1.2 向量的加法（6大题型提分练）（题型专练）数学湘教版必修第二册

1.2 向量的加法 题型一 向量加法法则的几何应用 1.在矩形中，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】根据向量加法的几何关系及矩形性质判断各项的结果，即可得答案. 【详解】由题设，，，，，故A、B、C错，D对.    故选：D 2.在四边形ABCD中，，则（　 　） A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形 C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形 【答案】D 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】运用同起点的向量加法的平行四边形法则易得. 【详解】对于同起点的向量的和一般通过作平行四边形得到，由可知，由A，B，C，D构成的四边形一定是平行四边形. 故选：D. 3.如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法的法则 【分析】 根据已知条件，结合向量的相反向量、加减法法则，即可求解． 【详解】解：由题意可得，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，，，所以 ． 故选：C． 4.在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】根据平面向量加法法则及运算律计算可得. 【详解】因为，故D正确. 显然，，，故A、B、C均错误. . 故选：D 题型二 向量加法的法则 1.（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据加法运算法则分析求解. 【详解】由题意可得：. 故选：D. 2.在中，点满足，则（    ） A．点在延长线上 B．不在直线上 C．点在延长线上 D．点在线段上 【答案】A 【知识点】向量加法的法则 【分析】由题意可得到，根据加法的平行四边形法则即可求解 【详解】由，知， 可知，，三点共线且是中点，所以在延长线上． 故选：A 3.是平行四边形外一点，用、、表示，正确的表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的法则 【分析】设，则为、的中点，利用平面向量的线性运算可得出，即可得解. 【详解】设，则为、的中点，如下图所示： 所以，， 同理可得，所以，， 因此，. 故选：C. 4.（多选）下列结论恒为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项直接求解判断即可. 【详解】对于A，，A错； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：BCD 题型三 向量减法的法则 1.（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用向量的加法减法运算即可求解. 【详解】原式． 故选：A. 2.如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相等向量、向量减法的法则 【分析】根据三等分点得出向量相等结合向量的方向即可判断选项. 【详解】D，E为边上的三等分点，所以， 所以D选项正确； 若，则不成立，C选项错误； 方向不同不能相等，A选项错误； 方向相反不能相等，B选项错误. 故选：D. 3.已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 【答案】C 【知识点】相反向量、向量减法法则的几何应用 【分析】运用向量三角不等式的取等条件求解即可. 【详解】由向量三角不等式可知，只有当非零向量同向时，有，，故A，D正确；只有当非零向量反向时，有，，故B正确，C错误． 故选：C． 4.（多选）下列各式可以化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据向量的加减法法则逐个分析判断即可. 【详解】对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B错误， 对于C，，所以C错误， 对于D，，所以D正确. 故选：AD． 题型四 向量减法法则的几何应用 1.在四边形ABCD中，已知，则四边形ABCD为（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】D 【知识点】向量减法法则的几何应用 【分析】由向量的减法运算结合向量相等的定义判断即可. 【详解】，，即， 相互平行且，则四边形ABCD为平行四边形. 故选：D 2.在五边形中（如图），下列运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】对各选项按向量加法、减法运算法则进行向量加减运算即可判断作答. 【详解】A，，正确； B，，不正确； C，，不正确； D，， 不正确. 故选：A. 3.下列各式中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】根据向量的加减法的几何意义进行判断即可。 【详解】解：当与的方向相同时，有，故A不正确； 当与的方向既不相同也不相反时，有，所以，故C正确；D不正确； 当与的方向相反时，有，若，则能成立，故B不正确. 故选：C. 4.若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量减法法则的几何应用 【分析】利用向量模的三角不等式可求得的取值范围. 【详解】因为，所以，，即. 故选：C. 题型五 速度、位移的合成 1.一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度，水流速度，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为（    ） A．5 B．10 C．8 D． 【答案】B 【知识点】速度、位移的合成 【分析】由航程最短时，船实际航行的方向与河对岸垂直求解. 【详解】解：如图所示： 是河对岸一点，且与河岸垂直， 那么当这艘船实际沿方向行驶时，航程最短， 此时，， 所以当航程最短时船实际航行的速度大小为10， 故选：B 2.如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（   ） A． B． C． D．与不能比大小 【答案】A 【知识点】平面向量的概念与表示、向量加法法则的几何应用 【分析】根据向量的合成即可求解. 【详解】路程是数量，位移是向量，从而，由位移的合成易得，故. 故选：A. 3.飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京（如图），这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.从物理学的角度来看，上面实例中位移说明了什么？体现了向量的什么运算？    【答案】位移可以相加，体现了向量的加法运算 【知识点】向量加法的法则 【详解】位移可以相加，体现了向量的加法运算. 4.设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)向东走4 km (2)向东南走km (3)向东北走km (4)向南走3 km 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】由向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，根据向量的加法法则即可求解各小问. 【详解】（1） 由题意，因为向量表示“向东走2 km”， 则表示“向东走4 km”； （2）因为向量表示“向东走2 km”， 向量表示“向南走2 km”， 所以表示“向东南走km”； （3）因为向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向东北走km”； （4）因为向量表示“向南走2 km”，向量表示“向北走1 km”， 所以表示“向南走3 km”. 题型六 相反向量 1.下列等式：①；②；③；④；⑤，正确的序号为 . 【答案】①②③⑤ 【知识点】向量加法的法则、向量减法的运算律 【分析】根据向量加法的运算律、相反向量的性质，结合向量加法的运算法则逐一判断即可. 【详解】因为任意向量加上零向量等于这个向量，故①正确； 由向量的运算律及相反向量的性质可知②③是正确的； 向量的线性运算结果应为向量，故④错误； 由向量的加法运算律，加上一个向量等于减去这个向量的相反向量，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤ 2.（多选）下列结论中不正确的是（    ） A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与，之一的方向相同 B．在中，必有 C．若，则A，B，C为一个三角形的三个顶点 D．若，均为非零向量，则的长度与的长度加的长度的和一定相等 【答案】ACD 【知识点】向量的模、向量加法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】根据向量的线性运算法则，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】对于A：当与为相反向量时，，方向任意，故A错误； 对于B：在中，，故B正确； 对于C：当A、B、C三点共线时，满足，但不能构成三角形，故C错误； 对于D：若，均为非零向量，则，当且仅当与同向时等号成立，故D错误. 故选：ACD 3.（多选）下列四个等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】相反向量、向量加法的运算律 【分析】由向量的运算律、加法法则及相反向量等判断各项正误即可. 【详解】由向量的加法交换律及相反向量知：、，即A、B正确， 由，C正确， 向量的线性运算(加减、数乘运算)，结果应为向量，D错误． 故选：ABC 4.如图所示，的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)写出与相反的向量； (2)写出与的模相等的向量； (3)写出与相等的向量. 【答案】(1)，， (2)，，，， (3)， 【知识点】向量的模、相等向量、相反向量 【分析】（1）根据已知可推得，且.结合图象，即可得出答案； （2）根据已知，结合（1）的结论以及图象，即可得出答案； （3）根据（1）（2），结合图象，即可得出答案. 【详解】（1）因为E，F，D分别是AC，AB，BC的中点， 所以，，且. 所以，与相反的向量为，，. （2）因为的三边均不相等， 又， 所以，与的模相等的向量为，，，，. （3）由（1）（2）可知，与相等的向量为，. 1.在四边形中，设、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】根据向量线性运算计算可得答案. 【详解】∵四边形中，、、， ∴. 故选：A. 2.下列不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用向量的加减法及运算性质，即可得到答案. 【详解】对于A，，故A不符合题意； 对于B，，故B不符合题意； 对于C，，故C不符合题意； 对于D，，故D符合题意. 故选：D． 3.如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【详解】利用向量加法和减法的三角形法则计算即可. 【解答过程】， 故选：C. 4.设如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相等向量、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】由相等向量的定义即可得，所以A错误；由向量的加减法则，结合三角形法则可知BC错误，D正确. 【详解】根据相等向量的概念可得，即A错误； 由向量的三角形法则可得，即B错误； 易知，所以可得，即C错误； 由向量的减法法则可得，所以D正确； 故选：D 5.（多选下列各式中结果为零向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据平面线向量加法和减法的运算法则逐一判断即可. 【详解】因为，所以选项A不符合题意； 因为，所以选项B符合题意； 因为， 所以选项C符合题意； 因为， 所以选项D不符合题意， 故选：BC 6.