第1章 整式的乘法（单元重点综合测试，湘教版2024）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（湖南专用）

第1章 整式的乘法（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列运算一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列计算正确的是 A． B． C． D． 3．（本题3分）为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）以下是王双同学化简的解题过程： 原式    （第一步）     （第二步）     （第三步） 王双同学是从（   ）开始出现错误的． A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．无法确定 5．（本题3分）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（   ） ①②③④        A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（本题3分）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 7．（本题3分）若是完全平方式；是完全平方式，则和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．（本题3分）若，则（    ） A．3 B．6 C． D． 9．（本题3分）已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，则每块小长方形的面积为（   ）    A． B． C． D． 10．（本题3分）有n个依次排列的整式，第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，再将第3项乘以得到，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①第5项为；②；③若第2023项的值为0，则，；④当时，第m项的值为．以上结论正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分） ． 12．（本题3分）计算： ； 13．（本题3分）计算： ． 14．（本题3分）如图，现有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的长方形，则需要A类、B类、C类卡片共 张． 15．（本题3分）若，，，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”连接） 16．（本题3分）已知，则 ． 17．（本题3分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形数阵解释二项式的展开式的各项系数，此三角形数阵称为“杨辉三角”． 第一行             第二行               第三行                第四行                 第五行                  根据此规律，请你写出第行第三个数是 ． 18．（本题3分）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题6分）计算： (1)； (2)． 20．（本题6分）计算 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 21．（本题8分）先化简，再求值：，其中x、y满足． 22．（本题8分）某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，正方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，其中． (1)求长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗多多少株？ (2)当，时，求该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？ 23．（本题9分）[知识回顾] 已知代数式的值与的取值无关，求的值． 解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． [理解应用] (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； (2)已知的值与无关，求的值； (3)如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系．    24．（本题9分）如图1，将边长的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分）和两个全等的长方形，观察图形，解答下列问题： (1)用两种不同的方法表示图1阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1： ；方法2： ；从中你发现什么结论呢： (2)根据上述结论，初步解决问题：已知求的值； (3)解决问题：如图2，C是线段上一点，以为边向两边作等腰直角三角形，记若求图中阴影部分的面积． 25．（本题10分）对于较为复杂的问题，可以先从简单情况入手，通过观察和分析，发现规律，进而解决复杂问题． 【探究发现】 （1）______； （2）______； （3）______； …… 【猜想归纳】 （4）______； 【问题解决】利用上述规律解决下列问题： （5）计算：； （6）若，求的值． 26．（本题10分）如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是：___________； (2)请利用你根据（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，，则_________； ②计算：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 整式的乘法（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列运算一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，掌握各运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法法则，积的乘方和幂的乘方法则逐项计算即可． 【详解】解：，故A计算错误，不符合题意； ，故B计算错误，不符合题意； ，故C计算正确，符合题意； ，故D计算错误，不符合题意． 故选C． 2．（本题3分）下列计算正确的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘法公式，掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． 根据整式的乘法运算法则计算即可求解． 【详解】解：A、，故原选项错误，不符合题意； B、，故原选项错误，不符合题意； C、，故原选项错误，不符合题意； D、，正确，符合题意； 故选：D ． 3．（本题3分）为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．原式利用平方差公式的结构特征变形即可． 【详解】解： 故选：B． 4．（本题3分）以下是王双同学化简的解题过程： 原式    （第一步）     （第二步）     （第三步） 王双同学是从（   ）开始出现错误的． A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．无法确定 【答案】A 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先根据完全平方公式和单项式乘多项式将式子展开，再去括号，最后合并同类项，即可判断． 【详解】解： （第一步）， （第二步）， （第三步）， 王双同学是从第一步开始出现错误的， 故选：A． 5．（本题3分）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（   ） ①②③④        A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了用图形面积解释相应的代数恒等式，根据图形用两种不同的方法表示同一个图形的面积即可求解． 【详解】解：①大正方形的面积为：， 大正方形由四个小图形组成面积为：， 故，正确； ②大正方形的面积为：， 大正方形由三个小图形组成面积为：， ∴ 故，正确； ③上方大长方形的面积为：， 将上方右侧小长方形拼到下方，得到面积为：， 故，正确； ④大正方形的面积为：， 大正方形有五个小图形组成面积为： 故，正确； 故选：A． 6．（本题3分）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 7．（本题3分）若是完全平方式；是完全平方式，则和的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键在于掌握完全平方公式的结构特征．根据完全平方公式中首末两项是和的平方，中间一项为加上或减去它们乘积的2倍，可得，进而求出的值，同理求出的值，即可解题． 【详解】解：是完全平方式， ， 解得， 是完全平方式， ， 有， 故选：D． 8．（本题3分）若，则（    ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，把看成整体，利用平方差公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 9．（本题3分）已知两块边长都为的大正方形，两块边长都为的小正方形和五块长、宽分别是，的小长方形，按如图所示的方式正好不重叠地拼成一个大长方形．已知拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，则每块小长方形的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的的变形求值，掌握是解题的关键． 根据拼成的大长方形周长为，四个正方形的面积之和为，得到，，根据完全平方公式求出ab的值即可． 【详解】解：大长方形周长为， ， ， 四个正方形的面积之和为， ， ， ， ， ， 故选：C． 10．（本题3分）有n个依次排列的整式，第1项是，用第1项乘以，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘以得到，将第2项加得到第3项，再将第3项乘以得到，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到4个结论： ①第5项为；②；③若第2023项的值为0，则，；④当时，第m项的值为．以上结论正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，定义新运算，理解新运算的计算方法，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 根据材料提示，分别算出第1项，，第2项，，第3项，，由此找出规律，可判定①②；根据计算可得第2023项为，可得，，可判定③；第（为正整数）项为，根据整式的混合运算可得，即，把代入可判定④；由此即可求解． 【详解】解：第1项，，则， 第2项，，则， 第3项，，则， ∴第4项为，， 第5项为，，故①正确； ∴，故②正确； ∴第2023项为，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，；当时，，故③错误； 根据上述计算可知，第（为正整数）项为， 令，则， ∴， 解得，，即， ∴当时，，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共3个， 故选：C ． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合计算，先计算积的乘方，单项式乘以多项式，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 12．（本题3分）计算： ； 【答案】4 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法和积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解答的关键． 逆用同底数幂的乘法法则变形，再利用积的乘方的逆运算法则进行运算即可． 【详解】解： ． 13．（本题3分）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查的是平方差公式，将原式变形为，然后再按平方差公式计算可得答案． 【详解】解： ． 故答案为：1． 14．（本题3分）如图，现有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的长方形，则需要A类、B类、C类卡片共 张． 【答案】9 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．由，得A类卡片的面积为，B类卡片的面积为，C类卡片的面积为，因此需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张． 【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为：， ∵A类卡片的面积为，B类卡片的面积为，C类卡片的面积为， ∴需要A类卡片2张，B类卡片2张，C类卡片5张，共9张． 故答案为：9． 15．（本题3分）若，，，则a、b、c的大小关系是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方逆用，根据幂的乘方的计算方法得到即可． 【详解】解：∵，，，而， ∴， 即， 故答案为：． 16．（本题3分）已知，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将已知等式利用完全平方公式变形可得，由此即可得． 【详解】解：∵①，， ∴②， 由②①得：， ∴， 故答案为：10． 17．（本题3分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图的三角形数阵解释二项式的展开式的各项系数，此三角形数阵称为“杨辉三角”． 第一行             第二行               第三行                第四行                 第五行                  根据此规律，请你写出第行第三个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘法及数字类规律变化，根据“杨辉三角”找出规律是解题关键．分别求出第四、五、六行中第三个数，得出变化规律，即可得答案． 【详解】解：由“杨辉三角”可知： 展开式中第三项的系数为， 展开式中第三项的系数为， 展开式中第三项的系数为， …… ∴展开式中第三项的系数为， ∵第行第三个数是展开式中第三项的系数， ∴第行第三个数是． 故答案为： 18．（本题3分）若规定符号的意义是：，则当时，的值为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的值，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【详解】解：根据题意，可得： ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：9． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题6分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后合并同类项即可； （2）先根据多项式乘以多项式的运算法则展开，最后合并同类项即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 20．（本题6分）计算 (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用幂的乘方法则变形求解.     （2）利用同底数乘法的逆运算解答． 此题考查了逆用幂的乘方，同底数乘法的逆运算，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【详解】（1）解：， （2）解：∵， ∴． ∴． 21．（本题8分）先化简，再求值：，其中x、y满足． 【答案】；16 【分析】本题主要考查整式的混合运算和非负数的性质，先根据乘法公式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开，再合并得最简结果，由非负数的性质得出的值代入计算即可． 【详解】解： ， ， 解得， ∴原式 22．（本题8分）某种植基地有一块长方形和一块正方形实验田，长方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，正方形实验田每排种植株豌豆幼苗，种植了排，其中． (1)求长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗多多少株？ (2)当，时，求该种植基地这两块实验田一共种植了多少株豌豆幼苗？ 【答案】(1)株 (2)104株 【分析】（1）分别求出两块试验田种植株数，再相减即可； （2）把两块试验田种植株数相加化简，再代入a和b的值进行计算即可． 【详解】（1）解：长方形：株， 正方形：株， 株， 答：长方形实验田比正方形实验田多种植豌豆幼苗多株； （2）解：株， 当，时，（株）， 答：这两块实验田一共种植了104株豌豆幼苗． 【点睛】本题主要考查整式的乘法公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，能够利用整式表示实际意义并列式计算是解题关键． 23．（本题9分）[知识回顾] 已知代数式的值与的取值无关，求的值． 解题方法：把看作字母，看作系数，合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，即． [理解应用] (1)若关于的多项式的值与的取值无关，求的值； (2)已知的值与无关，求的值； (3)如图1，小长方形纸片的长为、宽为，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求与满足的等量关系．    【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，涉及整式的乘法、整式的加减知识，熟练掌握整式加减乘法的运算法则是解题关键． （1）根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （2）先根据整式的加减化简，再根据含项的系数为0建立方程，解方程即可得； （3）设，先求出，从而可得，再根据“当的长变化时，的值始终保持不变”可知的值与的值无关，由此即可得． 【详解】（1）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 解得； （2）解： ， 关于的多项式的值与的取值无关的值与无关， ， 解得； （3）解：设， 由图可知，，， 则 ， 当的长变化时，的值始终保持不变， 的值与的值无关， ， ． 24．（本题9分）如图1，将边长的正方形剪出两个边长分别为的正方形（阴影部分）和两个全等的长方形，观察图形，解答下列问题： (1)用两种不同的方法表示图1阴影部分的面积，即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积．方法1： ；方法2： ；从中你发现什么结论呢： (2)根据上述结论，初步解决问题：已知求的值； (3)解决问题：如图2，C是线段上一点，以为边向两边作等腰直角三角形，记若求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】本题考查的知识点是完全平方公式的几何背景、通过对完全平方公式变形求值． （1）方法1可采用两个正方形的面积和；方法2可以用大正方形减去两个长方形的面积；根据两种方式表示的面积是相等的，即可得出结论； （2）根据完全平方公式变形求值，即可求解； （3）设，，根据已知条件可列方程组，求出的值，由于阴影部分的面积为，即可得出答案． 【详解】（1）解：方法1：阴影部分面积即为边长为和边长为的正方形面积之和， ； 方法2：阴影部分面积边长为的正方形面积长为，宽为的长方形面积， ． 两种方式表示的面积是相等可知：． 故答案为：；；． （2）解：∵ 由（1）得：， （3）设 ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 25．（本题10分）对于较为复杂的问题，可以先从简单情况入手，通过观察和分析，发现规律，进而解决复杂问题． 【探究发现】 （1）______； （2）______； （3）______； …… 【猜想归纳】 （4）______； 【问题解决】利用上述规律解决下列问题： （5）计算：； （6）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算中的规律探究，掌握探究的一般方法是解决此类问题的关键．（1）掌握探究规律的方法，可以通过具体到抽象、特殊到一般的方法，有时通过类比、联想，还要充分利用已知条件或图形特征进行透彻分析，从中找出隐含的规律；（2）恰当合理的联想、猜想，从简单的、局部的特殊情况到一般情况是基本思路，经过归纳、提炼、加工，寻找出一般性规律，从而求解问题． 〖探究发现〗（1）（2）（3）利用多项式乘以多项式法则及平方差公式化简即可得到结果； 〖猜想归纳〗（4）根据〖探究发现〗归纳出规律即可； 〖问题解决〗（5）利用归纳总结得到，即可求出所求式子的结果；（6）利用得出的结论可得，从而可得到结果． 【详解】解：〖探究发现〗：（1）； （2）； （3） 故答案为：（1）．（2）．（3）． 〖猜想归纳〗（4）． 故答案为：． 〖问题解决〗（5）原式． （6） ． ． 解得或（舍）． 的值是． 26．（本题10分）如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是：___________； (2)请利用你根据（1）中的等式，完成下列各题： ①已知，，则_________； ②计算：． 【答案】(1) (2)①4；② 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用，熟练掌握平方差公式的结构特点是解答此题的关键． （1）分别计算两个阴影部分的面积即可得到答案； （2）①根据平方差公式得到，然后再将已知整体代入即可求解； ②先利用平方差公式将每一项化成两个分数积的形式，然后再利用互为倒数的两个分数的积为1即可计算结果． 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2中的阴影部分的面积为， ∵图1和图2中两阴影部分的面积相等， ∴上述操作能验证的等式是， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4； ② ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$