第三章 图形的平移与旋转（培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（广东专用，北师大版）

第三章 图形的平移与旋转（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．2024年3月2日神十七航天员乘组第二次出舱活动取得圆满成功．在下列四个航天员简笔画中，可以由图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中平移的现象．“平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移”．根据平移的意义即可求解． 【详解】 解：根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形是， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，如果点与点B关于原点对称，那么点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特点，解题的关键是根据两个点关于原点对称，那么这两个点的坐标符号相反即可得出结果． 【详解】解：两个点关于原点对称，这两个点的坐标符号相反， 点关于原点对称的点的坐标是． 故选：D． 3．一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法都能正确的是（   ） ①对应线段平行；②对应线段相等；③图形的形状和大小都没有发生变化；④对应角相等． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】此题考查了图形变换的性质及其区别，掌握平移和旋转的性质及其区别，平移变换对应线段平行，但旋转后对应线段不平行．根据以上性质逐一分析即可． 【详解】解：平移后对应线段平行（或在同一直线上）；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化． 旋转后对应线段不平行；对应线段相等；对应角相等；图形的形状和大小没有发生变化． 故选：B． 4．将点向右平移5个单位长度，得到点，再把点向上平移4个单位长度得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是坐标与图形变化平移．根据横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减解答． 【详解】解：将点向右平移5个单位长度，得到点，即， 再把点向上平移4个单位长度得到点，则点 的坐标为，即． 故选：B． 5．如图，与关于点O成中心对称，下列结论中，不成立的是（   ）    A． B． C．点A的对称点是点 D． 【答案】B 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是掌握中心对称的性质．根据中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于O成中心对称， ∴，，点A的对称点是点，， 故A，C，D正确， 故选：B． 6．如图，中，，将绕点顺时针旋转后，得到，且在边上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 利用旋转的性质可得，，由等边对等角可得，然后根据即可求出的度数． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转后，得到， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到正方形，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转及点的坐标规律变化，由题意可得每旋转八次点的对应点重复出现，结合即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴每旋转八次点的对应点重复出现， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同， ∵点与点重合，且点的坐标为， ∴点的坐标是， 故选：D． 8．如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，不一定成立的是（　 　） A．或与在同一条直线上 B．或与在同一条直线上 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平移的性质，根据平移的性质判断即可,平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：A、由平移的性质可知或与在同一条直线上，故A正确； B、由平移的性质可知或与在同一条直线上，故B正确； C、由平移的性质可知，故C正确； D、由平移的性质可知，但不一定等于，故D不一定正确， 故选：D． 9．如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线 （图中虚线）长为（   ） A．108米 B．106米 C．104米 D．102米 【答案】C 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解题的关键．根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，计算即可． 【详解】解：根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析， 横向距离等于，纵向距离等于， 长米，宽米， 故从出口A到出口B所走的路线长为：（米）， 故选C． 10．如图，为等边三角形，以为边向外侧作，使得，再以点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至，则下列结论： ①D、A、E三点共线；②为等边三角形；③平分；④，其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】如图，由为等边三角形得到，由得到，再根据旋转的性质得，即旋转角等于，，，于是可计算出，则可对①进行判断；由，，根据等边三角形的判定可对②进行判断；由为等边三角形得，于是可得，则可对③进行判断；根据旋转的性质得，根据等边三角形的性质得，所以，则可对④进行判断． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， 点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至， ，即旋转角等于，，， ，即， 三点共线，所以①正确； ，， 为等边三角形，所以②正确； 为等边三角形， ， ， 平分，所以③正确； 为等边三角形， ， 而点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至， ， ， ，所以④正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质． 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．下列现象中属于旋转的有 （填序号） ①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆． 【答案】②④⑤ 【分析】旋转变换：把一个图形绕着某个点旋转一定的角度，得到另一个图形，即为旋转变换；平移变换：把一个图形沿着一定的方向移动一定的距离，即为平移变换． 【详解】解：①火车在笔直行驶，③地下水位下降；是平移； ②荡秋千运动；④钟摆的运动；⑤圆规画圆,属于旋转， 故答案为：②④⑤． 【点睛】本题考查旋转和平移的概念，熟练掌握这两个基础概念是解题的关键． 12．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，若把线段平移，A的对应点为，坐标为，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．根据A点的坐标及对应点的坐标可得线段向左平移1个单位，向上平移了1个单位，然后可得点的坐标． 【详解】解：平移后得到点的坐标为， 向左平移3个单位，向上平移了1个单位， 的对应点坐标为． 故答案为：． 13．如图，太原方特大摆锤的长度为米，当大摆锤绕点O顺时针旋转到时，点B到的距离是 米．    【答案】 【分析】过B点作于点D，利用含角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】过B点作于点D，如图，    根据题意有：，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴（米）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，掌握含角的直角三角形的性质，是解答本题的关键． 14．将点向 平移 个单位长度后得到的点与点关于y轴对称． 【答案】 上 5 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点特征、点平移的特征，根据关于轴对称的点的特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，得出点关于轴对称的点，再根据点平移的特征：把一个点左右平移，则横坐标是左减右加，把一个点上下平移，则纵坐标是上加下减，即可得出结果． 【详解】解：根据关于坐标轴对称的点特征，可知：点关于轴对称的点为， 又∵点， ∵， ∴将点A向上平移个单位长度后得到的点． 故答案为：上；． 15．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得，连接，若，则的大小为 ． 【答案】/70度 【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，先根据旋转的性质得，，进而得出，再根据，可得，然后根据直角三角形两个锐角互余得出，即可得出答案． 【详解】解：根据旋转的性质得，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．已知点，，，根据下列条件分别求a，b的值． (1)A，B两点关于x轴对称； (2)A，B两点关于y轴对称； (3)A，B两点关于坐标原点对称； (4)轴； (5)A，B两点在第二，四象限的角平分线上． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， (5)， 【分析】（1）关于x轴对称的两点的横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，； （2）关于轴对称的两点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，； （3）关于原点对称的两点的横坐标和纵坐标都互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，； （4）与轴平行的直线上的点的横坐标相同，纵坐标不同，据此结合，两点的坐标可求出，； （5）在第二、四象限两条坐标轴夹角的平行线上的点的横坐标和纵坐标互为相反数，据此结合，两点的坐标可求出，． 【详解】（1）解： ∵、关于x轴对称，则这两点的横坐标不变，纵坐标互为相反数， 又∵， ∴，． （2）解： ∵、关于轴对称，则这两点的纵坐标不变，横坐标互为相反数， 又∵， ∴，． （3）解：、关于原点对称，则这两点的横、纵坐标均互为相反数， ∵， ∴，． （4）解：直线轴，则、两点的横坐标相等，纵坐标不相等， ∵， ∴，． （5）解：、在第二、四象限两条坐标轴夹角的平分线上，则点、点的横坐标和纵坐标互为相反数， ∵， ∴，． 【点睛】本题考查了关于x轴、轴对称点的坐标，关于原点对称的点的坐标，熟记关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，关于轴对称的点的纵坐标相等，横纵标互为相反数；关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，是解题关键． 17．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，将向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到． (1)画出平移后的； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平移变换、求三角形的面积等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先利用点平移的坐标规律确定对应点，然后顺次连接即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积即可解答． 【详解】（1）解：如图∶ 即为所求． （2）解：． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点，请根据题意解决下列问题： (1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标__________； (2)画出绕点B顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标__________； (3)线段的长度为__________． 【答案】(1)画图见解答； (2)画图见解答； (3) 【分析】 本题考查作图旋转变换、勾股定理，熟练掌握中心对称的性质、旋转的性质、勾股定理是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案； （3）利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； 由图可得，点的坐标为， 故答案为：； （2）解：如图所示： 即为所求； 由图可得，点的坐标为； 故答案为：； （3）解：由（2）可知，， ， 故答案为：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． (1)如图，当时，求点的坐标； (2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1) (2)满足条件的点的坐标为或． 【分析】本题属于坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图，过点作于．解直角三角形求出，即可． （2）分两种情形：在轴上方时，设交轴于，过点作轴于．求出，即可．当在轴下方时，同法可得． 【详解】（1）解：如图，过点作于． ， ， ， ， ； （2）解：如图，在轴上方时，设交轴于，过点作轴于． 轴， ， ，， ， ∵， ， ， ， 当在轴下方时，同法可得． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 20．在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，． (1)求的长度． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，于是可证得是等腰直角三角形，然后根据勾股定理即可求出的长度； （2）由（1）可知是等腰直角三角形，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，进而可得，然后利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解∵是旋转得到的，，， ∴，，，， ∴是等腰直角三角形， 在中，根据勾股定理可得： ， ∴； （2）解：∵， 由（1）可知，，，，是等腰直角三角形， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的面积公式等知识点，由旋转的性质得出是等腰直角三角形并证明是直角三角形是解题的关键． 21．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，、，的对称中心的坐标为，． 观察应用： (1)如图，在平面直角坐标系中，若点、的对称中心是点，则点的坐标为　　； (2)另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，则点、的坐标分别为　　、　　． 拓展延伸： (3)求出点的坐标，并直接写出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)、的坐标分别为，； (3)；或或或． 【分析】（1）直接利用题目所给公式即可求出点A的坐标； （2）根据题目所给公式求出，，的坐标，依此类推即可求出的坐标； （3）根据所求出的坐标可得的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环，利用这个规律即可求出点的坐标；然后分情况讨论，根据等腰三角形的性质求出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴点的坐标为； （2）解：∵，， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， ∵， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， ∵， ∴的横坐标为，纵坐标为，即， 同理可得：，，，， 即点、的坐标分别为，， 故答案为：，； （3）解：，，，，，，，； 的坐标和的坐标相同，的坐标和的坐标相同，即每6次为一个周期进行循环， ， 的坐标与的坐标相同，即； ∴， 设轴上与点、点构成等腰三角形的点为点D， 当时，点D坐标为或； 当时， ∵， ∴，点D坐标为； 当时，点D在的垂直平分线上， ∴点D与原点重合，点D坐标为； 综上，在轴上与点、点构成等腰三角形的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，中心对称的性质，规律型—点的坐标，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，此题是一个阅读材料的题目，读懂题目，灵活运用题目所给公式是解题的关键． 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【答案】探究证明， 结论应用 联系拓展，理由见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质． 探究证明阴影部分的平行四边形的底是1，高是，即可得阴影面积，进而可答案； 结论应用可看成两个平行四边形，它们的底都是1，而两个平行四边形高的和为，故可得阴影面积，即得答案； 联系拓展考虑图形的拆分和拼凑，可利用平移把空白部分凑成长为，宽是的长方形，进而得到草地的面积． 【详解】解：探究证明平行四边形的面积底高， ，， 故答案为：，； 结论应用画图如下： ； 故答案为：； 联系拓展空白部分表示的草地面积是：，理由如下： 1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； 2、将左侧的草地向右平移一个单位； 3、得到一个新的长方形． 在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是．其水平方向的长变成了，所以草地的面积就是：． 23．【探究发现】 （1）如图1，在中，．，垂足为，点在上，连接，．则有下列命题：①；②，请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程． 【类比迁移】 （2）如图2，在中，，，点在三角形的内部，过点作，且，连接．求证：． 【拓展提升】 （3）如图3．在中，，，把线段绕点顺时针方向旋转到，把线段绕点逆时针旋转到，分别连接，，，请直接写出面积的最大值．    【答案】（1）选择①或②，见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）选择①，先利用等腰三角形“三线合一”性质得到，即可由证明；选择②，先利用等腰三角形“三线合一”性质得到，即可由证明． （2）过点作于，先证明，，三点共线，都在的垂直平分线上，从而得出，，继而得出，则，即可得出结论． （3）延长交于E，由旋转得：，，，从而可得出，，由勾股定理，得，所以，所以当时，此时，再过点A作于D，作线段，交于O，使，从而求出， ，，由勾股定理，得，即可求解． 【详解】（1）选择① 证明：，， ， 又， 选择② 证明：，， ， 又， ．    （2）过点作于，   ，， ，，三点共线，都在的垂直平分线上，， ， ， ， ，即， ， ， ， ． （3）延长交于E，如图，    由旋转得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由勾股定理，得， ∴， ∵在中，，， ∴当时，此时， 过点A作于D， ∴，， 作线段，交于O，使， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ∴， 由勾股定理，得， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，三角形的面积．本题属三角形探究题目，综合性较，属中考压轴题．灵活运用等腰三角形“三线合一”性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 图形的平移与旋转（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 1、 选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．2024年3月2日神十七航天员乘组第二次出舱活动取得圆满成功．在下列四个航天员简笔画中，可以由图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，如果点与点B关于原点对称，那么点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．一个图形无论经过平移变换，还是经过旋转变换，下列说法都能正确的是（   ） ①对应线段平行；②对应线段相等；③图形的形状和大小都没有发生变化；④对应角相等． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 4．将点向右平移5个单位长度，得到点，再把点向上平移4个单位长度得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，与关于点O成中心对称，下列结论中，不成立的是（   ）    A． B． C．点A的对称点是点 D． 6．如图，中，，将绕点顺时针旋转后，得到，且在边上，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形，依此方式，绕点O连续旋转2024次得到正方形，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，不一定成立的是（　 　） A．或与在同一条直线上 B．或与在同一条直线上 C． D． 9．如图是石峰公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么小童沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线 （图中虚线）长为（   ） A．108米 B．106米 C．104米 D．102米 10．如图，为等边三角形，以为边向外侧作，使得，再以点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至，则下列结论： ①D、A、E三点共线；②为等边三角形；③平分；④，其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分. 11．下列现象中属于旋转的有 （填序号） ①火车在笔直行驶；②荡秋千运动；③地下水位下降；④钟摆的运动；⑤圆规画圆． 12．在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，若把线段平移，A的对应点为，坐标为，则的坐标为 ． 13．如图，太原方特大摆锤的长度为米，当大摆锤绕点O顺时针旋转到时，点B到的距离是 米．    14．将点向 平移 个单位长度后得到的点与点关于y轴对称． 15．如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得，连接，若，则的大小为 ． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题 7分，共21分. 16．已知点，，，根据下列条件分别求a，b的值． (1)A，B两点关于x轴对称； (2)A，B两点关于y轴对称； (3)A，B两点关于坐标原点对称； (4)轴； (5)A，B两点在第二，四象限的角平分线上． 17．如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，，将向右平移4个单位长度，再向上平移3个单位长度得到． (1)画出平移后的； (2)求的面积． 18．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，点，请根据题意解决下列问题： (1)画出关于原点对称的，并写出点的坐标__________； (2)画出绕点B顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标__________； (3)线段的长度为__________． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分. 19．在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． (1)如图，当时，求点的坐标； (2)当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 20．在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，连接，． (1)求的长度． (2)求的面积． 21．阅读理解：我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点，、，的对称中心的坐标为，． 观察应用： (1)如图，在平面直角坐标系中，若点、的对称中心是点，则点的坐标为　　； (2)另取两点、．有一电子青蛙从点处开始依次关于点、、作循环对称跳动，即第一次跳到点关于点的对称点处，接着跳到点关于点的对称点处，第三次再跳到点关于点的对称点处，第四次再跳到点关于点的对称点处，则点、的坐标分别为　　、　　． 拓展延伸： (3)求出点的坐标，并直接写出在轴上与点，点构成等腰三角形的点的坐标． 5、 解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分. 22．探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 23．【探究发现】 （1）如图1，在中，．，垂足为，点在上，连接，．则有下列命题：①；②，请你从中选择一个命题证明其真假，并写出证明过程． 【类比迁移】 （2）如图2，在中，，，点在三角形的内部，过点作，且，连接．求证：． 【拓展提升】 （3）如图3．在中，，，把线段绕点顺时针方向旋转到，把线段绕点逆时针旋转到，分别连接，，，请直接写出面积的最大值．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$