广东省广州市西关外国语学校2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

广州市西关外国语学校2024学年高二上学期12月月考数学 一、单选题 1. 点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 若两互相平行的平面、的法向量分别为，，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次抛掷骰子的点数之积为奇数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 关于双曲线C：下列说法正确的是（ ） A. C的渐近线方程为 B. C的离心率为 C. C的焦点坐标为 D. C的实轴长是虚轴长的4倍 5. 双曲线C与椭圆有相同的焦点，一条渐近线的方程为，则双曲线C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 圆与圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8. 已知数列的前n项和为，且，则的值为（ ） A. 300 B. 240 C. 210 D. 180 二、多选题 9. 在平面直角坐标系中，已知点，，点M是平面内的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则点的轨迹是双曲线 B. 若，则点的轨迹是椭圆 C. 若，则点的轨迹是一条直线 D. 若，则点的轨迹是圆 10. 抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ） A. l与相切 B. 当P，A，B三点共线时， C. 当时， D. 满足的点有且仅有2个 11. 已知正方体的棱长为2，为平面内一点，为中点．下列论述正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则到直线的距离为 C. 若，则有且仅有一个点，使得平面 D. 若，则平面与底面所成角正弦值的取值范围为 三、填空题 12. 在前项和为的等差数列中，，，则__________． 13. 过点作直线与椭圆交于，两点，若线段的中点为，线段的长度是______． 14. 设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______． 四、解答题 15. 记为等差数列的前项和，已知，． （1）求的通项公式； （2）求，并求的最小值． 16. 已知圆C与x轴相切于B点，与y轴相切于A点，圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）P是圆C上一动点，M为AP的中点，若的面积为2，求直线的方程. 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，且，侧面是正三角形，侧面底面，E为中点，作交于F． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值； （3）在平面内是否存在点Q．使得，若存在，求动点Q的轨迹长度；若不存在，请说明理由． 18. 设椭圆的左右焦点分别为，，且过点，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设动直线与坐标轴不垂直，与曲线交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数． ①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求面积的最大值． 19. 在校运动会上，有甲、乙、丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，甲、丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. （1）求丙连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）甲、乙、丙三人中谁最终获胜的概率最大?请说明理由. 广州市西关外国语学校2024学年高二上学期12月月考数学 一、单选题 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】A 二、多选题 【9题答案】 【答案】ACD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1）；（2），最小值为–16． 【16题答案】 【答案】（1） （2）或. 【17题答案】 【答案】（1）证明如下： 由侧面底面，侧面底面，面， 又底面是直角梯形，，故， 所以面，面，则， 由侧面是正三角形，E为中点，则， 而且都在面内，则面，面， 所以面面，而，面面，面， 所以平面. （2）； （3）不存在，理由如下： 由，即，故点在以为直径的球体与平面的交线上， 又，其中点坐标为，则， 由（1）（2）知，是面的一个法向量， 所以到面的距离， 所以以为直径的球体与平面不相交， 故不存在使. 【18题答案】 【答案】（1） （2）①证明：设直线，由，消得， 设，，所以，， 所以， 因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以， 所以，所以， 即，所以， 因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点． ② 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3）乙最终获胜的概率最大，理由如下： 记事件为甲输，事件为丙输， 记事件：甲赢，记事件：乙赢， 则甲赢的基本事件包括：， 甲赢的概率为， 由对称性可知，丙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等， 即丙最终获胜的概率也是， 所以乙赢的概率为， 又，所以三人中乙最终获胜的概率最大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $