专题1.2 相交线与平行线6大几何模型（全章几何模型梳理与分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.2 相交线与平行线5大几何模型（全章几何模型梳理与分类讲解） 第一部分【模型梳理与题型目录】 【模型一】猪蹄型 已知：如图，AB//CD，求证：∠B+∠D=∠E. 证明：如图，过点E作MN//AB. ∵MN//AB（作辅助线）. ∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）. ∵MN//AB（辅助线），AB//CD（已知） ∴MN//CD（平行于同一直线的两直线互相平行） ∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等） ∵∠1+∠2=∠BED（等式性质） ∴∠B+∠D=∠BED（等量代换） 拓展与延伸： 结论：朝左的角之和=朝右的角之和 【模型二】铅笔型 解：（1）∵AB∥CD（已知） ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补） （2）过点E作一条直线EF平行于AB， ∵AB∥EF，AB∥CD（已知） ∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠AEF+∠FEC=∠AEC，∠1+∠AEF+∠FEC+∠3=360°（等式性质） ∴∠1+∠2+∠3=360°（等量代换） （3）过点E、F作EG、FH平行于AB， ∵AB∥CD（已知） ∴AB∥EG∥FH∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠AEG+∠GEF=∠AEF，∠EFH+∠HFC=∠EFC，∠1+∠AEG+∠GEF+∠EFH+∠HFC+∠4=540°（等式性质） ∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°（等量代换） 结论：根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n组同旁内角，n个角的和是180（n-1）°． 【模型三】前扬角型 ∠B=∠E+∠C 过点E作GF//AB ∵AB∥CD（已知） ∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）. ∵∠BEF=∠BEC+∠CEF（等式性质） ∴∠B=∠BEC+∠C（等量代换） 结论：∠B=∠BEC+∠C 【模型四】后仰角模型 结论：∠C=∠E+∠B 证明：过点E作GF//AB ∵AB∥CD（已知） ∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）. ∵∠CEF=∠BEF+∠CEB（等式性质） ∴∠C=∠B+∠CEB（等量代换） 结论：∠C=∠B+∠CEB 【模型五】潜望镜模型 如下图： 【模型六】模型综合提高 ∠B+∠E-∠D=180°CD//EF，AB//GF→∠1+∠2=∠ABC 综上所述：几个几何模型共同点：都是通过作辅导线达到角度大小转化目的。 题型目录 【考点一】基本模型巩固 【题型1】猪蹄型模型........................................................4 【题型2】铅笔型模型........................................................8 【题型3】前扬角型模型.....................................................10 【题型4】后仰角型模型.....................................................13 【题型5】潜望镜模型.......................................................15 【考点二】模型拓展培优 【题型6】模型综合提高.....................................................19 【考点三】中考链接与拓展延伸 【题型7】中考链接.........................................................23 【题型8】拓展延伸.........................................................25 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】猪蹄型模型 【例1】（20-21七年级下·浙江杭州·期中）如图，，平分平分，若设，则 度（用的代数式表示），若平分平分，可得平分平分，可得，依次平分下去，则 度． 【答案】 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得；         （2）过点作直线，然后利用平行线的性质、角平分线的定义，结合归纳推理思想解决本题． 解：（1） 过点作,则 而          ∴满足的数量关系是 故答案为： （2） 过点作直线， 所以． 又因为， 所以， 所以， 所以； 因为平分平分， 所以 ． 只同理可证． 以此类推：． 故答案为： 【点拨】此题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，添加辅助线是解题的关键，利用归纳推理的思想解决． 【变式1】（21-22七年级下·河北唐山·期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理进行解答即可． 解：如图，过点H作，过点F作， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴， ， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）探照灯、汽车灯以及很多其他灯具都可以反射光线．如图是一探照灯灯碗，从上一点O照射到灯碗上的光线，经反射后都沿着与平行的方向射出．若，则 °． 【答案】60 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，那么，再根据两直线平行，内错角相等可得． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：60． 【题型2】铅笔型模型 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）应用意识： 小明到工厂参加社会实践活动时，发现工人师傅测量一块木板的两边与是否平行时，将某测量工具（）按如下图所示的方式放置，交于点交于点，测得．小明马上用所学的数学知识帮师傅进行了说明，请你帮小明写出规范的说明过程． 【答案】见分析 【分析】此题主要考查了平行线的判定与性质，过在左边作，即可得到，再由可得，得到，根据同旁内角互补，两直线平行可得判定，即可得到． 解：如图，过在左边作． 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，作，利用平行线的性质分析得出答案． 解：如图，作， ， ， ，， ， ， ． 故选：C． 【变式2】（19-20八年级下·山东烟台·期中）如图，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（    ） A．540° B．180°n C．180°（n-1） D．180°（n+1） 【答案】C 【分析】根据题意，作，，，由两直线平行，同旁内角互补，即可求出答案． 解：根据题意，作，，， ∵， ∴，，，…… ∴，…… ∴； 故选：C． 【点拨】本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用两直线平行同旁内角互补进行证明． 【题型3】前扬角型模型 【例3】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线，且和直角三角形，，． （1）在图1中，，求的度数； （2）如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现，说明理由． 【答案】（1）；（2）见分析． 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握连续性的性质定理是解题的关键． （1）先求出，再根据平行线的性质解答； （2）过点B作，根据平行线的性质得到，，结合图形计算，证明结论． 解：（1）如图， ， ， ， ； （2）理由如下：过点作， 则， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形内角和，角的和差，熟练掌握以上知识是解题的关键． 设直线与相交于点，根据三角形内角和可得，根据平行线的性质可得，从而可得的度数． 解：设直线与相交于点，如图： ∴在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故选B． 【变式2】（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）如图，直线，点E在直线上，点F在直线上，N为、之间一点，连接并延长交的角平分线于点G，且平分，当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得出、、之间的关系，再结合求出，最后根据对顶角相等即可得解问题． 解：如图：令与的交点为， ， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵，且， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【题型4】后翻角型模型 【例4】（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，反向延长交于M，由，可得，进而得出，再根据即可求解． 解：如图，反向延长交于M， ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴． 故选D． 【变式1】（17-18七年级下·江西九江·期中）如图，，则下列各式子计算结果等于180度的是（  ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质，延长交于点，根据平行线的性质得，由外角的性质得是解决问题的关键． 解：延长交于．    ， ； ， ； ， ； 等于180度的是． 故选：D． 【变式2】（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，直线直线b，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，由，得，再根据三角形外角性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图， ∵， ∴， ∵， ∵ ∴， 故选：． 【题型5】潜望镜模型 【例5】（23-24七年级下·广西来宾·阶段练习）【学科融合】物理学光的反射现象中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时，． 【问题解决】 （1）判断与是否平行． 答：平行 理由：∵（已知）， ∴，依据是 ； ∵，（已知）， ∴，依据是 ； ∴反射光线与平行，依据是 ． 【尝试探究】 （2）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请证明进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线平行． 【拓展应用】 （3）如图3，改变两平面镜、之间的位置，若镜子与的夹角，经过两次反射后，，，仍可以使入射光线与反射光线平行但方向相反．求的度数． 【答案】（1）两直线平行，同位角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；（2）见分析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据平行线的判定和性质进行解答即可； （2）根据，得出，证明，得出，即可证明结论； （3）根据平行线的性质得出，根据，得出，求出，最后根据三角形内角和求出结果即可． 解：（1）解：平行 理由：∵（已知）， ∴，依据是两直线平行，同位角相等； ∵，（已知）， ∴，依据是等量代换； ∴反射光线与平行，依据是同位角相等，两直线平行； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式1】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置．其构造与普通地上望远镜相同，唯另加两个反射镜使物光经两次反射而折向眼中．潜望镜常用于潜水艇，坑道和坦克内用以观察敌情．光线经过镜子反射时，抽象出的数学图形如图2所示，已知，AB∥CD，∠1＝∠2，请问进入潜望镜光线EA和出潜望镜光线DF是否平行？并说明理由． 【答案】进入潜望镜光线EA和出潜望镜光线DF是平行的，理由见分析 【分析】根据平行线的判定与性质进行说明即可． 解：进入潜望镜光线EA和出潜望镜光线DF是平行的，理由如下 ∵AB//CD ∴∠BAD=∠CDA ∵ ∴，即 ∴AE//DF 【点拨】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解答本题的关键． 【变式2】（2024·山西运城·三模）《淮南万毕术》是世界上最早记载潜望镜原理的古书，潜望镜内部通常包含两个互相平行的平面镜，基于光的反射，可得到一组平行线．如图，这是潜望镜工作原理的示意图，它所依据的数学定理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键． 根据内错角相等，两直线平行进行判断作答即可． 解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行， 故选：C． 【题型6】综合模型 【例6】（24-25七年级上·全国·期末）如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，过作，则，再根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数，掌握平行线的性质，平行公理推论是解题的关键． 解：如图，过作，过作，    又∵， ∴， ∴，， ， ∴， 又∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）醒狮是传统的中国文化艺术表演形式之一，轩轩从中找到了数学图形．如图，，，，和的角平分线EH、GH交于点H，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质等知识，作，，，，由题意得到，进而得到，由角平分线的性质得到，，再得到即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 解：作，，，，如图： ∵， ∴， ∴，，，，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， 故答案为：． 【变式2】（23-24七年级下·浙江湖州·期中）已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． （1）（基础问题）如图1，试说明：．（完成图中的填空部分） 证明：过点G作直线， 又， ，（ ） ∴ , （ ） ， ． （2）（类比探究）如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系并说明理由． （3）（应用拓展）如图3，平分，交于点H，且，，，求的度数． 【答案】（1）平行于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，内错角相等；；（2），理由见分析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的性质． （1）根据平行线的判定和性质进行解答即可； （2）过点G作直线，根据平行线的性质进行解答即可； （3）过点G作直线，过点作直线，根据平行线的性质和角平分线的定义进行求解即可． 解：（1）证明：过点G作直线， 又， ，（平行于同一直线的两条直线互相平行） ∴， （两直线平行，内错角相等） ， ， ． 故答案为：平行于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，内错角相等；； （2）解：，理由如下， 过点G作直线，如图所示： 则， ， ， ∴， ． （3）解：如图，过点G作直线，过点作直线， 则，， ， ，， ∴，， ∴， ， ，， ， ∵平分∠GAB， ， ∴，， ， ， ∵， ． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】中考链接 【例1】（2023·四川宜宾·中考真题）如图， ，且，，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可求，再由，即可求解． 解：， ， ， ， ． 故选：D． 【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 【例2】（2022·湖北襄阳·中考真题）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（    ） A．30° B．40° C．60° D．70° 【答案】B 【分析】根据平行线的性质求得∠ABD，再根据角的和差关系求得结果． 解：∵mn，∠1=70°， ∴∠1=∠ABD=70°， ∵∠ABC=30°， ∴∠2=∠ABD-∠ABC=40°， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质． 【题型8】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·云南昆明·阶段练习）已知，点E在上，点F在上，点Q为射线上一点． （1）如图1，若，则______． （2）如图2，当点Q在线段的延长线上时，关于和的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． （3）如图3，平分，交于点H． ①若平分，求和的数量关系； ②若，直接写出的度数为______． 【答案】（1）；（2），理由见分析；（3），理由见分析；． 【分析】（1）过点Q作进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （2）过点Q作进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （3）过点H作根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可； ②根据①的结论，利用角的关系解答即可． 此题考查了几何变换综合题，平行线的判定和性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答． 解：（1）解： 过点Q作如图： ， 故答案为：； （2）解：理由如下： 过点Q作如图： ， 即 （3）解：过点H作如图： ， 又∵平分平分 由（2）可得 ； 理由如下： 故答案为：． 【例2】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知分别在上． （1）如图（1），求证：； （2）如图（2），若F在之间，平分，若，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕M点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕N点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于P，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间t秒的值． 【答案】（1）详见分析；（2）；（3）或10或14 【分析】（1）过E作，由平行线的性质可得出，，可得，即． （2）设，则，设，则，由（1）可知，，可列出，将和，代入化简可得； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，根据运动的角度差为，结合题意将角度转化为角度差，结合题意分别列出对应的角度和差关系求解即可； 解：（1）解：如图，过E作， ∴，① 又， ∴， ∴．② ①②得，， ∴． （2）解：如图， 设，则，设，则， 由（1）可知 同理可得 又， ∴， 则， 由，得， 由，得, 将，代入，得． （3）解：将直线的点M平移与直线的N点重合，如图， 根据题意得，，，则， ∵直线与直线相交所夹的锐角为， ∴， ∴，解得， 根据题意得，， ∵直线与直线相交所夹的锐角为， ∴， ∴，即，解得， 根据题意得，， ∵直线与直线相交所夹的锐角为， ∴， ∴，即，解得， 故满足题意得或10或14． 【点拨】本题主要考查平行线的性质、角平分的性质、角度和差倍积的关系以及运动的思想，解题的关键是利用已知的结论和使用动态的思想求解． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 相交线与平行线5大几何模型（全章几何模型梳理与分类讲解） 第一部分【模型梳理与题型目录】 【模型一】猪蹄型 已知：如图，AB//CD，求证：∠B+∠D=∠E. 证明：如图，过点E作MN//AB. ∵MN//AB（作辅助线）. ∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）. ∵MN//AB（辅助线），AB//CD（已知） ∴MN//CD（平行于同一直线的两直线互相平行） ∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等） ∵∠1+∠2=∠BED（等式性质） ∴∠B+∠D=∠BED（等量代换） 拓展与延伸： 结论：朝左的角之和=朝右的角之和 【模型二】铅笔型 解：（1）∵AB∥CD（已知） ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补） （2）过点E作一条直线EF平行于AB， ∵AB∥EF，AB∥CD（已知） ∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠AEF+∠FEC=∠AEC，∠1+∠AEF+∠FEC+∠3=360°（等式性质） ∴∠1+∠2+∠3=360°（等量代换） （3）过点E、F作EG、FH平行于AB， ∵AB∥CD（已知） ∴AB∥EG∥FH∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠AEG+∠GEF=∠AEF，∠EFH+∠HFC=∠EFC，∠1+∠AEG+∠GEF+∠EFH+∠HFC+∠4=540°（等式性质） ∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°（等量代换） 结论：根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n组同旁内角，n个角的和是180（n-1）°． 【模型三】前扬角型 ∠B=∠E+∠C 过点E作GF//AB ∵AB∥CD（已知） ∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）. ∵∠BEF=∠BEC+∠CEF（等式性质） ∴∠B=∠BEC+∠C（等量代换） 结论：∠B=∠BEC+∠C 【模型四】后仰角模型 结论：∠C=∠E+∠B 证明：过点E作GF//AB ∵AB∥CD（已知） ∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）. ∵∠CEF=∠BEF+∠CEB（等式性质） ∴∠C=∠B+∠CEB（等量代换） 结论：∠C=∠B+∠CEB 【模型五】潜望镜模型 如下图： 【模型六】模型综合提高 ∠B+∠E-∠D=180°CD//EF，AB//GF→∠1+∠2=∠ABC 综上所述：几个几何模型共同点：都是通过作辅导线达到角度大小转化目的。 题型目录 【考点一】基本模型巩固 【题型1】猪蹄型模型........................................................4 【题型2】铅笔型模型........................................................5 【题型3】前扬角型模型......................................................6 【题型4】后仰角型模型......................................................7 【题型5】潜望镜模型........................................................7 【考点二】模型拓展培优 【题型6】模型综合提高......................................................9 【考点三】中考链接与拓展延伸 【题型7】中考链接.........................................................11 【题型8】拓展延伸.........................................................11 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】猪蹄型模型 【例1】（20-21七年级下·浙江杭州·期中）如图，，平分平分，若设，则 度（用的代数式表示），若平分平分，可得平分平分，可得，依次平分下去，则 度． 【变式1】（21-22七年级下·河北唐山·期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025七年级下·全国·专题练习）探照灯、汽车灯以及很多其他灯具都可以反射光线．如图是一探照灯灯碗，从上一点O照射到灯碗上的光线，经反射后都沿着与平行的方向射出．若，则 °． 【题型2】铅笔型模型 【例2】（2025七年级下·全国·专题练习）应用意识： 小明到工厂参加社会实践活动时，发现工人师傅测量一块木板的两边与是否平行时，将某测量工具（）按如下图所示的方式放置，交于点交于点，测得．小明马上用所学的数学知识帮师傅进行了说明，请你帮小明写出规范的说明过程． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（19-20八年级下·山东烟台·期中）如图，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（    ） A．540° B．180°n C．180°（n-1） D．180°（n+1） 【题型3】前扬角型模型 【例3】（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线，且和直角三角形，，． （1）在图1中，，求的度数； （2）如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现，说明理由． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级下·江苏无锡·竞赛）如图，直线，点E在直线上，点F在直线上，N为、之间一点，连接并延长交的角平分线于点G，且平分，当时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型4】后翻角型模型 【例4】（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（17-18七年级下·江西九江·期中）如图，，则下列各式子计算结果等于180度的是（  ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·云南红河·期末）如图所示，直线直线b，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型5】潜望镜模型 【例5】（23-24七年级下·广西来宾·阶段练习）【学科融合】物理学光的反射现象中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等．如图1，一束平行光线与射向一个水平镜面后被反射，此时，． 【问题解决】 （1）判断与是否平行． 答：平行 理由：∵（已知）， ∴，依据是 ； ∵，（已知）， ∴，依据是 ； ∴反射光线与平行，依据是 ． 【尝试探究】 （2）利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线经过平面镜反射时，有，，请证明进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线平行． 【拓展应用】 （3）如图3，改变两平面镜、之间的位置，若镜子与的夹角，经过两次反射后，，，仍可以使入射光线与反射光线平行但方向相反．求的度数． 【变式1】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图1，潜望镜是指从海面下伸出海面或从低洼坑道伸出地面，用以窥探海面或地面上活动的装置．其构造与普通地上望远镜相同，唯另加两个反射镜使物光经两次反射而折向眼中．潜望镜常用于潜水艇，坑道和坦克内用以观察敌情．光线经过镜子反射时，抽象出的数学图形如图2所示，已知，AB∥CD，∠1＝∠2，请问进入潜望镜光线EA和出潜望镜光线DF是否平行？并说明理由． 【变式2】（2024·山西运城·三模）《淮南万毕术》是世界上最早记载潜望镜原理的古书，潜望镜内部通常包含两个互相平行的平面镜，基于光的反射，可得到一组平行线．如图，这是潜望镜工作原理的示意图，它所依据的数学定理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【题型6】综合模型 【例6】（24-25七年级上·全国·期末）如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）醒狮是传统的中国文化艺术表演形式之一，轩轩从中找到了数学图形．如图，，，，和的角平分线EH、GH交于点H，则 度． 【变式2】（23-24七年级下·浙江湖州·期中）已知，点E在上，点F在上，点G为射线上一点． （1）（基础问题）如图1，试说明：．（完成图中的填空部分） 证明：过点G作直线， 又， ，（ ） ∴ , （ ） ， ． （2）（类比探究）如图2，当点G在线段延长线上时，请写出、、三者之间的数量关系并说明理由． （3）（应用拓展）如图3，平分，交于点H，且，，，求的度数． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型7】中考链接 【例1】（2023·四川宜宾·中考真题）如图， ，且，，则等于（　　）    A． B． C． D． 【例2】（2022·湖北襄阳·中考真题）已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC（∠ABC＝30°，∠BAC＝60°）按如图方式放置，点A，B分别落在直线m，n上．若∠1＝70°．则∠2的度数为（    ） A．30° B．40° C．60° D．70° 【题型8】拓展延伸 【例1】（23-24七年级下·云南昆明·阶段练习）已知，点E在上，点F在上，点Q为射线上一点． （1）如图1，若，则______． （2）如图2，当点Q在线段的延长线上时，关于和的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． （3）如图3，平分，交于点H． ①若平分，求和的数量关系； ②若，直接写出的度数为______． 【例2】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知分别在上． （1）如图（1），求证：； （2）如图（2），若F在之间，平分，若，求与的数量关系； （3）如图（3），射线从开始，绕M点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕N点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于P，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间t秒的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$