第五单元 认识方程 知识归纳与题型突破（知识清单）-2024-2025学年四年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第五章 认识方程 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、字母表示数 1.用字母或含有字母的式子都可以表示数量。含有字母的式子既可以表示数量关系，也可以表示结果，表示数量关系时它的值是待定的。 2.通常用固定的字母表示运算律，用字母表示运算律更简便易记。 二、等量关系的意义 等量关系是指数量之间具有的相等的关系。寻找等量关系的方法有很多，画图是最有效、最直观的方法。同一个等量关系，可以用不同的形式表示。 三、方程的意义 1.含有未知数的等式叫方程。方程都是等式，但等式不一定都是方程。 2.用方程可以表示等量关系。 四、运用等式的性质解方程 1.等式两边都加上(或减去)同一个数，等式仍然成立。这就是等式的性质(一)。 2.利用等式的性质(一)可以解形如x+a=b和x-a=b的方程，求出方程的解；求方程的解的过程叫解方程。 3.等式两边都乘同一个数或都除以同一个不为0的数，等式仍然成立。这就是等式的性质（二）。 4.利用等式的性质（二）可以解形如ax=b和x÷a=b的方程。书写时不能用混合运算的脱式写法进行计算。 五、利用等式的性质解形如“ax±b＝c(a≠0)”的方程 03 题型归纳 题型一　用字母表示数和含字母式子的求值 例1．（2024春•桥西区期末）李亮和张红两人同时从家出发相向而行，5分钟后相遇。 （1）用含有字母的式子表示李亮和张红家之间的距离。 （2）当a＝75，b＝60时，他们两家的距离是多少米？ 【分析】（1）路程＝速度×时间，据此求出李亮和张红5分钟各自行驶的路程，再将两人行驶的路程相加即可求出李亮和张红家之间的距离； （2）将a、b的取值代入（1）题的数量关系式即可求出他们两家距离的具体数值。 【解答】解：（1）5×a+5×b ＝5a+5b ＝5（a+b）（米） 答：用含有字母的式子表示李亮和张红家之间的距离是5（a+b）米。 （2）当a＝75，b＝60时， 5×（75+60） ＝5×135 ＝675（米） 答：他们两家的距离是675米。 【点评】用字母表示表示数时，数字与字母，字母与字母之间的乘号可以省略，也可以用小圆点“•”表示；字母与数字相乘时，省略乘号，并且把数字放在字母的前面。当数字是“1”时，“1”常常省略不写；多个字母相乘时，一般按字母顺序书写。 巩固训练 1．（2024秋•莱芜区期中）和谐号列车的平均速度为220千米/时，复兴号列车的平均速度为350千米时。 （1）行驶x小时，复兴号比和谐号多行驶多少千米？ （2）当x＝9时，复兴号比和谐号多行驶多少千米？ 【分析】（1）根据“路程＝速度×时间”分别求出复兴号和和谐号行驶的路程，再比较； （1）把x＝9代入（1）的结果即可解答。 【解答】解：（1）350x﹣220x＝130x 答：复兴号比和谐号多行驶130x千米。 （2）当x＝9时， 130x＝130×9＝1170（千米） 答：复兴号比和谐号多行驶1170千米。 【点评】掌握用字母表示数的方法是解题的关键。 2．（2024秋•泗水县期中）根据题意只列式不计算。 （1）小明体重m千克，妈妈体重56.6千克，比小明重23.4千克。 （2）2千克苹果a元，买b千克苹果要多少元？ 【分析】（1）小明的体重＝妈妈的体重﹣23.4； （2）根据“单价＝总价÷数量”求出单价，再根据“总价＝单价×数量”即可求解。 【解答】解：（1）m＝56.6﹣23.4＝33.2（千克） 答：小明体重33.2千克。 （2）a÷2×b＝0.5ab（元） 答：买b千克苹果要0.5ab元。 【点评】做这类用字母表示数的题目时，解题关键是根据已知条件，把未知的数用字母正确地表示出来，然后根据题意列式计算即可得解。 3．（2024春•潍坊期末）运输车从果园到市场用了7小时，平均每小时行a千米。返回时只用了5小时。 （1）用含有字母的式子表示返回时的平均速度。 （2）当a＝60时，返回时的平均速度是多少千米/时？ 【分析】（1）首先根据速度×时间＝路程，用运输车去时的速度乘用的时间，求出从果园到市场的距离是多少；然后根据路程÷时间＝速度，用果园到市场的距离除以返回用的时间，表示出返回时平均每小时行多少千米即可。 （2）把a＝60代入（1）中求出的返回时的速度的表达式，求出返回时的速度是多少即可。 【解答】解：（1）7a÷5＝1.4a 答：返回时平均速度是1.4a千米/时。 （2）当a＝60时 1.4a ＝1.4×60 ＝84 答：当a＝60时，返回时的平均速度是84千米/时。 【点评】（1）此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握。 （2）此题还考查了用字母表示数的方法，以及含字母式子的求值方法，要熟练掌握。 题型二　方程、等式的意义和解方程 例2．（2024春•惠来县期末）列方程，并解方程。 （1） （2）我想一个数x，这个数乘6再减去3是117。 【分析】（1）由题图可知：x的4倍加上45支的和等于129支，据此列方程求出x的值即可； （2）根据等量关系：这个数×6﹣3＝117列方程解答即可。 【解答】解：（1）4x+45＝129 4x+45﹣45＝129﹣45 4x＝84 4x÷4＝84÷4 x＝21 （2）6x﹣3＝117 6x﹣3+3＝117+3 6x＝120 6x÷6＝120÷6 x＝20 【点评】找出题中的等量关系是列方程的关键，掌握等式的基本性质是解方程的关键。 巩固训练 1．（2023秋•丰润区期末）解方程，带☆的要检验。 8x﹣4×14＝0 ☆（100﹣3x）÷2＝8 【分析】先化简，根据等式的性质，在方程两边同时加上56，再同除以8求解。 首先根据等式的性质，两边同时乘2，然后两边再同时加上3x，两边再同时减去16，最后两边同时除以3即可。把求出的x的值代入原方程，看能否使方程左边等于右边进行检验即可。 【解答】解：8x﹣4×14＝0 8x﹣56＝0 8x﹣56+56＝0+56 8x÷8＝56÷8 x＝7 （100﹣3x）÷2＝8 （100﹣3x）÷2×2＝8×2 100﹣3x＝16 100﹣3x+3x＝16+3x 16+3x＝100 16+3x﹣16＝100﹣16 3x＝84 3x÷3＝84÷3 x＝28 检验：把x＝28代入方程（100﹣3x）÷2＝8，得： （100﹣3×28）÷2 ＝（100﹣84）÷2 ＝16÷2 ＝8 ＝方程右边 所以x＝28是方程（100﹣3x）÷2＝8的解。 【点评】本题考查了运用等式的性质解方程的方法，计算时要细心，注意把等号对齐。 2．（2022春•埇桥区期末）请你画图或举例说说下面这句话的意思： 等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍成立． 【分析】等式的性质是指在等式的两边同时加、减同一个数，或同时乘、除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式，然后举例说明即可． 【解答】解：5+10＝15， （5+10）×2＝30， 15×2＝30， （5+10）÷5＝3， 15÷5＝3，所以等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍成立． 【点评】此题考查学生对等式的基本性质的理解，要注意：同时乘或除以同一个数时，必须是0除外． 3．（2023春•天门期中）3个连续奇数的和是2007，这三个数分别是多少？（列方程解） 【分析】设中间的奇数是x，则这3个连续的奇数分别为x﹣2，x，x+2，然后根据题意列出方程解答即可。 【解答】解：设中间的奇数是x，则这3个连续的奇数分别为x﹣2，x，x+2。 x﹣2+x+x+2＝2007 3x＝2007 x＝669 669﹣2＝667 669+2＝671 答：这三个数分别是669、669、671。 【点评】了解自然数中，奇数的排列规律是完成本题的关键。 题型三　列方程解应用题 例3．（2024秋•顺义区期末）某小区改造电路，装完4个住户后还剩120米。 ①每个住户需要使用多少米电线？（列方程解答） ②一个单元有12个住户，共使用多少千米电线？ 【分析】①设每个住户需要使用x米电线，根据等量关系：每个住户需要使用电线的米数×4+剩下的米数＝总米数，列方程解答即可。 ②用每个住户需要使用电线的米数乘12，即可得共使用电线的米数，再换算单位即可。 【解答】解：①设每个住户需要使用x米电线。 1千米＝1000米 4x+120＝1000 4x＝880 x＝220 答：每个住户需要使用220米电线。 ②220×12＝2640（米） 2640米＝2.64千米 答：共使用2.64千米电线。 【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。 巩固训练 1．（2023秋•岱岳区期末）某学校组织高年级学生到博物馆研学，五年级学生有196人，比六年级的2倍少26人，六年级有学生多少人？（先画线段图，再列方程解答） 【分析】根据比比六年级的2倍少26人，可知本题的等量关系：五年级学生人数×2﹣26＝六年级学生人数，据此等量关系式可列方程解答。 【解答】解：设六年级有学生x人。 如图： 2x﹣26＝196 2x﹣26+26＝196+26 2x÷2＝222÷2 x＝111 答：六年级有学生111人。 【点评】本题的关键是找出题目中的等量关系式，然后根据等量关系式列方程解答。 2．（2023秋•宣恩县月考）父亲的年龄是儿子的2倍，父子两人的年龄和是87岁．父亲、儿子各多少岁？ 【分析】设儿子x岁，则父亲就是2x岁，依据父子两人的年龄和是87岁可列方程：x+2x＝87，依据等式的性质即可求解． 【解答】解：设儿子x岁 x+2x＝87 3x＝87 3x÷3＝87÷3 x＝29 2×29＝58（岁） 答：父亲58岁，儿子29岁． 【点评】本题还可以运用和倍关系解答：以儿子年龄为标准量，则两人年龄和就是儿子年龄的2+1＝3倍，运用除法性质即可解答． 3．（2023秋•德江县期末）“古有嫦娥奔月，今有神舟飞天。”2023年6月4日，神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆成功着陆。本次航天员乘组在空间站组合体共工作生活186天。（用方程解答） 【分析】设神舟十二号航天员乘组在空间站组合体生活了x天，根据等量关系：神舟十二号航天员乘组在空间站组合体生活的天数×2+6天＝神舟十五号航天员乘组在空间站组合体生活的天数，列方程解答即可。 【解答】解：设神舟十二号航天员乘组在空间站组合体生活了x天。 2x+6＝186 2x＝180 x＝90 答：神舟十二号航天员乘组在空间站组合体生活了90天。 【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 认识方程 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、字母表示数 1.用字母或含有字母的式子都可以表示数量。含有字母的式子既可以表示数量关系，也可以表示结果，表示数量关系时它的值是待定的。 2.通常用固定的字母表示运算律，用字母表示运算律更简便易记。 二、等量关系的意义 等量关系是指数量之间具有的相等的关系。寻找等量关系的方法有很多，画图是最有效、最直观的方法。同一个等量关系，可以用不同的形式表示。 三、方程的意义 1.含有未知数的等式叫方程。方程都是等式，但等式不一定都是方程。 2.用方程可以表示等量关系。 四、运用等式的性质解方程 1.等式两边都加上(或减去)同一个数，等式仍然成立。这就是等式的性质(一)。 2.利用等式的性质(一)可以解形如x+a=b和x-a=b的方程，求出方程的解；求方程的解的过程叫解方程。 3.等式两边都乘同一个数或都除以同一个不为0的数，等式仍然成立。这就是等式的性质（二）。 4.利用等式的性质（二）可以解形如ax=b和x÷a=b的方程。书写时不能用混合运算的脱式写法进行计算。 五、利用等式的性质解形如“ax±b＝c(a≠0)”的方程 03 题型归纳 题型一　用字母表示数和含字母式子的求值 例1．（2024春•桥西区期末）李亮和张红两人同时从家出发相向而行，5分钟后相遇。 （1）用含有字母的式子表示李亮和张红家之间的距离。 （2）当a＝75，b＝60时，他们两家的距离是多少米？ 巩固训练 1．（2024秋•莱芜区期中）和谐号列车的平均速度为220千米/时，复兴号列车的平均速度为350千米时。 （1）行驶x小时，复兴号比和谐号多行驶多少千米？ （2）当x＝9时，复兴号比和谐号多行驶多少千米？ 2．（2024秋•泗水县期中）根据题意只列式不计算。 （1）小明体重m千克，妈妈体重56.6千克，比小明重23.4千克。 （2）2千克苹果a元，买b千克苹果要多少元？ 3．（2024春•潍坊期末）运输车从果园到市场用了7小时，平均每小时行a千米。返回时只用了5小时。 （1）用含有字母的式子表示返回时的平均速度。 （2）当a＝60时，返回时的平均速度是多少千米/时？ 题型二　方程、等式的意义和解方程 例2．（2024春•惠来县期末）列方程，并解方程。 （1） （2）我想一个数x，这个数乘6再减去3是117。 巩固训练 1．（2023秋•丰润区期末）解方程，带☆的要检验。 8x﹣4×14＝0 ☆（100﹣3x）÷2＝8 2．（2022春•埇桥区期末）请你画图或举例说说下面这句话的意思： 等式两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍成立． 3．（2023春•天门期中）3个连续奇数的和是2007，这三个数分别是多少？（列方程解） 题型三　列方程解应用题 例3．（2024秋•顺义区期末）某小区改造电路，装完4个住户后还剩120米。 ①每个住户需要使用多少米电线？（列方程解答） ②一个单元有12个住户，共使用多少千米电线？ 巩固训练 1．（2023秋•岱岳区期末）某学校组织高年级学生到博物馆研学，五年级学生有196人，比六年级的2倍少26人，六年级有学生多少人？（先画线段图，再列方程解答） 2．（2023秋•宣恩县月考）父亲的年龄是儿子的2倍，父子两人的年龄和是87岁．父亲、儿子各多少岁？ 3．（2023秋•德江县期末）“古有嫦娥奔月，今有神舟飞天。”2023年6月4日，神舟十五号载人飞船返回舱在东风着陆成功着陆。本次航天员乘组在空间站组合体共工作生活186天。（用方程解答） 学科网（北京）股份有限公司 $$