（多选）给出下面四个命题，其中是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用向量加法规则和向量减法规则即可判断各个选项的正误. 【详解】，A判断正确； ，由向量加法知B判断正确； 不满足加法运算法则，C判断错误； ，D判断错误． 故选:AB． 7.（多选）化简以下各式，结果为的有（      ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据向量加减法的计算法则直接可得解. 【详解】A选项：，A选项正确； B选项：，B选项正确； C选项：，C选项错误； D选项：，D选项正确； 故选：ABD. 8.已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是 .(填序号) 【答案】①④/④① 【知识点】向量加法的运算律 【分析】利用向量加法的运算法则化简各项向量的线性表达式，即可确定结果是否为. 【详解】①; ②; ③; ④. 故答案为：①④. 9.在中，化简： （1） ；     （2） ． 【答案】 【知识点】向量减法的法则 【分析】在三角形中，向量的加减法遵循三角形法则. 【详解】(1)， (2). 故答案为： 10.化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据向量的加法减法运算求解即可. 【详解】（1）. （2） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 向量的加法 题型一 向量加法法则的几何应用 1.在矩形中，等于（    ） A． B． C． D． 2.在四边形ABCD中，，则（　 　） A．ABCD一定是矩形 B．ABCD一定是菱形 C．ABCD一定是正方形 D．ABCD一定是平行四边形 3.如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，（　　） A． B． C． D． 4.在正六边形中，（    ） A． B． C． D． 题型二 向量加法的法则 1.（    ） A． B． C． D． 2.在中，点满足，则（    ） A．点在延长线上 B．不在直线上 C．点在延长线上 D．点在线段上 3.是平行四边形外一点，用、、表示，正确的表示为（    ） A． B． C． D． 4.（多选）下列结论恒为零向量的是（    ） A． B． C． D． 题型三 向量减法的法则 1.（    ） A． B． C． D． 2.如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 3.已知为非零向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则与方向相同 B．若，则与方向相反 C．若，则与有相等的模 D．若，则与方向相同 4.（多选）下列各式可以化简为的是（    ） A． B． C． D． 题型四 向量减法法则的几何应用 1.在四边形ABCD中，已知，则四边形ABCD为（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．平行四边形 2.在五边形中（如图），下列运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 3.下列各式中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4.若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五 速度、位移的合成 1.一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度，水流速度，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为（    ） A．5 B．10 C．8 D． 2.如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（   ） A． B． C． D．与不能比大小 3.飞机从广州飞往上海，再从上海飞往北京（如图），这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位移是相同的.从物理学的角度来看，上面实例中位移说明了什么？体现了向量的什么运算？    4.设向量表示“向东走2 km”；向量表示“向西走1 km”；向量表示“向南走2 km”；向量表示“向北走1 km”，试说明下列向量所表示的意义： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型六 相反向量 1.下列等式：①；②；③；④；⑤，正确的序号为 . 2.（多选）下列结论中不正确的是（    ） A．如果非零向量与的方向相同或相反，那么的方向必与，之一的方向相同 B．在中，必有 C．若，则A，B，C为一个三角形的三个顶点 D．若，均为非零向量，则的长度与的长度加的长度的和一定相等 3.（多选）下列四个等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 4.如图所示，的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)写出与相反的向量； (2)写出与的模相等的向量； (3)写出与相等的向量. 1.在四边形中，设、、，则（    ） A． B． C． D． 2.下列不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 3.如图，向量，，，则向量可以表示为（    ） A． B． C． D． 4.设如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5.（多选下列各式中结果为零向量的为（    ） A． B． C． D． 6.（多选）给出下面四个命题，其中是真命题的是（    ） A． B． C． D． 7.（多选）化简以下各式，结果为的有（      ） A． B． C． D． 8.已知下列各式：①； ②； ③； ④.其中结果为的是 .(填序号) 9.在中，化简： （1） ；     （2） ． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$