江苏省淮安市盱眙县2024--2025学年上学期期末九年级数学检测卷

2024-2025学年江苏省淮安市盱眙县九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）有理数﹣2024的倒数等于（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+7＝0，方程可变形为（　　） A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝57 3．（3分）在一个不透明的袋子里，装有3个红球、2个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）某市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占30%，现场演讲分占70%，小明参加并在这两项中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为（　　） A．81分 B．82分 C．83分 D．84分 5．（3分）将抛物线y＝x2+2先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（　　） A．y＝（x+1）2+1 B．y＝（x+1）2﹣1 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+1 6．（3分）电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，首周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元．若每周累计票房的增长率相同，设增长率为x，根据题意可列方程为（　　） A．3.5x2＝6.8 B．3.5（1+x）＝6.8 C．3.5（1+x）2＝6.8 D．3.5（1﹣x）2＝6.8 7．（3分）如图，BC是⊙O的切线，点C为切点，连接BO并延长交⊙O于点A，连接AC，OC．若∠A＝32°，则∠B的度数为（　　） A．22° B．26° C．32° D．64° 8．（3分）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝10cm，C，D两点之间的距离是3cm，∠AOB＝60°，则摆盘的面积是（　　）cm2． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）抛物线y＝（x+2）2﹣4的顶点坐标是　 　． 10．（3分）某校甲、乙、丙和丁四个班级的体育测试平均分相等，方差分别为：S甲2＝10，S乙2＝25，S丙2＝20，S丁2＝15，则四个班体育考试成绩最整齐的是　 　． 11．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0的一个根是x＝1，则代数式2024﹣a﹣b的值为 　 　． 12．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+a﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是　 　． 13．（3分）已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为 　 　cm2．（结果保留π） 14．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（不与点C重合），则∠CPD的度数为 　 　． 15．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点（0，5），对称轴为直线x＝﹣2，若y≥5，则x的取值范围是 　 　． 16．（3分）如图，O是矩形ABCD对角线的交点，点E在AD边上，连接OE，将线段OE绕着点O逆时针旋转90°得到线段OF（点F在矩形ABCD内部），连接AF，EF．若AB＝2，AD＝4，则△AEF面积的最大值是 　 　． 三、解答题（本大题共11题，共102分） 17．（8分）解下列方程： （1）x2+2x﹣3＝0； （2）（x﹣2）2+（x﹣2）＝0． 18．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x满足x2﹣3x﹣4＝0． 19．（8分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均落在格点上，以AB为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图： （1）请在图1中作出△ABC的AC边上的高BD； （2）请在图2中线段BC上确定一点F，使得OF∥AC； （3）请在图3中作出⊙O的切线AE． 20．（8分）如图是一张长20cm、宽12cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒． （1）这个无盖纸盒的长为 　 　cm，宽为 　 　cm；（用含x的式子表示） （2）若要制成一个底面积是180cm2的无盖长方体纸盒，求x的值． 21．（8分）中国有着悠久的历史文化，一个个非物质文化遗产被国家和世界所肯定，在娱乐匮乏的古代社会，中国的民间文学类非物质文化遗产无不表达人们对美好生活的期盼．为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“A．嫦娥奔月、B．牛郎织女、C．三顾茅庐、D．武松打虎”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解． （1）甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到三顾茅庐的概率是　 　； （2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都抽取到神话故事的概率． 22．（6分）某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：t）．根据调查结果，绘制出如下的统计图1和图2． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的家庭有 　 　个，图1中m的值为 　 　； （2）求这组月均用水量数据的众数和中位数； （3）请你给这个社区的居民提出一条节约用水的具体建议． 23．（10分）“我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你”这是直播带货新平台“东方甄选”带货王董宇辉在推销大米时的台词．所推销大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋．为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋． （1）求出y与x的函数关系式； （2）设“东方甄选”每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？ 24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径． 25．（10分）图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是（50，25），OC＝5． （1）求抛物线的表达式； （2）在斜坡上的点A建有垂直于水平线OD的城墙AB，且OD＝75，AD＝12，AB＝9，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙AB． 26．（12分）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2． （1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函数的为 　 　（只填序号即可），其上确界为 　 　； （2）如果函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求a的取值范围； （3）如果函数y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值． 27．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知图形G上的两点M，N（点M，N不重合）和另一点P，给出如下定义：连接PM，PN，如果PM⊥PN，则称点P为点M，N的“条件拐点”． （1）如图1，已知线段MN上的两点M（0，2），N（4，0）． ①点P1（1，3），P2（2，﹣1），P3（4，2）中，点M，N的“条件拐点”是 　 　； ②如果过点A（0，a）且平行于x轴的直线上存在点M，N的“条件拐点”，求a的取值范围； （2）如图2，已知点F（0，1），T（0，t），过点F作直线l⊥y轴，点M，N在直线l上，且FM＝FN＝FT．如果直线y＝x﹣t上存在点M，N的“条件拐点”，直接写出t的取值范围． 2024-2025学年江苏省淮安市盱眙县九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D． B C C B C B B 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（3分）有理数﹣2024的倒数等于（　　） A．2024 B．﹣2024 C． D． 【答案】D． 【分析】利用倒数的定义求解即可． 【解答】解：﹣2024的倒数是﹣． 故选：D． 【点评】本题考查了倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键． 2．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣8x+7＝0，方程可变形为（　　） A．（x+4）2＝9 B．（x﹣4）2＝9 C．（x﹣8）2＝16 D．（x+8）2＝57 【答案】B 【分析】先将常数项移到等号的右边，在方程两边加上一次项系数一半平方，将方程左边配成一个完全平方式即可． 【解答】解：x2﹣8x+7＝0， x2﹣8x＝﹣7， x2﹣8x+16＝﹣7+16， （x﹣4）2＝9． 故选：B． 【点评】本题考查了运用配方法解一元二次方程的运用，配方法的解法的运用，解答时熟练配方法的步骤是关键． 3．（3分）在一个不透明的袋子里，装有3个红球、2个白球，它们除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球为红球的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在一个不透明的袋子里，装有3个红球、2个白球，可以计算出从袋中任意摸出一个球为红球的概率． 【解答】解：由题意可得， 从袋中任意摸出一个球为红球的概率是：＝， 故选：C． 【点评】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． 4．（3分）某市举办了“传诵经典”青少年演讲比赛，其中综合荣誉分占30%，现场演讲分占70%，小明参加并在这两项中分别取得90分和80分的成绩，则小明的最终成绩为（　　） A．81分 B．82分 C．83分 D．84分 【答案】C 【分析】根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【解答】解：小明的最终比赛成绩为：90×30%+80×70%＝27+56＝83（分）， 故选：C． 【点评】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的公式列出算式是本题的关键． 5．（3分）将抛物线y＝x2+2先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线解析式是（　　） A．y＝（x+1）2+1 B．y＝（x+1）2﹣1 C．y＝（x﹣1）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2+1 【答案】B 【分析】原抛物线的顶点坐标为（0，2），根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为（﹣1，﹣1），根据抛物线的顶点式求解析式． 【解答】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为（﹣1，﹣1）， ∴平移后抛物线解析式为y＝（x+1）2﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的联系．关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，利用顶点式求解析式． 6．（3分）电影《志愿军：雄兵出击》于国庆档上映，首周累计票房约3.5亿元，第三周累计票房约6.8亿元．若每周累计票房的增长率相同，设增长率为x，根据题意可列方程为（　　） A．3.5x2＝6.8 B．3.5（1+x）＝6.8 C．3.5（1+x）2＝6.8 D．3.5（1﹣x）2＝6.8 【答案】C 【分析】利用第三周的票房＝第一周的票房×（1+每周票房的增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：3.5（1+x）2＝6.8． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7．（3分）如图，BC是⊙O的切线，点C为切点，连接BO并延长交⊙O于点A，连接AC，OC．若∠A＝32°，则∠B的度数为（　　） A．22° B．26° C．32° D．64° 【答案】B 【分析】由圆周角定理解得∠BOC＝2∠A＝64°，再根据切线的性质得到∠BCO＝90°，最后根据三角形内角和定理解题． 【解答】解：∵BC是⊙O的切线，点C为切点，∠A＝32°， 由圆周角定理得：∠BOC＝2∠A＝2×32°＝64°， ∵BC是⊙O的切线， ∴∠BCO＝90°， ∴∠B＝90°﹣64°＝26°， 故选：B． 【点评】本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握圆周角定理． 8．（3分）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型能让美食锦上添花．图1中的摆盘，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为摆盘），通过测量得到AC＝BD＝10cm，C，D两点之间的距离是3cm，∠AOB＝60°，则摆盘的面积是（　　）cm2． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正三角形的判定和性质得出OC＝OD＝3cm，进而得到OA＝OB＝13cm，由S阴影＝S大扇形﹣S小扇形进行计算即可． 【解答】解：∵CD＝3cm，∠AOB＝60°，OC＝OD， ∴△COD是正三角形， ∴OC＝OD＝CD＝3cm， ∴S阴影＝S大扇形﹣S小扇形 ＝﹣ ＝， 故选：B． 【点评】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）抛物线y＝（x+2）2﹣4的顶点坐标是　（﹣2，﹣4）　． 【答案】见试题解答内容 【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【解答】解：由y＝（x+2）2﹣4，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，﹣4）． 故答案为：（﹣2，﹣4）． 【点评】考查将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h． 10．（3分）某校甲、乙、丙和丁四个班级的体育测试平均分相等，方差分别为：S甲2＝10，S乙2＝25，S丙2＝20，S丁2＝15，则四个班体育考试成绩最整齐的是　甲　． 【答案】甲． 【分析】根据方差的意义求解可得． 【解答】解：∵甲、乙、丙和丁四个班级的体育测试平均分相等，方差分别为：S甲2＝10，S乙2＝25，S丙2＝20，S丁2＝15， ∴甲的方差最小， ∴四个班体育考试成绩最整齐的是甲， 故答案为：甲． 【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 11．（3分）若关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0的一个根是x＝1，则代数式2024﹣a﹣b的值为 　2021　． 【答案】2021． 【分析】根据题意可得：把x＝1代入一元二次方程ax2+bx﹣3＝0中得：a+b﹣3＝0，从而可得a+b＝3，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx﹣3＝0的一个根是x＝1， ∴a+b﹣3＝0， ∴a+b＝3， ∴2024﹣a﹣b＝2024﹣（a+b）＝2024﹣3＝2021， 故答案为：2021． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+a﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是　a≤6　． 【答案】a≤6． 【分析】根据Δ≥0，解一元一次不等式即可． 【解答】解：由题意得，Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（a﹣2）≥0， 解得：a≤6， 故答案为：a≤6． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握知识点是解题的关键． 13．（3分）已知圆锥的底面半径是3cm，母线长是5cm，则圆锥的侧面积为 　15π　cm2．（结果保留π） 【答案】见试题解答内容 【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2． 【解答】解：底面圆的半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面面积＝×6π×5＝15π（cm2）． 故答案为：15π． 【点评】本题考查了圆锥的有关计算，解题的关键是掌握圆锥的侧面面积的计算公式：圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2． 14．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧上一点（不与点C重合），则∠CPD的度数为 　36°　． 【答案】36°． 【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【解答】解：如图，连接OC，OD， ∵ABCDE是正五边形， ∴∠COD＝＝72°， ∴∠CPD＝∠COD＝36°， 故答案为：36°． 【点评】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是根据正多边形的边数求出圆心角∠COD的度数． 15．（3分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点（0，5），对称轴为直线x＝﹣2，若y≥5，则x的取值范围是 　﹣4≤x≤0　． 【答案】﹣4≤x≤0． 【分析】根据图象的对称性可知图象过点（﹣4，5），再根据图象开口向下，即可得当y≥5时，x的取值范围． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点（0，5），对称轴为直线x＝﹣2， ∴图象过点（﹣4，5）， ∵图象开口向下， ∴当y≥5时，x的取值范围是﹣4≤x≤0． 故答案为：﹣4≤x≤0． 【点评】此题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 16．（3分）如图，O是矩形ABCD对角线的交点，点E在AD边上，连接OE，将线段OE绕着点O逆时针旋转90°得到线段OF（点F在矩形ABCD内部），连接AF，EF．若AB＝2，AD＝4，则△AEF面积的最大值是 　　． 【答案】． 【分析】如图，连接BD，则O为BD的中点，取AD的中点M，连接OM，过F作FH⊥AD于H，作FN⊥OM于N．分两种情况讨论：当E在M右侧时，（或与M重合时），当E在M点左侧时，证得△MEO≌△NOF（AAS），然后利用列式解答即可． 【解答】解：如图1，连接BD，则O为BD的中点，取AD的中点M，连接OM，过F作FH⊥AD于H，作FN⊥OM于N． ①如图1，当E在M右侧时，（或与M重合时）， 设ME＝x， ∵OM为△DAB的中位线， ∴OM∥AB， ∴OM⊥AD，， 在Rt△MEO中，∠MEO+∠MOE＝90°， 又∵∠NOF+∠MOE＝∠EOF＝90°， ∴∠MEO＝∠NOF， 又∵∠OME＝∠FNO＝90°，OE＝FO， ∴△MEO≌△NOF（AAS）， ∴ME＝NO＝x，MO＝NF＝1， ∴MN＝MO﹣ON＝1﹣x， 又∵FN⊥NM， ∴FN∥HM，HF⊥HM，NM⊥HM， ∴FN⊥HF， ∴四边形HFNM为矩形． ∴HF＝MN＝1﹣x， 又∵AE＝AM+ME＝2+x， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝， 抛物线对称轴为直线，开口向下，， ∵ ∴S△AEF随x的增大而减小， 故当x＝0时，S△AEF有最大值，为； ②当E在M点左侧时，如图2， 设EM＝y，由①同理可证△EMO≌△ONF， ∴EM＝ON＝y，AE＝AM﹣EM＝2﹣y，HF＝MN＝OM+ON＝1+y， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 故当时，S△AEF有最大值为， 综上，△AEF面积的最大值是， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，二次函数的最值以及矩形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出恰当的辅助线，构建全等三角形． 三、解答题（本大题共11题，共102分） 17．（8分）解下列方程： （1）x2+2x﹣3＝0； （2）（x﹣2）2+（x﹣2）＝0． 【答案】（1）x1＝﹣3，x2＝1， （2）x1＝2，x2＝1． 【分析】（1）利用因式分解法，把x2+2x﹣3＝0，拆分成（x+3）（x﹣1）＝0，即可解得方程； （2）利用因式分解法，提取公因式x﹣2，得到（x﹣2）（x﹣1）＝0，即可解得方程． 【解答】解：（1）x2+2x﹣3＝0， ∴利用因式分解法得：（x+3）（x﹣1）＝0， ∴x+3＝0或x﹣1＝0， ∴x1＝﹣3，x2＝1； （2）（x﹣2）2+（x﹣2）＝0， ∴利用因式分解法得：（x﹣2）（x﹣2+1）＝0， ∴x﹣2＝0或（x﹣1）＝0， ∴x1＝2，x2＝1． 【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． 18．（8分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x满足x2﹣3x﹣4＝0． 【答案】x2﹣3x﹣2，原式＝2． 【分析】先化简题目中的式子，然后根据x2﹣3x﹣4＝0即可求得x2﹣3x＝4，直接代入可以解答本题． 【解答】解：（﹣）÷ ＝[]÷ ＝•（x+1）（x﹣1） ＝x2﹣3x﹣2， ∵x2﹣3x﹣4＝0， ∴x2﹣3x＝4， ∴原式＝4﹣2＝2． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 19．（8分）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均落在格点上，以AB为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图： （1）请在图1中作出△ABC的AC边上的高BD； （2）请在图2中线段BC上确定一点F，使得OF∥AC； （3）请在图3中作出⊙O的切线AE． 【答案】（1）（2）（3）作图见解析部分． 【分析】（1）延长AC交⊙O于点D，连接BD即可； （2）利用三角形的三条中线交于一点解决问题即可； （3）取格点E，连接AE即可． 【解答】解：（1）如图1中，线段BD即为所求； （2）如图2中，线段OF即为所求； （3）如图3中，直线AE即为所求． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20．（8分）如图是一张长20cm、宽12cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒． （1）这个无盖纸盒的长为 　（20﹣2x）　cm，宽为 　（12﹣2x）　cm；（用含x的式子表示） （2）若要制成一个底面积是180cm2的无盖长方体纸盒，求x的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据矩形纸板的长、宽，结合剪去正方形的边长可得出无盖纸盒的长、宽； （2）根据矩形的面积公式结合无盖长方体纸盒的底面积为144cm2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【解答】解：（1）∵纸板是长为20cm，宽为12cm的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形， ∴无盖纸盒的长为（20﹣2x）cm，宽为（12﹣2x）cm． 故答案为：（20﹣2x）；（12﹣2x）． （2）依题意，得：（20﹣2x）（12﹣2x）＝180， 整理，得：x2﹣16x+15＝0， 解得：x1＝1，x2＝15（不合题意，舍去）． 答：x的值为1． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．（8分）中国有着悠久的历史文化，一个个非物质文化遗产被国家和世界所肯定，在娱乐匮乏的古代社会，中国的民间文学类非物质文化遗产无不表达人们对美好生活的期盼．为了让学生更多地了解中国传统的民间文学类非物质文化遗产，在某次班会上，甲、乙、丙、丁四位班干部准备从“A．嫦娥奔月、B．牛郎织女、C．三顾茅庐、D．武松打虎”这四个故事传说中，各选一个进行讲解，班长做了4张背面完全相同的卡片，如图，卡片正面分别绘制了这4个故事传说的插画，将卡片背面朝上洗匀后，让甲先从这4张卡片中随机抽取一张，不放回，乙再从剩下的3张卡片中随机抽取一张，以所抽取卡片正面的内容进行讲解． （1）甲从这四张卡片中随机抽取一张，抽到三顾茅庐的概率是　　； （2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人都抽取到神话故事的概率． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据概率公式计算即可得解； （2）列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【解答】解：（1）甲从“A．嫦娥奔月、B．牛郎织女、C．三顾茅庐、D．武松打虎”这四张卡片中随机抽取一张，抽到三顾茅庐的概率是， 故答案为：； （2）所有可能出现的结果列表如下： （甲，乙） A B C D A ﹣ （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） ﹣ （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） ﹣ （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） ﹣ 由表格可知共有12种可能出现的结果，它们出现的可能性相等，其中两张卡片都是神话故事的有（A，B），（B，A）两种， ∴抽出的两张卡片都是神话故事的概率为：． 【点评】本题主要考查列表法与树状图法，概率公式，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：概率等于所求情况数与总情况数之比． 22．（6分）某社区为了增强居民节约用水的意识，随机调查了部分家庭一年的月均用水量（单位：t）．根据调查结果，绘制出如下的统计图1和图2． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受调查的家庭有 　50　个，图1中m的值为 　20　； （2）求这组月均用水量数据的众数和中位数； （3）请你给这个社区的居民提出一条节约用水的具体建议． 【答案】（1）50，20； （2）众数是6，中位数是6； （3）可用淘米水浇花等（答案不唯一）． 【分析】（1）根据每月用水5t的户数和所占的百分比即可得出接受调查的家庭个数，再用每月用水6.5t的户数除以总户数，即可得出m的值； （2）根据众数和中位数的定义即可求解； （3）从一水多用角度考虑（答案不唯一）． 【解答】解：（1）本次接受调查的家庭个数为：8÷16%＝50（个）， m%＝×100%＝20%，即m＝20； 故答案为：50，20； （2）∵6出现了16次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是6， 将这组数数据从小到大排列，其中处于中间的两个数都是6， ∴这组数据的中位数是＝6； （3）可用淘米水浇花等（答案不唯一）． 【点评】本题考查的是条形统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．掌握中位数和众数的计算方法． 23．（10分）“我想把天空大海给你，把大江大河给你，没办法，好的东西就是想分享于你”这是直播带货新平台“东方甄选”带货王董宇辉在推销大米时的台词．所推销大米成本为每袋40元，当售价为每袋80元时，每分钟可销售100袋．为了吸引更多顾客，“东方甄选”采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每分钟可多销售5袋，设每袋大米的售价为x元（x为正整数），每分钟的销售量为y袋． （1）求出y与x的函数关系式； （2）设“东方甄选”每分钟获得的利润为w元，当销售单价为多少元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）y＝﹣5x+500； （2）当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元． 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出y与x的函数关系式； （2）根据题意，可以写出w关于x的函数解析式，然后化为顶点式，再根据二次函数的性质，即可得到w的最大值． 【解答】解：（1）由题意可得， y＝100+（80﹣x）×5＝﹣5x+500， 即y与x的函数关系式是y＝﹣5x+500； （2）由题意可得， w＝（x﹣40）（﹣5x+500）＝﹣5（x﹣70）2+4500， ∴当x＝70时，w取得最大值，此时w＝4500， 答：当销售单价为70元时，每分钟获得的利润最大，最大利润是4500元． 【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． 24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF． （1）求证：EF为⊙O的切线； （2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）连接OE，根据等边对等角结合对等角相等即可推出结论； （2）设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1，FE＝2BD＝2（r﹣1），在Rt△FEO中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【解答】解：（1）证明：如图，连接OE， ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE， ∵DF＝FE， ∴∠FED＝∠FDE， ∵∠FDE＝∠CDO，∠CDO+∠OCD＝90°， ∴∠FED+∠OEC＝90°， 即∠FEO＝90°， ∴OE⊥FE， ∵OE是半径， ∴EF为⊙O的切线； （2）解：设⊙O的半径EO＝BO＝r，则BD＝BF＝r﹣1， ∴FE＝2BD＝2（r﹣1）， 在Rt△FEO中，由勾股定理得， FE2+OE2＝OF2， ∴（2r﹣2）2+r2＝（2r﹣1）2， 解得r＝3，或r＝1（舍去）， ∴⊙O的半径为3． 【点评】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． 25．（10分）图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据《范蠡兵法》记载：“飞石重十二斤，为机发，行二百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡OA的底部点O处，石块从投石机竖直方向上的点C处被投出，已知石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是（50，25），OC＝5． （1）求抛物线的表达式； （2）在斜坡上的点A建有垂直于水平线OD的城墙AB，且OD＝75，AD＝12，AB＝9，点D，A，B在一条直线上．通过计算说明石块能否飞越城墙AB． 【答案】（1）抛物线的表达式为y＝； （2）石块不能飞越城墙AB． 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标是（50，25）可设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣50）2+25，把点C坐标代入即可解答； （2）由OD＝75得到点D的横坐标为75，将x＝75代入函数，可求得石块飞到点D的竖直方向上时距OD的高度为20，又BD＝21＞20，即可解答． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点坐标是（50，25）， ∴设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣50）2+25， ∵OC＝5， ∴点C的坐标为（0，5）， ∵抛物线过点C（0，5）， ∴a（0﹣50）2+25＝5，代入，得502a+25＝5， 解得：， ∴抛物线的表达式为， 即； （2）∵OD＝75， ∴点D的横坐标为75， 将x＝75代入函数，得y＝20， 即石块飞到点D的竖直方向上时距OD的高度为20， ∵AD＝12，AB＝9， ∴BD＝AD+AB＝12+9＝21＞20， ∴石块不能飞越城墙AB． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求抛物线解析式． 26．（12分）对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足y≤M，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数y＝﹣（x﹣3）2+2是有上界函数，其上确界是2． （1）函数①y＝x2+2x+1和②y＝2x﹣3（x≤2）中是有上界函数的为 　②　（只填序号即可），其上确界为 　1　； （2）如果函数y＝﹣x+2（a≤x≤b，b＞a）的上确界是b，且这个函数的最小值不超过2a+1，求a的取值范围； （3）如果函数y＝x2﹣2ax+2（1≤x≤5）是以3为上确界的有上界函数，求实数a的值． 【答案】（1）②，1；（2）﹣1≤a＜1；（3）2.4． 【分析】（1）分别求出两个函数的最大值即可求解； （2）由题意可知：﹣b+2≤y≤﹣a+2，再由﹣a+2＝b，﹣b+2≤2a+1，b＞a，即可求a的取值范围； （3）当a≤1时，27﹣10a＝3，可得a＝2.4（舍）；当a≥5时，3﹣2a＝3，可得a＝0（舍）；当1＜a≤3时，27﹣10a＝3，可得a＝2.4；当3＜a＜5时，3﹣2a＝3，可得a＝0． 【解答】解：（1）①y＝x2+2x+1＝（x+1）2≥0， ∴①无上确界； ②y＝2x﹣3（x≤2）， ∴y≤1， ∴②有上确界，且上确界为1， 故答案为：②，1； （2）∵y＝﹣x+2，y随x值的增大而减小， ∴当a≤x≤b时，﹣b+2≤y≤﹣a+2， ∵上确界是b， ∴﹣a+2＝b， ∵函数的最小值不超过2a+1， ∴﹣b+2≤2a+1， ∴a≥﹣1， ∵b＞a， ∴﹣a+2＞a， ∴a＜1， ∴a的取值范围为：﹣1≤a＜1； （3）y＝x2﹣2ax+2的对称轴为直线x＝a， 当a≤1时，y的最大值为25﹣10a+2＝27﹣10a， ∵3为上确界， ∴27﹣10a＝3， ∴a＝2.4（舍）； 当a≥5时，y的最大值为1﹣2a+2＝3﹣2a， ∵3为上确界， ∴3﹣2a＝3， ∴a＝0（舍）； 当1＜a≤3时，y的最大值为25﹣10a+2＝27﹣10a， ∵3为上确界， ∴27﹣10a＝3， ∴a＝2.4； 当3＜a＜5时，y的最大值为1﹣2a+2＝3﹣2a， ∵3为上确界， ∴3﹣2a＝3， ∴a＝0， 综上所述：a的值为2.4． 【点评】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键． 27．（14分）在平面直角坐标系xOy中，已知图形G上的两点M，N（点M，N不重合）和另一点P，给出如下定义：连接PM，PN，如果PM⊥PN，则称点P为点M，N的“条件拐点”． （1）如图1，已知线段MN上的两点M（0，2），N（4，0）． ①点P1（1，3），P2（2，﹣1），P3（4，2）中，点M，N的“条件拐点”是 　点P1和点P3　； ②如果过点A（0，a）且平行于x轴的直线上存在点M，N的“条件拐点”，求a的取值范围； （2）如图2，已知点F（0，1），T（0，t），过点F作直线l⊥y轴，点M，N在直线l上，且FM＝FN＝FT．如果直线y＝x﹣t上存在点M，N的“条件拐点”，直接写出t的取值范围． 【答案】（1）①点P1和点P3； ②﹣+1≤a≤+1； （2）t的取值为t≥3+2或t≤3﹣2． 【分析】（1）①根据题中PM⊥PN，可得出：PM2+PN2＝MN2，再根据三个点给出的坐标分别求出PM2和PN2，分别验证PM2+PN2＝MN2是否成立，即可求出答案； ②根据题意可知∠MPN＝90°和MN＝2，则可判断出点P在以MN的中点为圆心，以为半径的圆上，则根据过点A（0，a）且平行于x轴的直线上存在点M，N的“条件拐点”，可得出点B到此直线的距离d≤，根据中点求出点B的坐标，即可得出|a﹣1|≤，解出不等式即可求出答案； （2）先计算直线l与坐标轴的交点坐标C（0，﹣t），D（t，0），根据FM＝FN＝FT确定点M，N，T在以F为圆心，以FT为半径的圆上，分情况讨论：当t≥1时，如图2；当0＜t＜1时，如图3；当﹣1＜t≤0时，如图4；当t≤﹣1时，如图5；分别根据点F到直线l的距离小于等于FT列不等式可解答． 【解答】解：（1）①∵M（0，2），N（4，0）， ∴MN2＝（0﹣4）2+（2﹣0）2＝20， 当点P1（1，3）时， 则P1M2＝（0﹣1）2+（2﹣3）2＝2，＝（1﹣4）2+（3﹣0）2＝18， ∵2+18＝20，即P1M2+＝MN2， ∴∠MPN＝90°， ∴PM⊥PN， ∴点P1是点M，N的“条件拐点”； 当点P2（2，﹣1）时， 则P2M2＝（2﹣0）2+（﹣1﹣2）2＝13，P2N2＝（2﹣4）2+（﹣1﹣0）2＝5， ∴13+5＝18≠20，即P2M2+P2N2≠MN2， ∴∠MPN≠90°，即PM与PN不垂直， ∴点P2不是点M，N的“条件拐点”； 当点P3（4，2）时， 则P3M2＝（4﹣0）+（2﹣2）2＝16，P3N2＝（4﹣4）2+（2﹣0）2＝4， ∵16+4＝20，即P3M2+P3N2＝MN2， ∴∠MPN＝90°， ∴PM⊥PN， ∴点P3是点M，N的“条件拐点”； 故答案为：点P1和点P3； ②根据①可得：MN＝2， ∵PM⊥PN， ∴∠MPN＝90°， ∴如图所示：点P在以MN的中点B为圆心，以为半径的圆上， ∵过点A（0，a）且平行于x轴的直线上存在点M，N的“条件拐点”， ∴如图所示，点B到此直线的距离d≤， ∵点B是MN的中点，且M（0，2），N（4，0）， ∴点B的坐标为（2，1）， ∴|a﹣1|≤， 解得：﹣+1≤a≤+1； （2）在直线y＝x﹣t中，当x＝0时，y＝﹣t，当y＝0时，x＝t， ∴C（0，﹣t），D（t，0）， ∵FM＝FN＝FT， ∴M，N，T在以点F为圆心，FT为半径的圆上， 分三种情况： ①当t≥1时，如图2，过点F作FG⊥l于G，则FC＝t+1，FT＝t﹣1， ∵△FGC是等腰直角三角形， ∴FG＝， ∵直线y＝x﹣t上存在点M，N的“条件拐点”， ∴FG≤FT， ∴≤t﹣1， ∴t≥3+2； ②当0＜t＜1时，如图3，过点F作FG⊥l于G，则FC＝t+1，FT＝1﹣t， ∵直线y＝x﹣t上存在点M，N的“条件拐点”， ∴FG≤FT， ∴≤1﹣t， ∴t≤3﹣2； ③当﹣1＜t≤0时，如图4，过点F作FG⊥l于G，则FC＝t+1，FT＝1﹣t， ∵直线y＝x﹣t上存在点M，N的“条件拐点”， ∴FG≤FT， ∴≤1﹣t， ∴t≤3﹣2； ④当t≤﹣1时，如图5，过点F作FG⊥l于G，则FC＝﹣t﹣1，FT＝1﹣t， ∵直线y＝x﹣t上存在点M，N的“条件拐点”， ∴FG≤FT， ∴≤1﹣t， ∴t≤3+2； 综上，t的取值为t≥3+2或t≤3﹣2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$