第1章 三角形的证明 章末复习 达标训练-【初中学霸创新题】2024-2025学年八年级下册数学习题课件(北师大版)

第一章 三角形的证明 章末复习 达标训练 1 目 录 选择题 填空题 解答题 2 一、选择题 1. （四川自贡中考）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是 （　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° B 【解析】 设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据题意得x+x+2x+20=180，解得x=40. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 3 2. 【新趋势 开放性问题】 如图，在Rt△ABC 与Rt△DCB 中，已知∠A=∠D=90° ，添加一个条件，不能使得Rt△ABC≌Rt△DCB 的是 （　　） A. AB=DC B. AC=DB C. ∠ABC=∠DCB D. BC=BD D 【解析】 ∵∠A=∠D=90°，BC=CB， ∴当添加AB=DC 或AC=DB 时，可根据“HL”判定Rt△ABC≌Rt△DCB； 当添加∠ABC=∠DCB时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DCB. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 4 3. 如图，已知DA⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为A，E，若DA=5，DE=5，∠ACD=30° ，则∠EDC的度数为 （　　） A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° D 【解析】 ∵DA=5，DE=5，∴AD=DE. ∵DA⊥AC，DE⊥BC，∴CD 平分∠ACE， ∴∠ACD=∠ECD=30°，∴∠EDC=90°-30°=60°. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 5 4. 【新情境 生产生活】 工人师傅常常利用角尺平分一个角，如图，在∠AOB 的两边OA，OB 上分别任取OC=OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与C，D 重合，这时过角尺顶点M 的射线OM 就是∠AOB 的平分线，这样的依据是 （　　） A. SAS B. ASA C. SSS D. AAS C 【解析】 移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与C，D 重合，∴CM=DM. 在△OCM 和△ODM 中， 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 6 ∴△OCM≌△ODM（SSS）， ∴∠COM=∠DOM， ∴射线OM 就是∠AOB 的平分线. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 7 5. （江苏泰州泰兴期中）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=120°，AB 的垂直平分线交BC 于M，交AB 于E，AC 的垂直平分线交BC 于N，交AC 于F，若MN=2，则AB 的长为 （　　） A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 A 【解析】 如图，连接AM，AN， ∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°. ∵AB 的垂直平分线交BC 于M，交AB 于E，AC 的垂直平分线交BC 于N，交AC 于F， ∴MB=MA，NA=NC， 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 8 ∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C， ∴∠MAB+∠NAC=∠B+∠C=60°， ∴∠MAN=∠MNA=60°， ∴△MAN 是等边三角形， ∴MA=MN=2，AB=2AE=2 . 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 9 6. 【新趋势 探究性问题】 （广西百色中考）活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，如已知△ABC中，∠A=30°，AC=3，∠A所对的边为，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图的△ABC 是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为 （　　） A. 2 B. 2-3 C. 2或3 D. 2或2-3 C 【解析】 如图，当△ABC 是一个直角三角形时，即∠C=90°， 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 10 ∵∠A=30°，BC= 3，∴AB=2BC=2. 如图，当△AB1C 是一个钝角三角形时， 过点C 作CD⊥AB1，∴∠CDA=90°=∠CDB. ∵CB=CB1，∴BD=B1D. ∵∠A=30°，AC=3，∴CD= AC= . ∵BC=，∴B1D= = =BD， ∴BB1=，∴AB1=AB-BB1=. 综上，满足已知条件的三角形的第三边长为2或，故选C. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 11 二、填空题 7. （四川达州中考）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90° ，∠B=20° ，分别以点A，B 为圆心，大于 AB 的长为半径作弧，两弧分别相交于点M，N，作直线MN，交BC 于点D，连接AD，则∠CAD 的度数为_________. 50° 【解析】 ∵∠C=90°，∠B=20°，∴∠CAB=70°. 由作图可知，MN 是AB 的垂直平分线， ∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=20°， ∴∠CAD=∠CAB-∠DAB=70°-20°=50°. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 12 7 8. （福建漳州第一中学期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，过点D 作DE ⊥AB，若CB=7，则DE+DB=_________. 【解析】 ∵AD 平分∠BAC 交BC 于点D， ∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=ED. ∵CB=7，∴BD+CD=7，∴DE+DB=7. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 13 4 9. 如图，已知△ABC 中，AB=AC，AD是∠BAC 的平分线，如果△ABD的周长为12，△ABC 的周长为16，那么AD 的长是_________. 【解析】 ∵AB=AC，AD 是∠BAC 的平分线， ∴BD=CD. ∵△ABC 的周长为16，∴AB+BD= ×16=8. ∵△ABD 的周长为12，∴AD=12-8=4. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 14 10. （河南开封二模）在Rt△ABC 中，AB=3，∠B=90°，∠C=30°，折叠三角形使得点A 与BC 边上的点D 重合，折痕分别交AC，AB 于点M，N，当△CDM 是直角三角形时，AM=_________. 2 或3 -3 【解析】 根据折叠的性质可得AM=MD，AN=DN， ∵AB=3，∠B=90°，∠C=30°，∴AC=6. 当△CDM 是直角三角形，且∠CDM=90°时， ∠C=30°，∴MC=2DM，∴AC=AM+MC=3AM=6， ∴AM=2. 当∠CMD=90°时，∠C=30°，∴MC= DM， ∴AC=AM+MC=AM+ AM=6，∴AM=3-3，故答案为2或3-3. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 证明：∵∠BAC=90°，∴∠ABC+∠C=90°. ∵AM⊥BC，∴∠AMB=90°， ∴∠ABC+∠BAM=90°，∴∠C=∠BAM. ∵AD 平分∠MAC，∴∠MAD=∠CAD， ∴∠BAM+∠MAD=∠C+∠CAD. ∵∠ADB=∠C+∠CAD，∴∠BAD=∠ADB，∴AB=BD. ∵BE 平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF=FD，即线段BF 垂直平分线段AD. 11. 如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，BE 平分∠ABC，AM⊥BC 于点M，交BE 于点G，AD平分∠MAC，交BC 于点D，交BE 于点F. 求证：线段BF 垂直平分线段AD. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 16 （1）证明：∵∠1=∠2，∴DE=CE. ∵∠A=∠B=90°， ∴△ADE 和△BEC 是直角三角形. 在Rt△ADE 和Rt△BEC 中， ∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL）. 12. 如图，∠A=∠B=90°，E 是AB 上的一点，且AE=BC，∠1=∠2. （1）求证：△ADE≌△BEC. （2）判断DE 和EC 的位置关系，并说明理由. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 17 （2）解：DE⊥EC，理由如下： 由（1）得Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠ADE=∠BEC. 又∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠AED+∠BEC=90°， ∴∠DEC=90°，∴DE⊥CE. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 18 （1）证明：∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠DAC= ∠BAC=60°. ∵AD=AB，∴△ABD 是等边三角形. （2）解：猜想：AE+AF=AD，证明如下： 13. 在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD=AB，∠EDF=60°，其两边分别交边AB，AC 于点E，F，连接BD. （1）求证：△ABD 是等边三角形. （2）试猜想：线段AE，AF 与AD 之间有怎样的数量关系？并给以证明. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 19 ∵△ABD 是等边三角形， ∴∠ABD=∠ADB=60°，AB=BD=AD. ∵∠EDF=60°，∴∠BDE=∠ADF. 在△BDE 与△ADF 中， ∴△BDE≌△ADF（ASA），∴AF=BE， ∴AB=BE+AE=AF+AE=AD. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 20 14. 【新趋势 数学建模题】 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，若点P从点A 出发以每秒1 cm 的速度向点C 运动，设运动时间为t s. （1）若点P 恰好在∠ABC 的平分线上，求出此时t 的值； （2）若点P 使得PB + PC=AC，求出此时t的值. 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 21 解：（1）作PD⊥AB 于D，如图，AP=t cm，∵∠ACB=90°，AB=10 cm，BC=6 cm，∴AC= =8（cm）. ∵BP 平分∠ABC，∴PC=PD=（8-t）cm. ∵S△ABP+S△BCP=S△ABC， ∴ ×10×（8-t）+ ×6×（8-t）= ×6×8，解得t=5， 即此时t 的值为5. （2）∵PB+PC=AC，PA+PC=AC，∴PB=PA=t cm. 在Rt△BCP 中，∵PC2+BC2=BP2， ∴（8-t）2+62=t2，解得t= ，即此时t 的值为 . 目录 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 12 13 14 22 绿卡图书—走向成功的通行证 23 $$