第01讲 导数的概念及其意义（4大知识点+4大必考题型+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（沪教版2020选修二）

第01讲 导数的概念及其意义 课程标准 学习目标 ①平均变化率 ②瞬时速度与瞬时变化率 ③导数的概念 ④导数的几何意义 1.会求函数在某一点附近的平均变化率. 2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 3.了解导函数的概念，理解导数的几何意义 4.会求简单函数的导函数. 5.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 知识点01 平均变化率 一般地，对于一个函数，通常将称为函数在以和为端点的区间上的平均变化率； 【即学即练1】在（1，2）内的平均变化率为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 知识点02瞬时速度与瞬时变化率 1.瞬时速度：在满足函数关系的运动中，函数在处的导数，就是时刻的瞬时速度； 2.瞬时变化率： 就是函数在处的瞬时变化率 【即学即练2】（2023上·上海·高三校考期中）物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 ． 知识点03 导数的概念 对于函数，比值的稳定值存在，在时有极限，并把这个极限记作；称为函数在处的导数； 记作；即有； 【即学即练3】已知函数在处可导，且则＝ ． 知识点04 导数的几何意义 （1）切线：在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线称为曲线在点处的切线； （2）的几何意义： 是曲线在处的切线的斜率； （3）曲线在处的切线的方程为： ； 【即学即练4】已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 题型一：平均变化率与瞬时变化率 一、填空题 1．（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）函数在到之间的平均变化率为 2．（23-24高二下·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为 ． 3．（23-24高三上·上海·期中）物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 ． 4．（22-23高二下·上海普陀·期中）函数，其中，函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是 二、解答题 5．（23-24高二上·上海·课后作业）从桥上将一小球掷向空中，小球相对于地面的高度h（单位：m）和时间t（单位：s）近似满足函数关系．问： (1)小球的初始高度是多少？ (2)小球在到这段时间内的平均速度是多少？ (3)小球在时的瞬时速度是多少？ (4)小球所能达到的最大高度是多少？何时达到？ 题型二：导数定义中极限的简单计算 一、填空题 1．（23-24高二下·上海·期中）已知为可导函数，且，则 ． 2．（23-24高二下·上海·期中）若，则 . 3．（23-24高二下·上海·期中）设函数在处存在导数为3，则 4．（23-24高二下·上海·阶段练习）极限 ． 5．（23-24高二下·上海·期中）若则 题型三：利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 1．（24-25高三上·上海·期中）已知是定义在上的可导函数，若，则 . 2．（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）已知函数，则 ． 3．（23-24高二下·上海·期中）已知函数在处的切线斜率为，且，则 . 题型四：导数的几何意义及其应用 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”.有以下两个结论： ①在区间上优于； ②在区间上优于. 那么（    ） A．①､②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①､②均错误 二、填空题 2．（24-25高三上·上海·期中）曲线在点处的切线是 .（一般式方程） 3．（23-24高二下·上海·期中）函数，则函数在点处的切线方程为 . 4．（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知函数在处的切线斜率为，且，则 5．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知函数的图像在点处的切线方程是，则 ． 6．（23-24高三上·上海青浦·期中）已知，曲线经过点且在该点处的切线方程为，则 . 7．（23-24高三上·上海闵行·期中）设曲线与函数的图像关于直线对称，设曲线仍然是某函数的图像，则实数的取值范围是 . 8．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知，，则的最小值为 ． 三、解答题 9．（24-25高三上·上海·期中）若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为，已知曲线. (1)判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由； (2)若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由； (3)对于任意的正实数，函数是否都存在“双夹线”？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由. 10．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数，若点是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； (1)若，求； (2)若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； (3)若，记函数的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围． 一、填空题 1．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，若，则 . 2．（25-26高三上·上海·期末）函数在区间上的平均变化率为 . 3．（22-23高二下·上海黄浦·期末）已知在区间上，如图所示的图像中， 有可能表示函数的图像.    4．（22-23高二下·上海浦东新·期末）设函数在处导数存在，若则 . 5．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数，若，则 . 6．（22-23高二下·上海长宁·期末）已知，则 . 7．（22-23高二下·上海杨浦·期中）定义域和值域都是的连续函数恰有17个驻点，导函数的定义域被这些驻点分割成18个小区间，其中恰有9个区间能使恒成立，若记的零点个数为，则的最大值为 . 8．（22-23高二下·上海浦东新·期中）若，则 ． 9．（2023·上海黄浦·三模）已知函数的图像在处的切线与在处的切线相互垂直，那么的最小值是 . 10．（2024·上海虹口·一模）2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为 ．（用含有H、h、m、t的式子表示） 11．（22-23高三下·上海浦东新·开学考试）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为 . 12．（2023·上海奉贤·三模）设，，A、D为曲线上两点，B，C为曲线上两点，且四边形ABCD为矩形，则实数b的取值范围为 ． 二、单选题 13．（24-25高三上·上海·期中）若函数在处的导数等于，则的值为（    ） A．0 B． C．a D． 14．（22-23高二下·上海闵行·期中）若函数在处导数为，则等于（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高二下·上海杨浦·期中）设曲线在点处的切线为l.则以下说法正确的个数是（    ） ①l与曲线可能没有交点 ； ②l与曲线一定只有一个交点；③l与曲线不可能有且仅有两个交点；④l与曲线可能有无穷多个交点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16．（22-23高二下·上海浦东新·期末）在区间上，若，则下列四个图中，能表示函数的图像的是（    ） A．   B．   C．   D．   三、解答题 17．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）遥控飞机上升后一段时间内，第时的高度为，其中上升高度的单位为m，t的单位为s； (1)求飞机在时间段内的平均速度； (2)求飞机在时的瞬时速度. 18．（24-25高三·上海·课堂例题）（1）当球的半径从1增加到2时，求球的体积相对于半径的平均变化率； （2）当球的半径时，求球的体积相对于半径的瞬时变化率. 19．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，其中，求： (1)点处的切线的斜率； (2)点处的切线方程. 20．（24-25高三·上海·课堂例题）如果曲线的一条切线与直线平行，求曲线与此切线相切的切点坐标. 21．（24-25高三·上海·课堂例题）设曲线在点处的切线与轴、轴分别交于、两点，为坐标原点，求的面积. 22．（23-24高三上·上海·期中）设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”. (1)若,试判断是否为“平缓函数”并说明理由; (2)已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由. (3)若函数是“平缓函数”,且是以为周期的周期函数,证明:对任意的,均有. 23．