专题1.3 相交线与平行线（全章常考知识点分类专题）-2024-2025学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.3 相交线与平行线（全章常考知识点分类专题） 【考点目录】 第一部分 基础夯实篇 【考点1】生活中的平移..........................................................................................................................1 【考点2】对顶角、垂线定义..................................................................................................................2 【考点3】垂线段与点到直线距离..........................................................................................................2 【考点4】三线八角................................................................................................................................3 【考点5】平行线的判定........................................................................................................................4 【考点6】平行线的性质........................................................................................................................5 【考点7】平移的性质...........................................................................................................................6 第二部分 综合提升篇 【考点8】对顶角、角平分线、垂直综合.............................................................................................6 【考点9】平行线的判定综合................................................................................................................7 【考点10】平行线的性质综合.............................................................................................................8 【考点11】平移性质与平行线的性质与判定综合...............................................................................9 第二部分 培优拓展篇 【考点12】平行线性质与判定中的折叠问题......................................................................................9 【考点13】平行线性质与判定中的旋转问题......................................................................................10 【考点14】平行线性质与判定中的平移问题.....................................................................................11 【考点15】平行线性质与判定中的动点问题.....................................................................................12 【考点16】平行线性质与判定中的最值问题.....................................................................................14 【考点展示与方法解析】 第一部分 基础夯实篇 【考点1】生活中的平移 1．（23-24七年级下·全国·阶段练习）在如图的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·广东东莞·阶段练习）下列四个图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，一张长为，宽为的长方形白纸中阴影部分的面积是 ． 【考点2】对顶角、垂线定义 4．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，当光线从空气射入水中，会发生折射与反射现象，其中与互为对顶角的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，是北偏西方向的一条射线，，则表示的方位角是（    ） A．东偏北 B．东偏北 C．北偏东 D．北偏东 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线，相交于点O，，O为垂足，，则 ． 【考点3】垂线段与点到直线距离 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点P是直线a外的一点，点在直线a上，且，垂足为点，则下列正确的语句是（   ） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 8．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（   ） A． B．3 C．4 D．5 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【考点4】三线八角 10．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 11．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（　　） A．和是同旁内角 B．和是内错角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，若，则的同位角的大小是 ，的内错角的大小是 ，的同旁内角的大小是 ． 【考点5】平行线的判定 13．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 15．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． （1）∵（已知） ∴____________（    ） （2）∵（已知） ∴（    ） （3）∵（已知） ∴（    ） （4）∵（已知） ∴____________（    ） 【考点6】平行线的性质 16．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，，点E、F分别在上，连接，平分交于点G，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级上·山西临汾·期末）如图，，平分．若，则的度数为 °． 18．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知，求的度数．请将下面的解答过程解： （已知）， ___________（            ）， 又（已知）， （              ） ___________（              ） （              ） （已知）， ___________． 【考点7】平移的性质 19．（23-24七年级下·广西南宁·期末）这个学期我们学习了平移，数学中也有许多平移的例子，如图所示，这是用三角板和直尺画平行线的示意图，将三角板沿着直尺平移到三角板的位置，就可以画出的平行线．直线就可以看成是直线经平移后所得的图形．若平移的距离的长度为7，则之间的距离为（ ） A．6 B．7 C．7.5 D．8 20．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，（）沿着射线平移至的位置，若，则图中阴影部分的面积为 ． 第二部分 综合提升篇 【考点8】对顶角、角平分线、垂直综合 21．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线、相交于点，，点为垂足，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 22．（22-23七年级下·云南昭通·期中）如图，直线相交于点O，，垂足为O，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 23．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，直线和交于O点，平分于点，则 ． 【考点9】平行线的判定综合 24．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线交于点O，分别平分和，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 25．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 26．（23-24七年级下·山东淄博·期中）在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 【考点10】平行线的性质综合 27．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 28．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 29．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，平分，平分，则 ． 【考点11】平移性质与平行线的性质与判定综合 30．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 31．（24-25八年级上·河南南阳·开学考试）如图，在中，，，，把沿的方向平移到的位置，若，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 32．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图，矩形的边在数轴上，O为原点， 矩形的面积为24， 的边长为4，将此矩形沿数轴水平移动，移动后的矩形记为，矩形与原矩形重叠部分的面积为 12，则点表示的数为 ． 第三部分 培优拓展篇 【考点12】平行线性质与判定中的折叠问题 33．（22-23七年级下·江苏连云港·阶段练习）如图1是的一张纸条，按图示方式把这一纸备先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（    ） A． B． C． D． 34．（19-20七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上点P在AB，CD之间且在EF的左侧．若将射线EA沿EP折叠，射线FC沿FP折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则（EPF的度数为     ． 【考点13】平行线性质与判定中的旋转问题 35．（2024七年级上·全国·专题练习）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒4度，灯B转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即，且． （1）填空：___________； （2）若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前、若射出的光束交于点C，过C作交于点D、且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 36．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①随的变化而变化；②当时，一定垂直于．其中正确的结论是（   ） A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 37．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出不同舞台灯光．光速灯发出的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨、上分别安置了可以旋转的光速灯A和C，光速灯A的光束按每秒的速度顺时针旋转便立即回转，光速灯C的光束自以每秒的速度顺时针旋转便立即停止，若光速灯C先旋转6秒，光速灯A才开始旋转，当光速灯A旋转时间为 秒时，两束光线平行． 【考点14】平行线性质与判定中的平移问题 38．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）小红同学以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展探究活动．如图，在直角三角形中，已知，，，直线． （1）如图1，直线与线段相交不过点，若，求 度； （2）如图2，小红同学把直线继续向上平移，使得直线与线段相交不过点，设，，求与之间的关系式为 ． 39．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，是锐角，将沿着射线向右平移得到（平移后点，，的对应点分别是，，），连接．在整个平移过程中，和之间存在2倍关系，则的大小不可能为（   ） A． B． C． D． 40．（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，直线，，点在边上，且满足，并且平分． （1）求的度数． （2）如图1，若，求出的度数． （3）如图2，若平移，在平移过程中，是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，请说明理由． 【考点15】平行线性质与判定中的动点问题 41．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，，，，是线段上一点，过点分别作，，分别交于点，点．点N为直线上的一个动点，连接．在整个运动过程中，使得，请求出的度数 ． 42．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（    ） A． B． C． D． 43．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上一动点． （1）猜想论证：如图，当点在线段上运动时，，，之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：． 证明：过点作． ， ______（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又， ，______（______）． ， （______）． （2）类比探究： 如图，当点在线段的延长线上运动时，上述中的结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 如图，当点在线段的延长线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不必写理由． 【考点16】平行线性质与判定中的最值问题 44．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，中，．D为上一动点，连接，的垂直平分线分别交于点E，F，则线段长的最大值是 ． 45．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，，点在和之间，，是上的动点，连接，当的长度最短时，的度数是（    ） A． B． C． D． 