10.3三角形的角平分线、中线和高教学设计 2024-2025学年冀教版数学七年级下册

《三角形的角平分线、中线和高》教学设计 一、教学内容 八年级人教版上册第十章第三节《三角形的高、中线与角平分线》 ( 图 形 与 几 何 图形的性质 图形的 变化 图形 与坐标 四边形、圆 … 三角形 相交线与平行线 点、线、面、角 小学知识 生长点 基础 思路方法 基础 思路方法 类比点 平移、旋转、轴对称 全等三 角形 相似三 角形 用坐标表示 )二、教材分析 三角形属于图形与几何领域中的图形的性质主题，三角形是最基本的几何图形，在图形与几何领域占有极其重要的地位。点、线、面、角，相交线与平行线，以及小学知识是本部分内容的生长点，三角形是学生学习了直线、射线、线段、相交线与平行线等知识后，全面深入进行研究的图形。 ( 与三角形有关的线段 与三角形有关的角 边 高 中线 角平分线 内角 外角 基本 要素 相关 要素 小学三角形、线段的中点、角的平分线、垂线 … 内心、外心、内切圆、等腰（边）三角形等 延续 基础 基本 要素 相关 要素 多边形及其内角和 )线段、角的研究为本章提供了基础，思路和方法，同时三角形又是学习四边形、圆等图形的基础，可以帮助学生掌握研究一个数学对象的基本套路，初步形成数学思维方式，发展学生的空间观念、几何直观、推理能力、抽象能力等素养。 三角形这一章分为三节，10.1研究与三角形的边，10.2研究与三角形的内角与外角，10.3介绍三角形的高、中线与角平分线。多边形的相关知识都可由三角形的有关概念推广而来。 与三角形有关的线段的研究是从基本要素边、相关要素高、中线、角平分线的顺序进行，与三角形有关的角的研究思路和与三角形有关的线段的研究是一致的。通过这一章的学习学生可以进一步体会研究几何图形的思路方法。 三角形的高、中线、角平分线是三角形的三条重要线段，是三角形的相关要素，本节内容是学生在小学已初步认识三角形的一些知识，七年级学习了线段的中点、角的平分线、垂线等知识的基础上进一步学习的内容，它既是上述知识的延续，又是后继学习三角形内心、外心、内切圆、等腰（边）三角形等知识的基础，具有承上启下的作用。 三、学情分析 学生在小学对三角形的高有一定的认识，前面学习了线段的中点，角的平分线、过直线外一点作已知直线的垂线、以及线段、角，以上内容的研究思路为本节课的学习提供了基础。 八年级学生已经具备一定抽象能力和逻辑推理能力，具有一定的画图技能，对观察、归纳等研究方法有了初步的认识，但迁移能力和推理能力还需要进一步培养。 四、教学目标 1、通过观察、操作、交流、归纳等活动，理解三角形高线、中线、角平分线的概念，初步发展几何直观、推理能力。 2、通过类比三角形高的学习过程，构建三角形中线、角平分线的学习过程思路，体会不同学习内容之间研究方法的一致性和可迁移性，体会类比的思想方法。 五、教学重难点 教学重点：三角形的高、中线、角平分线的概念。 教学难点：探究三角形的高、中线、角平分线的概念。 六、教学过程 教学环节 设计意图 教学预设 温故·知新 问题1：上节课我们学习了三角形的哪些内容？ 追问1：三角形的基本要素是什么？ 追问2：在小学除了学习三角形的基本要素边、角外，你对三角形还有哪些认识？ 教师提出问题，学生回顾思考后回答。教师指出面积除了研究三角形基本要素边以外，也研究了三角形的相关要素高，引出本节课学习的内容。 探究·发现 问题1：任意画出一个△ABC，并画出它的一条高 追问1：你是怎样画三角形高的？ 追问2：观察三角形的高是什么样的图形？它有什么特征？ 追问3：刚才我们观察的是锐角三角形（或直角三角形）的高，请你画一个钝角三角形，画出它的一条高，说说它有什么特征？ 问题2：根据画图的过程，说一说什么是三角形的高？ 追问：如果AD是BC边上的高，那么AD与BC有怎样的位置关系？ 问题3：三角形按角分可以分成哪几类，画出这几类三角形所有的高，观察高的位置有什么关系？填写下列表格。 三角形名称 图形 高的条数 高的位置 高是否相交 高所在的直线是否相交 高所在的直线交点位置 教师出示问题1、2，学生画图，以问题引导学生归纳三角形高的概念。 问题3学生先独立探究，完成后与同伴交流讨论，发表意见。 教师借助几何画板演示验证任意三角形的高具有的性质 类比·探究 问题1：你觉得三角形的高能解决什么问题？ 问题2：你能把一个三角形分成面积相等的两部分吗？你是怎么做的，判断的依据是什么？ 教师指出这条线段就是三角形的中线。（板书） 问题3：回顾我们是怎样研究三角形高的？你想从哪几方面研究三角形的中线？ 问题4：按照上述思路进行探究 观察它们有什么共同特点，说一说什么是三角形的中线？ （1） 三角形中线定义（2）几何语言表示 探究三角形中线，填写下列表格，完成后与他人交流 三角形名称 锐角三角形 钝角三角形 钝角三角形 图形 中线条数 中线位置 中线是否相交 交点位置 教师出示问题1、2，学生独立解决，发表意见。教师出示问题3、4，独立思考+组内交流，展示分享。按照上述思路进行探究（先独立思考，然后组内交流，展示）生生、师生互评 教师用画板演示，三角形的形状大小发生改变，它们的中线位置关系的变化 介绍三角形的重心 类比·探究 三角形的中线把边BC分成了相等的两部分，同时把∠BAC分成了两个角，这两个角相等时，这条线段AD就是三角形的角平分线。 问题1：回顾我们前面的研究思路，你想从哪几方面研究三角形的角平分线？ 问题2：探究角平分线 追问1：我们怎样得到一个角的平分线 追问2：三角形的角平分线与角的平分线的区别 定义： 几何语言表示： 性质： 三角形名称 锐角三角形 钝角三角形 钝角三角形 图形 角平分线条数 角平分线位置 角平分线是否相交 交点位置 教师出示问题1学生思考后回答，出示问题2，学生独立探究，组内交流，生生、师生互评； 学生用画板演示，三角形的形状大小发生改变，它们的角平分线位置关系的变化 尝试·应用 在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，填空： （1）BE= = （2）∠BAD= = （3）∠AFB= =90° （4）S△ABC= 教师出示问题，学生独立思考，组内成员互相批改，有问题的订正。 问题：观察三角形的高、中线、角平分线，比较它们的异同 追问：一个三角形的高、中线、角平分线有没有重合的情况？ 回顾·反思 本节课我们学习了什么内容？ 回顾学习过程，我们是如何进行学习的？在学习中你积累了哪些经验？ 教师出示问题，学生发表意见，生生补充，教师引导学生从研究内容、研究顺序、研究方法、思想方法等对本节课进行总结，完善知识体系 布置作业 教师布置作业 基于学生的学习经验，通过对已有知识的回顾，让学生感受到知识的连贯性和整体性，抓住学生的最近发展区，拉近学生对本节课所学知识的距离，从而激发学生的学习兴趣。 通过画高，唤醒学生对三角形高的认识，通过分析三角形高的特征，有助于学生归纳高的共同属性，经历概念的形成过程。 培养学生语言表达能力。 培养学生几何语言表达能力。 对三角形高的概念的巩固和深化，通过学生画不同形状的三角形的高，提高学生的基本作图能力，发展其空间观念。进一步感受高的本质。 体会发现的结论具有一般性。 借助学生已有经验高、面积、线段的中点，引出探究的内容：三角形的中线。 通过回顾刚刚探究高的思路，类比设计三角形中线的探究，渗透类比的思想方法，体会几何研究的思路。 利用独立思考与小组交流的方式，学生在经历探究中线中积累数学活动经验，展示交流，体验“发现”知识的快乐，变被动接受为主动探究。 利用画板的演示操作，渗透学科融合 利用画板演示深化学生思维，培养学生严谨的数学思考习惯。 再次回顾研究思路，体会类比的思想方法。 采取独立思考与小组合作交流的方式，学生经历探究角平分线的过程，主动参与学习活动中，在与学生交流中学会，会学。 利用几何画板的演示操作，渗透学科融合 通过练习，使学生对三角形高、中线、角平分线的概念加以巩固，体会文字语言、几何语言、和图形语言的转化。通过对它们的概念进行对比，培养学生反思能力。 通过追问引发学生思考，为后面等腰三角形做铺垫 学生自主对本节课的所学内容进行归纳小结，使所学的知识及时的纳入学生的认知结构。 巩固本节课所学知识、方法 预设1：学生回答学习了三角形的定义、表示方法、分类、边的性质 预设2：学生可能回答周长、面积 预设1：多数学生只能画出一类三角形，部分学生画出两类，少数学生画出三类 预设2：学生画图不规范，有的没有标明垂直符号或者垂足 预设3：学生文字语言叙述不规范 预设4：学生画图过程中，对钝角三角形的高认识不清，有的学生认为钝角三角形的高是相交的 预设1：学生回答高能解决面积问题 预设2：学生可能会取三角形一边中点 预设1角平分线的定义描述不完整 预设2、学生回答可以用测量的方法，也可以用折纸方法 预设3、三角形的角平分线是线段，角的平分线是射线。 预设：高、中线、角平分线，比较它们的异同语言表述不完整 预设：学生更多的回答是知识方面；学生得出下节课研究三角形有关的角 板书设计 ( 性质 ) ( 几何语言 ) ( 图形 ) ( 定义 )三角形的高、中线与角平分线 三角形的高 类比 顶点、对边垂足，线段 ∵AD是△ABC的高 ∴∠ADB= ∠ADC=90° 三条高所在的直线交于一点 三角形的中线 顶点、对边中点，线段 ∵AD是△ABC的中线 ∴BD=DC=BC 三条中线交于一点 三角形的角平分线 顶点、角平分线与对边交点， 线段 ∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 三条角平分线交于一点 七、作业设计（适应“双减”要求的分层作业） 巩固性作业 1、下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ） 2、如图，在△ABC中，点D是BC的中点，已知△ABC的面积为8，则△ACD的面积为（　　） A．4 B．2 C．1 D．16 3、如图，在ΔABC中，BD是角平分线，已知∠ABC=80°，求∠DBC的度数 拓展性作业 4、如图，BE是△ABC的角平分线，AD是△ABC的高，∠ABC=50°，则∠AOB=______. 5、（课本习题）如图，在△ABC中，AB=2，BC=4,△ABC的高AD与CE的比是多少？（提示：利用三角形的面积公式） 探究性作业 6、（课本习题）如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC，DE交AB于点E，DF∥AB，DF交AC于点F，图中∠1与∠2有什么关系？为什么？ 实践性作业 “探究三角形纸板的重心” 准备一个三角形硬纸卡，画出三角形的重心，用一根细绳穿过重心，你有什么发现？ 设计意图：作业依据课程标准、《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训的意见》以及《河北省初中数学作业设计与实施指导意见》进行设计。注重基础，训练思维，提升素养。作业分为巩固性作业、拓展性作业、探究性作业、实践性作业。作业具有层次性，多样性，让不同的学生在作业上获得不同的收获。巩固性作业面向全体学生，具有基础性，是对本节课知识或技能的复习和巩固。拓展性作业的设计促进知识与方法的应用，探究性作业选自课本习题拓广探索，综合运用平行线的性质与角平分线的定义，具有综合性、培养学生数学思维能力。实践性作业学生利用本节课所学三角形的中线进行操作，可操作性强，帮助学生感受知识与生活的联系，加深对知识的理解，落实核心素养。 八、教学反思 三角形是最基本的几何图形，是研究其他几何图形的基础，它的学习对后继学习其他图形有着指引作用。 1、整体建构学习内容。 本节课教学注重找准学生认知起点，注重与小学知识的衔接，注重动手操作能力的培养，从数学知识发展的过程中提出问题，整体建构学习内容。从图形性质的研究角度和研究方法，渗透数学思想方法，在学习与三角形有关线段的经验基础上，进一步积累学习几何图形的活动经验，在基础知识和基本技能获得的同时，着力体现几何图形的研究思路，注重数学思想方法的渗透及数学活动经验的积累，探寻解决问题的数学方法，促进学生思维的螺旋上升。 2、类比思想的渗透。 本节课有三个概念，选取以三角形的高为重点，通过学生观察、发现、归纳，经历三角形高的概念的形成过程，利用概念动手画一画，与他人交流，几何画板演示验证，归纳三角形高的性质，形成研究三角形相关要素的研究方法与策略，再让学生通过类比三角形高的研究内容，研究思路等方面自主探究三角形的中线和角平分线。教师引导学生面对抽象的一般几何对象，要从具体、特殊的对象进行探索，面对新的对象可以类比去研究。学生在课堂中积累的数学思维经验，形成自身数学素养。 在以后的教学中评价语言要更丰富、形式更多样，进一步提高以评促学的作用。 附：《三角形的角平分线、中线和高》学习活动单 任务一、三角形的高 问题1：任意画出一个△ABC，并画出它的一条高 问题2：说一说什么是三角形的高？ 探究：画出这几类三角形所有的高，观察高的位置有什么关系？填写下列表格。 三角形名称 图形 高的条数 高的位置 高是否相交 高所在的直线是否相交 高所在的直线交点位置 问题3：归纳三角形的高有什么共同特点？ 任务二、三角形的中线 问题：你能把一个三角形分成面积相等的两部分吗？试着画一画。 操作：尝试探究三角形中线，填写下列表格，完成后与他人交流 三角形名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图形 中线条数 中线位置 中线是否相交 交点位置 归纳：三角形的中线有什么共同特点？ 任务三、三角形的角平分线 操作：尝试探究三角形的角平分线，填写下列表格，完成后与他人交流 三角形名称 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图形 三角形的角平分线条数 三角形的角平分线位置 三角形的角平分线是否相交 交点位置 归纳：三角形的角平分线有什么共同特点？ 尝试·应用 在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，填空： （1）BE= = （2）∠BAD= = （3）∠AFB= =90° （4）S△ABC= 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