精品解析：四川省资阳市天立学校2024-2025学年高二上学期数学期末复习卷01

资阳天立高二数学上学期期末复习卷01 （时间：120分钟 试卷满分：150分） 审核：高二数学备课组 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列直线中，倾斜角最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 若样本的平均值是5，方差是3，样本的平均值是9，标准差是b，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，空间四边形OABC中，，点M在线段OA上，且，点N为BC中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．某校一个数学兴趣小组为了给奥运献礼，从网上查找了鸟巢的有关资料，制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，但扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的长轴长为30cm，短轴长为15cm，大椭圆的长轴长为60cm，则大椭圆的短轴长为（ ）cm A. 30 B. 20 C. D. 5. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称“甲、乙心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（ ） A. A与互斥 B. 与相互独立 C. D. A与互斥 7. 已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，又直线与圆交于，两点．若，则的值为 A. B. C. D. 8. 设每个工作日甲､乙､丙､丁人需使用某种设备的概率分别为，，，，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少人需使用设备的概率为（ ） A. 0.25 B. 0.30 C. 0.31 D. 0.35 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ） A. 2个球都是红球的概率为 B. 2个球不都是红球的概率为 C. 至少有1个红球的概率为 D. 2个球中恰有1个红球的概率为 10. 设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（　　） A. B. 以线段为直径的圆必与准线相切 C. 线段的长为定值 D. 线段的中点到轴的距离为定值 11. 如图，已知在棱长为2的正方体中，点E，F，H分别是，，的中点，点G是上的动点，下列结论正确的是（ ） A. 平面ABH B. 平面 C. 直线EF与所成的角为30° D. 三棱锥的体积最大值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________(下面摘取了随机数表第7行至第9行). 87 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 13. 平面内一点到直线的距离为：．由此类比，空间中一点到平面的距离为__________． 14. 双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点P，若，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点． （1）求圆C的标准方程； （2）求过点且被圆C截得的弦长为的直线方程． 16. 已知四棱柱的所有棱长都为2，且. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 17. 某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图． 注：分组区间为，，， （1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？ （2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率． 18. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为． （1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； （2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，设点，在中，． （1）求椭圆C的方程； （2）设P，Q为C上异于点A的两动点，记直线AP，AQ的斜率分别为，若，求证：直线PQ过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 资阳天立高二数学上学期期末复习卷01 （时间：120分钟 试卷满分：150分） 审核：高二数学备课组 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列直线中，倾斜角最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出各选项中的直线倾斜角，再比较大小即得. 【详解】直线的斜率为，倾斜角为；直线的斜率为，倾斜角为， 直线的斜率为，倾斜角为；直线的斜率为，倾斜角为， 显然直线的倾斜角最大. 故选：C 2. 若样本的平均值是5，方差是3，样本的平均值是9，标准差是b，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设的平均值为，方差为，进而根据公式列式求解即可. 【详解】解：设的平均值为，方差为， 因为样本的平均值是5，方差是3， 所以， 因为样本的平均值是9，标准差是b， 所以，， 所以 故选：D 3. 如图，空间四边形OABC中，，点M在线段OA上，且，点N为BC中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】点M在线段OA上，且， 又， ∵N为BC的中点， . 故选：D. 4. 北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，继2008年北京奥运会之后，国家体育场（又名鸟巢）将再次承办奥运会开幕式．某校一个数学兴趣小组为了给奥运献礼，从网上查找了鸟巢的有关资料，制作了一个近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，但扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的长轴长为30cm，短轴长为15cm，大椭圆的长轴长为60cm，则大椭圆的短轴长为（ ）cm A. 30 B. 20 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据大小椭圆的扁平程度相同即离心率相同，可得大、小椭圆的短轴长与长轴长的比值相等，结合已知条件列方程求大椭圆的短轴长. 【详解】由题设，大小椭圆的离心率相同，又， ∴大、小椭圆的短轴长与长轴长的比值相等， 设大椭圆的短轴长为2b，则有， ∴，即大椭圆短轴长为30cm. 故选：A． 5. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称“甲、乙心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，样本点总数为36，可列举出满足条件的样本点共16个，由古典概型的概率公式，即得解 【详解】记“|a－b|≤1”为事件A，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}， 则事件A包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16个， 而依题意得，样本点总数为36，且每个样本点出现的可能性相等． 因此他们“心有灵犀”的概率P＝＝. 故选：D 6. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则（ ） A. A与互斥 B. 与相互独立 C. D. A与互斥 【答案】B 【解析】 【分析】根据互斥的定义和相互独立的公式即可求解. 【详解】对于选项A：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A，也满足事件B,因此A与能够同时发生，所以A与不互斥，故选项A错误； 对于选项B：，，，所以，所以与相互独立，即选项B正确； 对于选项C：，故选项C错误； 对于选项D：第一次掷出点数为3，第二次掷出点数为3，满足事件A，也满足事件C,因此A与C能够同时发生，所以A与C不互斥，故选项D错误； 故选：B. 7. 已知斜率为的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于，两点，又直线与圆交于，两点．若，则的值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用弦长公式分别计算、关于的表达式，再利用求得的值. 【详解】设直线的方程为代入抛物线消去， 整理得：，则， 所以， 圆， 圆心为，半径为， 因为直线过圆心，所以， 因为，所以. 故选：A. 【点睛】本题考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、弦长计算，考查转化与化归思想的应用，考查运算求解能力，求解时注意弦的特殊性，即可简化运算. 8. 设每个工作日甲､乙､丙､丁人需使用某种设备的概率分别为，，，，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少人需使用设备的概率为（ ） A. 0.25 B. 0.30 C. 0.31 D. 0.35 【答案】C 【解析】 【分析】 设甲､乙､丙､丁需使用设备分别为事件，，，，根据题中条件，分别确定这四人各自需使用设备的概率，求出恰有人使用设备的概率，以及人使用设备的概率，再求和，即可得出结果. 【详解】设甲､乙､丙､丁需使用设备分别为事件，，，， 则，，， 所以恰好人使用设备的概率为 ， 人使用设备的概率 故所求概率. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ） A. 2个球都是红球的概率为 B. 2个球不都是红球的概率为 C. 至少有1个红球的概率为 D. 2个球中恰有1个红球的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据独立事件乘法公式计算2个球都是红球的概率，判断A;利用对立事件的概率计算方法求得2个球不都是红球的概率，判断B;根据对立事件的概率计算判断C;根据互斥事件的概率计算可判断D. 【详解】设“从甲袋中摸出一个红球”为事件，从“乙袋中摸出一个红球”为事件， 则，， 对于A选项，2个球都是红球为，其概率为，故A选项正确， 对于B选项，“2个球不都是红球”是“2个球都是红球”的对立事件，其概率为，故B选项错误， 对于C选项，2个球至少有一个红球的概率为，故C选项正确， 对于D选项，2个球中恰有1个红球的概率为，故D选项正确． 故选：ACD． 10. 设抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上不同的两点，且，则（　　） A. B. 以线段为直径的圆必与准线相切 C. 线段的长为定值 D. 线段的中点到轴的距离为定值 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，求得抛物线及焦点，结合抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解.， 【详解】对于A中，由抛物线的准线为，可得，解得， 所以抛物线的焦点为 且，所以A正确； 对于B中，如图，当线段过焦点时，过作， 取的中点作，可得， 此时以线段为直径的圆与准线相切， 因为直线不一定过抛物线的焦点，则不一定成立，故B错误. 对于C中，设， 由抛物线得的定义得，所以， 当直线过原点时，设，则，此时，可得， 当直线为时，可得，不妨设，可得， 所以的长不是定值，所以C错误； 对于D中，由，则线段的中点到轴的距离为，所以D正确. 故选：AD. 11. 如图，已知在棱长为2的正方体中，点E，F，H分别是，，的中点，点G是上的动点，下列结论正确的是（ ） A. 平面ABH B. 平面 C. 直线EF与所成的角为30° D. 三棱锥的体积最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据得到，，，四点共面，在平面ABH上；B选项，通过证明BD⊥面得到，通过证明⊥面得到，最后即可证明面；C选项，取AD中点I，根据得到EF与所成角为∠IFE，然后用余弦定理求角即可；D选项，根据题意得到当G位于点时，三棱椎的体积最大，然后求体积即可. 【详解】 因为为正方体，所以，则，，，四点共面，即在平面ABH上，故A错； 连接BD，AC，，，， 在正方体中，，面ABCD，平面， ∴， ∵，AC，⊂面， ∴BD⊥面， 又⊂面， ∴， 又∵，面，平面， ∴． ∵，，⊂面， ∴⊥面， ∵平面， ∴， 又，，，BD⊂面， ∴面，故B正确； 取AD中点I，连接FI，EF，EI，， 在中，∵F，I分别为，DA的中点， ∴， 又， ∴， ∴EF与所成角为∠IFE， 在中，，，， ∴， ∴EF与所成的角为30°，故C正确； 当G位于点时，三棱锥的体积最大， 故，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚氰胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，将800袋牛奶按000，001，…，799进行编号，若从随机数表第7行第8列的数开始向右读，则得到的第4个样本个体的编号是________(下面摘取了随机数表第7行至第9行). 87 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 【答案】068 【解析】 【分析】直接由随机数表读数即可. 