46．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）将一块三角板（，）按如图①所示放置在锐角内，使直角边落在边上，记，现将三角板绕点B逆时针以每秒的速度旋转t秒（直角边旋转到如图②所示的位置，且点A始终在内），过点A作交射线于点M，平分交射线于点D，其中m的值满足使代数式取得最小值． （1）m的值为________； （2）当秒时，求的度数； （3）在某一时刻，当时，试探求与之间的数量关系． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 相交线与平行线（全章常考知识点分类专题） 【考点目录】 第一部分 基础夯实篇 【考点1】生活中的平移..........................................................................................................................1 【考点2】对顶角、垂线定义..................................................................................................................3 【考点3】垂线段与点到直线距离..........................................................................................................4 【考点4】三线八角................................................................................................................................6 【考点5】平行线的判定........................................................................................................................8 【考点6】平行线的性质........................................................................................................................10 【考点7】平移的性质...........................................................................................................................12 第二部分 综合提升篇 【考点8】对顶角、角平分线、垂直综合.............................................................................................13 【考点9】平行线的判定综合................................................................................................................16 【考点10】平行线的性质综合.............................................................................................................18 【考点11】平移性质与平行线的性质与判定综合...............................................................................20 第二部分 培优拓展篇 【考点12】平行线性质与判定中的折叠问题......................................................................................24 【考点13】平行线性质与判定中的旋转问题......................................................................................26 【考点14】平行线性质与判定中的平移问题.....................................................................................32 【考点15】平行线性质与判定中的动点问题.....................................................................................36 【考点16】平行线性质与判定中的最值问题.....................................................................................41 【考点展示与方法解析】 第一部分 基础夯实篇 【考点1】生活中的平移 1．（23-24七年级下·全国·阶段练习）在如图的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的平移，解题的关键是掌握图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小． 根据图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．逐项判断即可． 解：A、图案不能用“基本图案”平移变换来分析其形成过程，故此选项不符合题意； B、图案不能用“基本图案”平移变换来分析其形成过程，故此选项不符合题意； C、图案不能用“基本图案”平移变换来分析其形成过程，故此选项不符合题意； D、图案能用“基本图案”平移变换来分析其形成过程，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（22-23七年级下·广东东莞·阶段练习）下列四个图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据平移的性质即可得出结论． 解：A.能通过其中一个四边形平移得到，不合题意； B.能通过其中一个四边形平移得到，不合题意； C.能通过其中一个四边形平移得到，不合题意； D.不能通过其中一个四边形平移得到，符合题意， 故选：D． 【点拨】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形的平移只改变图形的位置，平移后不改变图形的形状和大小，也不改变图形的方向（角度）是解答此题的关键． 3．（23-24七年级下·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）如图，一张长为，宽为的长方形白纸中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了生活中的平移现象，平移后得一个矩形，一边长为，另一边长为，再根据面积相减即可，解题的关键是将图形平移得到一个新的矩形，用原矩形的面积减去平移后的面积即可． 解：将阴影部分的右边平移至右边可构成一个矩形，用原来矩形的面积减去平移后得到矩形的面积， ∴阴影部分的面积是， 故答案为：． 【考点2】对顶角、垂线定义 4．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，当光线从空气射入水中，会发生折射与反射现象，其中与互为对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角，根据对顶角的定义即可求解，掌握对顶角的定义是解题的关键． 解：由图可得，与互为对顶角的是， 故选：． 5．（24-25七年级上·重庆·期末）如图，是北偏西方向的一条射线，，则表示的方位角是（    ） A．东偏北 B．东偏北 C．北偏东 D．北偏东 【答案】D 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．由题意得：，再根据垂直定义可得，然后利用角的和差关系求出的度数，再根据方向角的定义即可解答． 解：如图： 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴表示的方位角是北偏东． 故选：D． 6．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，直线，相交于点O，，O为垂足，，则 ． 【答案】/64度 【分析】根据得，结合，得到，结合解答即可． 本题考查了垂直的意义，余角的性质，对等角相等，熟练掌握性质是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点3】垂线段与点到直线距离 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，点P是直线a外的一点，点在直线a上，且，垂足为点，则下列正确的语句是（   ） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离及垂线段的性质．解题的关键是掌握垂线段的性质，从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短． 根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 解：A．线段的长是点到的距离，原说法错误，故此选项不符合题意； B．三条线段中，依据垂线段最短可知最短，原说法正确，故此选项符合题意； C．线段的长是点A到直线的距离，原说法错误，故此选项不符合题意； D．线段的长是点C到直线的距离，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 8．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离， 根据定义可知点C到直线的距离即垂线段的长即可解答． 解：∵，， ∴点C到直线的距离是， 故选A． 9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离的定义；根据三角形等面积法求出，再根据点到直线的距离的定义即可得解． 解：， ， ， 点A到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为， 故答案为：4，3，． 【考点4】三线八角 10．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，下列判断：①与是同位角；②与是同旁内角；③与是内错角；④与是同位角．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查同位角，内错角，同旁内角的定义，掌握其定义，数形结合分析是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 解：①与是同位角，正确； ②与是同旁内角，正确； ③与是内错角，正确； ④与不是同位角，原判断错误； 故①②③符合题意，④不符合题意． 故选：A． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（　　） A．和是同旁内角 B．和是内错角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】D 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的定义是解题的关键．根据同位角，内错角，同旁内角的定义逐一判断即可． 解：A. 和是同旁内角，说法正确，选项不符合题意； B. 和是内错角，说法正确，选项不符合题意； C. 和是同位角，说法正确，选项不符合题意； D. 和互为补角，说法错误，选项符合题意； 故选：D． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，若，则的同位角的大小是 ，的内错角的大小是 ，的同旁内角的大小是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查内错角、同位角以及同旁内角，观察图形易得的同位角、内错角都为的邻补角，接下来结合的度数计算即可；同样由图可得的同旁内角为的对顶角，与为对顶角，据此解答． 解：由图可得的同位角、内错角都为的邻补角， 又， 则其同位角大小为； 的内错角大小为； 的同旁内角为的对顶角，则大小为； 故答案为：；；． 【考点5】平行线的判定 13．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）下列条件中，能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．根据各选项中角的关系及平行线的判定定理，分别分析判断、是否平行即可． 解：A、，不能判定，不符合题意， B、，不能判定，不符合题意， C、∵，∴，不能判定，不符合题意， D、∵，∴，符合题意， 故选：D． 14．（24-25八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，已知，点，分别在射线，上，点为内一点，连接，，不添加辅助线，请添加一个条件使得，则可添加为 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．平行线判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此可得结论． 解：添加利用同位角相等，两直线平行判定； 添加利用内错角相等，两直线平行判定； 添加利用同旁内角互补，两直线平行判定． 故答案为：（答案不唯一）· 15．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）根据图形填空： 如图所示，完成推理过程． （1）∵（已知） ∴____________（   ） （2）∵（已知） ∴（   ） （3）∵（已知） ∴（   ） （4）∵（已知） ∴____________（   ） 【答案】（1），内错角相等，两直线平行；（2）同位角相等，两直线平行；（3）同旁内角互补，两直线平行；（4），同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判断，根据平行线的判定方法逐一进行作答即可，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键． 解：（1）解：∵（已知） ∴（内错角相等，两直线平行） （2）∵（已知） ∴（同位角相等，两直线平行） （3）∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） （4）∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行） 【考点6】平行线的性质 16．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，，点E、F分别在上，连接，平分交于点G，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，先由平行线的性质得到，，再由角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故选：D． 17．（24-25七年级上·山西临汾·期末）如图，，平分．若，则的度数为 °． 【答案】110 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握平行线的判定和性质是解题关键．根据同旁内角互补，得出，进而得到，，再结合角平分线的恶性一定义，得到，即可求出的度数． 解：， ， ，， 平分， ， ， 故答案为：110． 18．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知，求的度数．请将下面的解答过程解： （已知）， ___________（            ）， 又（已知）， （              ） ___________（              ） （              ） （已知）， ___________． 【答案】；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，先由两直线平行，同位角相等得到，进而可得，则可证明，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出的度数． 