专题02 数学文化背景下的高考数学之等式与不等式-【数学文化】高考数学考点与数学文化的融合（新高考通用）

专题02 数学文化背景下的高考数学之等式与不等式 背景1：《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”，意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少尺. 背景2：十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远. 背景3：若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式. 背景4：《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明． 背景5：设为两个正数，定义的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数. 等式与不等式知识归纳总结： 1.等式的性质 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么； 2.比较两个实数大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有： ； ； 另外，若，则有；；. 3.不等式的基本性质： （1） 对称性：． （2） 传递性 ：． （3） 可加性：． （4） 可积性：①；②． （5） 同向可加性：；异向可减性：． （6） 同向正数可乘性；异向异号可乘性：；异向正数可除性：． （7） 乘方法则：（，）． （8） 开方法则：（，）． （9） 倒数法则：；． 4.基本不等式 如果，那么（当且仅当时取“=”）. 说明： ①对于非负数，我们把称为的算术平均数，称为的几何平均数. ②我们把不等式称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数. ③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当时，有；另一方面当时，有. ④ 结构特点：和式与积式的关系. 5．基本不等式求最值 （1）设x，y为正数，若积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2（简记为：积定和最小）. （2）设x，y为正数，若和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2（简记为：和定积最大）. 6．几个重要不等式（含基本不等式链） （1）（）； （2）（）； （3）2（）； （4） 或（）； （5） 1 借助数学文化考查考查等式 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”，意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少尺 （  ） A．11尺 B．10尺 C．6.5尺 D．6尺 【答案】C 【解析】设长木长为x尺，绳子长为y尺，则 ，解得 故选：C. 变式1.我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一个问题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两.问总是几人，每人各得几两”，其意思是：“现一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，则一共有____________人，每个人分得____________两银子”. 【答案】     36     24 【解析】设共有人，则每人分得两银子， 因为每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二， 所以，即，解得或（舍去） 所以一共有36人，每人分得24两银子 故答案为：36；2 2 借助数学符号的引入考查不等关系 （多选）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a，b，，则下列命题正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【解析】对于A选项，当时，则，A选项错误； 对于B选项，， 由，得， 则， B选项正确； 对于C选项，， 由，，则， 则， C选项不正确； 对于D选项，， ，， 得， 则， D选项正确. 故选：B D. 变式1.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：C. 3 借助生活情境考查不等关系 若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出___________(用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式___________. 【答案】 【解析】空1：因为，所以可得： ； 空2：由空1可得：，即. 故答案为：； 变式1.若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【法一】对数型糖水不等式 因为 , 所以 . 在上述推论中取 , 可得 , 且 . 所以 , 即 , 故选 :A. 【法二】普通型糖水不等式 由已知条件 , 可得 . 同公式 (2) 的证明过程, 可以得到 , 即 . 所以 , 即 . , 即 , 所以 , 即 . 综上, , 故选: A. 变式2.若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.比较大小: 与 ？ 【答案】 【法一】 。 【法二】 。 【法三】对数型糖水不等式直接可得 4借助数学文化考查基本不等式 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，可得圆的半径为， 又由， 在直角中，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号． 故选：D. 变式1.《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,并称之为“无字证明”.如图3－3－1所示,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于E,设AC＝a,BC＝b,则该图形可以完成的“无字证明”为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得半圆的半径，易得 ， ，， . 故选:D 变式2.《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：是半圆的直径，点在半圆周上，于点，设，，直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 是半圆的半径，为圆的直径，，由射影定理可知，，在中，，，当 与重合时，，所以， 故选:D. 5 借助基本不等式数学背景进行考查 （多选）设为两个正数，定义的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数.下列关系正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A选项，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B选项，， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于C选项，， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D选项，当时，由C可知，，故D错误. 