专题08三角形及全等三角形（2大模块知识梳理+10个基础考点+6个重难点+4个易错点）-【上好课】2025年中考数学一轮复习知识清单

专题08 三角形及全等三角形 目录 01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（2大模块知识梳理） 知识模块一：三角形 知识模块二：全等三角形 03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（10大基础考点） 考点一：三角形的稳定性 考点二：与五线有关的计算 考点三：与五线有关的作图问题 考点四：利用三角形三边关系求解 考点五：三角形内角和定理与外角和定理的综合考点六：利用全等三角形的性质求解【热考】 考点七：全等三角形证明方法的合理选择 考点八：利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题考点九：利用全等三角形解决实际问题 考点十：全等三角形与相似三角形综合 04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（5大重难点） 重难点一：添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线 重难点二：添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线 重难点三：添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法 重难点四：添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法 重难点五：与全等三角形有关的基础模型-一线三等角【热考】 重难点六：与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型【热考】 05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（4大易错点） 易错点1：对三角形的高理解不到位 易错点2：与三角形高有关的分类讨论问题 易错点3：在等腰三角形中，忽略三边关系而致错【失分点】 易错点4：未掌握全等三角形的判定定理 知识模块一：三角形 知识点一：三角形的相关概念 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 三角形的表示：用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”. 【补充】三角形的表示方法中“”代表“三角形”,后边的字母为三角形的三个顶点，字母的顺序可以自由安排， 即∆ABC, ∆ACB等均为同一个三角形. 三角形的稳定性: 三角形三条边确定之后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 【补充】四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了. 三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边． 三角形三边关系的应用： 1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 知识点二：与三角形的有关线段（掌握） 类型 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 用途举例 1）线段垂直．2）角度相等． 1）线段相等．2）面积相等． 角度相等． 类型 三角形的中位线 三角形的垂直平分线 文字语言 连接三角形两边中点的线段 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线 图形语言 性质 ∵DE是∆ABC的中位线 ∴DE=BC DE∥BC ∵直线l是AB的垂直平分线 ∴PA=PB, AC=BC, ∠PCA=∠PCB=90° 用途举例 1）线段平行．2）线段关系． 1）线段相等．2）角度相等． 知识点三：与三角形有关的角（掌握） 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 知识模块二：全等三角形 知识点一：全等三角形的概念 全等图形的概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形. 特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等. 全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 【补充】 1）全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 2）形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形. 全等三角形的表示：全等用符号“≌”，读作“全等于”. 【补充】书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上. 如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换. 常见的全等变换：平移变换、翻折变换、旋转变换，即过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形. 知识点二：全等三角形的性质与判定 全等三角形的性质：1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 3）全等三角形的周长相等，面积相等（但周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）. 全等三角形的判定： 1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 【易错】 ①只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等； 例: ②在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上. 3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5）斜边、直角边：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 【总结】从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路. 考点一：三角形的稳定性 1．（2023·吉林·中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ． 2．（2022·广东·中考真题）下列图形中具有稳定性的是（    ）． A．三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形 3．（2024·吉林长春·一模）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等 C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于 考点二：与五线有关的计算 1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 2．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，直线，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分，则的度数为 °． 4．（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·四川巴中·中考真题）如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 考点三：与五线有关的作图问题 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：． (1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，平分交边于点，先画出的角平分线，再在射线上画点，连接，使得； (2)在图2中，先画的高，再画的平分线． 3．（2024·吉林·模拟预测）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，点G是图③中边上的任意一点：只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中作边上的高； (2)在图②中作的中位线，使点E、F分别在边、上； (3)在图③中的边上找到一点H，使． 考点四：利用三角形三边关系求解 1．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（    ） A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12 2（2023·山东·中考真题）在中，，下列说法错误的是（　　） A． B． C．内切圆的半径 D．当时，是直角三角形 3．（2023·河北·中考真题）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 考点五：三角形内角和定理与外角和定理的综合 1．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 3．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为 ．    考点六：利用全等三角形的性质求解 1．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是 ． 3．（2024·四川遂宁·中考真题）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 考点七：全等三角形证明方法的合理选择 1．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 2．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，的对角线，相交于点，点，在上，且． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，交于点，若的周长为，求四边形的周长． 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 考点八：利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论：①；②垂直平分线段；③；④．其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·北京·中考真题）如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点到该八边形各顶点的距离都相等； ④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线、的交点．若，．以下结论：①；②；③当点在的延长线上时，；④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为．其中正确结论有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点九：利用全等三角形解决实际问题 1．（2024·山东·中考真题）【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图 【问题解决】（1）计算，两点间的距离． （参考数据：，，，，） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可． （2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号） ①解直角三角形    ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 2．（2024·四川宜宾·中考真题）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上；在B处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上，测得米．求长江口的宽度的值（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，） 3．（2024·河北石家庄·模拟预测）小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接，，并分别延长至点B，点D，使，，连接． (1)如图1，①求证：；②若，，则______°． (2)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点D，使，过点D作的平行线，延长至点F，连接，测得，，，，请求出池塘宽度． 考点十：全等三角形与相似三角形综合 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，正方形中，，点E在边上，是的中点，点H在边上，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 2．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． (1)求证：； (2)若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． 3．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在中，为锐角，点在边上，连接，且．    (1)如图1，若是边的中点，连接，对角线分别与相交于点． ①求证：是的中点； ②求； (2)如图2，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． 重难点一：添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线 1．（2024葫芦岛市模拟预测）【问题初探】 （1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）【感知】（1）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题： 如图①，在中，点D是的中点，点E是的一个三等分点，且．连结，交于点G，求值． 小明发现，过点D作的平行线或过E作的平行线，利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．请你根据小明的提示（或按自己的思路）写出求解过程 【尝试应用】 （2）如图②，在中，D为上一点，，连结，若，交于点E、F．若，，，则的长为 ． 【拓展提高】 （3）如图③，在平行四边形中，点E为的中点，点F为上一点，与、分别交于点G、M，若，若的面积为2，则的面积为 ． 重难点二：添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线 1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F． 请你解决下面各组提出的问题： (1)求证：； (2)探究与的关系； 某小组探究发现，当时，；当时，． 请你继续探究： ①当时，直接写出的值； ②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明； (3)拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：． (3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 重难点三：添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法 1．（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 重难点四：添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法 1．（2020·湖南湘西·中考真题）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是_______________； 探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由． 探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由． 实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 2．（2024·云南昆明·一模）如图，在中，是直径，，过的中点作的垂线交于点和，是上一动点．连接，，，． (1)求的长度； (2)延长到点，连接，使得．求证：是的切线； (3)猜想，，间的数量关系，并证明． 重难点五：与全等三角形有关的基础模型-一线三等角 1．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，若是等腰直角三角形，求点的坐标．    2．（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 重难点六：与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型 1．（2023·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ． 2．（2022·安徽合肥·模拟预测）等腰直角与等腰直角的直角顶点重合．与相交于，的延长线交于，连接．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，，，在同一条直线上，取的中点，分别连接，，求证：； (3)如图3，过作的平行线，过作的平行线，两线相交于，且点在的延长线上，若，求的值． 易错点1：对三角形的高理解不到位 1. 在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错点2：与三角形高有关的分类讨论问题 1．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）直角三角形的两条边长分别3和4，这个直角三角形斜边儿上的高为 ． 易错点3：在等腰三角形中，忽略三边关系而致错 1．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 3. 已知一等腰三角形的周长为26，其中一边为6，则这个等腰三角形的腰长是（    ） A．8 B．6或10 C．6 D．10 易错点4：未掌握全等三角形的判定定理 1．（2021·重庆·中考真题）如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 / 25学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 三角形及全等三角形 目录 01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。 02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（2大模块知识梳理） 知识模块一：三角形 知识模块二：全等三角形 03 究·考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（10大基础考点） 考点一：三角形的稳定性 考点二：与五线有关的计算 考点三：与五线有关的作图问题 考点四：利用三角形三边关系求解 考点五：三角形内角和定理与外角和定理的综合 考点六：利用全等三角形的性质求解【热考】 考点七：全等三角形证明方法的合理选择 考点八：利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题 考点九：利用全等三角形解决实际问题 考点十：全等三角形与相似三角形综合 04 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。（5大重难点） 重难点一：添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线 重难点二：添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线 重难点三：添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法 重难点四：添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法 重难点五：与全等三角形有关的基础模型-一线三等角【热考】 重难点六：与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型【热考】 05 辨·易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（4大易错点） 易错点1：对三角形的高理解不到位 易错点2：与三角形高有关的分类讨论问题 易错点3：在等腰三角形中，忽略三边关系而致错【失分点】 易错点4：未掌握全等三角形的判定定理 知识模块一：三角形 知识点一：三角形的相关概念 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. 三角形的表示：用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”. 【补充】三角形的表示方法中“”代表“三角形”,后边的字母为三角形的三个顶点，字母的顺序可以自由安排， 即∆ABC, ∆ACB等均为同一个三角形. 三角形的稳定性: 三角形三条边确定之后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 【补充】四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了. 三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边． 三角形三边关系的应用： 1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 知识点二：与三角形的有关线段（掌握） 类型 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 性质 ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC=S△ABC ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 用途举例 1）线段垂直．2）角度相等． 1）线段相等．2）面积相等． 角度相等． 类型 三角形的中位线 三角形的垂直平分线 文字语言 连接三角形两边中点的线段 经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线 图形语言 性质 ∵DE是∆ABC的中位线 ∴DE=BC DE∥BC ∵直线l是AB的垂直平分线 ∴PA=PB, AC=BC, ∠PCA=∠PCB=90° 用途举例 1）线段平行．2）线段关系． 1）线段相等．2）角度相等． 知识点三：与三角形有关的角（掌握） 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 知识模块二：全等三角形 知识点一：全等三角形的概念 全等图形的概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形. 特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等. 全等三角形的概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 【补充】 1）全等三角形是特殊的全等图形，同样的，判断两个三角形是否为全等三角形，主要看这两个三角形的形状和大小是否完全相同，与它们所处的位置无关. 2）形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形. 全等三角形的表示：全等用符号“≌”，读作“全等于”. 【补充】书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上. 如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，读作△ABC全等于△DEF. 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换. 常见的全等变换：平移变换、翻折变换、旋转变换，即过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形. 知识点二：全等三角形的性质与判定（贯穿整个几何部分） 全等三角形的性质：1）全等三角形的对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的角平分线相等． 3）全等三角形的周长相等，面积相等（但周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形）. 全等三角形的判定： 1）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 【易错】 ①只有两边及其夹角分别对应相等，才能判定两个三角形全等，“边边角”不能判定三角形全等； 例: ②在书写过程中，要按照边角边对应顺序书写，即对应顶点的字母写在对应的位置上. 3）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4）角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5）斜边、直角边：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 【总结】从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路. 考点一：三角形的稳定性 1．（2023·吉林·中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可． 【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响． 2．（2022·广东·中考真题）下列图形中具有稳定性的是（    ）． A．三角形 B．长方形 C．正方形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】根据三角形具有稳定性可直接得出答案． 【详解】解：三角形具有稳定性，长方形、正方形、平行四边形不具有稳定性， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形的稳定性、四边形的不稳定性，掌握三角形具有稳定性是解题的关键． 3．（2024·吉林长春·一模）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等 C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于 【答案】C 【分析】本题考查了四边形的不稳定性，根据四边形的不稳定性求解即可． 【详解】解：升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是：四边形的不稳定性， 故选：C． 考点二：与五线有关的计算 1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（   ） A． B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据和求出，根据是中线即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵是中线， ∴ 故选：B 2．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长至，使得，连接，构造等边三角形，根据题意可得是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接， ， , 又 ， 是等边三角形， ， 是边的中点，是边上一点，平分的周长， ，， ， ， ， 即， 是的中位线， ． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质与判定，等边三角形的性质，三角形中线的定义，构造等边三角形是解题的关键． 3．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，直线，一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上，EG平分，则的度数为 °． 【答案】60 【分析】根据角平分线的定义可求出的度数，即可得到的度数，再利用平行线的性质即可解决问题． 【详解】一块含有30°角的直角三角尺顶点E位于直线CD上， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 4．（2024·山东济南·中考真题）如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，设交于点H，正方形边长为，由作图知，，垂直平分，得到，，由勾股定理得到，证明，推出，推出，得到，即得． 【详解】连接，设交于点H，正方形边长为， 由作图知，，垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合．熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键． 5．（2024·四川巴中·中考真题）如图，的对角线相交于点，点是的中点，．若的周长为12，则的周长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线的性质．由平行四边形的性质和三角形的中位线的性质可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴O是中点， 又∵E是中点， ∴OE是的中位线， ∴，， ∵的周长为12，， ∴， ∴的周长为． 故选：B. 考点三：与五线有关的作图问题 1．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：． (1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线； （1）分别作的中线，交点即为所求； （2）根据三角形重心的性质可得，根据三角形中线的性质可得 【详解】（1）解：如图所示 作法：①作的垂直平分线交 于点 ②作的垂直平分线交于点 ③连接、相交于点 ④标出点 ，点 即为所求 （2）解：∵是的重心， ∴ ∴ ∵的面积等于， ∴ 又∵是的中点， ∴ 故答案为：． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)在图1中，平分交边于点，先画出的角平分线，再在射线上画点，连接，使得； (2)在图2中，先画的高，再画的平分线． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）利用三角形三条角平分线交于一点，先找出过点的角平分线，确定角平分线交点，再找过点的角平分线，利用全等可得，即转化为作，作出点的对称点，可证得点的对称点、、构成的三角形是等腰三角形，且为其角平分线，利用三线合一可得为中线，即可得点为延长与对称线段的交点； （2）利用两个直角三角形全等，其中两对应边垂直，则第三边也对应垂直可得高，利用的圆周角所对的弦是直径，可得点在以为直径的圆上，设的平分线与此圆的交点即为格点，则，证明，则为等腰直角三角形，可得，即可确定点位置． 【详解】（1）解：如图：，点即为所求； 理由如下： 如图，利用等腰直角三角形，可作出的平分线，交于点， 由三角形的三条角平分线交于一点， 则为的平分线， 延长交于点，的角平分线即得； 利用对称性作点的对称点，连接， 再利用对称性作点的对称点，连接交延长线于点， 由对称性得， 利用可证， ∴， ∴， 利用，及、为角平分线， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， 则点即为所求作； （2）解：如图：即为所求， 理由如下： 如图，∵，，， ∴， ∴， 而，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 则即为所求作； 在过点、、的圆上，， ∵，， ∴，， ∴， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∴平分． 【点睛】本题考查利用直尺结合网格作图，涉及三角形的角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判断与性质，圆周角的性质即推论，熟练的掌握这些性质是解题的关键． 3．（2024·吉林·模拟预测）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，的顶点均在格点上，点G是图③中边上的任意一点：只用无刻度的直尺按下列要求在给定的网格中画图，不要求写出画法，保留作图痕迹． (1)在图①中作边上的高； (2)在图②中作的中位线，使点E、F分别在边、上； (3)在图③中的边上找到一点H，使． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 【分析】（1）如图，取格点，连接交于，则为上的高； （2）如图，取格点，连接，，与，分别交于，连接；则即为所求， （3）如图，仿照（1）作，连接交于，连接并延长交于，则 【详解】（1）解：如图，取格点，连接交于，则为上的高； 连接， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴； （2）解：如图，取格点，连接，，与，分别交于，连接；则即为所求， 由矩形的性质可得：，， ∴为三角形的中位线； （3）解：如图，仿照（1）作，连接交于，连接并延长交于，则， ∵由（1）得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，三角形的中位线的定义，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，三角形的高的含义，熟练的利用网格特点作图是解本题的关键． 考点四：利用三角形三边关系求解 1．（2023·江苏盐城·中考真题）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：cm），其中能搭成一个三角形的是（    ） A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12 【答案】D 【分析】根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断． 【详解】A、，不能构成三角形，故此选项不合题意； B、，不能构成三角形，故此选项不合题意； C、，不能构成三角形，故此选项不合题意； D、，能构成三角形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形三边关系，看能否组成三角形的简便方法：看较小的两个数的和能否大于第三个数． 2（2023·山东·中考真题）在中，，下列说法错误的是（　　） A． B． C．内切圆的半径 D．当时，是直角三角形 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系、三角形面积、内切圆半径的计算以及勾股定理逆定理逐一求解即可． 【详解】解：∵， ∴即，故A说法正确； 当时，， 若以为底，高， ∴，故B说法正确； 设内切圆的半径为r， 则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，故C说法错误； 当时，， ∴是直角三角形，故D说法正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，三角形面积，三角形内切圆半径以及勾股定理的逆定理，掌握内切圆半径与圆的面积周长之间的关系是解题的关键． 3．（2023·河北·中考真题）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ∴，即， 当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去； 若时，为等腰三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 考点五：三角形内角和定理与外角和定理的综合 1．（2024·天津·中考真题）如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查基本作图，直角三角形两锐角互余以及三角形外角的性质，由直角三角形两锐角互余可求出，由作图得，由三角形的外角的性质可得，故可得答案 【详解】解：∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， 又 ∴ 故选：B 2．（2024·四川凉山·中考真题）如图，中，是边上的高，是的平分线，则的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义．先求出，结合高的定义，得，因为角平分线的定义得，运用三角形的外角性质，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为 ．    【答案】/度 【分析】先在中利用等边对等角求出的度数，然后根据垂直平分线的性质可得，再利用等边对等角得出，最后结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 又， ∴． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握等腰三角形的等边对等角是解题的关键． 考点六：利用全等三角形的性质求解 1．（2024·四川资阳·中考真题）第届国际数学教育大会（）会标如图所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（，，，）和一个小正方形拼成的大正方形．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，根据全等三角形，正方形的性质可得，再根据勾股定理可得，即可求出的值． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在中，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限（不与点重合），且与全等，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形，三角形全等的性质．利用数形结合的思想是解题的关键．根据点在第一象限（不与点重合），且与全等，画出图形，结合图形的对称性可直接得出． 【详解】解：∵点在第一象限（不与点重合），且与全等， ∴，， ∴可画图形如下， 由图可知点C、D关于线段的垂直平分线对称，则． 故答案为：． 3．（2024·四川遂宁·中考真题）如图1，与满足，，，，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”如图2，在中，，点在线段上，且，则图中共有“伪全等三角形”（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，等边对等角，根据“伪全等三角形”的定义可得两个三角形的两边相等，一个角相等，且这个角不是夹角，据此分析判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 在和中，， 在中，， 在中，， 在中， 综上所述，共有4对“伪全等三角形”， 故选：D． 考点七：全等三角形证明方法的合理选择 1．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出和的全等条件． （1）根据正方形的性质证明，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出和，然后进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ； （2）∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ． 2．（2023·四川绵阳·中考真题）如图，的对角线，相交于点，点，在上，且． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，交于点，若的周长为，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长为24 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质及平行线的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论； （2）由（1）知，，，求得，根据线段垂直平分线的性质得到，于是得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的周长为12， ， . 四边形的周长为24. 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，中，，点为边上一点，以点为圆心，为半径作圆与相切于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （2）在中，勾股定理求得,证明，设的半径为r，则，，在中，，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． （2）解：在中，， ∵， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得， ∴半径的长为3 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 考点八：利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题 1．（2024·山东泰安·中考真题）如图，中，，分别以顶点A，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点和点，作直线分别与，交于点和点；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点和点，再分别以点，点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，若射线恰好经过点，则下列四个结论： ①；②垂直平分线段；③；④． 其中，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明可判定①；再说明可得垂直平分线段可判定②；根据直角三角形的性质可得可判定③，根据三角形的面积公式即可判定④． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， 由作图可知平分， ∴， ∵， ∴，故①正确， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故②正确， ∵， ∴，故③正确， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确． 故选：D． 2．（2024·北京·中考真题）如图，在菱形中，，为对角线的交点.将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，两个菱形的公共点为，，，.对八边形给出下面四个结论： ①该八边形各边长都相等； ②该八边形各内角都相等； ③点到该八边形各顶点的距离都相等； ④点到该八边形各边所在直线的距离都相等。 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】根据菱形，，则，，结合旋转的性质得到点一定在对角线上，且，，继而得到，，结合，继而得到，可证，，同理可证，证，继而得到，得到，可以判定该八边形各边长都相等，故①正确；根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等，可以判定④正确；根据题意，得，结合，，得到，可判定②该八边形各内角不相等；判定②错误，证，进一步可得，可判定点到该八边形各顶点的距离都相等错误即③错误，解答即可. 本题考查了旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质，角的平分线性质定理，熟练掌握旋转的性质，菱形的性质，三角形全等判定和性质是解题的关键. 【详解】向两方分别延长，连接， 根据菱形，，则，， ∵菱形绕点逆时针旋转得到菱形， ∴点一定在对角线上，且，， ∴，， ∵， ∴， ∴，，同理可证， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴该八边形各边长都相等， 故①正确； 根据角的平分线的性质定理，得点到该八边形各边所在直线的距离都相等， ∴④正确； 根据题意，得， ∵，， ∴， ∴该八边形各内角不相等； ∴②错误， 根据， ∴， ∴， ∵， 故， ∴点到该八边形各顶点的距离都相等错误 ∴③错误， 故选B． 3．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，和是以点为直角顶点的等腰直角三角形，把以为中心顺时针旋转，点为射线、的交点．若，．以下结论： ①；②； ③当点在的延长线上时，； ④在旋转过程中，当线段最短时，的面积为． 其中正确结论有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】证明即可判断①，根据三角形的外角的性质得出②，证明得出，即可判断③；以为圆心，为半径画圆，当在的下方与相切时，的值最小，可得四边形是正方形，在中 ，然后根据三角形的面积公式即可判断④． 【详解】解：∵和是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，，故①正确； 设， ∴, ∴， ∴，故②正确； 当点在的延长线上时，如图所示    ∵，， ∴ ∴ ∵，． ∴， ∴ ∴，故③正确； ④如图所示，以为圆心，为半径画圆，    ∵， ∴当在的下方与相切时，的值最小， ∴四边形是矩形， 又， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在中， ∴取得最小值时， ∴ 故④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，切线的性质，垂线段最短，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 考点九：利用全等三角形解决实际问题 1．（2024·山东·中考真题）【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图 【问题解决】（1）计算，两点间的距离． （参考数据：，，，，） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可． （2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号） ①解直角三角形    ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 【答案】（1），两点间的距离为米；（2）② 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，解直角三角形的应用，灵活应用知识点是解本题的关键； （1）如图，过作于，先求解，，再求解及即可； （2）由全等三角形的判定方法可得，可得，从而可得答案. 【详解】解：如图，过作于， ∵米，，，， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）； 即，两点间的距离为米； （2）∵，，当，，在同一条直线上时， ∴， ∴， ∴， ∴只需测量即可得到长度； ∴乙小组的方案用到了②； 2．（2024·四川宜宾·中考真题）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上；在B处测得点C在北偏西方向上，测得点D在北偏东方向上，测得米．求长江口的宽度的值（结果精确到1米）．（参考数据：，，，，，） 【答案】长江口的宽度为米. 【分析】如图，过作于，过作于，过作于，而，可得四边形，都是矩形，由题意可得：，，证明，可得，设，，再利用三角函数建立方程组求解即可. 【详解】解：如图，过作于，过作于，过作于，而， ∴四边形，都是矩形， ∴，，，， ∵由题意可得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴，即， ，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴长江口的宽度为米. 【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，矩形的判定于性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 3．（2024·河北石家庄·模拟预测）小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接，，并分别延长至点B，点D，使，，连接． (1)如图1，①求证：；②若，，则______°． (2)如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点D，使，过点D作的平行线，延长至点F，连接，测得，，，，请求出池塘宽度． 【答案】(1)①求证：；②． (2) 【分析】（1）①根据证明可得证；②根据得到，结合，，得，解答即可． （2）延长，，二线交于点M，证明，结合已知，解直角三角形即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握三角形全等的判定，灵活解直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）①∵， ∴ ∴； ②根据， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：55． （2）延长，，二线交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴； ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点十：全等三角形与相似三角形综合 1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，正方形中，，点E在边上，是的中点，点H在边上，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先过点作，连接数 、，延长到点，使，连接，根据可得，利用可证，再利用可证，从而可得，利用勾股定理可得，利用梯形中位线定理可以求出，根据可证，根据相似三角形对应边成比例可以求出的值． 【详解】解：如下图所示，过点作，连接数、，延长到点，使，连接， 四边形是正方形，， ，， ， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， ， 点是的中点， 是梯形的中位线，                                       ，， ， ， 又， ， ， ， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、梯形的中位线定理等知识，掌握相关知识点是解题关键． 2．（2024·四川·中考真题）如图，在四边形中，，连接，过点作，垂足为，交于点，． (1)求证：； (2)若． ①请判断线段，的数量关系，并证明你的结论； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由余角的性质可得，，根据，可得； （2）①设，可求，可求，根据等腰三角形的判定可得； ②由勾股定理可求，由“”可证，可得，通过证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ； （2）解：①，理由如下： 设， ， ， ， ， ， ； ②，， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ． 3．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在中，为锐角，点在边上，连接，且．    (1)如图1，若是边的中点，连接，对角线分别与相交于点． ①求证：是的中点； ②求； (2)如图2，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点．试探究线段与线段之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)①见解析；② (2)，理由见解析 【分析】（1）①根据，得出为的中点，证明出即可；②先证明出得到，然后再根据平行四边形的性质找到线段的数量关系求解； （2）连接交于点，证明，进一步证明出四边形为平行四边形，得出为的中位线，得到，再证明出得到，再通过等量代换即可求解． 【详解】（1）解：①， 为的中点， ， 是边的中点， ， ， 在中， ∴， 又∵， ， ， 是的中点； ②， 四边形为平行四边形， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ； （2）解：线段与线段之间的数量关系为：，理由如下： 连接交于点，如下图：    由题意，的延长线与的延长线相交于点，连接的延长线与相交于点， ， 又， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， 为的中点， ， ， 为的中点， 为的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定及性质，三角线相似的判定及性质，三角形的中位线等知识，解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形来求解． 重难点一：添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线 1．（2024葫芦岛市模拟预测）【问题初探】 （1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【答案】（1）①选择小乐同学的做法：证明见解析；②选择小亮同学的做法：证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）①证明，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论； ②证明，得出，根据等腰三角形的判定证明，即可证明结论； （2）延长，取，连接，证明，得出，，根据等腰三角形判定得出，即可证明结论； （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，根据直角三角形性质得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长，取，连接，如图所示： ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）延长，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等的三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 2．（2024·江苏宿迁·模拟预测）【感知】（1）小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题： 如图①，在中，点D是的中点，点E是的一个三等分点，且．连结，交于点G，求值． 小明发现，过点D作的平行线或过E作的平行线，利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．请你根据小明的提示（或按自己的思路）写出求解过程 【尝试应用】 （2）如图②，在中，D为上一点，，连结，若，交于点E、F．若，，，则的长为 ． 【拓展提高】 （3）如图③，在平行四边形中，点E为的中点，点F为上一点，与、分别交于点G、M，若，若的面积为2，则的面积为 ． 【答案】（1）3（2）7（3）10 【分析】（1）过点D作交于H，则，而，所以，则，所以，由，得，所以，可证明，得，可推导出，则； （2）取的中点H，连结，由，于点E，得，则，可证明，得，所以，求得，于是得到问题的答案； （3）设的面积为，求出，，过点作交于点，证明，得，，再证明，得，由列式求出的值即可得出的面积 【详解】解：解：如图①，过点D作交于H，则，              图① ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵E是的一个三等分点，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为3； （2）如图②，取的中点H，连结，则， ∵于点E，， ∴， ∴为的中点， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴故答案为：7． （3）如图③，设的面积为， ∴， ∵原来的中点， ∴且， 连接，则 ∵， ∴， 过点作交于点， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， 又 ∴ ∵ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴的面积为10， 故答案为：10 【点睛】本题主要考查等腰三角形的“三线合一”、三角形的中位线定理、全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 重难点二：添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线 1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，将正方形先向右平移，使点B与原点O重合，再将所得正方形绕原点O顺时针方向旋转，得到四边形，则点A的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和平移，全等三角形的性质与判定，先根据题意得到平移方式为向右平移3个单位长度，则可得平移后点A的对应点坐标为；如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H，证明，得到，则，即点A的对应点的坐标是． 【详解】解：由题意得，平移前， ∵将正方形先向右平移，使点B与原点O重合， ∴平移方式为向右平移3个单位长度， ∴平移后点A的对应点坐标为， 如图所示，设绕原点O顺时针旋转90度后的对应点为F，分别过E、F作x轴的垂线，垂足分别为G、H， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点A的对应点的坐标是， 故选：A． 2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在中，，点D是上的一个动点，过点D作于点E，延长交延长线于点F． 请你解决下面各组提出的问题： (1)求证：； (2)探究与的关系； 某小组探究发现，当时，；当时，． 请你继续探究： ①当时，直接写出的值； ②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明； (3)拓展应用：在图1中，过点F作，垂足为点P，连接，得到图2，当点D运动到使时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1)见解析 (2)①②，证明见解析 (3) 【分析】（1）等边对等角，得到，等角的余角的相等，结合对顶角相等，得到，即可得出结论； （2）①根据给定的信息，得到是的2倍，即可得出结果； ②猜想，作于点，证明，得到，三线合一得到，即可得出结论； （3）过点作，角平分线的性质，得到，推出，等角的余角相等，得到，进而得到，得到，根据，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，且， ∴， ∴； （2）解：①当时，；当时，， ∴总结规律得：是的2倍， ∴当时，； ②当时，猜想， 证明：作于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）知，又， ∴，即， ∴； （3），理由如下： 过点作， ∵，， ∴， 由（2）知，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和相似三角形，是解题的关键． 3．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结． (1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长． (2)如图2，若，设与交于点K．求证：． (3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在，最小值，最大值 【分析】（1）当点E在的中点时可得，则和是等腰直角三角形，分别求出和的长，然后根据线段的和差即可解答； （2）如图：过B作交于M，由可得，即可得到得到，推出，再由得到，最后证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．设．然后证明可得，根据勾股定理可得，进而得到，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵矩形中，， ∴，，， ∵点E在的中点 ∴， ∴，， ∵点B、E、F在同一直线上， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图：过B作交于H， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴． （3）解：存在，的最小值，最大值． 如图：过点F作的垂线，交延长线于点M，过点E作的平行线交于点N，交于点P．则 设． ∵四边形和四边形都是矩形， ， ∴， ∴， ∵， ， ，即， ， ∴在中，， 即，                 当时，y有最小值为．                      ， ∴当时，y有最大值为， ∴在点E的运动过程中，的长存在最小值，最大值． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用等知识点，正确添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 重难点三：添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法 1．（2024·吉林长春·一模）【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题： 如图①，在中，，，第三边上的中线，则的取值范围是____． 【探究方法】小明同学通过组内合作交流，得到了如下解决方法： （1）如图②，延长至点，使得，连结，根据“”可以判定__________，得出．在中，，，，故中线的长x的取值范围是_______． 【活动经验】当条件中出现“中点”，“中线”等条件时，可以考虑将中线延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中，进而解决问题，这种作辅助线的方法叫做“倍长中线”法． 【问题解决】（2）如图③，已知，，，连接和，点是的中点，连接．求证：．小明发现，如图④，延长至点，使，连接，通过证明，可推得． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴，． 请你补全余下的证明过程． 【问题拓展】（3）如图⑤，在和中， ，，，点M，N分别是和的中点．若，，则MN的取值范围是 ． 【答案】（1），；（2），∴ ，又∵，∴．∵，∴，∴（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）由“”可证 ，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证 ，可得，，由“”可证，可得，即可求解； （3）由（2）可知，，由三角形的三边关系可求解． 【详解】（1）解：如图②，为的中线， ， 又，， ， ， 在中，，，， ， ， 故答案为：，； （2）证明：如图④，延长至点，使，连接， 点是的中点， ． ，， ， ，， ， ， ， ∴ ， 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）如图⑤，连接，， 由（2）可知：，， ，， ，， ， ， 故答案为：． 重难点四：添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法 1．（2020·湖南湘西·中考真题）问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是_______________； 探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由． 探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由． 实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】EF=AE+CF．探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．实际应用：210海里． 【分析】延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题； 探究延伸1：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题； 探究延伸2：延长到G，使，连接，先证明，可得BG=BE，∠CBG=∠ABE，再证明，可得GF=EF，即可解题； 实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF，将AE和CF的长代入即可． 【详解】解：EF=AE+CF 理由：延长到G，使，连接， 在△BCG和△BAE中， ， ∴（SAS）， ∴BG=BE，∠CBG=∠ABE， ∵∠ABC=120°，∠MBN=60°， ∴∠ABE+∠CBF=60°， ∴∠CBG+∠CBF=60°， 即∠GBF=60°， 在△BGF和△BEF中， ， ∴△BGF≌△BEF（SAS）， ∴GF=EF， ∵GF=CG+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF． 探究延伸1：结论EF=AE+CF成立． 理由：延长到G，使，连接， 在△BCG和△BAE中， ， ∴（SAS）， ∴BG=BE，∠CBG=∠ABE， ∵∠ABC=2∠MBN， ∴∠ABE+∠CBF=∠ABC， ∴∠CBG+∠CBF=∠ABC， 即∠GBF=∠ABC， 在△BGF和△BEF中， ， ∴△BGF≌△BEF（SAS）， ∴GF=EF， ∵GF=CG+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF． 探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立． 理由：延长到G，使，连接， ∵，∠BCG+∠BCD=180°， ∴∠BCG=∠BAD 在△BCG和△BAE中， ， ∴（SAS）， ∴BG=BE，∠CBG=∠ABE， ∵∠ABC=2∠MBN， ∴∠ABE+∠CBF=∠ABC， ∴∠CBG+∠CBF=∠ABC， 即∠GBF=∠ABC， 在△BGF和△BEF中， ， ∴△BGF≌△BEF（SAS）， ∴GF=EF， ∵GF=CG+CF=AE+CF， ∴EF=AE+CF． 实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C， ∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°，∠EOF=70°， ∴∠EOF=∠AOB ∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°， ∴符合探索延伸中的条件 ∴结论EF= AE+CF仍然成立 即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里） 答：此时两舰艇之间的距离为210海里． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．（2024·云南昆明·一模）如图，在中，是直径，，过的中点作的垂线交于点和，是上一动点．连接，，，． (1)求的长度； (2)延长到点，连接，使得．求证：是的切线； (3)猜想，，间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）由垂直平分，证明是等边三角形，求出的圆心角度数，进而根据弧长公式求出的长度， （2）由证明，进而可得，即可得出结论； （3）利用补短法，连接，延长到使，连接，证明，从而可得，，在中，求出，同理，，进而证明结论．也可利用旋转法作辅助线，构造直角三角形求解． 【详解】（1）解：连接，， 垂直平分， ， 又， 是等边三角形， ， 又， ， ． （2）是的直径， ， ， ， ， ， 于点，且是的半径， 是的切线． （3），理由如下： 法一：补短法 连接，延长到使，连接 是的直径， ， ， 四边形是圆内接四边形， 又， 在和中 ， ， 过作于点， 在中，由，得 同理， 即： 法二：旋转法 连接，， 由（1）知， ， 是等边三角形 同理，可得也是等边三角形， 将绕点顺时针旋转得到 ，，， 四边形是圆内接四边形 ，，三点共线 过作于点， 在中， ， 由，得同理， 即： 【点睛】此题主要考查圆切线的综合，解题的关键是熟知切线的性质及三角函数的应用．证明直线是圆的切线常用的方法：（1）若已知直线与圆有公共点，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连圆心，证垂直，（2）在已知条件中，未给出直线与圆有公共点时，那么就应从圆心向这条直线作垂线，再证明垂线段的长度与半径相等即可，即“无切点，作垂直，证半径”． 重难点五：与全等三角形有关的基础模型-一线三等角 1．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，若是等腰直角三角形，求点的坐标．    【答案】点的坐标是． 【分析】通过一次函数解析式能求出、两点的坐标，也就是，的长，由等腰直角可以得出，作垂直于轴，构造，从而求出、的长，得到点的坐标，本题考查了一次函数求交点坐标，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 【详解】解：当时，，解得，即点坐标为， 当时，，则点坐标为， 作垂直于轴，    ∴， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ， ∴点的坐标是 2．（2023·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______； （2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明； （3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）结合“一线三等角”推出，从而证得结论即可； （2）利用条件证明，然后根据相似三角形的性质证明即可； （3）作延长线于点，过点作，交于点，交于点，结合“一线三垂直”证明，从而利用全等三角形的性质求出和，最后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵将边绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ∴， ∴． 故答案为： （2）． 证明：同（1）可得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图所示，作延长线于点，过点作，交于点，交于点， 则，，， 由（1）同理可证，， ∴，， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，掌握一线三等角全等和相似模型，并熟练运用是解题关键． 重难点六：与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型 1．（2023·吉林长春·模拟预测）两个大小不同的等腰直角三角板按图1所示摆放，将两个三角板抽象成如图2所示的和，其中，点、、依次在同一条直线上，连结．若，，则的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，根据证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案． 【详解】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故答案为：6． 2．（2022·安徽合肥·模拟预测）等腰直角与等腰直角的直角顶点重合．与相交于，的延长线交于，连接．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，，，在同一条直线上，取的中点，分别连接，，求证：； (3)如图3，过作的平行线，过作的平行线，两线相交于，且点在的延长线上，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）通过证明，得到，再利用等量代换即可； （2）连接，由SAS证明，得到，从而证明，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论； （3）延长与交于点，得到四边形为平行四边形，从而得到，，通过等量代换可得四边形为矩形，得到，再设，可得，，即可得到的值． 【详解】（1）证明：∵、均为等腰直角三角形， ， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∴ ∴ 又∵ ∴，即 （2）连接，    在和中， ∴（SAS） ∴， ∵ ， ， ∴，即 ， 在中， ∵点为中点， ∴， 又∵， ∴； （3）延长与交于点，连接，    ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ； 又∵，， ∴，即点为中点， ∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴为矩形， ∴，点为对角线交点， 设，则，， ∴． 【点睛】本题是三角形与四边形的综合题目，考查了相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形及矩形的判定性质，综合性较强，熟练掌握相关的性质及判定，构造合理的辅助线是解决本题的关键． 易错点1：对三角形的高理解不到位 1. 在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了垂线段的画法的判断，根据垂线段的画法依次判断即可． 【详解】解：四个图形中，只有第一个图形是过点B作线段所在直线的垂线段，其余均错误， 故选：C． 易错点2：与三角形高有关的分类讨论问题 1．（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）直角三角形的两条边长分别3和4，这个直角三角形斜边儿上的高为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查勾股定理，分类讨论是解题的关键．可分两种情况：若3，4是直角三角形的两条直角边；若3为直角三角形的直角边，4为斜边，利用勾股定理分别求解直角三角形的第三边，利用三角形的面积可求解斜边上的高． 【详解】解：若3，4是直角三角形的两条直角边，则斜边长为：， 斜边上的高为：； 若3为直角三角形的直角边，4为斜边，则另一条直角边长为：， 斜边上的高为：， 综上所述，这个直角三角形斜边上的高为或． 故答案为：或 易错点3：在等腰三角形中，忽略三边关系而致错 1．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案． 【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ， 能构成三角形， 第三边长为6； 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形，舍去； 综上，第三边长为6， 故答案为：6． 2．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 3. 已知一等腰三角形的周长为26，其中一边为6，则这个等腰三角形的腰长是（    ） A．8 B．6或10 C．6 D．10 【答案】D 【分析】根据题意分长为6的边为腰或底两种情况分析，根据构成三角形的条件取舍，即可求得答案． 【详解】解：①6是腰长时，底边为：26﹣6×2＝14， 三角形的三边长分别为6、6、14， ∵6+6＜14， ∴不能组成三角形； ②6是底边长时，腰长为：×（26﹣6）＝10， 三角形的三边长分别10、10、6，能组成三角形， 综上所述，该等腰三角形的腰长是10，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分类讨论是解题的关键． 易错点4：未掌握全等三角形的判定定理 1．（2021·重庆·中考真题）如图，在和中， ，添加一个条件，不能证明和全等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件和添加条件，结合全等三角形的判断方法即可解答． 【详解】选项A，添加， 在和中， ， ∴≌（ASA）， 选项B，添加， 在和中，，，，无法证明≌； 选项C，添加， 在和中， ， ∴≌（SAS）； 选项D，添加， 在和中， ， ∴≌（AAS）； 综上，只有选项B符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，熟知全等三角形的判定方法是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 / 81学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$