（2023·上海青浦·一模）已知有穷等差数列的公差d大于零． (1)证明：不是等比数列； (2)是否存在指数函数满足：在处的切线的交轴于，在处的切线的交轴于，…，在处的切线的交轴于？若存在，请写出函数的表达式，并说明理由；若不存在，也请说明理由； (3)若数列中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列，求出所有可能的m的取值． 24．（22-23高二下·上海普陀·期中）对于函数，分别在处作函数的切线，记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列”，同理记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列” (1)设函数，记“切线-轴数列”为，记为的前n项和，求. (2)设函数，记“切线-轴数列”为，猜想的通项公式并证明你的结论. (3)设复数均为不为0的实数，记为的共轭复数，设，记“切线-轴数列”为，求证：对于任意的不为0的实数，总有成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 导数的概念及其意义 课程标准 学习目标 ①平均变化率 ②瞬时速度与瞬时变化率 ③导数的概念 ④导数的几何意义 1.会求函数在某一点附近的平均变化率. 2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 3.了解导函数的概念，理解导数的几何意义 4.会求简单函数的导函数. 5.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 知识点01 平均变化率 一般地，对于一个函数，通常将称为函数在以和为端点的区间上的平均变化率； 【即学即练1】在（1，2）内的平均变化率为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用平均变化率的定义列式求解，化简得出正确选项. 【详解】当时，，当时，，故平均变化率为，故选C. 【点睛】本小题主要考查平均变化率的概念及运算，考查运算求解能力，属于基础题. 知识点02瞬时速度与瞬时变化率 1.瞬时速度：在满足函数关系的运动中，函数在处的导数，就是时刻的瞬时速度； 2.瞬时变化率： 就是函数在处的瞬时变化率 【即学即练2】（2023上·上海·高三校考期中）物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 ． 【答案】80 【分析】由瞬时变化速度计算公式可求当时，物体的瞬时速度. 【详解】因为. 所以该物体时，物体的瞬时速度为. 故答案为：80 知识点03 导数的概念 对于函数，比值的稳定值存在，在时有极限，并把这个极限记作；称为函数在处的导数； 记作；即有； 【即学即练3】已知函数在处可导，且则＝ ． 【答案】 【分析】根据题目条件得到，结合导数的定义求出答案. 【详解】根据题意，， 变形可得， 又由函数在处可导， 则. 故答案为：. 知识点04 导数的几何意义 （1）切线：在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线称为曲线在点处的切线； （2）的几何意义： 是曲线在处的切线的斜率； （3）曲线在处的切线的方程为： ； 【即学即练4】已知曲线. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求曲线过点的切线方程. 【答案】(1) (2)和 【分析】（1）先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用点斜式即可得到切线方程； （2）设过点的切线与曲线相切于点，然后根据曲线在点处切线的切线方程，求出切点坐标，从而可求出结果． 【详解】（1）由题意得，则在点处的切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）设曲线与过点的切线相切于点， 设切线的斜率为，则由点斜式得直线方程为，又因为切点为， 则，解得或， 则曲线过点处的切线方程为和. 题型一：平均变化率与瞬时变化率 一、填空题 1．（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）函数在到之间的平均变化率为 【答案】4 【分析】直接代入平均变化率公式即可解. 【详解】因为， 所以函数在到之间的平均变化率为:. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海·期中）函数在区间上的平均变化率为 ． 【答案】 【分析】根据平均变化率的公式，代入计算即可. 【详解】根据题意，， 在区间上，有，， 则其平均变化率. 故答案为：. 3．（23-24高三上·上海·期中）物体位移s和时间t满足函数关系，则当时，物体的瞬时速度为 ． 【答案】80 【分析】由瞬时变化速度计算公式可求当时，物体的瞬时速度. 【详解】因为. 所以该物体时，物体的瞬时速度为. 故答案为：80 4．（22-23高二下·上海普陀·期中）函数，其中，函数在区间上的平均变化率为，在上的平均变化率为，则与的大小关系是 【答案】 【分析】根据平均变化率公式求出与，再比较大小即可； 【详解】依题意， ， 所以，而，所以. 故答案为： 二、解答题 5．（23-24高二上·上海·课后作业）从桥上将一小球掷向空中，小球相对于地面的高度h（单位：m）和时间t（单位：s）近似满足函数关系．问： (1)小球的初始高度是多少？ (2)小球在到这段时间内的平均速度是多少？ (3)小球在时的瞬时速度是多少？ (4)小球所能达到的最大高度是多少？何时达到？ 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)最高高度为，在1.5秒时达到. 【分析】（1）由解析式求当时的高度即可； （2）根据平均速度的计算公式计算即可； （3）根据瞬时速度的计算公式计算即可； （4）利用二次函数的性质计算即可. 【详解】（1）当时，，即初始高度为； （2）当时，， 所以平均速度为； （3）由， 即时的瞬时速度是； （4）由可得，当时，， 小球的最高高度为，在1.5秒时达到. 题型二：导数定义中极限的简单计算 一、填空题 1．（23-24高二下·上海·期中）已知为可导函数，且，则 ． 【答案】8 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】， 则. 故答案为：8 2．（23-24高二下·上海·期中）若，则 . 【答案】 【分析】根据导函数的定义直接求解即可. 【详解】根据导数的定义：， 因为，所以. 故答案为： 3．（23-24高二下·上海·期中）设函数在处存在导数为3，则 【答案】3 【分析】直接根据导数的定义求解即可． 【详解】因为函数在处存在导数为3， 所以， 所以． 故答案为：3． 4．（23-24高二下·上海·阶段练习）极限 ． 【答案】/ 【分析】根据导数的定义结合题意直接求解即可. 【详解】 . 故答案为： 5．（23-24高二下·上海·期中）若则 【答案】 【分析】根据导函数的定义可得答案. 【详解】令， 因为 . 所以. 故答案为：. 题型三：利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率） 1．（24-25高三上·上海·期中）已知是定义在上的可导函数，若，则 . 【答案】1 【分析】根据导数的定义写出答案即可. 【详解】由导数定义知：. 故答案为：1 2．（22-23高二下·上海浦东新·阶段练习）已知函数，则 ． 【答案】/0.5 【分析】根据导函数的定义及求导公式求出答案. 【详解】由题意知，. 故答案为： 3．（23-24高二下·上海·期中）已知函数在处的切线斜率为，且，则 . 【答案】 【分析】根据导数的定义可得答案. 【详解】因为函数在处的切线斜率为， 且，则. 故答案为：. 题型四：导数的几何意义及其应用 一、单选题 1．（23-24高二下·上海·期中）对于函数和，及区间，若存在实数，使得对任意恒成立，则称在区间上“优于”.有以下两个结论： ①在区间上优于； ②在区间上优于. 那么（    ） A．①､②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①､②均错误 【答案】B 【分析】在同一个平面直角坐标系作出函数在区间D上的图形，由题意给的定义，根据数形结合的数学思想依次判断即可求解. 【详解】①：当时，；当时，， 所以函数图象都经过点， 则直线的方程为，即， 在同一个平面直角坐标系作出函数在区间上的图形，如图， 由图可知，， 即存在使得在区间上恒成立， 所以在区间上优于，故①正确； ②：问题等同于在区间上优于 在同一个平面直角坐标系作出函数在区间上的图形，如图， 由图可得，，即， 所以直线的方程为，即. 设曲线在处且平行于直线的切线为， 由，，得，解得， 则切点， 所以，即， 取，则， 所以切线位于直线的下方，则不存在实数使得 ， 即在区间上优于，故②不正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解函数新定义，利用导数研究不等式恒成立，和导数的几何意义；在利用导数求切线方程时，可用导数的意义求出切线的斜率. 二、填空题 2．（24-25高三上·上海·期中）曲线在点处的切线是 .（一般式方程） 【答案】 【分析】利用导数求得切线方程. 【详解】由，得， 所以切线的斜率为， 所以切线方程为. 故答案为： 3．（23-24高二下·上海·期中）函数，则函数在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，求出函数的导数以及的值，由函数导数的几何意义可得切线方程. 【详解】根据题意，， 则， 又因为， 所以由点斜式方程得， 化解得. 故答案为：. 4．（22-23高二下·上海嘉定·期中）已知函数在处的切线斜率为，且，则 【答案】 【分析】根据计算得到答案. 【详解】 而，则. 故答案为： 5．（22-23高二下·上海浦东新·期中）已知函数的图像在点处的切线方程是，则 ． 【答案】/ 【分析】根据导数几何意义直接判断即可. 【详解】函数的图像在点处的切线方程是 则. 故答案为：. 6．（23-24高三上·上海青浦·期中）已知，曲线经过点且在该点处的切线方程为，则 . 【答案】 【分析】利用导数的几何意义，结合导数的定义计算即得. 【详解】由点在直线上，得，又曲线在点处的切线方程为， 则，而，所以. 故答案为： 7．（23-24高三上·上海闵行·期中）设曲线与函数的图像关于直线对称，设曲线仍然是某函数的图像，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设是在点处的切线，进而根据题意得直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像，进而得的方程为，再联立方程即可得，进而得答案. 【详解】设是在点处的切线， 因为曲线与函数的图像关于直线 对称， 所以直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像， 如图所示直线与的角为，所以的倾斜角为，    所以的方程为 故联立方程得，即， 则，即与同解， 所以 所以的取值范围为. 故答案为： 8．（24-25高三上·上海闵行·期中）已知，，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】设，把问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值，再利用导数的几何意义求解即可； 【详解】， 设，则在函数的图象上，在函数的图象上，且与关于直线对称， 所以问题转化为求与图象上两点距离的平方的最小值， ，令，则，由对称性可得最小时，， ， 所以的最小值为. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能够把所求代数式转化为求与图象上两点距离的平方的最小值. 三、解答题 9．（24-25高三上·上海·期中）若斜率为的两条平行直线，曲线满足以下两条性质：（Ⅰ）分别与曲线至少有两个切点；（Ⅱ）曲线上的所有点都在之间或两条直线上．则称直线为曲线的一对“双夹线”，把“双夹线”之间的距离称为曲线在“方向上的宽度”，记为，已知曲线. (1)判断时，曲线是否存在“双夹线”，并说明理由； (2)若，试问：和是否是函数的一对“双夹线”？若是，求此时的值；若不是，请说明理由； (3)对于任意的正实数，函数是否都存在“双夹线”？若是，求的所有取值构成的集合；若不是，请说明理由. 【答案】(1)存在，理由见解析； (2)是，； (3)答案见解析. 【分析】（1）由定义结合三角函数图像得到“双夹线”； （2）利用导函数等于斜率，求出的切点坐标，验证切点个数，在用作差法得出函数图像在两直线之间，由定义得出； （3）由（2）的思路可知令即可找到切线方程及切点坐标，再由作差法验证函数在这两条直线之间，由定义得出及其范围. 【详解】（1）曲线：，由正弦函数的图像可知：和为曲线的一对“双夹线”，故曲线是存在“双夹线”. （2）曲线：， ，令，即， 时，，点是曲线与的一个切点； 时，，点是曲线与的一个切点； ∴直线与曲线至少存在两个切点， 同理可得时，，点是曲线与的一个切点； 时，，点是曲线与的一个切点； ∴直线与曲线至少存在两个切点， 令，， 则，， ∴和是函数的一对“双夹线”， . （3），则， ∵，当时，，则过点的切线方程为：， 当时，，过点的切线方程也为：， ∴直线与至少存在两个切点； 同理可得，直线与相切于点和， ∴直线与至少存在两个切点； 令，， 则， ， ∴在两条直线之间， 故对于任意的正实数，函数都存在“双夹线”， ， 的所有取值构成的集合. 【点睛】方法点睛：本题出现的一个新的定义，根据定义先通过导函数与直线斜率相等找到至少两个切点坐标，再由作差法判定曲线一点在两条直线之间. 10．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数，若点是函数的图像的两条互相垂直的切线的交点，则点是函数的“特征点”，记的所有“特征点”的集合为； (1)若，求； (2)若，求证：函数的所有“特征点”在一条定直线上，并求出这条直线的方程； (3)若，记函数的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）假设存在，求出导函数，利用导数的几何意义推出矛盾即可判断； （2）设“特征点”是在和处的切线的交点，求出切线方程，即可求出交点坐标，由切线互相垂直求出，即可得解； （3）依题意不存在图象上的点，使得该点是“特征点”，先利用反证法证明：对任意的实数，若图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点，假设，，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点，即可得方程对无解，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】（1）假设存在“特征点”，则存在两条互相垂直的切线， 