信息必刷卷01（广东专用）-2025年高考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年高考考前信息必刷卷01（广东专用） 数 学 考情速递 高考·新动向：题型题量方面依然8道单选题、3道多选题、3道填空题和5道解答题。考查内容方面基础考查更加突出，从2025年八省联考试题来看，基础题目占比较多，如选择题1到7，多选的前2个，填空的前2个都是基础概念的考察，还有一些试题直接从课本命题。难题设置更灵活，解答题每个题都有可能为压轴题，如2025年八省联考数学试卷将空间几何设置为压轴题，改变了以往的导数压轴。此外，解题需要有逻辑性，还需突出观察和思考，多思少算，同时要熟悉几何模型与主干知识来解决难题。命题导向方面，命题组组长更换可能使命题导向发生变化，由武汉大学相关人员带队后，可能更偏基础，注重函数、圆锥曲线等，大题可能以函数、导数和圆锥曲线压轴为主。 高考·新考法：试题呈现与设问上会以社会热点、科技发展、生活实际等为背景创设新情境。如以人工智能数据处理为背景，考查概率统计知识。设置开放性、探究性试题，如给出一个数学问题情境，让学生自主提出问题、进行探究并解决，或者给出多种条件，让学生选择并进行论证。打破常规的设问套路，采用逆向设问、多维度设问等方式。如在立体几何中，已知几何体的体积和部分边长，求其他边长或角度。试题综合性与应用性会增强，比如知识板块融合，将不同知识板块的内容融合在一道题中考查。如在数列问题中，结合函数的单调性来求解数列的最值。跨学科综合，与物理、化学、生物等学科知识相结合出题。如根据物理中的运动学问题，利用数学函数和方程知识进行分析和计算。增加与实际生活紧密相关的应用题，像根据市场调研数据进行线性回归分析，为企业决策提供依据。考法上会更关注思维过程与品质。要求学生在解题过程中清晰地展示思维过程，如在解答题中，需要写出推理步骤、分析思路等。关注学生思维的严谨性、灵活性、批判性等品质。如通过设置有陷阱的题目，考查学生思维的严谨性。 高考·新情境：经济金融领域方面可能会结合股票、债券、利率、汇率等金融概念出题，如根据某种投资产品的收益模型，利用函数知识求最优投资方案；或依据汇率变化数据，运用统计知识分析汇率波动趋势及对经济的影响。社会民生领域方面以人口增长、资源分配、环境保护等为背景，如给出城市人口增长数据，建立数学模型预测未来人口数量，为城市规划提供依据；或根据资源消耗数据，利用不等式等知识探讨资源合理分配方案。航空航天领域可能以卫星轨道、航天器运行轨迹等为素材，考查解析几何知识，如计算卫星轨道方程、航天器与地球的距离等；也可能结合航天任务中的数据传输、信号处理等，运用概率统计知识进行分析。人工智能领域方面以图像识别、语音识别等技术为背景，考查算法、数据结构等知识，如设计图像识别的算法流程，分析算法的时间复杂度和空间复杂度；或根据人工智能训练数据，利用统计方法评估模型的准确性和可靠性。数学文化情境从《九章算术》《周髀算经》等古代数学典籍中选取素材，如以《九章算术》中的“盈不足术”为背景，设计关于方程或不等式的应用题；或根据古代数学问题的解法，让学生类比解决现代数学问题。数学历史故事以数学家的生平事迹、数学发展历程中的重大事件为情境，如以阿基米德发现浮力定律的故事为背景，设计与体积计算、物理原理相关的数学问题；或讲述笛卡尔创立解析几何的过程，考查解析几何的基本概念和应用。跨学科情境方面与物理的融合，结合力学、电磁学等物理知识，如根据物体的受力情况，利用向量知识求解合力；或根据电磁感应现象中的电流、磁场变化数据，运用函数和导数知识分析变化规律。与化学的结合，以化学反应速率、化学平衡等为背景，如根据化学反应的浓度变化数据，建立数学模型分析反应速率的变化趋势；或利用化学实验中的数据，运用统计方法进行误差分析和数据处理。 命题·大预测：2025年整体命题趋势会更侧重对基本概念、原理和方法的考查，减少偏题、怪题，如对函数、数列、三角函数等基础概念和公式的理解与运用。题型问题背景和表达形式可能会更加新颖，比如结合生活实际、人工智能、科技发展等情境出题，以考查学生将知识应用于新情境的能力。开放性和探究性问题的占比可能会有所增加，鼓励学生深入思考、批判性创新，像给出条件让学生自主探究结论是否成立等。 选择题依然会涵盖多个知识板块，如集合、复数、函数性质、平面向量等基础内容会有涉及； 填空题可能会考查二项式系数、函数、圆锥曲线的性质、数列等；也可能出现一道以立体几何为背景的新型题目。解答题上综合考查三角函数与解三角形、立体几何、概率与统计、解析几何、函数导数以及数列这六大知识板块。其中，函数导数题可能作为压轴题，难度较大，重点考查学生的逻辑推理和数学运算能力；概率与统计题可能会结合实际数据，考查学生的数据处理和分析能力。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若，则（   ） A．1 B． C． D．3 3．已知向量与向量的夹角为，且，，则（   ） A．4 B．3 C． D．1 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．设的外心为，重心为，并且满足，则当最大时，的外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．已知可导函数的定义域为为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．已知随机变量，若，则 B．设，则“”成立的充要条件是“” C．已知，则 D．若，则事件与相互独立 10．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，直线交抛物线于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 B．存在直线，使得，两点关于对称 C．若，则线段的中点到轴距离为 D．当直线过焦点时，则的最小值 11．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，且有两解，则b的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D．若，且，O为的内心，则的面积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．的展开式中，常数项为 ． 13．已知数列满足：，，，则的前n项积的最大值为 ． 14．已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）从5名男生和3名女生中任选3人参加辩论比赛. (1)求选出的3人中既有男生也有女生的概率； (2)设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望. 16.（15分）设数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 17.（15分）．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，E是AD的中点，，. (1)证明：； (2)求平面PEC与平面BEC的夹角的余弦值； (3)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. 18.（17分）设椭圆（）的离心率为，点在椭圆E上． (1)求椭圆E的方程； (2)设E的右顶点为D，若直线l与椭圆E交于A，B两点（A，B不是左右顶点）且满足，求原点O到直线l距离的最大值． 19．（17分）定义在D上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在D上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数）在的相依区间.已知. (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数m、n，，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年高考考前信息必刷卷01（广东专用） 数 学 考情速递 高考·新动向：题型题量方面依然8道单选题、3道多选题、3道填空题和5道解答题。考查内容方面基础考查更加突出，从2025年八省联考试题来看，基础题目占比较多，如选择题1到7，多选的前2个，填空的前2个都是基础概念的考察，还有一些试题直接从课本命题。难题设置更灵活，解答题每个题都有可能为压轴题，如2025年八省联考数学试卷将空间几何设置为压轴题，改变了以往的导数压轴。此外，解题需要有逻辑性，还需突出观察和思考，多思少算，同时要熟悉几何模型与主干知识来解决难题。命题导向方面，命题组组长更换可能使命题导向发生变化，由武汉大学相关人员带队后，可能更偏基础，注重函数、圆锥曲线等，大题可能以函数、导数和圆锥曲线压轴为主。 高考·新考法：试题呈现与设问上会以社会热点、科技发展、生活实际等为背景创设新情境。如以人工智能数据处理为背景，考查概率统计知识。设置开放性、探究性试题，如给出一个数学问题情境，让学生自主提出问题、进行探究并解决，或者给出多种条件，让学生选择并进行论证。打破常规的设问套路，采用逆向设问、多维度设问等方式。如在立体几何中，已知几何体的体积和部分边长，求其他边长或角度。试题综合性与应用性会增强，比如知识板块融合，将不同知识板块的内容融合在一道题中考查。如在数列问题中，结合函数的单调性来求解数列的最值。跨学科综合，与物理、化学、生物等学科知识相结合出题。如根据物理中的运动学问题，利用数学函数和方程知识进行分析和计算。增加与实际生活紧密相关的应用题，像根据市场调研数据进行线性回归分析，为企业决策提供依据。考法上会更关注思维过程与品质。要求学生在解题过程中清晰地展示思维过程，如在解答题中，需要写出推理步骤、分析思路等。关注学生思维的严谨性、灵活性、批判性等品质。如通过设置有陷阱的题目，考查学生思维的严谨性。 高考·新情境：经济金融领域方面可能会结合股票、债券、利率、汇率等金融概念出题，如根据某种投资产品的收益模型，利用函数知识求最优投资方案；或依据汇率变化数据，运用统计知识分析汇率波动趋势及对经济的影响。社会民生领域方面以人口增长、资源分配、环境保护等为背景，如给出城市人口增长数据，建立数学模型预测未来人口数量，为城市规划提供依据；或根据资源消耗数据，利用不等式等知识探讨资源合理分配方案。航空航天领域可能以卫星轨道、航天器运行轨迹等为素材，考查解析几何知识，如计算卫星轨道方程、航天器与地球的距离等；也可能结合航天任务中的数据传输、信号处理等，运用概率统计知识进行分析。人工智能领域方面以图像识别、语音识别等技术为背景，考查算法、数据结构等知识，如设计图像识别的算法流程，分析算法的时间复杂度和空间复杂度；或根据人工智能训练数据，利用统计方法评估模型的准确性和可靠性。数学文化情境从《九章算术》《周髀算经》等古代数学典籍中选取素材，如以《九章算术》中的“盈不足术”为背景，设计关于方程或不等式的应用题；或根据古代数学问题的解法，让学生类比解决现代数学问题。数学历史故事以数学家的生平事迹、数学发展历程中的重大事件为情境，如以阿基米德发现浮力定律的故事为背景，设计与体积计算、物理原理相关的数学问题；或讲述笛卡尔创立解析几何的过程，考查解析几何的基本概念和应用。跨学科情境方面与物理的融合，结合力学、电磁学等物理知识，如根据物体的受力情况，利用向量知识求解合力；或根据电磁感应现象中的电流、磁场变化数据，运用函数和导数知识分析变化规律。与化学的结合，以化学反应速率、化学平衡等为背景，如根据化学反应的浓度变化数据，建立数学模型分析反应速率的变化趋势；或利用化学实验中的数据，运用统计方法进行误差分析和数据处理。 命题·大预测：2025年整体命题趋势会更侧重对基本概念、原理和方法的考查，减少偏题、怪题，如对函数、数列、三角函数等基础概念和公式的理解与运用。题型问题背景和表达形式可能会更加新颖，比如结合生活实际、人工智能、科技发展等情境出题，以考查学生将知识应用于新情境的能力。开放性和探究性问题的占比可能会有所增加，鼓励学生深入思考、批判性创新，像给出条件让学生自主探究结论是否成立等。 选择题依然会涵盖多个知识板块，如集合、复数、函数性质、平面向量等基础内容会有涉及； 填空题可能会考查二项式系数、函数、圆锥曲线的性质、数列等；也可能出现一道以立体几何为背景的新型题目。解答题上综合考查三角函数与解三角形、立体几何、概率与统计、解析几何、函数导数以及数列这六大知识板块。其中，函数导数题可能作为压轴题，难度较大，重点考查学生的逻辑推理和数学运算能力；概率与统计题可能会结合实际数据，考查学生的数据处理和分析能力。 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得集合,再根据交集定义求解． 【详解】，又， 所以， 故选：B． 2．若，则（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】将原式变形，由复数的除法运算可得，再由复数的模的运算求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：. 3．已知向量与向量的夹角为，且，，则（   ） A．4 B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】由可得，即，解之即可求解. 【详解】由，等式两边同时平方得， 又的夹角为，所以， 即，解得或（负值舍去）， 所以. 故选：B. 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题干条件以及余弦的二倍角公式得到，进而结合两角和的正弦公式即可求出结果. 【详解】因为， 所以， 故选：C. 5．设的外心为，重心为，并且满足，则当最大时，的外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设外接圆半径为， 则根据重心向量公式有， 则 ， 令，此时， 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 故当最大时，的外接圆半径为. 故选；D 6．已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先求出的解析式，再分段解方程即可得零点. 【详解】当即时， ， 当即时，， 所以 当时，令，即或，解得：或（舍）或此时有2个零点； 当时，令，可得或，所以或都满足，此时有2个零点， 综上所述函数的零点个数为4， 故选：C. 7．若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过构造函数，由函数单调性，分别比较和、和与和的大小，即可得出的大小关系. 【详解】由题意，，，， 对于和， 因为， ， 所以可以构造函数，则，. 对求导，得， 当时，， 所以在上单调递减. 因为， 所以，即； 对于和， 因为. 所以可以构造函数， 则， 当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，所以，即； 对于和， 因为， 所以可以构造函数，则， 当时，， 所以在上单调递减. 又因为，且， 所以，所以， 所以，即. 所以. 故选：B. 8．已知可导函数的定义域为为奇函数，设是的导函数，若为奇函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为奇函数，结合导数运算，由为奇函数，得到，通过整理可得，进而分析得到,,从而得出结果. 【详解】为奇函数，. 即，两边求导得， 则，可知关于直线对称， 又为奇函数，所以， 即，可知关于直线对称， 令，可得，即， 由，可得， 由，可得，即， 可得，即， 令，可得； 令，可得； 且，可知为的周期. 可知,, 所以. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．已知随机变量，若，则 B．设，则“”成立的充要条件是“” C．已知，则 D．若，则事件与相互独立 【答案】AD 【分析】根据正态分布性质判断A；取，推理判断B；由条件概率公式计算判断C；由相互独立事件的定义判断D. 【详解】对于A，，由，得，A正确； 对于B，当时， ，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，由，得，而， 则，事件与相互独立，D正确. 故选：AD 10．已知抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，直线交抛物线于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切 B．存在直线，使得，两点关于对称 C．若，则线段的中点到轴距离为 D．当直线过焦点时，则的最小值 【答案】ABD 【详解】由，得到，则焦点为，准线为，设， 对于选项A，因为，中点为，所以中点到轴的距离为，所以以为直径的圆与轴相切，故选项A正确， 对于选项B，假设存在直线使得，两点关于对称， 设，由，消得到，即， 则，解得，又，， 则，解得，符合题意，所以选项B正确， 对于选项C，如图，过分别作准线的垂线，垂足分别为，过中点作于， 易知， 则线段的中点到轴距离为，所以选项C错误， 对于选项D，因为直线过焦点，当时，设直线， 由，消得到，则， 则， 即， 所以， 当且仅当，即取等号， 当时，直线，代入抛物线方程得， 此时， 综上，的最小值为，所以选项D正确， 故选：ABD. 11．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（    ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，且有两解，则b的取值范围为 C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为 D．若，且，O为的内心，则的面积为 【答案】ACD 【分析】先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到，将其看做关于的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，从而得到，，，由求出，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积. 【详解】因为，所以由正弦定理，得， 即 ， 因为，所以，且，所以. 选项A：若，则，所以的外接圆的直径 ， 所以， 所以的外接圆的面积为，选项A正确； 选项B：由余弦定理得， 将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解， 故 ，解得b，所以选项B错误； 选项C：由正弦定理，得 ，即， 因为，所以， 因为为锐角三角形，所以 ，即，所以， 所以，故选项C正确； 选项D：因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以由正弦定理，得，即， 所以， 即，所以， 所以， 又因为，所以，故，，解得 ， 因为，所以， 即是直角三角形，所以内切圆的半径为， 所以的面积为，选项D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．的展开式中，常数项为 ． 【答案】 【详解】由二项式展开式的通项公式可得的展开式的通项公式可知通项公式为：， 由于， 令可得，令可得， 据此可得其常数项为：. 13．已知数列满足：，，，则的前n项积的最大值为 ． 【答案】 【详解】，，两式作差得：， 数列是以3为周期的数列，又，，， 设数列的前n项积为，， 则当，时，则； 当，时，则； 当，时，则. 数列的前n项积的最大值为． 故答案为：. 14．已知函数，若存在实数，，且，使得，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由题，当时，；当时，； 故作出的图象如图所示： 因为存在实数，，且，使得， 所以直线与图象有三个交点， 所以，且，， 所以， 设，则恒成立， 所以函数在单调递增，所以函数， 所以的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）从5名男生和3名女生中任选3人参加辩论比赛. (1)求选出的3人中既有男生也有女生的概率； (2)设随机变量X表示所选3人中女生的人数，求X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用古典概型求解即可； （2）先写出随机变量的取值，求出对应概率，即可得分布列，再根据期望公式求期望即可. 【详解】（1）人中可有男女和男女，故所求概率； （2）由题意可取， 则，， ，， 所以X的分布列为： 所以. 16.（15分）设数列满足：，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据数列递推式可推出，结合等比数列通项公式即可求得答案； （2）利用（1）的结果可得的表达式，利用等差数列、等比数列的前n项和以及错位相减法，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知数列满足：，， 则 ，，故为首项是6，公比为2的等比数列， 故，即， 适合上述结果，故； （2） 设， 则， 设，故； ， ， 作差得到， 故， ， 故. 17.（15分）．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，E是AD的中点，，. (1)证明：； (2)求平面PEC与平面BEC的夹角的余弦值； (3)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】(1)首先证明线线垂直，得到线面垂直，在根据线在面内，得出线线垂直； (2)建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，求得平面的法向量，利用面面角和法向量夹角的关系，求得两平面夹角的余弦值； (3)借助第(2)小问的坐标系，写出点的坐标，从而求得所求向量的坐标，求出平面的法向量，利用直线与平面夹角的正弦值等于直线与法向量夹角的余弦值的关系，求得答案. 【详解】（1） 如图，连接与交点为,因为,, ,, 由，得,,, 所以,, 所以, 由,, 所以, 因为底面ABCD，平面, 因为,平面, 平面,又因为平面， 所以. （2）因为,,两两垂直，故以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则,,, , 设平面的法向量， 则,即， 令，则，， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为 设平面PEC与平面BEC的夹角为， 则 （3），，， ，, 设平面的法向量， 则，即， 令，则，， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面的夹角为， . 18.（17分）设椭圆（）的离心率为，点在椭圆E上． (1)求椭圆E的方程； (2)设E的右顶点为D，若直线l与椭圆E交于A，B两点（A，B不是左右顶点）且满足，求原点O到直线l距离的最大值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）根据离心率可得，将代入椭圆即可求出； （2）由题可得，讨论斜率存在和不存在两种情况，根据得出坐标关系，利用韦达定理求解. 【详解】（1）依题意，因为，所以，将代入椭圆方程得，则可解得所以椭圆E的方程为． （2）由（1）知，设，，， 由知，， 即，即， ①当直线l垂直x轴时，且， 故，故或（舍去），此时点O到l的距离为； ②当直线l的斜率存在时，设， 联立方程得， 由得，且，， 由，得， 将，代入上式可得， 即，所以，所以（舍去）或， 显然，则点O到l的距离． 综上，点O到l的距离最大值为． 19．（17分）定义在D上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在D上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数）在的相依区间.已知. (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数m、n，，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题意结合函数零点存在定理即可证明； （2）先求导函数，再由题意将问题转化为存在，使得恒成立，进而得恒成立，求出在上的即可得解. （3）先由相依区间定义求得，从而将所需证明的问题转化为证明，，再构造函数结合导数证明即可. 【详解】（1）证明：当时，函数， 所以， 所以，即， 又函数在上处处相依， 所以导函数在上有零点； （2）因为， 所以， 因为函数在上处处相依， 所以存在，，使得， 故由题意存在，使得恒成立即恒成立， 所以恒成立， 又， 所以.所以实数的取值范围为. （3）当时，，则， 因为为函数在的相依区间， 所以，则， 因为，单调递减；，单调递增； 所以，则， 要证，即证，即证，即证，， 令， 则， 令， 则， 因为，，， 所以，故函数在上单调递减，所以， 所以，故函数在上单调递减，所以， 所以在上恒成立，即证得，， 从而得证. 9 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年高考考前信息必刷卷01（广东专用） 数 学·参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B C B C D C B B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【解析】（1）人中可有男女和男女（2分） 故所求概率；（5分） （2）由题意可取，（6分） 则，， ，，（10分） 所以X的分布列为： 所以.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）由题意知数列满足：，， 则（3分） ，，故为首项是6，公比为2的等比数列，（5分） 故，即，（6分） 适合上述结果，故；（7分） （2）设， 则，（9分） 设，故； ， ，（11分） 作差得到， 故，（13分） ， 故.（15分） 17．（15分） 【解析】（1） 如图，连接与交点为,因为,, ,, 由，得,,, 所以,, 所以, 由,, 所以,（2分） 因为底面ABCD，平面, 因为,平面, 平面,又因为平面， 所以.（4分） （2）因为,,两两垂直，故以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则,,, ,（5分） 设平面的法向量， 则,即， 令，则，， 所以平面的一个法向量为，（7分） 平面的一个法向量为（8分） 设平面PEC与平面BEC的夹角为， 则（10分） （3），，， ，,（11分） 设平面的法向量， 则，即， 令，则，， 所以平面的一个法向量为，（13分） 设直线与平面的夹角为， .（15分） 18．（17分） 【解析】（1）依题意，因为，所以， 将代入椭圆方程得，（2分） 解得所以椭圆E的方程为．（4分） （2）由（1）知，设，，， 由知，， 即，即，（6分） ①当直线l垂直x轴时，且， 故，故或（舍去），此时点O到l的距离为；（8分） ②当直线l的斜率存在时，设， 联立方程得， 由得，且，，（10分） 由，得，（11分） 将，代入上式可得， 即，所以，所以（舍去）或，（13分） 显然，则点O到l的距离．（16分） 综上，点O到l的距离最大值为．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）证明：当时，函数， 所以， 所以，即，（2分） 又函数在上处处相依， 所以导函数在上有零点；（4分） （2）因为， 所以，（6分） 因为函数在上处处相依， 所以存在，，使得， 故由题意存在，使得恒成立即恒成立， 所以恒成立，（8分） 又， 所以.所以实数的取值范围为.（9分） （3）当时，，则，（10分） 因为为函数在的相依区间， 所以，则，（12分） 因为，单调递减；，单调递增； 所以，则， 要证，即证，即证，即证，，（13分） 令， 则， 令， 则，（15分） 因为，，， 所以，故函数在上单调递减，所以， 所以，故函数在上单调递减，所以， 所以在上恒成立，即证得，， 从而得证.（17分） 试卷第2页，共22页 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$