专题7.7 相交线与平行线（8大知识点5大考点18类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题7.7 相交线与平行线（8大知识点5大考点18类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】对顶角和邻补角 邻补角：两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角；特点：是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线；性质：邻补角互补. 对顶角：相对的两个角叫做对顶角；特点：它们的两条边互为反向延长线；性质：对顶角相等。 【知识点2】同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条直线所截： 同位角F（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧） 内错角Z（在两条直线内部，位于第三条直线两侧） 同旁内角U（在两条直线内部，位于第三条直线同侧） 【知识点3】垂直 垂直定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。 垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足 垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 垂线段最短。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 【知识点4】平行公理 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c 【知识点5】平行线的判定 平行线的判定：①同位角相等，两直线平行。②内错角相等，两直线平行。 ③同旁内角互补，两直线平行。 平行线判定推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 平行线的性质： ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。 【知识点6】平移 平移定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。 对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 平移性质：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。②对应点的线段平行且相等。 【知识点7】命题 命题：判断一件事情的语句叫命题。 命题分为题设和结论两部分；题设是如果后面的，结论是那么后面的。 命题分为真命题和假命题两种；定理是经过推理证实的真命题。 【知识点8】用尺规作线段和角 尺规作图：尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。 直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。 圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长度为半径画一段弧。 考点与题型目录 【考点一】夯实基本概念 【题型1】对顶角与邻补角.....................................................3 【题型2】垂直定义...........................................................5 【题型3】同位角、内错角、同旁内角...........................................7 【题型4】定义、命题、定理...................................................9 【考点二】性质和判定条分缕析 【题型5】对顶角和邻补角性质................................................10 【题型6】垂直、对顶角和邻补角性质综合......................................12 【题型7】垂线段公理........................................................14 【题型8】平行线的判定......................................................16 【题型9】平行线的性质......................................................18 【题型10】平移的性质.......................................................20 【考点三】尺规作图操作理解 【题型11】尺规作图——作平行线与垂线.......................................22 【题型12】尺规作图——平移.................................................25 【考点四】相交线与平行线求值与证明娴熟精通 【题型13】相交线求值与证明.................................................36 【题型14】利用平行线的性质与判定求值.......................................30 【题型15】利用平行线的性质与判定证明求值...................................33 【题型16】平行线间的距离...................................................36 【考点五】链接中考与延伸拓展 【题型17】中考链接.........................................................39 【题型18】拓展延伸.........................................................41 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】夯实基本概念 【题型1】对顶角与邻补角 【例1】（21-22七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，直线相交于点O，则的对顶角是 ，的邻补角是 ． 【答案】 / 和 【分析】对顶角:有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角.邻补角的定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角.根据这两个定义求解即可． 解：的对顶角是； 的邻补角是，； 故答案为：；，． 【点拨】此题主要考查了对顶角和邻补角，关键是掌握定义，邻补角有两个，不要漏解． 【变式1】（21-22七年级下·河北承德·期末）下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据邻补角、对顶角的性质判断即可． 解：A、∠1+∠2＝180°，但∠1与∠2不一定相等，本选项不符合题意； B、∠1与∠2是对顶角，一定相等，故本选项符合题意； C、∠1与∠2不一定相等，本选项不符合题意； D、∠1与∠2不一定相等，本选项不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质，掌握对顶角相等是解题的关键． 【变式2】（2021七年级下·全国·专题练习）判断正误： （1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角（    ） （2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（    ） （3）有一条公共边的两个角是邻补角（    ） （4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互补（    ） （5）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角（    ） 【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）× 【分析】根据对顶角与邻补角的定义与性质分析判断即可求解． 解：（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角，错误； （2）如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，错误； （3）有一条公共边的两个角不一定是邻补角，错误； （4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互补，正确； （5）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角不一定是邻补角，错误； 故答案为：（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×． 【点拨】本题主要考查了对顶角的与邻补角的性质，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键，如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角． 【题型2】垂直的定义 【例2】（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直的定义，角的和差运算，根据垂直的定义可得，再根据即可求解． 解：，， ， 又， ， 故选B． 【变式1】（24-25七年级上·重庆·期末）如图，是北偏西方向的一条射线，，则表示的方位角是（    ） A．东偏北 B．东偏北 C．北偏东 D．北偏东 【答案】D 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．由题意得：，再根据垂直定义可得，然后利用角的和差关系求出的度数，再根据方向角的定义即可解答． 解：如图： 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴表示的方位角是北偏东． 故选：D． 【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知的两边与的两边分别垂直，且比的倍少，则 ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了垂线，因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因比的3倍少，所以可设是度，利用方程即可解决问题． 解：设是度， 如图：    ∴， ∵， ∴， ∵比的3倍少 ∴， 解得：， 故； 如图：    根据四边形的内角和可得：， ∴ ∵比的3倍少 ∴， ∴， ∴ 综上所述：的度数为：或． 故答案为：或． 【题型3】同位角、内错角、同旁内角 【例3】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，指出图中直线，被直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角．（仅指用数字标出的角） 【答案】见分析 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，同位角：在两条直线被第三条直线所截的同侧，被截两直线同侧的两个角称为同位角；内错角：在两条直线被第三条直线所截的两侧，且夹在两条被截直线之间的一对角称为内错角；同旁内角：在两条直线被第三条直线所截的同旁，被截两直线之间的两个角称为同旁内角；由此即可得出答案． 解：由图可得： 同位角：与，与； 内错角：与，与； 同旁内角：与，与． 【变式1】（22-23七年级下·上海奉贤·期中）如图，下列说法正确的是（    ）    A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义逐个判断即可． 解：、和不是同位角，故本选项不符合题意； B、和不是内错角，故本选项不符合题意； C、和是内错角，不是同位角，故本选项不符合题意； D、和是同旁内角，故本选项符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的定义等知识点，能正确找出同位角、内错角、同旁内角是解此题的关键． 【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，直线b、c被直线a所截，如果，，那么与其内错角的角度之和等于 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了三线八角，对顶角、邻补角性质，解题的关键在于找准的内错角，再根据对顶角、邻补角性质求解，即可解题． 解：， 的内错角为， ， ， 与其内错角的角度之和为， 故答案为：． 【题型4】定义、命题、定理 【例4】（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，与交于点．现给出以下四个论断：①于点；②于点；③；④．请从中选三个作为已知条件，剩余的一个作为结论，写出一个真命题（用序号表示，如①②③→④），并给出证明．真命题：__________． 证明： 【答案】条件：①②④，结论：③；证明见分析 【分析】本题考查的是真假命题的含义，全等三角形的判定与性质，先写出①②④为条件，③为结论；再根据条件证明，从而可得结论． 解：条件：①②④，结论：③ 理由：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列命题是真命题的为（    ） A．内错角相等 B．周长相等的两个三角形全等 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查判断命题的真假，解题的关键是根据相关知识对命题进行分析判断； 利用平行线的性质、全等三角形的判定、等式的性质及不等式的性质，逐一进行判断即可． 解：A． 两直线平行，内错角相等，所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意； B． 周长相等的两个三角形不一定全等，例如，一个边长为 3、4、5 的三角形和一个边长为 4、4、4 的三角形，它们的周长都是 12，但它们不是全等三角形，所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C． 若，两边同时平方可得，该命题是真命题，故该选项符合题意； D． 若，则x可以是大于 0 的数，也可以是小于 0 的数（例如时，），所以，原命题是假命题，故该选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）要说明命题若“，则”是假命题，可以举的反例是 （一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，要使得成立，则，因此举反例可列举的数字即可，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键． 解：由题意可知，当时，满足，但不满足， 故答案为：（答案不唯一）． 【考点二】性质和定（公理）理条分缕析 【题型5】对顶角和邻补角性质 【例5】如图，直线相交于点平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查角平分线的定义，邻补角的定义，对顶角的定义． （1）由角平分线的定义可求出，再根据对顶角相等即可求解； （2）设，则，根据，可列出关于x的方程，解出x的值，即可求出的大小，再根据（1）同理即可求出的大小． 解：（1）解：平分， ， ； （2）解：设，则， 根据题意得， 解得：， ， ， ． 【变式1】．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，两直线交于点O，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的性质，邻补角；由对顶角的性质得，由邻补角得，即可求解；掌握对顶角的性质是解题的关键． 解：， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，解决本题的关键是要熟练运用角平分线的定义和邻补角的性质进行计算，根据角平分线定义求出，再根据邻补角互补即可求解． 解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 【题型6】垂直、对顶角和邻补角性质综合 【例6】（22-23七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与相交于点，． （1）如果，那么根据________，可得________； （2）如果，求的度数． 【答案】（1）对顶角相等，；（2）． 【分析】（）利用对顶角相等的性质解答即可； （）根据对顶角相等，可知，结合，即可求解； 本题考查了对顶角的性质，平角的定义，垂直的定义，熟练掌握上述性质和定义是解题的关键． 解：（1）解：∵， ∴（对顶角相等）， 故答案为：对顶角相等，； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·电线杆：如图，有一个与水平地面成角的斜坡，现要在斜坡上竖起一根与水平地面垂直的电线杆，电线杆与斜坡所夹的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是对顶角的性质，三角形的内角和定理的应用，垂线的定义，延长交于点，可得，再进一步求解即可． 解：延长交于点， 则， ∴， ∴． 故选C． 【变式2】（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，直线，相交于点，，点为垂足，如果，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线的定义，邻补角；根据垂线的定义，可得，根据角的和差，可得的度数，根据邻补角的定义，可得答案． 解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型7】垂线段公理 【例7】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形中，，D是边上的动点，则线段的最小值是 ． 【答案】9.6// 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键； 根据垂线段最短得出当时，的长度最小，再运用等面积法求解即可； 解：由垂线段最短可知，当时，的长度最小，如下图． ， ， ， ． 故答案为：9.6． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，三角形中，，垂足为点P，则的长可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，得到，进行判断即可． 解：∵， ∴，即：； ∴的长可能是6； 故选A． 【变式2】（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在直角三角形中，．点P为边上一动点，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】依据垂线段最短，即可得到当时，最短．根据面积法求得垂线段的长即可． 本题主要考查了垂线段最短的性质，问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 解：如图所示，当时，最短，   ， ， 的最小值是． 故答案为：． 【题型8】平行线的判定 【例8】（22-23六年级下·山东泰安·期中）如图，根据条件完成填空． ①______（已知） （    ） ②______（已知） （    ） （已知） ______（    ） ④（已知） ____________ 【答案】①，内错角相等，两直线平行；②，同位角相等，两直线平行；③，同旁内角互补，两直线平行；④， 【分析】本题主要考查了平行线的判定．根据平行线的判定定理，即可求解． 解：①（已知） （内错角相等，两直线平行） 故答案为：，内错角相等，两直线平行； ②（已知） （同位角相等，两直线平行） 故答案为：，同位角相等，两直线平行； （已知） （同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：，同旁内角互补，两直线平行； ④（已知） ． 故答案为：， 【变式1】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，下列条件中：①；②；③，④，能判定的是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．利用“同旁内角互补，两直线平行”，“内错角相等，两直线平行”，“内错角相等，两直线平行”依次判断即可． 解：①由，得到； ②由，得到； ③由，得到； ④由，不能判定出平行． 故答案为：①②③． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，点D，E，F分别在的三边上，连接，能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定．根据平行线的判定逐项进行判断即可． 解：A、∵， ∴， 故选项不合题意； B、∵， ∴， 故选项不合题意； C、无法证明两直线平行，故选项不合题意； D、∵， ∴，故选项符合题意． 故选：D． 【题型9】平行线的性质 【例9】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，．在横线上补充过程，并在括号内写出理由． 解：因为， 所以______（______）， 所以（______）， 所以______（______）． 又因为， 所以， 所以____________（____________）． 【答案】；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质进行推理论证即可． 解：证明：∵，， ∴（同角的补角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又∵， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；同位角相等，两直线平行． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）探照灯、汽车灯以及很多其他灯具都可以反射光线．如图是一探照灯灯碗，从上一点O照射到灯碗上的光线，经反射后都沿着与平行的方向射出．若，则 °． 【答案】60 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，那么，再根据两直线平行，内错角相等可得． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：60． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在长方形纸片中，把纸片沿折叠后，点C、D分别落在的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质及折叠的性质，由折叠可知，，由题可知，，可知，由平角为，可知的度数，熟练掌握两直线平行内错角相等是解决此题的关键． 解：由折叠可知，， ， ， ， 故选：C． 【题型10】平移的性质 【例10】（21-22七年级下·广西河池·期中）如图，沿直线向右平移，得到，，． （1）求的度数； （2）求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据平移的性质和平角的定义即可求解； （2）根据平移的性质和线段和差关系即可求解． 解：（1）解：由平移知，， ∴． （2）解：由平移知，． ∵， ∴． 【点拨】本题考查了平移的性质，平角的定义，线段的和差关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，不一定成立的是（　 　） A．或与在同一条直线上 B．或与在同一条直线上 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质判断即可,平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．熟练掌握平移的性质是解题的关键． 解：A、由平移的性质可知或与在同一条直线上，故A正确； B、由平移的性质可知或与在同一条直线上，故B正确； C、由平移的性质可知，故C正确； D、由平移的性质可知，但不一定等于，故D不一定正确， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图（图在上一页），在直角三角形中，，将三角形沿直线向右平移得到三角形，连接，有以下结论：①；②；③；④，其中一定成立的有 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．根据平移的性质得出，，根据，结合平行线的性质得出，，即可得出． 解：∵三角形沿直线向右平移得到三角形， ，，，故①④正确， ∵， ∴，， ∴，故③正确； 无法证明，故②错误； 综上分析可知：正确的有①③④． 故答案为：①③④． 【题型11】尺规作图——作平行线与垂线 【例11】（2024七年级上·江苏·专题练习）在如图所示的方格纸中，点、、均在格点上． （1）画线段，过点作的平行线； （2）过点作的垂线，垂足为； （3）若，则点到直线的距离为 ． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3） 【分析】本题考查作图﹣应用与设计作图，点到直线的距离，画已知线段的平行线、垂线，解题的关键是掌握线段、直线、垂线段的定义． （1）作的平行线，可仿照的位置，过点作出的长方形的对角线，那么依据网格中画平行线的方法即可判定两线平行； （2）作的垂线时，可作的平行线； （3）由图形可知点到直线的距离为，即可． 解：（1）解：线段，如图所示； （2）解：垂线段如图所示； （3）解：∵，， ∴点到直线的距离为； 故答案为：． 【变式1】（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，已知直线，点在直线上，用三角尺过点画直线的垂线．下列选项中，三角尺摆放位置正确的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移动三角板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号对每一项判断即可． 解：∵三角尺过点画直线的垂线： 一、利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上， 二、移动三角板另一直角边到已知点， 三、过已知点画垂线， 四、画垂直符合， ∴项符合题意，不符合题意； 故选． 【点拨】本题考查了利用直角三角板画垂线的步骤：一利用直角三角板的一直角边贴在已知直线上，二移动三角板另一直角边到已知点，三过已知点画垂线，四画出垂直符号，熟记直角三角板画垂线的步骤是解题的关键． 【变式2】（21-22七年级下·山东青岛·单元测试）如图，给出了过已知直线外一点，作已知直线的平行线的方法，其依据是 ．    【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】根据同位角相等，两直线平行解答即可． 解：如图，由作法可知， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：同位角相等，两直线平行    【点拨】本题考查了平行线的作法，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解答本题的关键． 【题型12】尺规作图——平移 【例12】（22-23七年级下·北京朝阳·期中）如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么 ．    【答案】4或5或6 【分析】分图1，图2，图3，三种情况进行求解即可． 解：当平移到如图1所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图2所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图3所示的位置时，则此时， ∴；    综上所述，的值为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点拨】本题主要考查了图形的平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【变式】（21-22七年级下·河北邯郸·期末）如图，正方形网格中，能由平移得到的线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平移变换的性质判断即可． 解：如图，线段c是由线段a平移得到的， 故选： B． 【点拨】本题考查坐标与图形变化－平移，解题的关键是理解平移的定义，属于中考常考题型． 【题型13】相交线求值与证明 【例13】（23-24七年级上·河北邢台·期末）问题提出： 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：如图1，O是直线上的一点，在直线上方，且，平分． （1）若，求的度数． （2）若，则的度数为______（用含有的式表示）． 拓展应用： 如图2，若在直线下方，，其他条件不 ①请用含有的式子表示的度数； ②若，求的度数． 【答案】问题提出：（1）；（2），拓展应用：①，② 解：本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）根据平角的定义得到，再由角平分线的定义得到，即可；同（1）求解即可； （2）①根据平角的定义得到，再由角平分线的定义得到，即可②根据①的结论结合建立方程求解即可． 解：问题提出：（1）， ， 平分， ， ， ； （2）， ， 平分， ， ， ； 故答案为：； 拓展应用：①， ， 平分， ， ， ； ②，，， ， ， ． 【变式1】（22-23七年级上·四川眉山·期末）平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是直线的交点问题，解答此题的关键是找出规律，需注意的是条直线相交时最少有一个交点． 分别求出2条直线、3条直线、4条直线、5条直线的交点个数，找出规律即可解答． 解：2条直线相交最多可以有1个交点，最少有1个交点； 3条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 4条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 5条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 6条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 条直线相交最多可以有个交点，最少有1个交点； 所以，而， ． 故选：D． 【变式2】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是对顶角的性质，角的和差运算，分两种情况讨论：当在之间时，当在之间时，先求解，，再分别进一步求解即可． 解：①当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即； ②当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：或 【题型14】利用平行线的性质与判定求值 【例14】（24-25七年级上·吉林长春·期末）【探究】如图①，已知， （1）若，，求的度数； （2）求证：； 【应用】如图②，已知，若，，，则_____________． 【答案】（1）；（2）见分析；【应用】． 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，利用平行公理作出辅助线是解本题的关键． （1）如图所示，过点P作，首先得到，求出，然后证明出，即可得到； （2）根据得到，根据得到，进而求解即可； 应用：过点P作，延长到点M，由（2）得，进而得到，同理得到，进而求解即可． 解：（1）如图所示，过点P作， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 应用：如图所示，过点P作，延长到点M， 由（2）得，， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 由（2）得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：138． 【变式1】（24-25七年级上·河南南阳·期末）将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．如图（见分析），过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得． 解：如图，过点作， 由题意得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）[传统文化]为增强学生体质，让学生感受中国的传统文化，某校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成了数学问题：如图②，已知，，则的度数是 ． 【答案】/23度 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定，作，得到，再结合，得到，求出，最后根据代入计算即可． 解：如图所示：作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型15】利用平行线的性质与判定证明求值 【例15】（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，，点E是直线上的一点，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）连结，若，，则是否平分？请说明理由． 【答案】（1），见分析；（2）平分，见分析 【分析】本题主要考查了平行线的性质和判定以、角平分线的定义等知识点，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据、，求出，再根据得到，最后判断平行即可解答； （2）根据、得到，再根据得到即可解答． 解：（1）解：，理由如下：   ∵， ∴（两直线平行， 同旁内角互补） ∵， ∴．      ∵， ∴，       ∴ （内错角相等，两直线平行）． （2）解：平分，理由如下： ∵， ∴（两直线平行， 同旁内角互补）， ∵， ∴．     ∵， ∴， ∴平分． 【变式1】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；其中正确的个数是（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，根据平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义进行判断即可． 解：， ，，， 平分，平分， ，， ， ，， ， ， 平分， 故①正确，符合题意； ， ， 故②正确，符合题意； ，， ， 故③正确，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，，点B在上，点F在上，连接，平分，平分交于点H，．给出下面四个结论： ①； ②平分； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识点，弄清楚图形中角度之间的关系是解题的关键． 根据平行线的判定和性质以及图形中角度之间的关系逐项判断即可． 解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴平分；故②正确； ∵，，但不一定成立， ∴不一定成立，即③错误； ∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即；故④正确． 故答案为①②④． 【题型16】平行线间的距离 【例16】（湖南省株洲市攸县2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．   （1）求证： （2）若 ，且，，．求与之间的距离． （3）若，，．试求点到直线的距离的取值范围． 【答案】（1）详见分析；（2）；（3） 【分析】（1）根据平行线的性质得出根据已知得出，即可得证； （2）根据等面积法求平行线间的距离即可求解； （3）根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，即可求解． 解：（1）证明：       两直线平行，内错角相等    又   （等量代换） （同位角相等，两直线平行） （2）由知与之间的距离等于点到直线的距离即三角形的边上的高设为．由三角形的面积计算公式可得： 即： 解得： 故：与之间的距离为． （3）设点到直线的距离为，∵，， 如图所示，作，当点与点重合时，到直线的距离为，    当点接近直线时，则点到直线的距离接近， ∴点到直线的距离的取值范围：． 【点拨】本题考查了平行线的性质，点到直线的距离，平行线之间的距离，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级下·湖南娄底·期末）在同一平面内，，，是三条互相平行的直线，已知与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查平行线之间的距离，因为直线的位置不明确，所以分①直线在直线、外，②直线在直线、之间两种情况讨论．解题的关键是理解：从一条平行线上的任意一点向另外一条平行线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等． 解：①当直线在直线、外时，如图， ∵与之间的距离为，与之间的距离为， ∴与之间的距离为：； ②当直线在直线、之间时，如图， ∵与之间的距离为，与之间的距离为， ∴与之间的距离为：； 综上，与之间的距离为或， 故选：C． 【变式2】（21-22九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，直线ABCD，GH平分∠CGF，GI平分∠DGF，且HG＝15cm，GI＝20cm，HI＝25cm，则直线AB与直线CD之间的距离是 cm． 【答案】12 【分析】根据角平分线得出∠HGI＝90°，利用直角三角形的面积公式解答即可． 解：设直线AB与直线CD之间的距离是h， ∵GH平分∠CGF，GI平分∠DGF， ∴∠FGI＝∠FGD，∠HGF＝∠CGF， ∵∠CGF+∠FGD＝180°， ∴∠HGF+∠FGI＝90°， ∴∠HGI＝90°， ∵，HG＝15cm，GI＝20cm，HI＝25cm， ∴h＝， 即直线AB与直线CD之间的距离是12cm， 故答案为：12． 【点拨】此题考查角平分线的定义，平角的定义，关键是根据直角三角形的面积公式解答． 第二部分【链接中考与延伸拓展】 【题型17】中考链接 ★【例1】1．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质，平行公理的推论，过点作，可得，即得，，根据求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与所成锐角的度数为为， 故选：． ★【例2】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）编号为A，B，C，D，E的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如下表： 收割机编号 A，B B，C C，D D，E A，E 所需时间（小时） 23 19 20 22 18 则收割最快的一台收割机编号是 ． 【答案】C 【分析】本题考查推理能力．利用同时启动其中的两台收割机，收割面积相同的田地所需时间分析对比，能求出结果． 解：同时启动A，B两台收割机，所需的时间为23小时， 同时启动B，C两台收割机，所需的时间为19小时， 得到C比A快； 同时启动B，C两台收割机，所需的时间为19小时， 同时启动C，D两台收割机，所需的时间为20小时， 得到B比D快； 同时启动A、B两台收割机，所需的时间为23小时， 同时启动A，E两台收割机，所需的时间为18小时， 得到E比B快； 同时启动C，D两台收割机，所需的时间为20小时， 同时启动D，E两台收割机，所需的时间为22小时， 得到C比E快． 综上，收割最快的一台收割机编号是C． 故答案为：C． 【题型18】拓展延伸 ★★【例1】（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连结的平分线与的平分线交于点． （1）当时，求的度数； （2）试猜想与的数量关系，并说明理由； （3）过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】（1）；（2），理由见分析；（3），10，，，40 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，理解题意，根据题意分情况分析，建立方程求解是解题关键． （1）过点E作，根据平行线的判定和性质即可得出结果； （2）过点F作交于点K，根据平行线的判定和性质得出，设，，结合图形及等量关系即可得出结果； （3）由（1）得，，确定，再由角平分线得出，确定，分三种情况分析求解即可 解：（1）解：过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点F作交于点K， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， 设，， ∵， ∴ 则， ∵， ∴ 则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由（1）得，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵直线绕点逆时针旋转，速度为每秒， ∴， ∵绕点顺时针旋转，速度为每秒， ∴， 当时，如图所示： ， ∴， 解得：； 当旋转到如图所示位置时， ，， 同理得：， 解得：； 当时，如图所示： ， ∴， ∴， 解得：； 当旋转到如图所示位置： 同理得：， 解得：； 当时，如图所示： 同理得：， 解得：； 当旋转到如图所示位置： 同理得：， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为，10，，，40． ★★【例2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，点M、N分别是、上两点，点G在、之间，连接、，若点P是下方一点，平分，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，延长并与的平分线相交与点E，当，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是： （1）过G作，可得，根据平行线的性质得出，，则可得出，即可求解； （2）过P作，可得，根据平行线的性质得出，，则可得出，由（1）可得：，则可得出，根据角平分线的定义得出，，则可求出，然后把代入求解即可； （3）设，，则，根据角平分线定义求出，由（2）知：，，，过E作，设与相交于O，由（2）同理可求，代入求解即可． 解：（1）解：过G作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：过P作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 又， ∴； （3）解：设，，则， ∵平分， ∴， 由（2）知：，，， 过E作，设与相交于O， 由（2）同理可求， ∵， ∴， 化简得， 解得， ∴的度数为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7.7 相交线与平行线（8大知识点5大考点18类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】对顶角和邻补角 邻补角：两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角；特点：是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线；性质：邻补角互补. 对顶角：相对的两个角叫做对顶角；特点：它们的两条边互为反向延长线；性质：对顶角相等。 【知识点2】同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条直线所截： 同位角F（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧） 内错角Z（在两条直线内部，位于第三条直线两侧） 同旁内角U（在两条直线内部，位于第三条直线同侧） 【知识点3】垂直 垂直定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。 垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足 垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 垂线段最短。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 【知识点4】平行公理 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c 【知识点5】平行线的判定 平行线的判定：①同位角相等，两直线平行。②内错角相等，两直线平行。 ③同旁内角互补，两直线平行。 平行线判定推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 平行线的性质： ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。 【知识点6】平移 平移定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。 对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 平移性质：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。②对应点的线段平行且相等。 【知识点7】命题 命题：判断一件事情的语句叫命题。 命题分为题设和结论两部分；题设是如果后面的，结论是那么后面的。 命题分为真命题和假命题两种；定理是经过推理证实的真命题。 【知识点8】用尺规作线段和角 尺规作图：尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。 直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。 圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长度为半径画一段弧。 考点与题型目录 【考点一】夯实基本概念 【题型1】对顶角与邻补角.....................................................3 【题型2】垂直定义...........................................................4 【题型3】同位角、内错角、同旁内角...........................................4 【题型4】定义、命题、定理...................................................5 【考点二】性质和判定条分缕析 【题型5】对顶角和邻补角性质.................................................6 【题型6】垂直、对顶角和邻补角性质综合.......................................6 【题型7】垂线段公理.........................................................7 【题型8】平行线的判定.......................................................8 【题型9】平行线的性质.......................................................9 【题型10】平移的性质.......................................................10 【考点三】尺规作图操作理解 【题型11】尺规作图——作平行线与垂线.......................................11 【题型12】尺规作图——平移.................................................12 【考点四】相交线与平行线求值与证明娴熟精通 【题型13】相交线求值与证明.................................................12 【题型14】利用平行线的性质与判定求值.......................................13 【题型15】利用平行线的性质与判定证明求值...................................14 【题型16】平行线间的距离...................................................15 【考点五】链接中考与延伸拓展 【题型17】中考链接.........................................................15 【题型18】拓展延伸.........................................................16 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】夯实基本概念 【题型1】对顶角与邻补角 【例1】（21-22七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，直线相交于点O，则的对顶角是 ，的邻补角是 ． 【变式1】（21-22七年级下·河北承德·期末）下面四个图形中，∠1=∠2一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2021七年级下·全国·专题练习）判断正误： （1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角（    ） （2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（    ） （3）有一条公共边的两个角是邻补角（    ） （4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互补（    ） （5）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角（    ） 【题型2】垂直的定义 【例2】（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·重庆·期末）如图，是北偏西方向的一条射线，，则表示的方位角是（    ） A．东偏北 B．东偏北 C．北偏东 D．北偏东 【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）已知的两边与的两边分别垂直，且比的倍少，则 ． 【题型3】同位角、内错角、同旁内角 【例3】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，指出图中直线，被直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角．（仅指用数字标出的角） 【变式1】（22-23七年级下·上海奉贤·期中）如图，下列说法正确的是（    ）    A．与是同位角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·期中）如图，直线b、c被直线a所截，如果，，那么与其内错角的角度之和等于 ． 【题型4】定义、命题、定理 【例4】（24-25八年级上·浙江·阶段练习）如图，在中，与交于点．现给出以下四个论断：①于点；②于点；③；④．请从中选三个作为已知条件，剩余的一个作为结论，写出一个真命题（用序号表示，如①②③→④），并给出证明．真命题：__________． 证明： 【变式1】（24-25八年级上·浙江杭州·期中）下列命题是真命题的为（    ） A．内错角相等 B．周长相等的两个三角形全等 C．若，则 D．若，则 【变式2】（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）要说明命题若“，则”是假命题，可以举的反例是 （一个即可）． 【考点二】性质和定（公理）理条分缕析 【题型5】对顶角和邻补角性质 【例5】如图，直线相交于点平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【变式1】．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，两直线交于点O，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，直线相交于点平分，则 ． 【题型6】垂直、对顶角和邻补角性质综合 【例6】（22-23七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与相交于点，． （1）如果，那么根据________，可得________； （2）如果，求的度数． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·电线杆：如图，有一个与水平地面成角的斜坡，现要在斜坡上竖起一根与水平地面垂直的电线杆，电线杆与斜坡所夹的角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·河南周口·期末）如图，直线，相交于点，，点为垂足，如果，则 ． 【题型7】垂线段公理 【例7】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形中，，D是边上的动点，则线段的最小值是 ． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，三角形中，，垂足为点P，则的长可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．10 【变式2】（23-24七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，在直角三角形中，．点P为边上一动点，连接，则的最小值是 ．    【题型8】平行线的判定 【例8】（22-23六年级下·山东泰安·期中）如图，根据条件完成填空． ①______（已知） （    ） ②______（已知） （    ） （已知） ______（    ） ④（已知） ____________ 【变式1】（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，下列条件中：①；②；③，④，能判定的是 ． 【变式2】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，点D，E，F分别在的三边上，连接，能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【题型9】平行线的性质 【例9】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，．在横线上补充过程，并在括号内写出理由． 解：因为， 所以______（______）， 所以（______）， 所以______（______）． 又因为， 所以， 所以____________（____________）． 【变式1】（2025七年级下·全国·专题练习）探照灯、汽车灯以及很多其他灯具都可以反射光线．如图是一探照灯灯碗，从上一点O照射到灯碗上的光线，经反射后都沿着与平行的方向射出．若，则 °． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在长方形纸片中，把纸片沿折叠后，点C、D分别落在的位置．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【题型10】平移的性质 【例10】（21-22七年级下·广西河池·期中）如图，沿直线向右平移，得到，，． （1）求的度数； （2）求的长． 【变式1】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，不一定成立的是（　 　） A．或与在同一条直线上 B．或与在同一条直线上 C． D． 【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图（图在上一页），在直角三角形中，，将三角形沿直线向右平移得到三角形，连接，有以下结论：①；②；③；④，其中一定成立的有 ． 【题型11】尺规作图——作平行线与垂线 【例11】（2024七年级上·江苏·专题练习）在如图所示的方格纸中，点、、均在格点上． （1）画线段，过点作的平行线； （2）过点作的垂线，垂足为； （3）若，则点到直线的距离为 ． 【变式1】（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，已知直线，点在直线上，用三角尺过点画直线的垂线．下列选项中，三角尺摆放位置正确的是（   ）    A．   B．   C．   D．   【变式2】（21-22七年级下·山东青岛·单元测试）如图，给出了过已知直线外一点，作已知直线的平行线的方法，其依据是 ．    【题型12】尺规作图——平移 【例12】（22-23七年级下·北京朝阳·期中）如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么 ．    【变式】（21-22七年级下·河北邯郸·期末）如图，正方形网格中，能由平移得到的线段是（   ） A． B． C． D． 【题型13】相交线求值与证明 【例13】（23-24七年级上·河北邢台·期末）问题提出： 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：如图1，O是直线上的一点，在直线上方，且，平分． （1）若，求的度数． （2）若，则的度数为______（用含有的式表示）． 拓展应用： 如图2，若在直线下方，，其他条件不 ①请用含有的式子表示的度数； ②若，求的度数． 【变式1】（22-23七年级上·四川眉山·期末）平面内有n条直线，这n条直线两两相交，最多可以得到a个交点，最少可以得到b个交点，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是 ． 【题型14】利用平行线的性质与判定求值 【例14】（24-25七年级上·吉林长春·期末）【探究】如图①，已知， （1）若，，求的度数； （2）求证：； 【应用】如图②，已知，若，，，则_____________． 【变式1】（24-25七年级上·河南南阳·期末）将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）[传统文化]为增强学生体质，让学生感受中国的传统文化，某校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成了数学问题：如图②，已知，，则的度数是 ． 【题型15】利用平行线的性质与判定证明求值 【例15】（24-25七年级上·四川乐山·期末）如图，，点E是直线上的一点，，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）连结，若，，则是否平分？请说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；其中正确的个数是（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2】（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，，点B在上，点F在上，连接，平分，平分交于点H，．给出下面四个结论： ①； ②平分； ③； ④． 上述结论中，正确结论的序号有 ． 【题型16】平行线间的距离 【例16】（湖南省株洲市攸县2022-2023学年七年级下学期期末数学试题）如图所示，四边形中，，连接，点在边上，点在边上，且．   （1）求证： （2）若 ，且，，．求与之间的距离． （3）若，，．试求点到直线的距离的取值范围． 【变式1】（23-24九年级下·湖南娄底·期末）在同一平面内，，，是三条互相平行的直线，已知与之间的距离为，与之间的距离为，则与之间的距离是（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【变式2】（21-22九年级上·甘肃兰州·阶段练习）如图，直线ABCD，GH平分∠CGF，GI平分∠DGF，且HG＝15cm，GI＝20cm，HI＝25cm，则直线AB与直线CD之间的距离是 cm． 第二部分【链接中考与延伸拓展】 【题型17】中考链接 【例1】1．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）编号为A，B，C，D，E的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如下表： 收割机编号 A，B B，C C，D D，E A，E 所需时间（小时） 23 19 20 22 18 则收割最快的一台收割机编号是 ． 【题型18】拓展延伸 【例1】（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，分别在射线上，连结的平分线与的平分线交于点． （1）当时，求的度数； （2）试猜想与的数量关系，并说明理由； （3）过点作，交的延长线于，将直线绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应直线为，同时，将绕点顺时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次与直线重合时，整个运动停止．在（1）的条件下，若，经过秒后，直线恰好与的一条边平行，请直接写出所有满足条件的的值． 【例2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，点M、N分别是、上两点，点G在、之间，连接、，若点P是下方一点，平分，平分． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，延长并与的平分线相交与点E，当，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$