设为和处的切线， 因为，所以， 所以不存在“特征点”，所以. （2）设“特征点”是在和处的切线的交点， 因为，所以， 所以在和处的切线方程为，， 联立解得，即， 因为两条切线相互垂直，所以， 所以，所以的所有“特征点”在一条定直线上. （3）因为，所以由题意可知不存在图象上的点，使得该点是“特征点”， 先证明：对任意的实数，若图象上的点是“特征点”，则该点本身一定是切点， 反证法：假设该点不是切点，则存在切线， 它与函数图象交于点，所以， 化简得，因为，所以， 同理可得，所以，两条切线重合，矛盾，所以该点本身一定是切点； 假设，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点， 则由前文可知，所以，， 因为， 所以，即， 设， 则有， 由题意可知图象上的点都不是“特征点”，即不存在这样的点， 所以方程对无解， 设，其对称轴为， 所以当时取最小值， 要使得无解，只需，解得. 【点睛】关键点睛：本题解答的关键是理解定义，利用导数、反证法相关知识进行解答，以达到转化的目的. 一、填空题 1．（23-24高一下·上海·期中）已知函数，若，则 . 【答案】/ 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】. 故答案为：. 2．（25-26高三上·上海·期末）函数在区间上的平均变化率为 . 【答案】1 【分析】利用平均变化率的定义，列式计算即得. 【详解】函数在区间上的平均变化率为. 故答案为：1 3．（22-23高二下·上海黄浦·期末）已知在区间上，如图所示的图像中， 有可能表示函数的图像.    【答案】① 【分析】利用导数的几何意义，结合图形即可得解. 【详解】因为在区间上， 所以在上，切线的斜率始终大于，仅①满足． 故答案为：①. 4．（22-23高二下·上海浦东新·期末）设函数在处导数存在，若则 . 【答案】 【分析】利用导数的定义可得出的值. 【详解】由导数的定义可得. 故答案为：. 5．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数，若，则 . 【答案】 【分析】由导数定义构造计算可以得到结果. 【详解】， 又，， 所以. 故答案为：. 6．（22-23高二下·上海长宁·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】先求出，然后代入中求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为：. 7．（22-23高二下·上海杨浦·期中）定义域和值域都是的连续函数恰有17个驻点，导函数的定义域被这些驻点分割成18个小区间，其中恰有9个区间能使恒成立，若记的零点个数为，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据驻点定义结合单调性判断，再因为值域为R确定零点个数即得. 【详解】定义域和值域都是的连续函数恰有17个驻点，导函数的定义域被这些驻点分割成18个小区间， 因为其中恰有9个区间能使恒成立，所以恰有9个区间能使恒成立， 为使零点个数最多，需使每个单调区间都存在零点，因此零点最多有18个， 但因为函数是值域是的连续函数，所以的最右侧区间与最左侧区间单调性相同， 从而必存在两个相邻的小区间的单调性相同，即此时对应的驻点非极值点， 因此这两个相邻小区上最多存在一个零点，即整个定义域上最多存在17个零点 所以若记的零点个数为，则的最大值为. 故答案为: . 8．（22-23高二下·上海浦东新·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】由导数的定义可知：. 故答案为：. 9．（2023·上海黄浦·三模）已知函数的图像在处的切线与在处的切线相互垂直，那么的最小值是 . 【答案】 【分析】求出，根据导数的几何意义得到，根据余弦函数的最值可得且，或且，分两种情况求出，然后求出其最小值即可. 【详解】因为， 所以， 依题意可得， 所以, 所以且， 或且， 当且时， ，，，， 所以，，， 所以，，， 所以当或时，取得最小值. 当且时， ，，，， 所以，，， 所以，，， 所以当或时，取得最小值. 综上所述：的最小值是. 故答案为：. 10．（2024·上海虹口·一模）2024年10月30日“神舟十九号”载人飞船发射成功，标志着中国空间站建设进入新阶段．在飞船竖直升空过程中，某位记者用照相机在同一位置以同一姿势连续拍照两次．已知“神舟十九号”飞船船体实际长度为H，且在照片上飞船船体长度为h，比较两张照片，相对于照片中的同一固定参照物飞船上升了m．假设该记者连按拍照键间的反应时间为t，并忽略相机曝光时长，若用平均速度估算瞬时速度，则拍照时飞船的瞬时速度为 ．（用含有H、h、m、t的式子表示） 【答案】 【分析】先求出第二次拍照飞船的实际上升的高度，再由实际上升的高度除以该记者连按拍照键间的反应时间为t，即可求出拍照时飞船的瞬时速度. 【详解】设第二次拍照飞船的实际上升了， 所以，解得：， 所以拍照时飞船的瞬时速度为：. 故答案为：. 11．（22-23高三下·上海浦东新·开学考试）已知曲线，过点作曲线的切线，则切线的方程为 . 【答案】 【分析】设切点坐标为，根据切线所过的点得到的方程，解出后可得所求的切线方程. 【详解】设切点坐标为，,则切线的斜率， 故切线方程为，又因为点在切线上， 所以，整理得到， 解得，所以切线方程为． 故答案为: . 12．（2023·上海奉贤·三模）设，，A、D为曲线上两点，B，C为曲线上两点，且四边形ABCD为矩形，则实数b的取值范围为 ． 【答案】 【分析】对分，和讨论，并寻找其极限位置即可. 【详解】因为两个函数图像大小相同,只是水平移动， 当时,取,当,的纵坐标趋向于正无穷大的时候,可以无限接近为一个矩形， 当时,若能成为矩形必有上的处的在斜率比上的点增长率大， 所以必有,这与矛盾. 当时,取,此时处的斜率为2,取临界,,此时得到， 即当时,可以看成极限时候的矩形. 当时,若能成为矩形必有上的处的在斜率比上的点增长率大， 所以必有,这与矛盾. 所以的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是寻找特殊位置，找到临界值的情况，对进行合理地分类讨论，从而得到其范围. 二、单选题 13．（24-25高三上·上海·期中）若函数在处的导数等于，则的值为（    ） A．0 B． C．a D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用导数的定义直接计算可求解. 【详解】. 故选：D. 14．（22-23高二下·上海闵行·期中）若函数在处导数为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的定义即可直接求解. 【详解】 , 故选：D. 15．（22-23高二下·上海杨浦·期中）设曲线在点处的切线为l.则以下说法正确的个数是（    ） ①l与曲线可能没有交点 ； ②l与曲线一定只有一个交点；③l与曲线不可能有且仅有两个交点；④l与曲线可能有无穷多个交点 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据切线的定义，结合直线与曲线的位置关系，即可判断. 【详解】①因为直线为曲线在点处的切线，所以至少有交点，故①错误； ②有可能切线与曲线有其他的交点，故②错误； ③切线与曲线有可能除切点外，还有1个交点，即仅有两个交点，故③错误； ④切线与曲线有可能有无穷多个交点，比如与，故④正确. 故选：B 16．（22-23高二下·上海浦东新·期末）在区间上，若，则下列四个图中，能表示函数的图像的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据导数值与函数切线斜率的关系即可判断. 【详解】根据导数值与切线斜率的关系可知，在区间上时，函数图象在任意一点处的切线斜率恒大于1，则显然BCD不合题意， 对A选项，函数在处的切线斜率等于1，且在上，切线斜率不断增大，则恒成立，故A正确. 故选：A. 三、解答题 17．（23-24高二下·上海闵行·阶段练习）遥控飞机上升后一段时间内，第时的高度为，其中上升高度的单位为m，t的单位为s； (1)求飞机在时间段内的平均速度； (2)求飞机在时的瞬时速度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平均变化率计算； （2）根据瞬时变化率计算． 【详解】（1）. （2）第末的瞬时速度为 . 因此，第末的瞬时速度为. 18．（24-25高三·上海·课堂例题）（1）当球的半径从1增加到2时，求球的体积相对于半径的平均变化率； （2）当球的半径时，求球的体积相对于半径的瞬时变化率. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用平均变化率的定义计算即得. （2）利用瞬时变化率的定义，列式计算即得. 【详解】（1）平均变化率为. （2）瞬时变化率为. 19．（24-25高三·上海·课堂例题）已知函数，其中，求： (1)点处的切线的斜率； (2)点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的定义即可求得点处的切线的斜率； （2）根据导数的几何意义，即可求得答案. 【详解】（1）点处的切线的斜率为 ， 即点处的切线的斜率是； （2）结合（1）可得切线方程为，即. 20．（24-25高三·上海·课堂例题）如果曲线的一条切线与直线平行，求曲线与此切线相切的切点坐标. 【答案】或 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义可列方程，即可求得答案. 【详解】设切点坐标为，则， 曲线在点P的切线与直线平行， 则切线斜率为 ， 则；当时，；当时，， 所以切点坐标为或. 21．（24-25高三·上海·课堂例题）设曲线在点处的切线与轴、轴分别交于、两点，为坐标原点，求的面积. 【答案】2 【分析】求出曲线在点处的切线斜率，可得切线方程，求出A，B坐标，即可求得答案. 【详解】点处的切线的斜率， 故切线方程为，即， 令，，则, 令，，则，则. 22．（23-24高三上·上海·期中）设是定义域为的函数,如果对任意的,均成立,则称是“平缓函数”. (1)若,试判断是否为“平缓函数”并说明理由; (2)已知的导函数存在,判断下列命题的真假:若是“平缓函数”,则,并说明理由. (3)若函数是“平缓函数”,且是以为周期的周期函数,证明:对任意的,均有. 【答案】(1)不是,证明见解析 (2)真命题,证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）可令,根据“平缓函数”的定义判断即可; （2）根据导函数的定义,令,结合“平缓函数”的定义即可证明; （3）因为是以为周期的周期函数,不妨设,分为,根据函数是“平缓函数”即可证明; 【详解】（1）令,因为,则,,不满足对任意的,均成立,故不是“平缓函数”. （2）命题为真命题. 因为, 不妨令, 因为是“平缓函数”, 则, 所以, 故命题为真命题. （3）因为是以为周期的周期函数,不妨设, 当时,因为函数是“平缓函数”, 则; 当时,不妨设,则, 因为是以为周期的周期函数, 则, 因为函数是“平缓函数”, 所以 , 所以对任意的,均有, 因为是以为周期的周期函数, 所以对任意的,均有. 【点睛】本题主要是根据函数是“平缓函数”的定义和性质进行判断和证明,考查了学生的逻辑推理能力、运算能力,关键点点睛:第二问借助导函数的定义进行证明;第三问利用是以为周期的周期函数得,进行适当放缩即可证明. 23．（2023·上海青浦·一模）已知有穷等差数列的公差d大于零． (1)证明：不是等比数列； (2)是否存在指数函数满足：在处的切线的交轴于，在处的切线的交轴于，…，在处的切线的交轴于？若存在，请写出函数的表达式，并说明理由；若不存在，也请说明理由； (3)若数列中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列，求出所有可能的m的取值． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在指数函数满足条件，理由见解析 (3)3 【分析】（1）计算，得到证明； （2）计算切线方程，令得，即，满足条件. （3）举例说明时成立，考虑时，确定不可能所有项均为正数或均为负数，的前三项即为中最小的三项，确定，考虑，两种情况，根据等比数列性质得到，整理得到，，，验证不成立，得到答案. 【详解】（1），故不是等比数列. （2）在处的切线方程为， 令得，因此，欲使满足条件，只需使， 令，则，满足条件， 故存在指数函数满足条件． （3）取，则成等比数列，故满足条件． 考虑， 首先，不可能所有项均为正数或均为负数， 否则，对应的等比数列的公比为正，等比数列严格增或严格减， 从而即为等比数列，不可能． 其次，因为是等比数列，所以也是等比数列，不妨设严格增， 则的前三项即为中最小的三项， 则一定对应于中的连续三项，     不妨设，则． ①若，则，则成等比数列，不可能； ②若，则，则成等比数列， ，即，得，，， 而除了这三项外，最小值为或， 但和均无法与构成等比数列，因此不符合条件． 综上所述：所有可能的的值是3． 【点睛】关键点睛：本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据特殊例子确定满足条件，再考虑时不成立，是解题的关键. 24．（22-23高二下·上海普陀·期中）对于函数，分别在处作函数的切线，记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列”，同理记切线与轴的交点分别为，记为数列的第n项，则称数列为函数的“切线-轴数列” (1)设函数，记“切线-轴数列”为，记为的前n项和，求. (2)设函数，记“切线-轴数列”为，猜想的通项公式并证明你的结论. (3)设复数均为不为0的实数，记为的共轭复数，设，记“切线-轴数列”为，求证：对于任意的不为0的实数，总有成立. 【答案】(1)当是正奇数时，；当是正偶数时， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出导数，设出切点，表示出切线方程，根据“切线-轴数列”的定义即可求出数列的通项公式，进一步分类讨论即可求其前项和. （2）求出导数，设出切点，表示出切线方程，根据“切线-轴数列”的定义即可求出数列的通项公式. （3）由复数的概念、运算先表示出，再求出导数，设出切点，表示出切线方程，根据 “切线-轴数列”的定义即可求出数列的通项公式结合的定义以及模即可得证. 【详解】（1）由题意，则，设切点为， 则过切点的切线为， 令，整理得， 当是正奇数时，；当是正偶数时，； 所以当是正奇数时，；当是正偶数时，. （2）猜想的通项公式为，证明过程如下： 由题意，则，设切点为， 则过切点的切线为， 令，整理得. （3）由题意，则， 所以， 设切点为， 则过切点的切线为， 令，整理得. 【点睛】关键点睛：解决问题的关键是读懂新定义的数列，然后具体会求切线方程进行运算转换即可，综合性较强. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$