故选：AC. 变式1.(多选)设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确； 对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，当时，由C可知，，故D不正确. 故选：AB 1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（  ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】B 【解析】A中，有，错误； B中，时，成立，正确； C中，时，，错误； D中，由题设，当时，，错误； 故选：B 2．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A：，即，故A正确； 对于B：记在上为减函数，∵，∴，故B正确； 对于C：记在上为增函数，∵，∴，故C正确； 对于D：，可以取，则，故D错误. 故选：D 3．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（  ） A．里 B．里 C．里 D．里 【答案】D 【解析】因为1里=300步， 则由图知步=4里，步=2.5里． 由题意，得， 则， 所以该小城的周长为， 当且仅当时等号成立. 故选:D． 4．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若使前n次操作去掉的所有区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（  ）(，) A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【解析】第一次操作去掉了区间长度的，剩下的区间：， 第二次去掉个长度为的区间，即长度和为，剩下的区间：，，， 第三次去掉个长度为的区间，即长度和为，剩下的区间：，，，， . 以此类推， 第次将去掉个长度为的区间，即长度和为， 则的前项和可表示为 由题意知，， 两边同时取对数，即， 解得： 故选：B 5.早在西元前世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数的算术平均数，为正数的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（  ） A．若，则 B．若，，则最小值为 C．若，， D．若实数满足，，，则的最小值是1 【答案】C 【解析】对于A，若，，则，A错误； 对于B，，，，， （当且仅当，即时取等号），即的最小值为，B错误； 对于C，，，，又， （当且仅当，即时取等号），C正确； 对于D，令，，则， （当且仅当时取等号），即的最小值是，D错误 故选：C. 6．（多选）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫作基本不等式.已知实数a，b满足，，a+b=2，则下列结论正确的有（  ） A．的最小值是 B．的最小值为3 C．的最大值为3 D．的最小值是2 【答案】ABD 【解析】对于A，， 当且仅当，即，时取“=”，A正确； 对于B，，当时，取得最小值3，B正确； 对于C，令，， 其中锐角由确定，显然，则当，即时，， 因此，当时，取最大值，C不正确； 对于D， ， 当且仅当a=b=1时取“=”，D正确. 故选：ABD 7．（多选）公元3世纪末，古希腊亚历山大时期的一位几何学家帕普斯发现了一个半圆模型（如图所示），以线段为直径作半圆，，垂足为，以的中点为圆心，为半径再作半圆，过作，交半圆于，连接，设，，则下列不等式一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为是圆O的直径，则， 因为，则，所以，故， 易有，故，即， 大圆半径，小圆半径， ，， 故，同理. 选项A中，，显然当时是钝角，在上可截取，故，即大圆半径，故，正确； 选项B中，当时，大圆半径，有，故错误； 选项C中， 中，，故，故错误； 选项D中，大圆半径，小圆半径， 则，而，故，故正确. 故选：AD. 8.剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，纸片为一圆形，直径，需要剪去四边形，可以经过对折、沿裁剪、展开就可以得到． 已知点在圆上且．要使得镂空的四边形面积最小，的长应为_____． 【答案】 【解析】如图，连接，作于，由题意，，故，所以. 设则由面积公式，，即.由余弦定理，结合基本不等式，即，当且仅当时取等号. 故取最小值时，此时. 故. 故答案为： 9.《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数，线段___________的长度是a，b的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为___________． 【答案】 【解析】 依题意三角形是直角三角形，； 在直角三角形中，. 由射影定理得， 由射影定理得，即， 所以线段的长度是的调和平均数. 在中，，即， 当时，重合，即， 所以. 故答案为：； 10．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门步有树，出南门步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：里步）________ 里. 【答案】 【解析】因为里步，由图可知，步里，步里， ，则，且， 所以，，所以，，则， 所以，该小城的周长为（里）. 故答案为：. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 数学文化背景下的高考数学之等式与不等式 背景1：《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”，意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少尺. 背景2：十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远. 背景3：若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式. 背景4：《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明． 背景5：设为两个正数，定义的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数. 等式与不等式知识归纳总结： 1.等式的性质 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么； 2.比较两个实数大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有： ； ； 另外，若，则有；；. 3.不等式的基本性质： （1） 对称性：． （2） 传递性 ：． （3） 可加性：． （4） 可积性：①；②． （5） 同向可加性：；异向可减性：． （6） 同向正数可乘性；异向异号可乘性：；异向正数可除性：． （7） 乘方法则：（，）． （8） 开方法则：（，）． （9） 倒数法则：；． 4.基本不等式 如果，那么（当且仅当时取“=”）. 说明： ①对于非负数，我们把称为的算术平均数，称为的几何平均数. ②我们把不等式称为基本不等式，我们也可以把基本不等式表述为：两个非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数. ③“当且仅当时取‘=’号”这句话的含义是：一方面是当时，有；另一方面当时，有. ④ 结构特点：和式与积式的关系. 5．基本不等式求最值 （1）设x，y为正数，若积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2（简记为：积定和最小）. （2）设x，y为正数，若和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2（简记为：和定积最大）. 6．几个重要不等式（含基本不等式链） （1）（）； （2）（）； （3）2（）； （4） 或（）； （5） 1 借助数学文化考查考查等式 《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，木长几何？”，意思是：用绳子去量一根长木，绳子还余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少尺 （  ） A．11尺 B．10尺 C．6.5尺 D．6尺 变式1.我国古代数学著作《田亩比类乘除捷法》中有这样一个问题：“给银八百六十四两，只云所得银之两数比总分人数，其银多十二两.问总是几人，每人各得几两”，其意思是：“现一共有银子八百六十四两，只知道每个人分到的银子数目的两倍比总人数多十二，则一共有____________人，每个人分得____________两银子”. 2 借助数学符号的引入考查不等关系 （多选）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a，b，，则下列命题正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 变式1.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 3 借助生活情境考查不等关系 若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出___________(用“”或“”填空)；并写出上述结论所对应的一个糖水不等式___________. 变式1.若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.已知，则（  ） A． B． C． D． 变式2.若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式(，)数学中常称其为糖水不等式.比较大小: 与 ？ 4借助数学文化考查基本不等式 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（  ） A． B． C． D． 变式1.《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一方法,很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明,并称之为“无字证明”.如图3－3－1所示,AB是半圆O的直径,点C是AB上一点(不同于A,B,O),点D在半圆O上,且CD⊥AB,CE⊥OD于E,设AC＝a,BC＝b,则该图形可以完成的“无字证明”为（  ） A． B． C． D． 变式2.《几何原本》卷2的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”.现有如下图形：是半圆的直径，点在半圆周上，于点，设，，直接通过比较线段与线段的长度可以完成的“无字证明”为（  ） A． B． C． D． 5 借助基本不等式数学背景进行考查 （多选）设为两个正数，定义的算术平均数为，几何平均数为，则有：，这是我们熟知的基本不等式.上个世纪五十年代，美国数学家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中为有理数.下列关系正确的是（  ） A． B． C． D． 变式1.(多选)设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 1．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（  ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 2．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 3．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（  ） A．里 B．里 C．里 D．里 4．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段，记为第1次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作．．．；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段：操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”，若使前n次操作去掉的所有区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（  ）(，) A．8 B．9 C．10 D．11 5.早在西元前世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同．而今我们称为正数的算术平均数，为正数的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫做基本不等式．下列与基本不等式有关的命题中正确的是（  ） A．若，则 B．若，，则最小值为 C．若，， D．若实数满足，，，则的最小值是1 6．（多选）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.而今我们称为正数a，b的算术平均数，为正数a，b的几何平均数，并把这两者结合的不等式叫作基本不等式.已知实数a，b满足，，a+b=2，则下列结论正确的有（  ） A．的最小值是 B．的最小值为3 C．的最大值为3 D．的最小值是2 7．（多选）公元3世纪末，古希腊亚历山大时期的一位几何学家帕普斯发现了一个半圆模型（如图所示），以线段为直径作半圆，，垂足为，以的中点为圆心，为半径再作半圆，过作，交半圆于，连接，设，，则下列不等式一定正确的是（  ） A． B． C． D． 8.剪纸，又叫刻纸，是一种镂空艺术，是中国汉族最古老的民间艺术之一．如图，纸片为一圆形，直径，需要剪去四边形，可以经过对折、沿裁剪、展开就可以得到． 已知点在圆上且．要使得镂空的四边形面积最小，的长应为_____． 9.《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线，交半圆于D，连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段CD的长度是a，b的几何平均数，线段___________的长度是a，b的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为___________． 10．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门步有树，出南门步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：里步）________ 里. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$