解：（已知）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， ． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；． 【考点7】平移的性质 19．（23-24七年级下·广西南宁·期末）这个学期我们学习了平移，数学中也有许多平移的例子，如图所示，这是用三角板和直尺画平行线的示意图，将三角板沿着直尺平移到三角板的位置，就可以画出的平行线．直线就可以看成是直线经平移后所得的图形．若平移的距离的长度为7，则之间的距离为（ ） A．6 B．7 C．7.5 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，理解并掌握平移的性质是解题关键．平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小，图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等．根据平移的性质，即可获得答案． 解：根据题意，平移的距离的长度为7， 则之间的距离为7． 故选：B． 20．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，（）沿着射线平移至的位置，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，根据平移的性质求出的长，的长，利用梯形的面积公式进行计算即可． 解：∵平移， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为； 故答案为：． 第二部分 综合提升篇 【考点8】对顶角、角平分线、垂直综合 21．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线、相交于点，，点为垂足，平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角、邻补角以及垂线，理解角平分线的定义，邻补角、对顶角以及垂直的定义是正确解答的关键． （1）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可； （2）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的比例关系进行计算即可． 解：（1）解：平分，， ， ， ， ； （2）解：由于，可设，， 平分， ， ， ， ， ， 即的度数为． 22．（22-23七年级下·云南昭通·期中）如图，直线相交于点O，，垂足为O，平分，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线，角平分线定义，对顶角，关键是由垂直的定义，角平分线定义求出的度数．由垂直的定义得到，即可求出，由角平分线定义得到，求出，由对顶角的性质得到 解：， ， ， ， 平分， ， ， 故选： 23．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）如图，直线和交于O点，平分于点，则 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查相交线对顶角性质，角平分线定义，垂直定义，掌握对顶角性质，角平分线定义，垂直定义是解题关键． 根据对顶角性质可得．根据平分，可得，根据，得出，利用两角和得出即可． 解：∵、相交于点， ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点9】平行线的判定综合 24．（23-24七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，直线交于点O，分别平分和，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2）． 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）利用（1）的结论可得，然后利用平角定义可得，然后利用对顶角相等可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义即可解答． 解：（1）证明：分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 25．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定；正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论． 解：A、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不能证出，故本选项符合题意； B、因为，所以（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； C、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意； D、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意； 故选：A． 26．（23-24七年级下·山东淄博·期中）在同一平面内，有12条互不重合的直线，，，，若， ，，，…，依此类推，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“垂直”） 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的性质，灵活运用“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键．如果一条直线垂直于两平行线中的一条，那么它与另一条一定也垂直．再根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”，可知与的位置关系是平行． 解：∵， ，，… ∴，，…， ∴， ∵， ∴， 故答案为：平行． 【考点10】平行线的性质综合 27．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，已知点E、F在直线上，点N在线段上，与交于点M，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）根据内错角相等两直线平行进行判断即可； （2）先求出的度数，根据对顶角相等得到的度数即可． 解：（1）证明：， ， ， 又， ， ． （2）解：，，，， ，， ， ． 28．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，又因为，所以，再根据，即可解得． 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 29．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，平分，平分，则 ． 【答案】/90度 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．过点作，先根据平行线的性质可得，，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，然后根据角的和差、等量代换求解即可得． 解：如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点11】平移性质与平行线的性质与判定综合 30．（23-24七年级下·云南曲靖·阶段练习）如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 【答案】感知：；探究：，理由见分析；应用： 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义： 感知：过点E作，由平行线的性质得出，证出，由平行线的性质得出，据此可得，再代值计算即可； 探究：仿照感知方法求解即可； 应用：由平移的性质得到，再由角平分线的定义得到，，根据探究的结论证明 证明，再根据，可得结论． 解：感知：如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； 探究：，理由如下： 如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 应用：由平移的性质可得， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 31．（24-25八年级上·河南南阳·开学考试）如图，在中，，，，把沿的方向平移到的位置，若，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平移的性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，平移的性质是解题的关键． 由题意知，，由平移的性质可知，，，，，则，然后判断作答即可． 解：由题意知，， 由平移的性质可知，，，，， ∴，即， ∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求； 故选：D． 32．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图，矩形的边在数轴上，O为原点， 矩形的面积为24， 的边长为4，将此矩形沿数轴水平移动，移动后的矩形记为，矩形与原矩形重叠部分的面积为 12，则点表示的数为 ． 【答案】3或9/9或3 【分析】本题考查数轴表示的意义，掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键，注意分类讨论，不要漏解．分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，继而求出点移动的距离，得出点表示的数． 解：∵长方形的面积为24，边长为4， ∴，点对应的数是6， ∵移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为12， ∴阴影部分的面积为12， ，， 如图1，当长方形向左平移时，即， ∴， ∴表示的数为3， 如图2，当长方形向右平移时，即， 解得：， ∴， ∴ ∴表示的数为9， 故答案为：3或9． 第三部分 培优拓展篇 【考点12】平行线性质与判定中的折叠问题 33．（22-23七年级下·江苏连云港·阶段练习）如图1是的一张纸条，按图示方式把这一纸备先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据各角的关系可求出的度数，由，利用两直线平行，同旁内角互补可求出的度数． 解：根据图2可知折叠了2次，即，， 根据图可知折叠了次还差个， ． ， ． 故选：A． 【点拨】本题考查了平行线的性质、折叠的性质以及角的计算，通过角的计算，求出的度数是解题的关键． 34．（19-20七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上点P在AB，CD之间且在EF的左侧．若将射线EA沿EP折叠，射线FC沿FP折叠，折叠后的两条射线互相垂直，则（EPF的度数为     ． 【答案】45°或135° 【分析】根据题意画出图形，然后利用平行线的性质得出∠EMF与∠AEM和∠CFM的关系，然后可得答案． 解：如图1， 过作， ， ， ，， ， ， 同理可得， 由折叠可得：，， ， 如图2， 过作， ， ， ，， ， ， ， 由折叠可得：，， ， 综上所述：的度数为或， 故答案为：45°或135°． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，关键是正确画出图形，分两种情况分别计算出∠EPF的度数． 【考点13】平行线性质与判定中的旋转问题 35．（2024七年级上·全国·专题练习）“一带一路”让中国和世界联系更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒4度，灯B转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即，且． （1）填空：___________； （2）若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ （3）如图2，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前、若射出的光束交于点C，过C作交于点D、且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由． 【答案】（1）60；（2），当秒或秒时，两灯的光束互相平行；（3）不会变化， 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据，，即可得到的度数； （2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，分两种情况讨论：当时，根据，可得；当时，根据，可得； （3）设灯A射线转动时间为t秒，根据，，即可得出，据此可得和关系不会变化． 解：（1）解：∵，， ∴， 故答案为：60； （2）解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当时，如图1， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行； （3）解：和关系不会变化，． 理由如下： 设灯A射线转动时间为t秒， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴和关系不会变化． 36．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）如图，一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①随的变化而变化；②当时，一定垂直于．其中正确的结论是（   ） A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 【答案】D 【分析】本题考查了三角板的角度计算；①依据，即可得到； ②画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 解：①， ， ，是定值；故①错误． ②设，则． 如图 ， ， ， ， ， ． 如图 由①可知，， ， 解得：， 即， 此时不垂直于故②错误． 故选：D． 37．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）绚丽多彩的舞台离不开灯光的氛围，不同类型的灯，呈现出不同舞台灯光．光速灯发出的光速是一根明亮的细长的光柱，如图，在舞台上方平行的灯轨、上分别安置了可以旋转的光速灯A和C，光速灯A的光束按每秒的速度顺时针旋转便立即回转，光速灯C的光束自以每秒的速度顺时针旋转便立即停止，若光速灯C先旋转6秒，光速灯A才开始旋转，当光速灯A旋转时间为 秒时，两束光线平行． 【答案】3或 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程，正确计算相应的旋转角度数是解题的关键； 分旋转小于时和大于两种情况，根据平行线的性质表示出数据，列出一元一次方程，求解即可． 解：解设光速灯A旋转时间为t秒，则C旋转的时间为秒， 当旋转小于时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴ ∵按每秒的速度顺时针旋转，以每秒的速度顺时针旋转， ∴，， ∴， 解得：； 当旋转大于回转时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴ ，， 解得：； 综上所述：旋转时间为3秒或秒， 故答案为：3或． 【考点14】平行线性质与判定中的平移问题 38．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）小红同学以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展探究活动．如图，在直角三角形中，已知，，，直线． （1）如图1，直线与线段相交不过点，若，求 度； （2）如图2，小红同学把直线继续向上平移，使得直线与线段相交不过点，设，，求与之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）利用两直线平行同位角相等，求出的同位角即可； （2）综合利用两直线平行，同位角和内错角相等，用表示出，通过等量代换即求出． 解：（1）如图， ， ， ， ． 故答案为：． （2）如图（2），过点作，则， ． 由（1）知， ， 即 ． 即． 故答案为：． 39．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在中，，是锐角，将沿着射线向右平移得到（平移后点，，的对应点分别是，，），连接．在整个平移过程中，和之间存在2倍关系，则的大小不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图形变换，掌握平行线的判定和性质，平移的性质，角度的和差计算方法的综合是解题的关键． 分类讨论，第一种情况：如图，当点在上时，过点作，①当时；②当时；第二种情况：当点在外时，过点作，①当时；②当时；根据平行线的性质，图形结合即可求解． 解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ； ②当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ，， ， ， 解得：， ； ②当时，由图可知，，故不存在这种情况； 综上所述，的大小可能为或或， 故选：C． 40．（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，直线，，点在边上，且满足，并且平分． （1）求的度数． （2）如图1，若，求出的度数． （3）如图2，若平移，在平移过程中，是否为定值？若是定值，求出此定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）是定值， 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，平移的性质，角平分线的性质等知识点， （1）由平行线的性质和可得，由角平分线的性质可得，然后利用角度进行计算即可得解； （2）设，用含x的代数式表示出，再由得出含x的方程，解方程即可得解； （3）设，用含x的代数式表示出和，然后求其和即可得解； 熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键． 解：（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：是定值，理由如下， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【考点15】平行线性质与判定中的动点问题 41．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，，，，是线段上一点，过点分别作，，分别交于点，点．点N为直线上的一个动点，连接．在整个运动过程中，使得，请求出的度数 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 当点在点A的左侧时．当点在点A的右侧时．分别画出图形，根据平行线的性质结合图形，即可求解． 解：Ⅰ．如图，当点在点A的左侧时． ， ． ， ． ， ， ； Ⅱ．如图，当点在点A的右侧时． ， ． ， ． ， ， ． 故答案为：或. 42．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念， 根据题意分3种情况讨论，分别根据平行线的性质和判定，结合角平分线的概念求解即可． 解：∵ ∴ ∵平分， ∴ 如图所示，过点P作 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴，故A不符合题意； 如图所示，过点P作 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴，故C不符合题意；D选项符合题意． 如图所示，过点P作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，故B选项不符合题意； 故选：D． 43．（2024七年级上·全国·专题练习）已知直线，直线和直线，交于点和，点是直线上一动点． （1）猜想论证：如图，当点在线段上运动时，，，之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：． 证明：过点作． ， ______（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又， ，______（______）． ， （______）． （2）类比探究： 如图，当点在线段的延长线上运动时，上述中的结论是否成立？若不成立，请写出，，之间的数量关系，并说明理由； 如图，当点在线段的延长线上运动时，请直接写出，，之间的数量关系，不必写理由． 【答案】（1）见分析；（2）不成立，应为，见分析；． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是添加辅助线，利用平行线的性质把两个角转化到同一个顶点的位置． 过点作，根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得：； 仿照的证明过程添加辅助线，然后利用平行线的性质证明即可． 解：（1）解：猜想：， 证明：过点作， ， （如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， 又， ，（两直线平行内错角相等）， ， （等量代换）， 故答案为：，，两直线平行，内错角相等， 等量代换； （2）中的结论不成立，， 理由如下： 如下图所示， 过点作， ， ， 又， ，， ， ； ， 如下图所示， 过点作， ， ， ，， ． 【考点16】平行线性质与判定中的最值问题 44．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，中，．D为上一动点，连接，的垂直平分线分别交于点E，F，则线段长的最大值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角所对直角边是斜边的一半以及垂线段最短的性质，将BF的最大值转化为AF最小是解决本题的关键，属于压轴题． 先求出的长，过点F作于H，连接，若要使最大，则需要最小，然后根据垂线段最短列式求解即可． 解：连接， ∵中， ∴， ∵垂直平分， ∴， 过点F作于H，若要使最大，则需要最小， 设则 ∵（垂线段最短） 解得． ∴最小值为2，的最大值为， 故答案为：4． 45．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，，点在和之间，，是上的动点，连接，当的长度最短时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，两点之间垂线段最短，解题的关键是掌握相关的知识．当时，的长度最短，作，得到，，进而得到，即可求解． 解：当时，即，的长度最短， 如图，作， ， ， ， ， ， 故选：A． 46．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）将一块三角板（，）按如图①所示放置在锐角内，使直角边落在边上，记，现将三角板绕点B逆时针以每秒的速度旋转t秒（直角边旋转到如图②所示的位置，且点A始终在内），过点A作交射线于点M，平分交射线于点D，其中m的值满足使代数式取得最小值． （1）m的值为________； （2）当秒时，求的度数； （3）在某一时刻，当时，试探求与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据绝对值的非负性可得当，的值最小，从而可得当时，代数式有最小值，即可解答； （2）当时，，先利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得，然后利用平行线的性质可得，再利用角的和差关系，进行计算即可解答； （3）先利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角平分线的定义可得，最后利用平行线的性质，进行计算即可解答． 解：（1）解：∵， ∴当，即时，|的值最小， ∴当时，代数式有最小值， ∴m的值为10； 故答案为：10． （2）当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为； （3）与α之间的数量关系是：， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴与α之间的数量关系是：． 【点拨】本题考查了平行线的性质，绝对值的非负性，以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$