠1＝50°，∠2的度数是∠1的3倍少20°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，连接BD，AB沿BD方向平移得到EF，点F在BD上，点G是BD上的一点，连接AG、EG，∠BAG=30°，∠FEG＝20°，求∠AGE的度数； （3）如图3，点M是线段BD上一点，点N是射线CD上一点，∠CAM度数为k，∠AMN度数为m，∠MND度数为n，请直接写出k、m、n之间的数量关系．（本题的角均小于180°） 模型二、“铅笔”模型 从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图： 那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。 模型结论：∠B+∠E+∠D=360° 如图，若AB//CD，求证：∠B+∠E+∠D=360° 证明一：如图，过点E作FG//AB ∵ AB//FG，AB//CD ∴ FG//CD ∵ AB//FG ∴ ∠BEF+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵ FG//CD ∴ ∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴ ∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360° ∴ ∠B+∠D+∠BED=360° 证明二：如图，连接BD， ∵ AB//CD ∴ ∠ABD+∠BDC=180° 在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180° ∴ ∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360° ∴ ∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360° ∴ ∠ABE+∠E+∠CDE=360° 证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。从前面学过的猪蹄模型和这里的铅笔头模型我们都能看出，最简单的方法就是过点E作平行线，利用平行线的性质得到结论。 【典例2】请在横线上填上合适的内容． （1）如图（1）已知//，则． 解：过点作直线//． ∴（   ）．（    ） ∵//，//， ∴（  ）//（   ）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行） ∴（   ）．（    ）． ∴． ∴． （2）如图②，如果//，则（ ） 【变式2-1】（崇川区校级三模）如图，已知AB∥CD，∠A＝140°，∠E=120°，则∠C的度数是（　　） A．80° B．100° C．120° D．140° 【变式2-2】（江苏模拟）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B=140°，∠D＝120°，则∠C的度数为（　　） A．120° B．100° C．140° D．90° 【变式2-3】（2024春•启东市校级月考）如图，直线a∥b，∠1＝28°，则∠3＝　　度，∠3+∠4+∠5＝　 度． 模型三、“鸡翅”模型 已知 图示 结论（性质） AB∥DE ∠1=∠2+∠3 AB∥DE ∠1+∠3-∠2=180° 如图，已知AB//CD，试猜想∠A、∠E、∠C 的关系，并说明理由． 解：∠AEC=∠A-∠C, 理由如下： 过点E 作 EF // AB 又 ∵AB//CD．  ∴EF//CD． ∴∠A+∠FEA=180°， ∠C+∠FEC=180° ∴ ∠AEC＝ ∠FEC- ∠FEA= 180°- ∠C –(180°-∠A)=∠A-∠C 即：∠AEC=∠A-∠C 【典例3】如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为 【变式3-1】如图所示，，，，求的度数. 【变式3-2】AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点． （1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明； （2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数． 【变式3-3】问题探究： 如下面四个图形中， ABCD． （1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系． （2）请你从中任选一个加以说明理由． 解决问题： （3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°． 模型四、“骨折模型” 模型结论：∠E=∠B-∠D 如图，已知BC//DE，试猜想∠A、∠B、∠D 的关系，并说明理由． 解：∠BAD=∠D-∠B , 理由如下： 过点A 作 AG // BC 又 ∵CB//DE．  ∴AG//DE ∴∠GAB+∠B=180°，   ∠GAD+∠D=180° ∴ ∠BAD＝ ∠GAB- ∠GAD=180°-∠B–(180°-∠D)=∠D-∠B 即：∠BAD=∠D-∠B 【典例4】已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D 【变式4-1】探索：小明在研究数学问题：已知，AB和CD都不经过点P，探索与、的数量关系． 发现：在图1中，；如图5 小明是这样证明的：过点Р作 ∴___________ ∵，． ∴__________ ∴ ∴ 即 （1）为小明的证明填上推理的依据； （2）理解： ①在图2中，与、的数量关系为_____________________； ②在图3中，若，，则的度数为_________________； （3）拓展： 在图4中，探究与、的数量关系，并说明理由． 【变式4-2】已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD． （1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数； （2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 　 　． （3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数． 【变式4-3】如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 一、单选题 1．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（2023·江苏南通·中考真题）如图，中，，顶点，分别在直线，上．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·江苏盐城·一模）如图，直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏扬州·一模）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，，，已知与平行，则的度数为（    ）     A． B． C． D． 5．（2024·江苏宿迁·二模）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏南通·二模）如图，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·江苏扬州·一模）如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏苏州·一模）如图，直线，等腰直角三角尺（）的两个底角顶点分别在直线上，边与直线交于点．若平分，则的度数为（   ） A．60° B．67.5° C．70° D．75° 二、填空题 9．（2024·江苏镇江·一模）如图，，与、分别相交于点E、F，点G在上，，已知，则的度数等于 °． 10．（2024·江苏徐州·二模）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是 ． 11．（2024·江苏盐城·一模）如图，已知，，，则为 ． 12．（2024·江苏苏州·二模）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置．若，则的度数为 ． 13．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，是一块直角三角板，，，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点C落在直尺的一边上，与直尺的另一边交于点D，与直尺的两边分别交于点E、F．若，则的度数为 ． 14．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是某款婴儿车的几何示意图，若，，，则的度数是 °． 15．（2022·江苏南京·中考真题）如图，的顶点、分别在直线，上，，若，，则 ． 16．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，若，则 °．    17．（2024·江苏常州·一模）如图，直线，点A在直线a上，点C在直线b上，，若，则 ． 三、解答题 18．探究： （1）如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明为什么吗？ （2）反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请证明； （3）若将点E移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？请证明； （4）若将E点移至图c所示位置，情况又如何？ （5）在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？ （6）在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论？ 19．（2024春•建邺区校级期中）如图1，直线AB与直线CD，EF分别相交于点G、H，三条直线把平面分成①，②，…，⑥六个区域．规定：三条直线上的点不属于任何一个区域．当任意一点P落在某个区域时，连接PG，PH，可得到∠PGD，∠PHF，∠GPH． （1）如图2，当动点P落在区域④时，如果∠GPH＝∠PGD+∠PHF；那么CD与EF平行吗？请说明理由； （2）如图3，当动点P落在区域③时，∠PGD，∠PHF，∠GPH三角满足什么等量关系时，CD∥EF？（请说明理由） （3）如果直线CD∥EF，试探究动点P落在 　　区域时，存在∠GPH＝∠PHF﹣∠PGD． 20．（2023春•崇川区期中）如图1，已知直线与直线交于点，与直线交于点，平分交直线于点，且． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设，． ①如图2，当点在点的右侧，且时，求的值； ②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 21．（2023春•海安市期末）如图，在中，．过点作． （1）判断是否平分，并说明理由； （2）如图2，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交射线于，过点作于． ①当点在点左侧时，若，求的度数； ②点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平行线中的常见的四种“拐角”模型 模型一：“猪蹄”模型（含“锯齿”模型） 1 模型二、“铅笔”模型 12 模型三、“鸡翅”模型 17 模型四、“骨折模型” 24 33 模型一：“猪蹄”模型（含“锯齿”模型） 一、“猪蹄”模型 猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。 猪蹄模型（又名燕尾模型、M字模型） 步骤总结 步骤一：过猪蹄（拐点）作平行线 步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角 步骤三：推导出角的数量关系 模型结论：∠B＋∠D＝∠DEB． 二、锯齿模型 已知 图示 结论（性质） 证明方法 AB∥DE ∠B+∠E=∠C 遇拐点做平行线（方法不唯一） AB∥DE ∠B+∠M+∠E=∠C+∠N a∥b 所有朝左角之和等于所有朝右角的和 如图，已知AB∥CD，求∠E、∠B、∠D之间的数量关系． 思路1：过拐点作平行线过点E作EF∥AB，∴∠B=∠BEF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠D=∠DEF，∴∠DEB=∠BEF+∠DEF=∠B+∠D．∴∠DEB=∠B+∠D． 思路2：延长BE交CD于点F∵AB∥CD，∴∠B=∠BFD，∴∠D+∠BFD=∠BED，∴∠B+∠D=∠E． 【典例1】（2023春•赣县区期末）【问题背景】：同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现一个熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． 【问题探究】：（1）如图1，，为、之间一点，连接、，得到与、之间的数量关系，并说明理由； 【类比迁移】：（2）请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图2，直线，若，，，求的度数； 【灵活应用】：（3）如图3，直线，若，，则　25　度． 【分析】（1）过点作，利用猪脚模型即可解答； （2）过点作，利用猪脚模型可得：，，从而可得，进行计算即可解答； （3）先利用三角形内角和定理可得，从而利用对顶角相等可得，然后利用猪脚模型可得，最后进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， 理由：过点作， ， ， ， ， ， ； （2）过点作， 由（1）可得：， ， ， 由（1）可得：， ，，， ， 的度数为； （3）如图： ，， ， ， ， 由（1）可得：， ， 故答案为：25． 【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【变式1-1】（淮安区校级二模）如图，AB∥CD，∠1＝45°，∠3＝75°，则∠2的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【分析】根据猪脚模型及平行线的性质处理即可． 【解答】解：过点E作EF∥AB，则∠1＝∠4＝45°， ∴∠5＝75°﹣∠4＝30°， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠2＝∠5＝30°， 故选：A． 【点评】本题主要考查平行线的性质及猪脚模型，处理猪脚模型是解题关键． 【变式1-2】（宿迁中考）如图，AB∥CD，下列结论中正确的是（　　） A．∠1+∠2+∠3＝180° B．∠1+∠2+∠3＝360° C．∠1+∠3＝2∠2 D．∠1+∠3＝∠2 【分析】过∠2的顶点作直线MN平行于AB，则根据平行线的传递性MN也平行于CD．然后利用平行线的性质以及角之间的关系作答． 【解答】解：过∠2的顶点作直线MN∥AB，则MN∥CD． ∴∠1＝∠ANM，∠3＝∠MNC， ∵∠2＝∠ANM+∠MNC， ∴∠1+∠3＝∠2． 故选：D． 【点评】此类题要构造辅助线：作平行线．注意主要根据平行线的性质寻找角之间的关系． 【变式1-3】（2023•如皋市一模）如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°则∠BEC的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【分析】如图，作EF∥AB，利用平行线的性质得，∠B+∠BEF＝180°，∠C＝∠CEF，即可得出答案． 【解答】解：如图，作EF∥AB， ∵AB∥EF，AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠B+∠BEF＝180°，∠C＝∠CEF， ∵∠ABE＝125°，∠C＝30°， ∴∠BEF＝55°，∠CEF＝30°， ∴∠BEC＝85°， 故选：D． 【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造平行线解决问题． 【变式1-4】（2023春•临淄区期末）如图，，，则、和的关系是　　 A． B． C． D． 【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系． 【解答】解：延长交与，延长交于． 在直角中，；中，， ， ， ，即． 故选：． 【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 【变式1-5】（大丰区一模）如图，已知：AB∥CD，∠1＝50°，则∠3＝　　度． 【分析】如图，作EF∥AB．证明基本结论；∠AEC＝∠1+∠3即可解决问题． 【解答】解：如图，作EF∥AB． ∵AB∥CD，AB∥EF， ∴EF∥CD， ∴∠1＝∠AEF，∠3＝∠CEF， ∴∠AEC＝∠1+∠3， ∴113°＝50°+∠3， ∴∠3＝63°． 故答案为63； 【点评】本题考查平行线的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，面构造平行线解决问题． 【变式1-6】（亭湖区校级模拟）如图所示，l1∥l2，则∠1＝　 　度． 【分析】本题考查的是平行线的性质以及三角形的外角性质等有关知识． 【解答】解：由平行线性质（两直线平行，内错角相等）和三角形的外角性质可得∠1＝40°+60°＝100°． 故答案为：100． 【点评】此题充分体现了数形结合的思想，重点考查了两直线平行的性质及三角形的外角性质． 【变式1-7】（清浦区模拟）如图，直线a∥b，则∠ACB＝　　度． 【分析】延长BC与a相交，先求出所得内错角的度数，再根据三角形外角性质即可求出． 【解答】解：如图，延长BC与a相交， ∵a∥b，∴∠1＝∠50°； ∴∠ACB＝∠1+28°＝50°+28°＝78°， 故应填78． 【点评】本题主要考查平行线的性质和三角形外角性质． 【变式1-8】（2024春•建邺区校级期中）已知：如图，∠ABE+∠CEB＝180°，∠1＝∠2。求证：∠M=∠N． 【分析】首先证明AB∥CD，再根据平行线的性质得出∠ABE＝∠DEB，然后结合已知条件可得到∠MBE＝∠NEB，进而可判定BM∥EN，据此可得出结论． 【解答】证明：∵∠ABE+∠CEB＝180°， ∴AB∥CD， ∴∠ABE＝∠DEB， 即：∠1+∠MBE＝∠2+∠NEB， 又∵∠1＝∠2， ∴∠MBE＝∠NEB， ∴BM∥EN， ∴∠M＝∠N． 【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行⇔同位角相等，两直线平行⇔内错角相等，两直线平行⇔同旁内角互补． 【变式1-9】（南通模拟）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图1，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD+∠D．得∠BPD＝∠B﹣∠D．将点P移到AB、CD内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由，若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论； （2）在如图2中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图3则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）；； （3）根据（2）的结论求如图4中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数． 【分析】（1）延长BP交CD于点E，根据AB∥CD得出∠B＝∠BED，再由三角形外角的性质即可得出结论； （2）连接QP并延长，由三角形外角的性质得出∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQP，由此可得出结论； （3）由（2）的结论得：∠AFG＝∠B+∠E．∠AGF＝∠C+∠D．再根据∠A+∠AFG+∠AGF＝180°即可得出结论． 【解答】解：（1）不成立，结论是∠BPD＝∠B+∠D． 延长BP交CD于点E， ∵AB∥CD， ∴∠B＝∠BED， 又∵∠BPD＝∠BED+∠D， ∴∠BPD＝∠B+∠D； （2）结论：∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D． 连接QP并延长， ∵∠BPE是△BPQ的外角，∠DPE是△PDQ的外角， ∴∠BPE＝∠B+∠BQE，∠DPE＝∠D+∠DQP， ∴∠BPE+∠DPE＝∠B+∠D+∠BQE+∠DQP，即∠BPD＝∠BQD+∠B+∠D； （3）由（2）的结论得：∠AFG＝∠B+∠E．∠AGF＝∠C+∠D． 又∵∠A+∠AFG+∠AGF＝180° ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°． （或由（2）的结论得：∠AGB＝∠A+∠B+∠E且∠AGB＝∠CGD， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°． 【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形，利用三角形外角的性质求解是解答此题的关键． 【变式1-10】（2023春•仪征市期末）如图1，已知线段AB、线段CD被直线l所截于点A、点C，∠1＝50°，∠2的度数是∠1的3倍少20°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，连接BD，AB沿BD方向平移得到EF，点F在BD上，点G是BD上的一点，连接AG、EG，∠BAG=30°，∠FEG＝20°，求∠AGE的度数； （3）如图3，点M是线段BD上一点，点N是射线CD上一点，∠CAM度数为k，∠AMN度数为m，∠MND度数为n，请直接写出k、m、n之间的数量关系．（本题的角均小于180°） 【分析】（1）根据已知先求得∠1的邻补角∠BAC的度数，得到∠BAC＝∠2即可得结论； （2）过G作GQ∥AB，利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可； （3）利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可． 【解答】证明：（1）∵∠1＝50°，∠2的度数是∠8的3倍少20°， ∴∠2＝3∠1﹣20°＝130°， ∴∠ACD＝180°﹣∠2＝50°， ∴∠1＝∠2， ∴AB∥CD； （2）过G作GQ∥AB， ∴∠AGQ＝∠BAG＝30°， ∵AB∥EF， ∴GQ∥EF， ∴∠GEF＝∠EGQ＝20°， ∴∠AGE＝∠AGQ+∠EGQ＝50°； 同理，当点G在F下方时， ∴∠AGE＝10°； （3）∵AB∥CD， 与（2）同理可得：∠AMN＝∠MAB+∠MND， ∵∠AMN＝m，∠MND＝n， ∴m＝n+∠MAB， ∵∠1＝50°，∠CAM＝k， ∴∠BAM＝180°﹣∠1﹣∠CAM＝180°﹣50°﹣k， ∴m＝n+130°﹣k， 即m﹣n+k＝130°． 当N在D点右侧时，同理可得m+n+k＝310° 【点评】本题考查了平行线的性质定理及平行公理的推论，理解题意是解决问题的关键． 模型二、“铅笔”模型 从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图： 那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。 模型结论：∠B+∠E+∠D=360° 如图，若AB//CD，求证：∠B+∠E+∠D=360° 证明一：如图，过点E作FG//AB ∵ AB//FG，AB//CD ∴ FG//CD ∵ AB//FG ∴ ∠BEF+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵ FG//CD ∴ ∠D+∠DEF=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∴ ∠BEF+∠B+∠D+∠DEF=360° ∴ ∠B+∠D+∠BED=360° 证明二：如图，连接BD， ∵ AB//CD ∴ ∠ABD+∠BDC=180° 在△BDE中，∠DBE+∠E+∠EDB=180° ∴ ∠DBE+∠E+∠EDB+∠ABD+∠BDC=360° ∴ ∠ABD+∠DBE+∠E+∠EDB+∠BDC=360° ∴ ∠ABE+∠E+∠CDE=360° 证明该模型结论的还有其他方法，这里就没有全部写出来，可以自行证明。从前面学过的猪蹄模型和这里的铅笔头模型我们都能看出，最简单的方法就是过点E作平行线，利用平行线的性质得到结论。 【典例2】请在横线上填上合适的内容． （1）如图（1）已知//，则． 解：过点作直线//． ∴（   ）．（    ） ∵//，//， ∴（  ）//（   ）．（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行） ∴（   ）．（    ）． ∴． ∴． （2）如图②，如果//，则（ ） 【答案】（1）∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等； （2）360° 【分析】（1）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB=∠B，继而由EF∥CD可得∠FED=∠D．所以∠B+∠D=∠BEF+∠FED，即∠B+∠D=∠BED； （2）过点E作直线EF∥AB，则∠FEB+∠B=180°，继而由EF∥CD可得∠FED+∠D=180°．所以∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°，即∠B+∠BED+∠D=360°． 【详解】解：（1）解：过点E作直线EF∥AB． ∴∠FEB=∠B．（ 两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴ EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）． ∴∠FED=∠D（ 两直线平行，内错角相等）． ∴∠B+∠D=∠BEF+∠FED． ∴∠B+∠D=∠BED． 故答案为：∠B，两直线平行，内错角相等，EF，CD，∠D，两直线平行，内错角相等； （2）解：过点E作直线EF∥AB，如图． ∴∠FEB+∠B=180°．两直线平行，内错角相等）． ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴ EF∥CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）． ∴∠FED+∠D=180° （ 两直线平行，内错角相等）． ∴∠B+∠D+∠BEF+∠FED=360°． ∴∠B+∠BED+∠D=360°． 故答案为：360°． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及其推论，熟练掌握平行线判定、性质说理是关键． 【变式2-1】（崇川区校级三模）如图，已知AB∥CD，∠A＝140°，∠E=120°，则∠C的度数是（　　） A．80° B．100° C．120° D．140° 【分析】过E作EF∥AB，求出AB∥EF∥CD，根据平行线的性质得出∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，求出∠A+∠AEC+∠C＝360°，代入求出即可． 【解答】解： 过E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°， ∴∠A+∠AEF+∠CEF+∠C＝360°， 即∠A+∠AEC+∠C＝360°， ∵∠A＝140°，∠AEC＝120°， ∴∠C＝100°， 故选：B． 【点评】本题考查了平行线的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，注意：两直线平行，同旁内角互补． 【变式2-2】（江苏模拟）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB∥DE，测得∠B=140°，∠D＝120°，则∠C的度数为（　　） A．120° B．100° C．140° D．90° 【分析】先作辅助线CF∥AB，再根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：过点C作CF∥AB， ∵AB∥DE， ∴AB∥DE∥CF， ∴∠B+∠1＝180°，∠D+∠2＝180°； 故∠B+∠1+∠D+∠2＝360°，即∠B+∠BCD+∠D＝360°， 故∠BCD＝360°﹣140°﹣120°＝100°． 故选：B． 【点评】注意此类题要作出辅助线，运用平行线的性质探求三个角的关系． 【变式2-3】（2024春•启东市校级月考）如图，直线a∥b，∠1＝28°，则∠3＝　　度，∠3+∠4+∠5＝　 度． 【分析】过∠3的顶点作已知直线的平行线，充分运用平行线的性质，不难发现：∠3＝∠1+∠2，∠3+∠4+∠5＝360° 【解答】解：如图所示：过∠3的顶点作c∥a， ∵a∥b， ∴a∥b∥c， ∴∠1＝∠6，∠7＝∠2， 又∠3＝∠6+∠7， ∴∠3＝∠1+∠2＝78°； 又∠4+∠6＝∠7+∠8＝180° ∴∠3+∠4+∠5＝360°． 【点评】注意此类题中常见的辅助线：构造已知直线的平行线．根据平行线的性质发现并证明：∠3＝∠1+∠2；∠3+∠4+∠5＝360°． 模型三、“鸡翅”模型 已知 图示 结论（性质） AB∥DE ∠1=∠2+∠3 AB∥DE ∠1+∠3-∠2=180° 如图，已知AB//CD，试猜想∠A、∠E、∠C 的关系，并说明理由． 解：∠AEC=∠A-∠C, 理由如下： 过点E 作 EF // AB 又 ∵AB//CD．  ∴EF//CD． ∴∠A+∠FEA=180°， ∠C+∠FEC=180° ∴ ∠AEC＝ ∠FEC- ∠FEA= 180°- ∠C –(180°-∠A)=∠A-∠C 即：∠AEC=∠A-∠C 【典例3】如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为 【答案】180° 【分析】延长EA交CD于点F，则有∠2+∠EFC=∠3，然后根据可得∠1=∠EFD，最后根据领补角及等量代换可求解． 【详解】解：延长EA交CD于点F，如图所示： ， ∠1=∠EFD， ∠2+∠EFC=∠3， ， ， ； 故答案为180°． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键． 【变式3-1】如图所示，，，，求的度数. 【答案】. 【分析】根据平行线的性质，由靴子图ABEFC知，，，由靴子图知，， 又因为，得到，所以. 【详解】因为，结合题意，由靴子图ABEFC知，，，由靴子图知，， ， 即， ， 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质. 【变式3-2】AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点． （1）如图1，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明； （2）如图2，写出∠APC、∠A、∠C之间的数量关系，并证明； （3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度数． 【答案】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明详见解析；（2）∠APC＝∠A−∠C，证明详见解析；（3）55°． 【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，然后由“两直线平行，同旁内角互补”进一步分析即可证得∠A+∠C+∠APC＝360°； （2）作PQ∥AB，结合题意得出AB∥PQ∥CD，根据“两直线平行，内错角相等”进一步分析即可证得∠APC＝∠A−∠C； （3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD，先利用平行线性质得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后进一步得出∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，最后根据∠PEH＝∠PEG−∠GEH即可得出答案． 【详解】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，证明如下： 如图1所示，过点P作PQ∥AB， ∴∠A+∠APQ＝180°， 又∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠C+∠CPQ＝180°， ∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°， 即∠A+∠C+∠APC＝360°； （2）∠APC＝∠A−∠C，证明如下： 如图2所示，过点P作PQ∥AB， ∴∠A＝∠APQ， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠C＝∠CPQ， ∵∠APC＝∠APQ−∠CPQ， ∴∠APC＝∠A−∠C； （3）由（2）知，∠APC＝∠PAB−∠PCD， ∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°， ∴∠PCD＝110°， ∵AB∥CD， ∴∠PQB＝∠PCD＝110°， ∵EF∥PC， ∴∠BEF＝∠PQB＝110°， ∵∠PEG＝∠PEF， ∴∠PEG＝∠FEG， ∵EH平分∠BEG， ∴∠GEH＝∠BEG， ∴∠PEH＝∠PEG−∠GEH ＝∠FEG−∠BEG ＝∠BEF ＝55°． 【点睛】本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 【变式3-3】问题探究： 如下面四个图形中， ABCD． （1）分别说出图1、图2、图3、图4中，∠1与∠2、∠3三者之间的关系． （2）请你从中任选一个加以说明理由． 解决问题： （3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出．如果∠ABO=57°，∠DCO=44°，那么∠BOC=_______°． 【答案】(1) 图1：∠1+∠2＝∠3；  图2：∠1+∠2+∠3＝； 图3：∠1＝∠2+∠3；  图4：∠1+∠3＝∠2；(2)见解析；(3) 【分析】(1) 图1：首先过点P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案； 图2：首先过点P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案； 图3：由ABCD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案； 图4：由ABCD，根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案． （2）选图1，过点P作PEAB，由ABCD，即可得ABPECD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答案； （3）利用图1结论进行求解 【详解】(1)图1：∠1+∠2＝∠3；   图2：∠1+∠2+∠3＝   图3：∠1＝∠2+∠3；   图4：∠1+∠3＝∠2； (2)选择图1， 如图所示：过点P作EP//AB ∵ABCD，EPAB ∴ABEPCD ∴∠1=∠APE，∠2=∠EPC 又∵∠3＝∠APE+∠EPC ∴∠1+∠2＝∠3； (3)由图1可得：∠BOC＝∠ABO+∠DCO， 又∵∠ABO=57°，∠DCO=44°， ∴∠BOC=57°+44°＝101° 【点睛】考查了平行线的性质与三角形外角的性质．解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等定理的应用与辅助线的作法． 模型四、“骨折模型” 模型结论：∠E=∠B-∠D 如图，已知BC//DE，试猜想∠A、∠B、∠D 的关系，并说明理由． 解：∠BAD=∠D-∠B , 理由如下： 过点A 作 AG // BC 又 ∵CB//DE．  ∴AG//DE ∴∠GAB+∠B=180°，   ∠GAD+∠D=180° ∴ ∠BAD＝ ∠GAB- ∠GAD=180°-∠B–(180°-∠D)=∠D-∠B 即：∠BAD=∠D-∠B 【典例4】已知AB//CD ，求证：∠B＝∠E＋∠D 【答案】见解析 【分析】过点E作EF∥CD，根据平行线的性质即可得出∠B=∠BOD，根据平行线的性质即可得出∠BOD=∠BEF、∠D=∠DEF，结合角之间的关系即可得出结论． 【详解】证明：过点E作EF∥CD，如图 ∵AB∥CD， ∴∠B=∠BOD， ∵EF∥CD（辅助线）， ∴∠BOD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）； ∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换）， ∴∠BOD=∠E+∠D（等量代换）， 即∠B=∠E+∠D． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角． 【变式4-1】探索：小明在研究数学问题：已知，AB和CD都不经过点P，探索与、的数量关系． 发现：在图1中，；如图5 小明是这样证明的：过点Р作 ∴___________ ∵，． ∴__________ ∴ ∴ 即 （1）为小明的证明填上推理的依据； （2）理解： ①在图2中，与、的数量关系为_____________________； ②在图3中，若，，则的度数为_________________； （3）拓展： 在图4中，探究与、的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）①；②40°；（3），理由见解析． 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （2）①过点作，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； ②根据平行线的性质得出，根据三角形外角性质得出即可； （3）根据平行线的性质得出，求出，根据得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点作， ∴（两直线平行，内错角相等） ，． （平行于同一直线的两直线平行） 即 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行； （2）① 解：过点作， 所以， ，． ， ， ，， 即， 故答案为：； ② 解：，， ， ， ， 故答案为：； （3）解： ． 理由是：如图4，过点作， ， ， ，， （平行于同一直线的两直线平行） ， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质和判定，能正确作出辅助线是解此题的关键． 【变式4-2】已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD． （1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数； （2）如图2，判断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为 　 　． （3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数． 【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°． 【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解； （2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°； （3）先证明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的结论即可求解． 【详解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°， 过点P作PQ∥AB， ∴∠A=∠APQ=50°， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°， ∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°； （2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°， 如图，作PQ∥AB， ∴∠PAB=∠APQ， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP， ∵∠APD=∠APQ-∠DPQ， ∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°； ∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°； (3)设PD交AN于O，如图， ∵AP⊥PD， ∴∠APO=90°， 由题知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°， 又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°， ∴∠POA=∠PAB， ∵∠POA=∠NOD， ∴∠NOD=∠PAB， ∵DN平分∠PDC， ∴∠ODN=∠PDC， ∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)， 由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°， ∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD， ∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC) =180°-(180°+∠APD) =180°-(180°+90°) =45°， 即∠AND=45°． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 【变式4-3】如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点C作，则，根据平行线的性质可得出、，据此可得； （2）过点Q作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出； （3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出的度数，再结合（ 1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论． 【详解】（1）在图①中，过点C作，则．    ∵， ∴， ∴． （2）在图2中，过点Q作，则．    ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线． 一、单选题 1．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及对顶角相等的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补． 根据两直线平行，同旁内角互补和对顶角相等解答． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 2．（2023·江苏南通·中考真题）如图，中，，顶点，分别在直线，上．若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由得出的度数，根据补角的定义即可得出结论． 【详解】解：如图，   ，， ， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 3．（2024·江苏盐城·一模）如图，直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求得的度数，根据两直线平行，内错角相等即可得解． 【详解】解：由三角形的外角性质得，， ∵直线， ∴， 故选：B． 4．（2024·江苏扬州·一模）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，，，已知与平行，则的度数为（    ）     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线性质的应用，利用两直线平行，内错角相等，可以将求转化为求内角，可得，然后利用三角形内角和即可求解． 【详解】解： ， ， 、都与地面平行 ， ， 在中， ， ． 故选：B． 5．（2024·江苏宿迁·二模）如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质得到，由三角形外角的性质得到，，代入，即可求解， 本题考查了，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的额关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．（2024·江苏南通·二模）如图，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，先求得，再利用两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7．（2024·江苏扬州·一模）如图，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出，由三角形外角的性质得到． 由平行线的性质推出，由三角形外角的性质得到，而，即可求出． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 8．（2024·江苏苏州·一模）如图，直线，等腰直角三角尺（）的两个底角顶点分别在直线上，边与直线交于点．若平分，则的度数为（   ） A．60° B．67.5° C．70° D．75° 【答案】B 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，以及角平分线的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．先利用等腰直角三角形的性质可得，再利用角平分线的定义可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】 是等腰直角三角形，， ， 平分， ， ， ， 故选：B 二、填空题 9．（2024·江苏镇江·一模）如图，，与、分别相交于点E、F，点G在上，，已知，则的度数等于 °． 【答案】65 【分析】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键． 根据等腰三角形的性质求出，再根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：65． 10．（2024·江苏徐州·二模）小明观察“抖空竹”时发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：如图，已知，，，则的度数是 ． 【答案】/92度 【分析】本题考查了平行线的性质以及三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解题的关键．延长交于，由三角形的外角性质得，再由平行线的性质得出即可． 【详解】解：如图，延长交于， ， ． ， ， 故答案为：． 11．（2024·江苏盐城·一模）如图，已知，，，则为 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查平行线的性质，构造合适的辅助线是解题关键．过点作，则，进而可得，从而即可得解． 【详解】解：如图，过点作，则， ∵，， ∴， ， ． 故答案为：． 12．（2024·江苏苏州·二模）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，对顶角的性质，延长，交直线于点，由平行线的性质得，进而由三角形外角性质得，最后根据对顶角相等即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长，交直线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，是一块直角三角板，，，现将三角板叠放在一把直尺上，使得点C落在直尺的一边上，与直尺的另一边交于点D，与直尺的两边分别交于点E、F．若，则的度数为 ． 【答案】70 【分析】此题考查了平行线的性质，首先求出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】∵， ∴ ∵直尺的对边平行 ∴ 故答案为：70． 14．（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，是某款婴儿车的几何示意图，若，，，则的度数是 °． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，先证明，，再利用三角形的外角的性质解答即可． 【详解】∵，，， ∴，， ∴． 故答案为： 15．（2022·江苏南京·中考真题）如图，的顶点、分别在直线，上，，若，，则 ． 【答案】/32度 【分析】根据平行四边形的性质得到，再利用平行线的性质得到即可解答． 【详解】解：过点作， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 16．（2023·江苏徐州·中考真题）如图，在中，若，则 °．    【答案】/55度 【分析】先由邻补角求得，，进而由平行线的性质求得，，最后利用三角形的内角和定理即可得解． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了邻补角，平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 17．（2024·江苏常州·一模）如图，直线，点A在直线a上，点C在直线b上，，若，则 ． 【答案】46 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 过点B作射线，再根据，得出，，再根据即可求解． 【详解】解：过点B作射线，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：46． 三、解答题 18．探究： （1）如图a，若AB∥CD，则∠B+∠D＝∠E，你能说明为什么吗？ （2）反之，若∠B+∠D＝∠E，直线AB与CD有什么位置关系？请证明； （3）若将点E移至图b所示位置，此时∠B、∠D、∠E之间有什么关系？请证明； （4）若将E点移至图c所示位置，情况又如何？ （5）在图d中，AB∥CD，∠E+∠G与∠B+∠F+∠D又有何关系？ （6）在图e中，若AB∥CD，又得到什么结论？ 【分析】已知AB∥CD，连接AB、CD的折线内折或外折，或改变E点位置、或增加折线的条数，通过适当地改变其中的一个条件，就能得出新的结论，给我们创造性的思考留下了极大的空间，解题的关键是过E点作AB（或CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形． 【解答】解：（1）过E作EF∥AB， 则∠B＝∠BEF， ∵AB∥CD， ∴EF∥CD， ∴∠D＝∠DEF， ∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D． （2）若∠B+∠D＝∠E，由EF∥AB，∴∠B=∠BEF， ∵∠E＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D， ∴∠D＝∠DEF，∴EF∥CD， ∴AB∥CD； （3）若将点E移至图b所示位置，过E作EF∥AB， ∴∠BEF+∠B＝180°，∵EF∥CD，∴∠D+∠DEF=180° ∠E+∠B+∠D＝360°； （4）∵AB∥CD，∴∠B＝∠BFD， ∵∠D+∠E＝∠BFD， ∴∠D+∠E＝∠B； （5）∵AB∥CD，∴∠E+∠G＝∠B+∠F+∠D； （6）由以上可知：∠E1+∠E2+…+∠En＝∠B+∠F2+∠F2+…+∠Fn﹣1+∠D； 【点评】本题考查了平行线的性质与判定，属于基础题，关键是过E点作AB（或CD）的平行线，把复杂的图形化归为基本图形． 19．（2024春•建邺区校级期中）如图1，直线AB与直线CD，EF分别相交于点G、H，三条直线把平面分成①，②，…，⑥六个区域．规定：三条直线上的点不属于任何一个区域．当任意一点P落在某个区域时，连接PG，PH，可得到∠PGD，∠PHF，∠GPH． （1）如图2，当动点P落在区域④时，如果∠GPH＝∠PGD+∠PHF；那么CD与EF平行吗？请说明理由； （2）如图3，当动点P落在区域③时，∠PGD，∠PHF，∠GPH三角满足什么等量关系时，CD∥EF？（请说明理由） （3）如果直线CD∥EF，试探究动点P落在 　　区域时，存在∠GPH＝∠PHF﹣∠PGD． 【分析】（1）过点P作PI∥CD，根据平行线性质可得∠GPI＝∠PGD，然后再证明IP∥EF，进而证明结论； （2）过点P作PI∥CD，根据平行线的性质可得∠GPI＝180°﹣∠PGD、∠HPI＝180°﹣∠PHF，然后再利用角的和差即可解答； （3）当点P在①区域时，过点P作PI∥CD，先证明PI∥CD，再根据平行线的性质可得∠PHF＝∠PJG，由三角形外角和定理可得∠PGD＝∠PJG+∠GPH，然后根据等量代换即可判定区域①；同理判定区域②③④⑤⑥即可． 【解答】解：（1）CD∥EF，理由如下： 如图：过点P作PI∥CD． ∴∠GPI＝∠PGD， ∵∠GPH＝∠PGD+∠PHF， ∴∠PHF﹣∠GPH﹣∠PGD， ∵∠IPH＝∠GPH﹣∠GPI＝∠GPH﹣∠PGD， ∴∠IPH＝∠PHF， ∴IP∥EF， ∵PI∥CD， ∴CD∥EF． （2）当动点P落在区域③时，∠PGD，∠PHF，∠GPH三角满足∠GPH+∠PGD+∠PHF＝360°时；有CD∥EF，理由如下： 如图：过点P作PI∥CD， ∴∠GPI+∠PGD＝180°，即∠GPI＝180°﹣∠PGD， ∵IP∥EF， ∴∠HPI+PHF＝180°，即∠HPI＝180°﹣∠PHF， ∵∠GPH+∠PGD+∠PHF＝∠GPI+∠HPI+∠PGD+∠PHF＝180°﹣∠PGD+180°﹣∠PHF+∠PGD+∠PHF＝360°， ∴当动点P落在区域③时，∠PGD，∠PHF，∠GPH三角满足∠GPH+∠PGD+∠PHF＝360°时， 有CD∥EF。 （3）如图：当点P在①区域时，过点P作PI∥CD，PH交CD于J， ∵CD∥EF， ∴PI∥CD， ∴∠PHF＝∠PJG， ∵∠PGD＝∠PJG+∠GPH， ∴∠PGD＝∠PHF+∠GPH，即∠GPH＝∠PGD﹣∠PHF；即点P在①区域时不符合题意； 同理：可判定点P在③④⑥区域时不符合题意； 当点P在②区域时，过点P作PI∥CD，PH交CD于J， ∵CD∥EF， ∴PI∥CD， ∴∠PHF＝∠PJD， ∵∠PJD＝∠PGD+∠GPH， ∴∠PHF＝∠PGD+∠GPH，即∠GPH＝∠PHF﹣∠PGD；即点P在②区域时符合题意； 当点P在⑤区域时，过点P作PK∥CD， ∵CD∥EF， ∴PK∥EF， ∴∠PHF＝∠KPH，∠PGD＝∠KPG， ∴∠GPH＝∠KPH﹣∠KPG＝∠PHF﹣∠PGD，即点P在5区域时符合题意； 综上，点P在②或⑤区域时存在∠GPH＝∠PHF﹣∠PGD． 故答案为：②或⑤． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用平行线的判定与性质成为解题的关键 20．（2023春•崇川区期中）如图1，已知直线与直线交于点，与直线交于点，平分交直线于点，且． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设，． ①如图2，当点在点的右侧，且时，求的值； ②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【分析】（1）由平分，得到，又，所以，证得． （2）①由平分，平分，得到，由，可得，，，即可得到结果． ②当点在点的左侧时，由平分，平分，得到，由，，得到，，从而得到结果． 【解答】解（1）如图1，， 理由如下： 平分， ， ， ， ． （2）①如图2，平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． ②和之间的数量关系为或． 理由如下： 当点在点的右侧时，由①得， 当点在点的左侧时，如图3， 平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 综上得，和之间的数量关系为或． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练运用平行线的判定与性质是解题关键． 21．（2023春•海安市期末）如图，在中，．过点作． （1）判断是否平分，并说明理由； （2）如图2，点是射线上一动点（不与点，重合），平分交射线于，过点作于． ①当点在点左侧时，若，求的度数； ②点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由． 【分析】（1）根据得，结合已知条件得证； （2）①在直角三角形中，，则，根据，从而求出，即可求出； ②分两种情况进行讨论，当点在点左侧时和点在点右侧时，数形结合即可解答． 【解答】解：（1）平分， ， ， ． ， 平分， （2）， ， 、是角平分线， ，， ， ， ． ②设， ， ， 如图2，当点在点左侧时， 由（1）知， 平分交射线于， ， 又， ， ， ， ， ； 当点在点右侧时，如图： 、是角平分线， ，， ， ， ， ， ． 综上，或． 【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角，利用角的和差关系进行推理论证． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$