专题1.1 相交线与平行线（8大知识点5大考点18类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.1 相交线与平行线（8大知识点5大考点18类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】对顶角和邻补角 邻补角：两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角；特点：是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线；性质：邻补角互补. 对顶角：相对的两个角叫做对顶角；特点：它们的两条边互为反向延长线；性质：对顶角相等。 【知识点2】同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条直线所截： 同位角F（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧） 内错角Z（在两条直线内部，位于第三条直线两侧） 同旁内角U（在两条直线内部，位于第三条直线同侧） 【知识点3】垂直 垂直定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。 垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足 垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 垂线段最短。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 【知识点4】平行公理 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c 【知识点5】平行线的判定 平行线的判定：①同位角相等，两直线平行。②内错角相等，两直线平行。 ③同旁内角互补，两直线平行。 平行线判定推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 平行线的性质： ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。 【知识点6】平移 平移定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。 对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 平移性质：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。②对应点的线段平行且相等。 【知识点7】命题 命题：判断一件事情的语句叫命题。 命题分为题设和结论两部分；题设是如果后面的，结论是那么后面的。 命题分为真命题和假命题两种；定理是经过推理证实的真命题。 【知识点8】用尺规作线段和角 尺规作图：尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。 直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。 圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长度为半径画一段弧。 考点与题型目录 【考点一】夯实基本概念 【题型1】对顶角与邻补角.....................................................3 【题型2】垂直定义...........................................................4 【题型3】同位角、内错角、同旁内角...........................................4 【考点二】性质和判定条分缕析 【题型4】对顶角性质.........................................................5 【题型5】垂直、对顶角性质综合...............................................6 【题型6】垂线段性质.........................................................6 【题型7】平行线的判定.......................................................7 【题型8】平行线的性质.......................................................8 【题型9】平移的性质.........................................................8 【考点三】尺规作图的操作理解 【题型10】尺规作图——作平行线与垂线........................................9 【题型11】尺规作图——平移.................................................10 【考点四】相交线与平行线求值与证明娴熟精通 【题型12】相交线求值与证明.................................................11 【题型13】利用平行线的性质与判定求值.......................................12 【题型14】利用平行线的性质与判定证明求值...................................13 【题型15】平行线间的距离...................................................14 【考点五】链接中考与延伸拓展 【题型16】中考链接.........................................................15 【题型17】拓展延伸.........................................................16 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】夯实基本概念 【题型1】对顶角与邻补角 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（   ） ①对顶角相等； ②互补的两个角是邻补角； ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角； ④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列、是对顶角的（    ） A． B． C． D． 【变式2】（19-20七年级下·河北承德·期中）如图，直线AB与CD相交于点O，∠1＝∠2，若∠AOE＝138°，则∠COE的度数为 度． 【题型2】垂直定义 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，O为直线上一点，，分别平分和，则和的位置关系是 ． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在直线上任取一点O，过点O作射线、，使，当时，的度数是 ． 【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，直线相交于点，，射线平分，射线平分，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型3】同位角、内错角、同旁内角 【例3】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，指出图中直线，被直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角．（仅指用数字标出的角） 【变式1】（24-25七年级上·云南文山·期中）下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线b，c被直线a所截．如果，那么与其内错角之和等于 ． 【考点二】性质和判定条分缕析 【题型4】对顶角性质 【例4】（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，直线相交于点平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数； 【变式1】（23-24七年级下·辽宁营口·开学考试）如图，直线、相交于点O，射线平分，若，则等于（  ） A． B． C． D． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，，平分．若，则的度数为 ． 【题型5】垂直、对顶角性质综合 【例5】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）如图，已知直线和相交于点O，，平分，，求和的度数． 【变式1】（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图直线，，交于点O，平分，且，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）在直线上任取一点，过点作射线，，使，当时，的度数是 ． 【题型6】垂线段性质 【例6】（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，，，，，点是边上的动点，则线段的最小值是 ． 【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，为边上一动点，连接，以为边向左侧做正方形，则正方形的面积的最小值为（    ）    A．12 B．36 C．24 D．52 【变式2】（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）如图，直角三角形中，，，，，点是边上一动点，作直线经过点．点，分别过点，作与垂直，与垂直．垂足分别为，，设线段，的长度分别为，则的最大值为 ．    【题型7】平行线的判定 【例7】如图，点在上，点在上，连接，过点作交于点，过点作平分交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【变式1】如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，，．三角板保持不动，将三角板绕点顺时针旋转度．当 度时，． 【题型8】平行线的性质 【例8】如图，已知． （1），求的度数； （2）猜想三者之间的关系并加以说明． 【变式1】如图，，，则、、的关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，已知，平分，在上，平分．若，则的度数为 ． 【题型9】平移的性质 【例9】如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． （1）分别求和的度数； （2）若，，求图中阴影部分的面积； （3）已知点在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【变式1】如图，在中，，，，把沿的方向平移到的位置，若，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，将一个周长为厘米的三角形沿射线方向平移后得到三角形，点、、的对应点分别是点、、．连接，已知四边形的周长为厘米，那么平移的距离是 厘米．（用含、的代数式表示结果）．    【考点三】尺规作图的操作理解 【题型10】尺规作图——作平行线与垂线 【例10】如图，已知． （1）过点画，垂足为； （2）过点画，交于点． 【变式1】小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【变式2】如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【题型11】尺规作图——平移 【例11】如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．已知，点D为边上一点，在方格纸内将经过两次平移后得到，图中标出了平移后点D的对应点． （1）画出平移后的并写出平移方式； （2）写出与的位置和数量关系． 【变式】如图，直线，表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（　　） A． B． C． D． 【考点四】相交线与平行线求值与证明娴熟精通 【题型12】相交线求值与证明 【例12】（23-24七年级上·河北邢台·期末）问题提出： 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：如图1，O是直线上的一点，在直线上方，且，平分． （1）若，求的度数． （2）若，则的度数为______（用含有的式表示）． 拓展应用： 如图2，若在直线下方，，其他条件不 ①请用含有的式子表示的度数； ②若，求的度数． 【变式1】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 【变式2】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是 ． 【题型13】利用平行线的性质与判定求值 【例13】（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·类比探究 问题情境：如图，，，，求的度数． （1）小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据． 如图2，过点作， ， ， （_____） ，． （_____） ，， ，． ．（_____） 问题迁移： （2）如图，，当点在线段上运动时，，，求与、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，分别为的平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（河南省郑州市航空港区2024—2025学年上学期期末八年级数学调研卷）如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 【题型14】利用平行线的性质与判定证明求值 【例14】（23-24七年级上·陕西汉中·期末）【问题情境】已知，，平分交于点G． 【问题探究】（1）如图1，，，．试判断与的位置关系，并说明理由； 【问题解决】（2）如图2，，，当时，求的度数； 【问题拓展】（3）如图2，若，试说明． 【变式1】（23-24七年级下·全国·期末）将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，与的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）如图，，，平分，，有下列结论：①；；；，其中正确的结论是 填写序号 【题型15】平行线间的距离 【例15】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点． （1）如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与的面积相等．理由是____________________； （2）如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________． 【变式1】（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）如图，在梯形中，，若，那么等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2】（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 【考点五】链接中考与延伸拓展 【题型16】中考链接 【例1】（2024·海南·中考真题）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（2016·山东菏泽·中考真题）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含45°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含30°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是 【题型17】拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点（，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（ 　 ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·广东惠州·期末）已知，点M，N分别是，上两点，点G在，之间，连接，．点E是上方一点，连接，，若的延长线平分，平分，，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.1 相交线与平行线（8大知识点5大考点18类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】对顶角和邻补角 邻补角：两条直线相交所成的四个角中，相邻的两个角叫做邻补角；特点：是两个角共用一条边，另一条边互为反向延长线；性质：邻补角互补. 对顶角：相对的两个角叫做对顶角；特点：它们的两条边互为反向延长线；性质：对顶角相等。 【知识点2】同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条直线所截： 同位角F（在两条直线的同一旁，第三条直线的同一侧） 内错角Z（在两条直线内部，位于第三条直线两侧） 同旁内角U（在两条直线内部，位于第三条直线同侧） 【知识点3】垂直 垂直定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角为90度，则称这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另外一条直线的垂线，他们的交点称为垂足。 垂直三要素：垂直关系，垂直记号，垂足 垂直公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 垂线段最短。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。 【知识点4】平行公理 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。如果b//a,c//a,那么b//c 【知识点5】平行线的判定 平行线的判定：①同位角相等，两直线平行。②内错角相等，两直线平行。 ③同旁内角互补，两直线平行。 平行线判定推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 平行线的性质： ①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。 【知识点6】平移 平移定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移平移变换，简称平移。 对应点：平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。 平移性质：①平移前后的两个图形形状大小不变，位置改变。②对应点的线段平行且相等。 【知识点7】命题 命题：判断一件事情的语句叫命题。 命题分为题设和结论两部分；题设是如果后面的，结论是那么后面的。 命题分为真命题和假命题两种；定理是经过推理证实的真命题。 【知识点8】用尺规作线段和角 尺规作图：尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。 直尺的功能是：在两点间连接一条线段；将线段向两方向延长。 圆规的功能是：以任意一点为圆心，任意长度为半径作一个圆；以任意一点为圆心，任意长度为半径画一段弧。 考点与题型目录 【考点一】夯实基本概念 【题型1】对顶角与邻补角......................................................3 【题型2】垂直定义............................................................5 【题型3】同位角、内错角、同旁内角............................................7 【考点二】性质和判定条分缕析 【题型4】对顶角性质..........................................................8 【题型5】垂直、对顶角性质综合...............................................10 【题型6】垂线段性质.........................................................13 【题型7】平行线的判定.......................................................15 【题型8】平行线的性质.......................................................17 【题型9】平移的性质.........................................................19 【考点三】尺规作图的操作理解 【题型10】尺规作图——作平行线与垂线........................................22 【题型11】尺规作图——平移..................................................24 【考点四】相交线与平行线求值与证明娴熟精通 【题型12】相交线求值与证明.................................................26 【题型13】利用平行线的性质与判定求值.......................................29 【题型14】利用平行线的性质与判定证明求值...................................33 【题型15】平行线间的距离...................................................38 【考点五】链接中考与延伸拓展 【题型16】中考链接.........................................................40 【题型17】拓展延伸.........................................................41 第二部分【题型展示与方法点拨】 【考点一】夯实基本概念 【题型1】对顶角与邻补角 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法正确的有（   ） ①对顶角相等； ②互补的两个角是邻补角； ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角； ④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是对顶角、邻补角的概念，熟记它们的概念和性质是解题的关键． 根据对顶角的概念、邻补角的概念判断即可． 解：①对顶角相等，说法正确； ②互补的两个角不一定是邻补角，本小题说法错误； ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，说法正确； ④两个角不是对顶角，这两个角也可能相等，本小题说法错误； 故选：B． 【变式1】（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列、是对顶角的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的概念，根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形即可判断，正确理解对顶角的概念是解题的关键． 解：根据对顶角的概念可知， 选项是对顶角， 故选：． 【变式2】（19-20七年级下·河北承德·期中）如图，直线AB与CD相交于点O，∠1＝∠2，若∠AOE＝138°，则∠COE的度数为 度． 【答案】138 【分析】由于∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE=138°，易求∠2=42°，而∠1=∠2，那么∠BOD=84°，再利平角的性质可求∠COB，即可求解． 解：∵∠AOE+∠BOE=180°，∠AOE=138°， ∴∠2=42°， ∵∠1=∠2， ∴∠BOD=2∠2=84°， ∴∠COB=180°-84°=96°， ∠COE=∠COB+∠2=138°． 故答案为：138 【点拨】此题考查对顶角和邻补角的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键． 【题型2】垂直定义 【例2】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，O为直线上一点，，分别平分和，则和的位置关系是 ． 【答案】/垂直 【分析】此题考查角平分线的定义，垂直的判断，解题的关键是理解题意． 根据角平分线定义得到，，得到，即可求解． 解：∵是平角， ∴，即． ∵分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在直线上任取一点O，过点O作射线、，使，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，分两种情况讨论是解题的关键； 根据题意，分、在同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据，，计算的度数即可． 解：当、在直线同侧时，如图： ，， ； 当、在直线异侧时，如图： ，， ， 故答案为：或 【变式2】（23-24七年级下·全国·单元测试）如图所示，直线相交于点，，射线平分，射线平分，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，邻补角的定义，由，得，再根据角平分线的定义求出，最后利用邻补角的定义即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵射线平分， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【题型3】同位角、内错角、同旁内角 【例3】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，指出图中直线，被直线所截形成的同位角、内错角、同旁内角．（仅指用数字标出的角） 【答案】见分析 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，同位角：在两条直线被第三条直线所截的同侧，被截两直线同侧的两个角称为同位角；内错角：在两条直线被第三条直线所截的两侧，且夹在两条被截直线之间的一对角称为内错角；同旁内角：在两条直线被第三条直线所截的同旁，被截两直线之间的两个角称为同旁内角；由此即可得出答案． 解：由图可得： 同位角：与，与； 内错角：与，与； 同旁内角：与，与． 【变式1】（24-25七年级上·云南文山·期中）下列各图中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了内错角的判断，熟记内错角的定义是解题的关键．两条直线被第三条直线所截形成的八个角中，两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角． 根据内错角的定义可知，内错角是成“”字形的两个角，据此逐项分析可得答案． 解：A.、与是内错角，符合题意； B、与不是内错角，不符合题意； C、与不是内错角，不符合题意； D、与不是内错角，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线b，c被直线a所截．如果，那么与其内错角之和等于 ． 【答案】 解：因为，所以的内错角的度数为． 因为，所以，所以与其内错角之和为． 【考点二】性质和判定条分缕析 【题型4】对顶角性质 【例4】（24-25七年级上·四川宜宾·期末）如图，直线相交于点平分． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了角平分线的定义，邻补角互补，对顶角相等．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． （1）由，平分，根据对顶角的性质，即可求解． （2）由，，可得，，结合对顶角相等求解即可． 解：（1）解：平分 ． 又 ． 又 ． （2），． 平分， ， ， 又， ． 【变式1】（23-24七年级下·辽宁营口·开学考试）如图，直线、相交于点O，射线平分，若，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线的定义． 先求出，，再根据角平分线的定义得出，最后根据，即可解答． 解：∵， ∴，， ∵射线平分， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，相交于点，，平分．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质，角平分线的定义，角的和差关系等知识，先根据对顶角的性质求出的度数，根据角的和差关系求出的度数，最后根据角平分线的定义求解即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴． 故答案为：． 【题型5】垂直、对顶角性质综合 【例5】（24-25七年级上·湖南湘西·期末）如图，已知直线和相交于点O，，平分，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、对顶角、垂直的定义等知识点，掌握角平分线的定义及对顶角相等的性质是解题的关键． 根据垂直的定义得出，对顶角的性质可得的度数，再利用角的和差即可求得；再利用角平分线的定义可求解的度数，再根据即可解答． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． ∴，． 【变式1】（23-24七年级下·湖南常德·期末）如图直线，，交于点O，平分，且，．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直的定义可得，根据对顶角相等可得，根据角平分线的定义可得，最后再根据即可得解． 本题主要考查了垂直的定义、对顶角的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 解：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】（22-23七年级下·陕西咸阳·期中）在直线上任取一点，过点作射线，，使，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，分在同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据，，计算的度数即可． 解：当在同侧时，如图， ，， ； 当在异侧时，如图， ，， ； 故答案为：或． 【题型6】垂线段性质 【例6】（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在中，，，，，点是边上的动点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键； 根据垂线段最短得出当时，的长度最小，再运用等面积法求解即可； 解：由垂线段最短可知，当时，的长度最小，如下图． ， ， ， ． 【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，为边上一动点，连接，以为边向左侧做正方形，则正方形的面积的最小值为（    ）    A．12 B．36 C．24 D．52 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短，理解垂线段最短是解题的关键，根据面积公式求得的长，利用垂线段最短得最小值为的长，从而即可得解． 解：过点作于点，    ∵，， ∴，即， ∴， ∵为边上一动点，， ∴的最小值为的长， ∴正方形的面积的最小值为 故选：． 【变式2】（23-24七年级上·陕西西安·开学考试）如图，直角三角形中，，，，，点是边上一动点，作直线经过点．点，分别过点，作与垂直，与垂直．垂足分别为，，设线段，的长度分别为，则的最大值为 ．    【答案】 【分析】根据，即得到，则的最大值就是的最小值，由垂线段最短可得当时，最小，即可求解． 解：由题意可得：，即 化简可得： 解得， 则的最大值就是的最小值， 由垂线段最短可得当时，最小， 由可得， ∴的最大值为 故答案为： 【点拨】此题考查了三角形面积的求解，垂线段最短，解题的关键是得出，确定的最大值就是的最小值，并掌握垂线段最短的性质． 【题型7】平行线的判定 【例7】如图，点在上，点在上，连接，过点作交于点，过点作平分交于点，且． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2）． 【分析】（）根据垂直的定义得到，推出，根据平行线的判定定理即可得到结论； （）根据三角形的内角和列方程得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； 本题考查了同角的余角相等，垂直的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【变式1】如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 解：A．，根据同位角相等，两直线平行，可以得到，不符合题意； B．，根据同旁内角互补，两直线平行，可以得到，不符合题意； C．，根据内错角相等，两直线平行，可以得到，不符合题意； D．，根据同位角相等，两直线平行，可以得到，不能得到，符合题意． 【变式2】将一副三角板如图放置，边与边在同一条直线上，，，．三角板保持不动，将三角板绕点顺时针旋转度．当 度时，． 【答案】15 【分析】本题考查平行线的判定，角的和差． 当时，，则，即可解答． 解：如图， 当时，， 则， ∴三角板绕点顺时针旋转15度，即 【题型8】平行线的性质 【例8】如图，已知． （1），求的度数； （2）猜想三者之间的关系并加以说明． 【答案】（1）30度；（2），见分析 【分析】本题考查的是平行线的性质，一元一次方程的应用； （1）由可得，由可得，再进一步解答即可； （2）由（1）可得，即，再整理即可． 解：（1）解： ， ． ， ． ， ， ． （2）解：． 理由如下： 由（1）可知，， 即， ， 整理，得． 【变式1】如图，，，则、、的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．分别过点作，利用平行线的性质建立角之间的关系即可解答． 解：分别过点作， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【变式2】如图，已知，平分，在上，平分．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线定义，关键是由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，，由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，，因此． 解：， ． 平分，平分， ，． ， ． 故答案为：． 【题型9】平移的性质 【例9】如图，在三角形中，，，．将三角形沿向右平移，得到三角形，与交于点，连接． （1）分别求和的度数； （2）若，，求图中阴影部分的面积； （3）已知点在三角形的内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）由平移的性质可得，，，，由两直线平行同位角相等可得的度数，由两直线平行内错角相等可得，然后根据即可得出的度数； （2）由平移的性质可得，结合可得，再利用三角形的面积公式即可求出图中阴影部分的面积； （3）由平移的性质可得：，，依题意得，，即，进而可得，即，据此即可求出的长度． 解：（1）解：由平移的性质可得：，，，， ， ， ， ； （2）解：由平移的性质可得：， ∵， ， 又， ； （3）解：由平移的性质可得：，， 的周长为， ， 又四边形的周长为， ， 即：， ， ， ， ， 即：的长度为6． 【变式1】如图，在中，，，，把沿的方向平移到的位置，若，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平移的性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，平移的性质是解题的关键． 由题意知，，由平移的性质可知，，，，，则，然后判断作答即可． 解：由题意知，， 由平移的性质可知，，，，， ∴，即， ∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求； 故选：D． 【变式2】如图，将一个周长为厘米的三角形沿射线方向平移后得到三角形，点、、的对应点分别是点、、．连接，已知四边形的周长为厘米，那么平移的距离是 厘米．（用含、的代数式表示结果）．    【答案】 【分析】本题考查平移性质，根据平移性质得到，，再根据已知图形的周长求得即可． 解：由平移性质得：，， ∵三角形的周长为厘米， ∴， ∵四边形的周长为厘米， ∴，即， ∴， 即平移的距离是， 故答案为：． 【考点三】尺规作图的操作理解 【题型10】尺规作图——作平行线与垂线 【例10】如图，已知． （1）过点画，垂足为； （2）过点画，交于点． 【答案】（1）详见分析；（2）详见分析 【分析】本题主要考查了简单的作图和平行线的性质等知识点， （1）由垂线的作图方法进行作图，即可求出图形； （2）由角的作图方法和平行线的性质，即可求出图形； 熟练掌握作图步骤和平行线的性质是解决此题的关键． 解：（1）如图所示： 将三角板的一条直角边与已知直线重合，沿着已知直线移动三角板，让三角板的另一直角边与直线外的已知点Q重合，沿着另一条直角边画经过已知点的直线交于点D，‌ ∴即为所求； （2）如图所示： 用三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺紧靠三角板另一条直角边，沿着直尺平移三角板，使与已知直线重合的直角边通过已知点Q，沿着这条直角边画一条直线与已知射线交于点E， ∴即为所求． 【变式1】小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了画平行线，根据平行线的判定可得答案． 解：由图可知，，与为同位角， ∴， ∴由此可得到的基本事实是同位角相等，两直线平行． 故选：A． 【变式2】如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是： ．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 【题型11】尺规作图——平移 【例11】如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．已知，点D为边上一点，在方格纸内将经过两次平移后得到，图中标出了平移后点D的对应点． （1）画出平移后的并写出平移方式； （2）写出与的位置和数量关系． 【答案】（1）图见分析，平移方式：将先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度（或将先向下平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度）；（2） 【分析】本题主要考查了平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出答案； （2）利用平移的性质得出对应点连线的关系． 解：（1）解：如图，即为所画， 平移方式：将先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度（或将先向下平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度）． （2）解：由平移的性质得，． 【变式】如图，直线，表示一条河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥（桥与河的两岸相互垂直），使得从村庄P经桥过河到村庄的路程最短，应该选择路线（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称的最短路径问题，熟练掌握轴对称最短路径中的“造桥选址问题”的方法是解题的关键．“造桥选址问题”是先利用平移的思想转化为常见的最值问题，再利用“两点之间线段最短”即可解决． 解：由于河岸是固定的，桥与河的两岸相互垂直 所以桥的长度是固定的， 因此当最小时，即最小， 将沿河岸垂直的方向平移，点移动到点，点移动到点， 则，， 则，其中点，位置固定， 则当点，，共线时，最短， 则最小， 故C选项符合题意， 故选：C． 【考点四】相交线与平行线求值与证明娴熟精通 【题型12】相交线求值与证明 【例12】（23-24七年级上·河北邢台·期末）问题提出： 某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：如图1，O是直线上的一点，在直线上方，且，平分． （1）若，求的度数． （2）若，则的度数为______（用含有的式表示）． 拓展应用： 如图2，若在直线下方，，其他条件不 ①请用含有的式子表示的度数； ②若，求的度数． 【答案】问题提出：（1）；（2），拓展应用：①，② 解：本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）根据平角的定义得到，再由角平分线的定义得到，即可；同（1）求解即可； （2）①根据平角的定义得到，再由角平分线的定义得到，即可②根据①的结论结合建立方程求解即可． 解：问题提出：（1）， ， 平分， ， ， ； （2）， ， 平分， ， ， ； 故答案为：； 拓展应用：①， ， 平分， ， ， ； ②，，， ， ， ． 【变式1】（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义、余角的定义等知识点，掌握对顶角和余角的定义成为解题的关键．根据对顶角的性质可判定A、B选项，再根据余角的定义可判定C、D选项． 解：由对顶角的定义可知∠1和∠2不是对顶角，∠3和∠4也不是对顶角，即A、B选项不符合题意； ∵，， ∴，即C选项符合题意； ∵， ∴，即D选项不符合题意． 故选C． 【变式2】（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线、相交于点．已知，把分成两个角，且，将射线绕点逆时针旋转角到，若时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是对顶角的性质，角的和差运算，分两种情况讨论：当在之间时，当在之间时，先求解，，再分别进一步求解即可． 解：①当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴，即； ②当在之间时，如图． ∵直线、相交于点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：或 【题型13】利用平行线的性质与判定求值 【例13】（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·类比探究 问题情境：如图，，，，求的度数． （1）小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据． 如图2，过点作， ， ， （_____） ，． （_____） ，， ，． ．（_____） 问题迁移： （2）如图，，当点在线段上运动时，，，求与、之间有何数量关系？请说明理由； （3）在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系． 【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；（2），理由见分析；（3）或，理由见分析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定并且作出平行的辅助线是解答本题的关键． （1）根据平行线的判定与性质填写即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，代入，即可得出答案； （3）画出图形（分两种情况：点在的延长线上，点在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 解：（1）解：如图2，过点作， ， ， （平行于同一条直线的两条直线互相平行） ，． （两直线平行，同旁内角互补） ，， ，． ．（等量代换） 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换； （2）解：，理由：过点作交于点， ， ， ，， ； （3）解：或， 当点在延长线上时，过点作交延长线于点， ， ， ，， ； 当点在延长线上时，过点作交于点， ， ， ，， ， 综上，或． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，分别为的平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过E作，根据平行线的性质即可得到，再根据，分别为的角平分线，即可得出，最后根据四边形内角和进行计算即可解答． 本题主要考查了平行线的性质、角平分线等知识，正确作出辅助线构造平行线成为解题的关键． 解：如图所示，过E作， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，分别为的角平分线， ∴， ∴四边形中，． 故选：D． 【变式2】（河南省郑州市航空港区2024—2025学年上学期期末八年级数学调研卷）如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 如图所示，作，可得，，由，即可求解． 解：如图所示，过E点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴路政工程车的工作示意图中的度数为， 故答案为： ． 【题型14】利用平行线的性质与判定证明求值 【例14】（23-24七年级上·陕西汉中·期末）【问题情境】已知，，平分交于点G． 【问题探究】（1）如图1，，，．试判断与的位置关系，并说明理由； 【问题解决】（2）如图2，，，当时，求的度数； 【问题拓展】（3）如图2，若，试说明． 【答案】（1），理由见分析；（2）；（3）见分析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质: （1）根据平行线的判定得，再根据平行线的性质、角平分线定义及角的和差计算可得角相等，最后根据内错角相等判定两条直线平行； （2）根据平行线的判定和性质得的度数，再运用角平分线定义计算求得的度数，进一步求得的度数，最后根据平行线的判定得，即可得出结论； （3）分析思路同（2），只是把具体角的度数抽象为字母表示，通过列方程即可得出三者之间的关系． 解：（1），理由如下： ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故与的位置关系是． （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 即的度数为． （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式1】（23-24七年级下·全国·期末）将两张长方形纸片按如图所示摆放，使其中一张纸片的一个顶点恰好落在另一张纸片的一条边上，与的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，过作，由平行公理推论得，则，，从而求解，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 解：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）如图，，，平分，，有下列结论：①；；；，其中正确的结论是 填写序号 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键； 根据平行线的性质逐一分析判断即可． 解：，， ， 故①正确； 平分， ， ， ， ， ， ， 得，，故②正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故③错误； ， ， 平分， ， ， ， ， 得，，故④正确； 综上，正确的结论有：①②④； 故答案为：①②④ 【题型15】平行线间的距离 【例15】（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，直线，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点． （1）如果A、B、C为三个定点，点P在直线m上移动，那么无论点P移动到何位置，总有________与的面积相等．理由是____________________； （2）如果点P在如图所示的位置，请写出另外两对面积相等的三角形：____________________． 【答案】（1），同底等高的两个三角形的面积相等；（2）与，与 【分析】本题主要考查了三角形的面积、平行线之间的距离等知识点，掌握“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”是解题的关键． （1）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答； （2）利用“平行线间的距离相等”和“同底等高的三角形的面积相等”即可解答． 解：（1）解：∵直线，, ∴点P和点C到直线n的距离相等． 又∵在和中，， ∴（同底等高的两个三角形的面积相等）． 故答案为：，同底等高的两个三角形的面积相等． （2）解：设直线m和n之间的距离为h ∵, ∴． ∴,即． 故答案为：与，与． 【变式1】（23-24七年级下·贵州铜仁·期中）如图，在梯形中，，若，那么等于（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，以及同底等高的三角形的面积相等，即可得出结果． 解：设点到的距离为， ∵， ∴点到的距离也为， ∴； 故选B． 【变式2】（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式即可得到结论． 解：设与之间的距离为， 则， ，，， ， 设与之间的距离为， 故答案为：． 【考点五】链接中考与延伸拓展 【题型16】中考链接 【例1】（2024·海南·中考真题）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点B在直线n上，，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质求角的度数．如图，过点C作直线平行于直线m，易得，根据平行线的性质可得，由可求出的度数，再由平行线的性质可得的度数． 解：如图，过点C作直线平行于直线m， ∵直线， ∴， ∴，， 由题意可得， ∴， ∴， 故选：D． 【例2】（2016·山东菏泽·中考真题）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含45°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含30°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是 【答案】15° 【分析】如图，根据两直线平等，内错角相等可求得∠BAC的度数，继而由两角的和差即可求得答案． 解：∵AB//CD，∠ACD=45°， ∴∠BAC=∠ACD=45°， 又∵∠CAE=30°， ∴∠1=∠BAC-∠CAE=45°-30°=15°， 故答案为：15° 【点拨】本题考查了平行线的性质，三角板的知识，熟记平行线的性质，三角板的度数是解题的关键． 【题型17】拓展延伸 【例1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点（，，），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（ 　 ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，分类讨论是解答本题的关键． 根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ∵ ， ， ， 解得：， ， ②当时， 设，则， ， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ， ， ， ①当时， 设，则， ， ， ， 解得：， ②当时， 由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，或或． 故选：C 【例2】（23-24七年级下·广东惠州·期末）已知，点M，N分别是，上两点，点G在，之间，连接，．点E是上方一点，连接，，若的延长线平分，平分，，则 ． 【答案】/度 【分析】过G点作，过E点作．如图设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解． 本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． 解：如图，过G点作，过E点作． ， ． 设，，则，，． ∵平分， ， ， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$