【详解】由随机数表知，前4个样本的个体编号分别是331，572，455，068. 故答案为：068. 13. 平面内一点到直线的距离为：．由此类比，空间中一点到平面的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】类比可得空间中一点到平面的距离，从而计算可得. 【详解】解：依题意类比可得空间中一点到平面的距离 . 故答案为： 14. 双曲线的左、右焦点分别为，．过作其中一条渐近线的垂线，交双曲线的右支于点P，若，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题设，不妨令，过作，则，结合勾股定理、等腰直角三角形求，再由双曲线定义求参数间的数量关系，进而求离心率. 【详解】如下图，垂直一条渐近线，则， 过作，故，又， ∴，，又在△中，故，， 由双曲线定义知：，则， ∴. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 15. 已知圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点． （1）求圆C的标准方程； （2）求过点且被圆C截得的弦长为的直线方程． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出圆的标准方程，根据题意，求得圆心和半径，即可求得结果； （2）设直线方程为，利用弦长公式，求解即可. 【小问1详解】 设圆C的标准方程为 圆C的圆心在直线上，且与直线相切于点， ，解方程组得； 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为：， 圆心到直线l的距离， 所以，解得或， 所以直线l的方程为或 16. 已知四棱柱的所有棱长都为2，且. （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】（1）设与的交点为，连接， 因为，，， 所以， 所以， 又因为是的中点，所以， 另由且， 所以平面， 而平面，所以平面平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）要证平面平面，转化为证明平面，通过证明及可得； （2）连接，由（1）可得为直线与平面所成的角，在中求角的正弦值.另外可以用向量法求线面角. 【详解】（1）略 （2）（法一）连接，由（1）知平面， 所以为直线与平面所成的角， 在菱形中，， 故， 所以 又因为，所以， 所以. （法二）过作直线平面，分别以、、为、、轴，建立如图所示空间直角坐标系， 依题意，得，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 所以，令，则，即， 所以， 即直线与平面所成的角的正弦值为. 【点睛】本题考查面面垂直的判定以及空间线面角的求解，其中关键是要找到线面角的平面角，考查了学生空间想象能力，是中档题. 17. 某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图． 注：分组区间为，，， （1）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？ （2）在（1）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率． 【答案】（1）男生优秀人数为30，女生优秀人数为45 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图，结合频数、频率以及样本容量的关系，即可求得答案； （2）确定抽取5人中男女生的人数，列举出任意选取2人的所有可能情况，确定至少有一名男生的情况，根据古典概型的概率公式即可求得答案. 【小问1详解】 由题意可得，男生优秀人数为， 女生优秀人数为． 【小问2详解】 因为样本容量与总体中的个体数的比是， 所以样本中包含男生人数为，女生人数为， 设两名男生为，，三名女生为，，， 则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为： ，，，，， ，，，，共10个， 每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 记事件C：“选取的2人中至少有一名男生”， 则事件C包含的基本事件有： ，，，，，，共7个， 所以，即选取的2人中至少有一名男生的概率为. 18. 甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为． （1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； （2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率． 【答案】（1），，；（2） 【解析】 【分析】（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，则再利用独立事件的概率计算公式，解方程组即可得到答案. （2）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，利用对立事件，即计算即可. 【详解】（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件， 由题设条件有即 解得，，． 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，； （2）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则 ． 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为． 【点晴】本题主要考查独立事件的概率计算问题，涉及到对立事件的概率计算，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，设点，在中，． （1）求椭圆C的方程； （2）设P，Q为C上异于点A的两动点，记直线AP，AQ的斜率分别为，若，求证：直线PQ过定点． 【答案】（1）； （2）当直线PQ斜率不存在时，设直线PQ方程为（且） 则 解得，不符合题设； 从而可设直线PQ的方程设为， ， 则有 由 ， （舍）或， 当且仅当时，， ， ∴PQ直线恒过定点. 【解析】 【分析】（1）根据，结合椭圆的对称性，求得，即可求得椭圆方程； （2）设出直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理，结合的斜率关系，求得对应参数的约束条件，即可求得直线恒过的顶点. 【小问1详解】 由题意知， 由 ， ， 椭圆方程为； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：处理第二问的关键是能够熟练应用韦达定理，合理转化已知条件，从而求得参数之间的关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $