2025年中考数学一轮复习讲义 矩形7大考点汇总

矩形7大考点汇总与跟踪训练-2025年中考数学一轮复习题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 7大考点汇总 考点一：利用矩形的性质求角度 考点二：利用矩形的性质求线段长 考点三：利用矩形的性质求面积 考点四：矩形中的坐标问题 考点五：利用矩形的性质证明 考点六：矩形折叠问题 考点七：矩形问题综合 7大考点跟踪训练 考点一：利用矩形的性质求角度 1．如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，三角尺的顶点，分别在矩形的边，上，，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，矩形中，对角线，交于点O，于点E，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，矩形的对角线和相交于点，平分交于点，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 考点二：利用矩形的性质求线段长 5．如图，矩形的两条对角线相交于点O，，则该矩形的周长是（  ） A．16 B． C． D． 6．如图，矩形的对角线与相交于点O，，已知，则的长度是（    ） A．1 B．2 C． D． 7．已知：如图，矩形中，，，对角线、相交于点O，点P是线段上任意一点，且于点E，于点F，则等于（　　） A．6 B．5 C． D． 8．如图，在矩形中，点D的坐标是，则的长是（　　） A．3 B． C． D． 考点三：利用矩形的性质求面积 9．如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为 ．    10．如图，在矩形中，过对角线上一点分别作，，其中点，，、分别在边、、、上，记四边形的面积为，四边形的面积为，则与的大小关系是 ． 11．如图，在长方形中，动点从出发，以相同的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果与之间的关系如图所示，那么长方形的面积为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，已知经过点的直线（）分别与线段，相交，并将矩形分成面积比为的两部分，则k的值为 ．    考点四：矩形中的坐标问题 13．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，则第四个顶点的坐标为 ． 14．如图，四边形是矩形，三点的坐标分别是，，，对角线交点为，则点的坐标是 ．    15．如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为 ．    16．如图，在矩形AOBC中，A（–2，0），B（0，1）．若正比例函数y=kx的图象经过点C，则k的值为 ． 考点五：利用矩形的性质证明 17．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，，垂足分别为E，F．求证：． 18．如图，在矩形中，点E是边上一点，连接，且满足． (1)用尺规完成以下基本作图：在图中过点B求作的垂线，垂足为F（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）问所作的图形中，求证：． 证明：（过程如下，请补充完整） ∵四边形是矩形， ∴①_____________，． ∴， ∵， ∴②_____________． ∵， ∴③_____________， ∴． 在和中， ∴， ∴⑤_____________， ∴ 即． 19．如图，在矩形中，点M在上，，且，垂足为N． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 20．在矩形中，点是上一点，，，，垂足为F． (1)求证：． (2)若，，求四边形的面积． 考点六：矩形折叠问题 21．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动． 【操作】如图1，在矩形中，点在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点落在点处，与交于点． 【猜想】（1）请猜想线段的数量关系，并证明． 【应用】（2）如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点落在点处，点落在点处，折痕为．若，求的长． 22．如图，将矩形沿着对角线折叠，使点落在，交于． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，，试求的面积． 23．如图1，在矩形中，点是上的点，沿折叠点的对应点是点，延长交直线于点． (1)求证：； (2)是上的点，；沿折叠点的对应点是点，且、、、在同一直线上． ①如图2，若M、N互相重合，求的值； ②若，求的长．（自己画草图） 24．如图已知矩形中，，在边上取一点E，将折叠使点D恰好落在边上的点F，求的长． 考点七：矩形问题综合 25．在正方形中，点E，F分别是边 上的中点，点 P是一动点，记，，．    (1)如图1，若点P运动到线段的中点时， ， ． (2)如图2，若点P在线段上运动时，，和之间有何关系? (3)当点在直线上（在线段之外且与不重合）运动时，，和间又有何关系? 说明理由． 26．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，过点分别作轴、轴的平行线，交轴于点，交轴于点，点是从点出发，沿 以2个单位长度/秒的速度向终点运动的一个动点，设运动时间为秒． (1)当点在线段上运动时，用含的式子表示线段的长 ； (2)若x轴上有一点，连接．是否存在这样的t值，使得三角形的面积是四边形面积的？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 27．如图，在四边形中，， (1)求证：四边形为矩形； (2)E 是 边的中点，F 为边上一点，延长、交于点 G． ①若F为的中点， ，求的长； ②若 求的长． 28．【操作与思考】 已知：矩形． 【动手操作】以下是小华完成的尺规作图的过程． 第1步：分别以点A，B为圆心，以大于长为半径，在两侧作弧，分别交于点E，F； 第2步：作直线； 第3步：在的右侧，以点A为圆心，以长为半径作弧，交直线于点G，连接． 【解决问题】根据小华的尺规作图步骤，完成以下问题： （1）填空： ． （2）过点D作，交直线于点H． 求证：四边形是平行四边形； 【数学思考】（3）在（2）的条件下，设平行四边形的面积为，矩形的面积为，请问与存在有何种数量关系？请写出来，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《矩形7大考点汇总与跟踪训练-2025年中考数学一轮复习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A C C B C D 1．D 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质，利用矩形的对角线相等是解决问题的关键. 连接，依据矩形的性质，即可得到，再根据即可得出，进而得到的度数. 【详解】解：如图, 连接交于点O， ∵矩形中, ， ， ， ∴， ， 故选: D. 2．B 【分析】本题考查了矩形的性质，根据平行线的性质得出，根据三角形内角和定理得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ 故选：B． 3．A 【分析】本题主要考查矩形的性质，由矩形的性质可知，则可求得，则可求得． 【详解】四边形是矩形， ∴， ∴ ， ， ， ， 故选：A． 4．C 【分析】根据矩形性质得出：，，，，根据等腰三角形的判定得出，证明为等边三角形，得出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 5．C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和判定，矩形对角线的性质和利用勾股定理求边长，熟练掌握矩形及等边三角形的性质是解题的关键． 根据矩形的对角线互相平分且相等可得是等边三角形，可求出，勾股定理可求出，即可求出矩形的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∴矩形的周长， 故选：C． 6．B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质，根据矩形的对角线相等且互相平分得到，，再证明是等边三角形，得到，则． 【详解】解：∵矩形的对角线与相交于点O， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：B． 7．C 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，利用矩形的性质和勾股定理求出的长，然后由求得答案． 【详解】解：连接， ∵矩形中，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， 即：， ∴． 故选：C． 8．D 【分析】连接，过作轴于，由矩形的性质得，再由点的坐标得，，然后由勾股定理求出的长，即可解决问题．本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过作轴于， 四边形是矩形， ， 点的坐标是， ，， ， ， 故选：D． 9．4 【分析】本题考查了矩形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半． 根据矩形性质得出，，，推出，证出和的面积相等，同理可证：和的面积相等，和的面积相等，即可得出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即和的面积相等， 同理可证：和的面积相等，和的面积相等， 即阴影部分的面积等于矩形的面积的一半， ∵矩形面积是， ∴阴影部分的面积是4， 故答案为：4． 10．/ 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质．由矩形的性质可得，，，由题意可证四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，可得，，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，，， ∵，， 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，， ，， ， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查矩形的性质和函数图像，根据题意结合图像得出、的长度，再求出面积即可．能根据图形得出正确信息，利用数形结合的思想方法是解此题的关键． 【详解】解：由题意可知，当点从点运动到点时，的面积不变，结合图像可知：， 当点从点运动到点时，的面积逐渐变小直到为，结合图像可知：， ∴长方形的面积为：． 故答案为：． 12． 【分析】根据题意得到直线解析式为。设直线与相交于点F，与相交于点E，则点，，结合直线将矩形分成面积比为的两部分，分两种情况①当时，②当时，分析讨论建立等式求解（注意直线要与线段相交），即可解题． 【详解】解：将点代入直线，得， ， 直线， 如答图，设直线与相交于点F，与相交于点E，    则点，， ， ， 直线将矩形分成面积比为的两部分，分两种情况讨论： ①当时，， 即， 解得， 令，解得； ②当时，， 即， 解得。 令，解得， 直线与边无交点，舍去． 综上所述，k的值为. 【点睛】本题考查一次函数综合应用，矩形的性质、待定系数法、坐标与图形、一次函数与坐标轴交点情况，梯形面积等知识，解题的关键是分类讨论． 13． 【分析】由矩形的性质即可求得第四个点的坐标． 【详解】解：点和的横坐标相等， 点和的纵坐标相等， 要使这四个点构成矩形，则第四个点的横坐标与相等，纵坐标与相等， ∴第四个顶点的坐标为； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了矩形在坐标系中的坐标，准确判断是解题的关键． 14． 【分析】根据题意，可得，由中点坐标公式直接求解即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形，三点的坐标分别是，，， ， 矩形对角线交点为， 由平面直角坐标系中中点坐标公式可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质及中点坐标公式，熟记矩形性质及中点坐标公式是解决问题的关键． 15． 【分析】利用勾股定理求出，作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，证明，推出，得到，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴， ∴， 作于点E，如图， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 即，解得， ∴点的坐标为； 故答案为：．    【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程是解题的关键． 16．/-0.5 【分析】根据矩形的性质得出点C的坐标，再将点C坐标代入解析式求解可得． 【详解】解：∵A（﹣2，0），B（0，1）． ∴OA＝2、OB＝1， ∵四边形AOBC是矩形， ∴AC＝OB＝1、BC＝OA＝2， 则点C的坐标为（﹣2，1）， 将点C（﹣2，1）代入y＝kx，得：1＝﹣2k， 解得：k， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握矩形的性质和待定系数法求函数解析式． 17．见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解决问题的关键． 根据矩形的性质求出，根据推出即可证得结论． 【详解】证明：四边形是矩形， ． ，， ．． ， ， ． 18．(1)作图见解答过程 (2)①；②；③；④；⑤ 【分析】本题考查了基本作图-作垂线，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作图画图； （2）先证明，再利用线段的和差证明． 【详解】（1）解：如图： （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． 故答案为：①；②；③；④；⑤． 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质及全等三角形的判定，勾股定理． （1）利用矩形的对边平行和四个角都是直角的性质得到两对相等的角，利用证得两三角形全等即可； （2）利用勾股定理求得的长，利用求得答案即可． 【详解】（1）证明：在矩形中，，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， 又， 在中，， ，， ． 20．(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，可得； （2）由勾股定理可求，由面积和差关系可求解． 【详解】（1）证明：在矩形中，，，， ． ， ． 在和中， ， ； ， ； （2）解：， ， ， ， 四边形的面积． 21．（1）证明见解析；（2） 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）由折叠的性质可得，再证明，易得，即可证明； （2）由折叠的性质可得，，，设，易得，在中，由勾股定理解得的值，易知，同理可证明，然后计算的长即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵矩形纸片沿所在的直线折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ， ∴； （2）∵矩形沿所在直线折叠， ∴，，， 设， ∴， 在中，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴， 同理可证明， ∴． 22．(1)等腰三角形，见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，矩形与折叠的性质，勾股定理； （1）根据折叠的性质以及矩形的性质可得结果； （2）设，则，，在中，由勾股定理列方程求解． 【详解】（1）是等腰三角形 证明：矩形 由折叠知， 是等腰三角形； （2）设，则 由（1）知， 在中， 解得， 23．(1)见详解 (2)①②的长为或4 【分析】（1）由折叠的性质及矩形的性质证明，则可得出结论； （2）①证出，设，则，，则可得出结论； ②分两种情况，由矩形的性质及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）证明：沿折叠点的对应点是点， ， 四边形为矩形， ， ， ， ； （2）解：①四边形是矩形， ，， ， ， 四边形为平行四边形， 折叠， ， ， 四边形为菱形， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ； ②如图，若，在在上方，设， ， ， ， 过点作于点，则四边形为矩形， ，， ， ， ， ，（舍， ； 如图，设， 同理可得， ，（舍， ， 综上所述，的长为或4． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24． 【分析】本题主要考查了图形的翻折变换以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．设的长为x，由将折叠使点D恰好落在边上的点F可得，所以，；在中由勾股定理得：，已知的长可求出的长，又，在中由勾股定理可得：，即：，将求出的的值代入该方程求出x的值，即求出了的长． 【详解】解：∵四边形是长方形， ，， 根据题意得：， ，，， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， ， ， 在中，由勾股定理可得：， 即， ， ， 即． 25．(1)， (2) (3)①当点在延长线上时，；②当点在延长线上，且在直线上方时，；③当点在延长线上，且在直线下方时，，理由见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，再证出四边形是矩形，根据矩形的性质可得，然后根据等腰三角形的性质和平行线的性质求解即可得； （2）先根据平行线的性质可得，再根据直角三角形的性质可得，由此即可得； （3）分三种情况：①点在延长线上，②点在延长线上，且在直线上方，③点在延长线上，且在直线下方，根据平行线的性质和直角三角形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，， ∴， ∴，四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴，即． （3）解：①如图3-1，当点在延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即； ②如图3-2，当点在延长线上，且在直线上方时， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即； ③如图3-3，当点在延长线上，且在直线下方时， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴，即．    26．(1)； (2)存在，点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，矩形的判定与性质，一元一次方程的应用等知识，正确的作出图形是解题的关键． （1）根据题意即可得到结论，，当点在线段上时，根据，，，得到，，于是得到结论； （2）当点在线段上时，当点在线段上时，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解： 轴于，轴于，点， ，，， 四边形是矩形， 当点在线段上时，， ∴， 故答案为：； （2）解：存在两个符合条件的值，理由如下： 由（1）得四边形ABOC是矩形， ∵， ∴，， 当点在线段上时，如图，， ∴， ∵点，， 当时， ， 解得：， ∴ ∴ 当点在线段上时，如图，， ∵点，， 当时， ， 解得：， ∴， 此时， 综上：点的坐标为或． 27．(1)见解析 (2)①6；②12 【分析】（1）先利用已知条件得出四边形为平行四边形，再得出，即可得出四边形为矩形． （2）①由矩形的性质得出，，再由线段中点的定义得出，进而证明，由全等三角形的性质可得出，，最后再得出，根据等角对等边即可得出答案． ②由①知可得出，设，根据勾股定理得代入数值求出x的值，进而可求出． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴ 又∵， ∴． ∴四边形为矩形． （2）①∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， ∵E是边的中点， ∴． 在和中， ∴ ∴， ∵，F为的中点， ∴，． ∴． ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴， ∴． ②由①知， ∴， ∴， 设， 根据勾股定理得： 即 【点睛】本题主要考查了矩形的判定以及性质，全等三角形的判定以及性质，等角对等边，勾股定理等知识，掌握这些判定定理以及性质是解题的关键． 28．（1）；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题主要考查尺规作垂线，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的性质的综合，掌握矩形的性质，平行四边形的判定和性质，垂直平分线的性质是解题的关键． （1）由作图知，是线段的垂直平分线，，得到，推出是等边三角形，于是得到结论； （2）根据矩形的性质得到，推出，得到四边形是平行四边形； （3）设与交于M，根据矩形和平行四边形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴ 故答案为：30； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：，理由如下： 如图，设与交于O， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$