精品解析：安徽省蚌埠市蚌山区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度第一学期期末教学质量监测 九年级数学（沪科版） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共6页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值求解． 【详解】解： 故选A 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值. 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握根据平移的规律“左加右减，上加下减”得出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴得到的新的抛物线的函数解析式为，即． 故选：C． 4. 反比例函数y＝（m为常数），在每个象限内，y随x的增大而减小，则m取值范围是（ ） A. m＞0 B. m＞2 C. m＜0 D. m＜2 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质可得m﹣2＞0，进一步即可求出答案． 【详解】解：∵反比例函数y＝（m为常数），在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴m﹣2＞0，解得：m＞2． 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 5. 一个长厘米，宽厘米的长方形，按放大后，面积是（ ）平方厘米． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出放大后的长方形的长是12厘米，宽是9厘米，即可求出放大后长方形的面积． 【详解】解：一个长厘米，宽厘米的长方形，按放大后的长方形的长是（厘米），宽是（厘米）， ∴按放大后，面积是（平方厘米）． 故选：C． 【点睛】本题考查图形的放大和缩小，关键是由题意求出放大后的长方形长与宽的长． 6. 如图，的弦垂直平分半径，若弦，则的半径为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】首先连接OA，由垂径定理即可求得AD的长，然后设OD=x，则OA=2x，由勾股定理即可求得圆的半径； 【详解】解：设OC与AB交于点D，连接OC， 设OC=x， ∵ 圆O的弦AB垂直平分半径OC， ∴ OC=2x，AD= ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， ∴ 圆的半径为：2． 故选：D． 【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，此题难度不大，注意掌握辅助线的作法及数形结合的思想的应用． 7. 在中，，如果AC=m，，那么AB的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意和三角函数得，根据AC=m即可得． 【详解】解：如图所示， 在直角三角形ABC中，， ∴； 又∵AC=m， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了锐角三角函数，解题的关键是理解题意掌握三角函数． 8. 在平面直角坐标系中，若函数图象经过点和，则在，，，四个运算结果中，是定值的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意可把点和代入反比例函数得和，然后问题可求解． 【详解】解：把点和代入反比例函数得和， ∴，，，， ∴是定值的个数有2个； 故选B． 9. 已知二次函数的图像经过点和点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键；把点代入二次函数解析式可得a、b关系，然后再把点代入二次函数解析式结合可进行求解． 【详解】解：把点代入二次函数，得：， ∴， ∴二次函数， 把代入二次函数解析式得：， ∵， ∴； 故选B． 10. 如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点的对应点始终落在边上，点的对应点为，折痕与，分别交于点，，线段与线段相交于点．当时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质．由矩形得到，，，从而，设，则，证明，得到，根据相似三角形的性质得到，代入即可求出x，从而得到，，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， 设，则， 由折叠可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ∴在中，， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则____________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；由题意易得，然后代入进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为3． 12. 如图，直线，交于点，．若，，，则的值为____________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键．由，利用平行线分线段成比例，可得出，结合已知数据即可求出结论． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，内接于，若，则____________． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．连接，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，然后根据圆周角的定理求的度数． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 14. 已知，是抛物线上任意两点． （1）若当，时，，则____________．； （2）若对于任意，，都有，则的取值范围是____________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）由题意易得点M、N关于对称轴对称，然后根据二次函数的对称性可进行求解； （2）根据对于任意，，都有，可知对称轴的位置存在两种情况，然后分类进行求解即可． 【详解】解：（1）∵当，时，，且，是抛物线上任意两点， ∴点M、N关于对称轴对称， ∴， ∴； （2）由抛物线可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵对于任意，，都有， ∴或， 解得或． 综上所述：b的取值范围为或． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】利用锐角三角函数值，代入计算即可. 【详解】解： 【点睛】本题考查三角函数的混合运算，熟练地掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键. 16. 已知二次函数的图象经过原点，指出图象的开口方向并求的值和这个二次函数的对称轴． 【答案】，抛物线开口向上，对称轴为： 【解析】 【分析】此题考查二次函数的图象基本性质及其对称轴公式和顶点坐标，运用待定系数法求抛物线的解析式．由题意二次函数的图象经过原点，把点代入二次函数的解析式，求出m值，再根据二次函数图象的性质，判断开口方向． 【详解】解：∵二次函数的图象经过原点， ∴把点代入上面的关系式，得 ， 解得：， 由于不符合题意，应舍去． 故； 把代入，得 ， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）观察图象直接写出不等式的解集． 【答案】（1）； （2）6； （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式． （1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，可得到，把点B的坐标代入反比例函数解析式，求出，再用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）设直线与轴交于点，求出直线与x轴交点C的坐标，利用，确定底和高后计算即可； （3）找出反比例函数图象位于一次函数的图象的上方的部分，再确定这部分对应的的取值范围即可． 【小问1详解】 解：把的坐标代入， 得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； 把的代入， 得：， 解得：， ． 把代入， 得， 解得：， 一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，设直线与轴交于点， 在中令，则，即直线与轴交于点． ； 【小问3详解】 解：由图象得，当或时，反比例函数图象位于一次函数的图象的上方， 不等式的解集为或． 18. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，，，均在格点上． （1）在图1中，则________________； （2）仅利用网格和无刻度的直尺，在图2中的线段上确定点，使（保留痕迹，不写作法） 【答案】（1） （2） 解：所作点P如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了作图—相似，相似三角形的性质与判定，解决本题的关键是掌握相似三角形的性质与判定． （1）证明，即可求解； （2）取格点E，F，连接交于点P，则问题可求解． 【小问1详解】 解：由图可知：，且， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 数学兴趣小组借助无人机开展实地测量．如图所示，在河岸边的处，兴趣小组控制一架无人机沿的仰角方向飞行100米到达点A处，然后无人机又沿垂直于河道的方向水平飞行30米至点处，此时测得河对岸处的俯角为（图中A，，，在同一个竖直平面内）． （1）求无人机从A飞到时的飞行高度（结果保留根号）； （2）求河道的宽度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】（1）无人机从A飞到时的飞行高度为米 （2）河道的宽度约为90.9米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，锐角三角函数，矩形的判定和性质，平行线的性质等知识．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点A作于点E，由题意易得，然后根据余弦的定义可进行求解； （2）过点D作于H，由题意易得四边形是矩形，则有，然后根据三角函数可得，，进而问题可求解． 【小问1详解】 解：过点A作于点E，如图所示： 由图可知：， ∴； 答：无人机从A飞到时的飞行高度为米； 【小问2详解】 解：如（1）图，过点D作于H， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； 答：河道的宽度约为90.9米． 20. 如图，与的边相切于点，与边，分别相交于点，，连接，． （1）求证：； （2）如图2，若平分，连接，求证：． 【答案】（1） 证明：连接并延长，交于点E，连接，如图所示： ∴， ∴， ∵与的边相切于点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴； （2） 证明：连接交于点F，如图所示： 由（1）可知：， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质、圆内接四边形的性质、垂径定理及圆周角的性质，熟练掌握切线的性质、圆内接四边形的性质、垂径定理及圆周角的性质是解题的关键； （1）连接并延长，交于点E，连接，由题意易得，，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）连接交于点F，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践： 【发现问题】 教材《问题出在哪里》内容大致如下：图1是一个的正方形纸片，将它剪成四部分后，再拼成图2中的矩形，图1面积，图2面积，难道？ 【提出问题】 ，这就说明：图2中四个图形之间有缝隙．即，图3中A，，，四个点不在一条直线上，那么，如何说明它们不在一条直线上呢？ 【分析问题】 要说明“四点不共线”，可以简化为说明其中“三点不共线”，观察易得，图3是一个中心对称图形，所以，说明“A，，三点不共线”或“A，，三点不共线”的道理相同，我们不妨选择证明“A，，三点不共线”． 【解决问题】 ①甲：若A，，三点共线，则，若，则三点不共线．由勾股定理易得，，，，显然； ②乙：若A，，三点共线，则，若，则三点不共线，再借助三角函数刻画角的大小，…… ③丙：，，，…让我想到了斐波那契数列和它的一些性质，再结合相似三角形的有关知识，…… ④丁：“三点共线问题”也可以转化为“判断一点在不在另外两点所在的直线上”， …… 请你根据乙、丙、丁三位同学的思路，任选一种方法，证明A，，三点不共线． 【答案】 证明：若选择乙，证明如下： 如图， 由图2可知：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点A、H、C三点不共线； 若选择丙，证明如下： 如图， 由图可知：，， ∴， ∴与不相似， 同理可得与不相似， ∴， ∴， ∴点A、H、C三点不共线； 若选择丁，证明如下： 如图， 假设点H在直线上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 与假设矛盾， ∴点A、H、C三点不共线． 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键；若选择乙，则可根据三角函数进行求证；若选择丙，则可根据相似三角形的性质与判定进行求证；若选择丁，则可假设点H在上，然后通过三角函数得出假设不成立，进而问题可求证． 【详解】略 七、（本题满分12分） 22. 如图，，点在边上． （1）如图1，点在边上，若，求证：； （2）如图2，若，点在边上，，相交于点，已知，． ①判断四边形的形状； ②求线段的长． 【答案】（1） 证明：连接，并延长，交于点， ∵， ∴， ， ∴，即 ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． （2）①四边形是平行四边形；② 【解析】 【分析】（1）连接，并延长，交于点，由，得到，因此，，从而可推出，结合得到，可证得，推出，即可得证结论； （2）①延长，相交于点P，由得到，，根据得到，根据相似三角形的性质求出，，证明得到，进而推出，得到，根据相似三角形的性质即可求得，根据一组对边平行且相等是四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形． ②由得到，由得到，从而，由，得到，设，则，，证明，得到，求得，．过点E作于点Q，根据勾股定理得到，即可求出，，进而求出，，根据即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①四边形是平行四边形，理由如下： 延长，相交于点P， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 过点E作于点Q， 设，则，， ∵在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴在中，， ∴在中，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，平行四边形的判定，勾股定理，熟练运用相似三角形的判定及性质是解题的关键． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． （1）求抛物线的表达式． （2）如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． （3）如图2，连接，，，与交于点，过点作交于点．记，，的面积分别为，，．求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）的最大值为 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）由（1）可知，则有，然后求出直线的解析式为，然后可设，则有，进而根据可建立方程进行求解； （3）由题意易得，则有，然后可得，作交y轴于N，作轴交于Q，则有，即，设，则，进而根据相似三角形的性质建立函数关系式，最后根据二次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）可知，则令时，， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（此时B，P重合，不合题意舍去）， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ， 作交y轴于N，作轴交于Q， ∵直线的解析式为，， ∴直线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值． 【点睛】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、相似三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末教学质量监测 九年级数学（沪科版） 注意事项： 1．你拿到的试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共6页，“答题卷”共6页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．） 1. 的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的新抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数y＝（m为常数），在每个象限内，y随x的增大而减小，则m取值范围是（ ） A. m＞0 B. m＞2 C. m＜0 D. m＜2 5. 一个长厘米，宽厘米的长方形，按放大后，面积是（ ）平方厘米． A. B. C. D. 6. 如图，的弦垂直平分半径，若弦，则的半径为（ ） A. B. C. D. 2 7. 在中，，如果AC=m，，那么AB的长为（　　） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，若函数图象经过点和，则在，，，四个运算结果中，是定值的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知二次函数的图像经过点和点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形纸片中，，，折叠纸片使点的对应点始终落在边上，点的对应点为，折痕与，分别交于点，，线段与线段相交于点．当时，的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若，则____________． 12. 如图，直线，交于点，．若，，，则的值为____________． 13. 如图，内接于，若，则____________． 14. 已知，是抛物线上任意两点． （1）若当，时，，则____________．； （2）若对于任意，，都有，则的取值范围是____________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算： 16. 已知二次函数的图象经过原点，指出图象的开口方向并求的值和这个二次函数的对称轴． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）观察图象直接写出不等式的解集． 18. 以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，点，，，，，均在格点上． （1）在图1中，则________________； （2）仅利用网格和无刻度的直尺，在图2中的线段上确定点，使（保留痕迹，不写作法） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 数学兴趣小组借助无人机开展实地测量．如图所示，在河岸边的处，兴趣小组控制一架无人机沿的仰角方向飞行100米到达点A处，然后无人机又沿垂直于河道的方向水平飞行30米至点处，此时测得河对岸处的俯角为（图中A，，，在同一个竖直平面内）． （1）求无人机从A飞到时的飞行高度（结果保留根号）； （2）求河道的宽度（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 20. 如图，与的边相切于点，与边，分别相交于点，，连接，． （1）求证：； （2）如图2，若平分，连接，求证：． 六、（本题满分12分） 21. 综合与实践： 【发现问题】 教材《问题出在哪里》内容大致如下：图1是一个的正方形纸片，将它剪成四部分后，再拼成图2中的矩形，图1面积，图2面积，难道？ 【提出问题】 ，这就说明：图2中四个图形之间有缝隙．即，图3中A，，，四个点不在一条直线上，那么，如何说明它们不在一条直线上呢？ 【分析问题】 要说明“四点不共线”，可以简化为说明其中“三点不共线”，观察易得，图3是一个中心对称图形，所以，说明“A，，三点不共线”或“A，，三点不共线”的道理相同，我们不妨选择证明“A，，三点不共线”． 【解决问题】 ①甲：若A，，三点共线，则，若，则三点不共线．由勾股定理易得，，，，显然； ②乙：若A，，三点共线，则，若，则三点不共线，再借助三角函数刻画角的大小，…… ③丙：，，，…让我想到了斐波那契数列和它的一些性质，再结合相似三角形的有关知识，…… ④丁：“三点共线问题”也可以转化为“判断一点在不在另外两点所在的直线上”， …… 请你根据乙、丙、丁三位同学的思路，任选一种方法，证明A，，三点不共线． 七、（本题满分12分） 22. 如图，，点在边上． （1）如图1，点在边上，若，求证：； （2）如图2，若，点在边上，，相交于点，已知，． ①判断四边形的形状； ②求线段的长． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点，且在直线的上方． （1）求抛物线的表达式． （2）如图1，过点作轴，交直线于点，若，求点的坐标． （3）如图2，连接，，，与交于点，过点作交于点．记，，的面积分别为，，．求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $