难点专练08 新定义题-备战2025年中考数学真题题源解密（北京专用）

难点专练08 新定义题 【类型1 新定义问题】 1 ►类型1 新定义问题 1．（2024·北京·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义：若直线，都是的切线，则称点C是弦的“关联点”． (1)如图，点，，． ① 在点，，中，弦的“关联点”是 ； ② 若点C是弦的“关联点”，直接写出，的长． (2)已知直线与x轴，y轴分别交于点M，N，对于线段上一点T，存在的弦，使得点T是弦的“关联点”，记四边形的面积为S，当点T在线段上运动时，直接写出S的最小值和最大值，以及相应的长． 【答案】(1)①；②， (2)S的最小值为，；S的最大值为， 【分析】（1）① 设，根据题意，得确定坐标，判断即可． ② 根据，，点C是弦的“关联点”，得到点C一定在直线上，设，根据题意，得，确定点C的坐标后，利用两点间的公式计算，的长即可． （2）根据题意，得， 当最大时，取得最大值；当最小时，取得最小值；利用切线长定理，勾股定理计算即可． 【详解】（1）① ∵点，，,点，， ∴， ∴不可能是的切线， 故不是弦的“关联点”， 设， 根据题意，得， ∴， 解得， ∴． 故符合题意，不符合题意， 故答案为：． ②根据，，点C是弦的“关联点”， ∴点C一定在直线上，设，, ∴， ∴， 解得， 故， ∵， ∴，． （2）∵直线与x轴，y轴分别交于点M，N， ∴，， ∴，， ∵对于线段上一点T，存在的弦，使得点T是弦的“关联点”， ∴是的切线； ∴，，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为S， ∴， 当最大时，取得最大值；当最小时，取得最小值； ∵， ∴当T与N重合时，最大，此时，； 设与y轴的交点为G，根据切线长定理，得到，于点G， ∴， ∴； 根据垂线段最短，得当时，最小，此时，； 设与轴的交点为H，根据切线长定理，得到，于点H， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的基本作图，切线长定理，勾股定理，两点间距离公式，直角三角形的面积公式，最值的应用，垂线段最短，熟练掌握性质，勾股定理，切线长定理，最值的应用是解题的关键． 2．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于直线l和线段，给出如下定义：若将线段关于直线l对称，可以得到的弦（，分别为A，B的对应点），则称线段是的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段是的关于直线l对称的“关联线段”． (1)如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数． ①在线段，，中，的关于直线对称的“关联线段”是______； ②若线段，，中，存在的关于直线对称的“关联线段”，则______； (2)已知交x轴于点C，在中，，．若线段是的关于直线对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的长． 【答案】(1)①；②3或2； (2)b的最大值为，；最小值为，． 【分析】（1）①分别画出线段，，关于直线对称线段，运用数形结合思想，即可求解； ②从图象性质可知，直线与x轴的夹角为45°，而线段⊥直线，线段关于直线对称线段还在直线上，显然不可能是的弦；线段，的最长的弦为2，得线段的对称线段不可能是的弦，而线段∥直线，线段，所以线段的对称线段，且线段，平移这条线段，使其在上，有两种可能，画出对应图形即可求解； （2）先表示出，b最大时就是最大，b最小时就是长最小，根据线段关于直线对称线段在上，得，再由三角形三边关系得，得当为时，如图3，最小，此时C点坐标为；当为时，如图3，最大，此时C点坐标为，分两种情形分别求解． 【详解】（1）解：①分别画出线段，，关于直线对称线段，如图， 发现线段的对称线段是⊙O的弦， ∴线段，，中，⊙O的关于直线对称的“关联线段”是， 故答案为：； ②从图象性质可知，直线与x轴的夹角为45°， ∴线段⊥直线， ∴线段关于直线对称线段还在直线上，显然不可能是的弦； ∵线段，的最长的弦为2， ∴线段的对称线段不可能是的弦， 线段是⊙O的关于直线对称的“关联线段”， 而线段∥直线，线段， ∴线段的对称线段，且线段，平移这条线段，使其在上，有两种可能， 第一种情况的坐标分别为， 此时； 第二种情况的坐标分别为 此时， 故答案为：3或2； （2）已知交x轴于点C，在中，，．若线段是的关于直线对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的长． 解：∵直线交x轴于点C， 当时，， 解得： ∴ 即b最大时就是最大，b最小时就是最小， ∵线段是的关于直线对称的“关联线段”， ∴线段关于直线对称线段在⊙O上， ∴ 在中， ∴当为时，如图，最小，此时C点坐标为， 将点C代入直线中，得 解得：， ∵点关于对称 ∴， ∴当为时，如图，最大，此时C点坐标为， 将点C代入直线中，得 解得：， ∵点关于对称 ∴， 综上b的最大值为，；最小值为，． 【点睛】本题考查了以圆为背景的阅读理解题，对称轴的性质、一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，三角形三边关系，解决问题的关键是找出不同情境下的“关联线段”和阅读理解能力． 3．（2024·北京平谷·二模）平面直角坐标系中，已知线段，为线段上一点不与点、重合，以为圆心，长为半径画，以为顶点作，，若角的两边一边与相切，另一边与相交，则称线段与关于点关联． (1)若点为线段的中点，线段与关于点关联，则满足条件的值可以是________①②③④． (2)半径为，是上一点，，是轴上一点，线段与关于点关联，直接写出的取值范围； (3)半径为，点是上一点，点，，线段与关于点关联，若在直线上存在满足条件的点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①② (2)或 (3) 【分析】（1）由点P为线段的中点得,根据锐角三角函数可求出，从而，进而可得答案； （2）根据题意，点与点重合，，当点B在y轴的正半轴时和，当点B在y轴的负半轴时两种情况求解即可； （3）依题意当，则点就是线段的中点，但是点是在圆上运动的，点只能是从中点的右侧的范围满足题意的根据中位线的性质可得中点始终在以 为圆心半径为的上运动，始终在线段 扫得区域，进而上下平移，与相切，即可求解． 【详解】（1）如图， 由新定义知与相切， ∴. ∵点P为线段的中点， ∴, ∴, ∴, ∵与相交， ∴, ∴①②符合题意. 故答案为：①②； （2）如图，当点在轴的正半轴时， 线段与关于点关联， ， 当与相切与点时，连接，则 ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 当点与点重合时，， ； 当点在轴的负半轴时，如图， 同理可求. 综上可知，或 （3）在上任取一点，在上任取一点，以为圆心，为半径作，过点分别作的切线， ∵要使线段与关于点关联， ∴ 即 ∴ 取 中点则点在线段上不包括端点 、. 随着 在 上运动取 中点 , ∴中点始终在以 为圆心,半径为的上运动， ∴始终在线段 扫得区域, ∴当与相切时, 如图所示，取点，则 ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵b过点, 代入解得： 当过点时, ∴. 【点睛】本题考查含的直角三角形三边关系，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形性质，切线性质，一次函数图像性质等知识点，熟悉相关图形的性质是解决问题的关键． 4．（2024·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点和的弦，给出如下定义：若，则称弦是点的“关联弦”． (1)如图1，已知点，点，，，，，，在弦，，中，点的“关联弦”是 ； (2)如图2，已知点，在上，弦是点的“关联弦”，直接写出长度的最大值； (3)如图3，已知点，，对于线段上一点，存在的弦，使得弦是点的“关联弦”，若对于每一个点，将其对应的“关联弦”长度的最大值记为，则当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)长度的最大值为 (3) 【分析】（1）根据题意判断角是否为即可； （2）根据直径所对的圆周角为，找出的运动轨迹后求解即可； （3）分类讨论的长度，求出关联弦的取值范围，再根据的取值范围求解即可． 【详解】（1）连接，，，，，，如图所示： 解：∵点，点，，，， ∴，，和是点的关联点； ∵，， ∴，，， ∴， ∴， 综上点的“关联弦”是和； （2）解：∵，， ∴， 设的中点为，则， ∵，的长为定值， ∴点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆上，如图所示： ∴当在轴上时最大，此时，， ∴； （3）解：设是点的关联弦，， 当点在圆心上时，即，如图所示： 此时为等腰直角三角形，， ∴， 当点在圆上时，即时，如图所示： 此时为等腰直角三角形，， ∴当时，设的中点为连接，，如图所示： ∴， ∴当越大，越小时越大，即， ∴此时得到最大值，如图： ∴， ∵当点在圆外且与相切时，如图所示： 此时四边形为正方形，此时， ∴当时，设的中点为连接，，如图所示： ∴， ∴当越大，越小时越大，即， 所以此时得到最大值，如图： ∴， 综上所述； 又∵连接，，当时，如图所示： ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵时关联弦的取值为：， ∴． 【点睛】本题为圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，点与圆的位置关系，几何变换等知识点，根据所给的信息合理分类讨论弦的长度是解题的关键． 5．（2024·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，对于两点和直线，过点作直线的垂线，垂足为点，若点关于点的对称点为点，则称点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”．已知点． (1)①点关于轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为______； ②点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”，则点到直线的距离为______； (2)如图，点在线段上，点在轴下方，且满足，若直线上存在点关于轴和点的“垂足对称关联点”，求的取值范围． 【答案】(1)①；②1 (2) 【分析】（1）依据“垂足对称关联点”的定义，中点坐标公式解决即可； （2）①以点O为圆心，为半径作圆，当直线与圆O相切时，b最大，此时，过点O作直线的垂线，则，且，据此求出b的值；②当点D与点重合时，点G关于点A的对称点H最远，此时b最小，求出，由此得到的取值范围为． 【详解】（1）解：①如图，过点作x轴的垂线，则垂足B所表示的数为， ∵， ∴点关于轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为， 故答案为：； ②∵，点， ∴它们的中点的坐标为，即， ∵点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”， ∴点到直线的距离为1， 故答案为：1． （2） ①如图，以点O为圆心，为半径作圆，当直线与圆O相切时，b最大，此时，过点O作直线的垂线，则，且， ∵点D与点E的中点为O， ∴点C与点B重合， ∵， ∴, ∴； ②当点D与点重合时，点G关于点A的对称点H最远，此时b最小，如图， ∵， ∴点G关于点A的对称点H的坐标为, 将代入，得， ∴的取值范围为． 【点睛】此题考查了对称的性质，一次函数的性质，坐标系中中点坐标公式，（2）根据对称的性质确定最高点及最远点是难点，正确理解对称的性质是解题的关键． 6．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，的半径为1，已知点A，过点A作直线MN．对于点A和直线MN，给出如下定义：若将直线MN绕点A顺时针旋转，直线MN与有两个交点时，则称MN是的“双关联直线”，与有一个交点P时，则称MN是的“单关联直线”，AP是的“单关联线段”． (1)如图1，，当MN与y轴重合时，设MN与交于C，D两点．则MN是的“______关联直线”（填“双”或“单”）；的值为______； (2)如图2，点A为直线上一动点，AP是的“单关联线段”． ①求OA的最小值； ②直接写出△APO面积的最小值． 【答案】(1)双，或 (2)①；② 【分析】（1）根据“双关联直线”定义即可判断，需要利用分类讨论的思想求解； （2）①过作直线的垂线交于点，明白此时的为最小值，利用等面积法求解；②当与直线垂直时，AP是的“单关联线段”即AP是的切线时，面积最小，因为有条直角边为1，当斜边最短时，面积最小． 【详解】（1）解：当与轴重合时，与有两个交点， 由“双关联直线”定义知， 是的“双关联直线”， 设MN与交于C，D两点， 当点在轴正半轴时， ， ， 当点在轴负半轴时， ， ， 故答案为：双，或； （2）解：①过作直线的垂线交于点， 即可得到的最小值； 当， 当， ， 由勾股定理得：， 解得：； ②当与直线垂直时， AP是的“单关联线段” 即AP是的切线时，面积最小， 因为有条直角边为1，当斜边最短时，面积最小， 如下图： ， ． 【点睛】本题考查了新定义问题，垂线段距离最短、一次函数与几何问题、切线的性质、勾股定理，解题的关键是掌握相应的知识，利用分类讨论及数形结合的思想进行求解． 7．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，对于线段与直线，给出如下定义：若线段关于直线的对称线段为(，分别为点，的对应点)，则称线段为线段的“关联线段”． 已知点，． (1)线段为线段的“关联线段”，点的坐标为，则的长为______，的值为______； (2)线段为线段的“关联线段”，直线经过点，若点，都在直线上，连接，求的度数； (3)点，，线段为线段的“关联线段”，且当取某个值时，一定存在使得线段与线段有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）由、关于直线对称，得到，由题意得，把的中点代入，求出即可； （2）连接，，，以为圆心，的长为半径画圆，由，，可得，，根据对称的性质可得，，推出点、、、都在圆上，得到是直线与圆相交所得的长为的弦，分为当在轴的左侧时，取的中点，连接，当在轴的右侧时，两种情况讨论，即可求解； （3）设直线与轴交于点，连接，，求出当时，与相切时，当时，经过点时，两种特殊情形的值，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：，， ， 、关于直线对称， ， 由题意得：， ， 、关于直线对称， 直线经过的中点， ，， 的中点为，即， 把代入， 得：， 解得：， 故答案为：，； （2）连接，，，以为圆心，的长为半径画圆， ，， ，， 线段为线段的“关联线段”， 直线解析式为：，点、关于直线的对称点是、， ，， 点、、、都在圆上， 点，都在直线上， 是直线与圆相交所得的长为的弦， 如下图，当在轴的左侧时，取的中点，连接， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如下图，当在轴的右侧时， 同理可求， 综上所述，的度数为或； （3）设直线与轴交于点，连接，． ， 当时，与相切时，， ，， ， ， 解得：（负值已舍去）； 当时，经过点时，， ，，， ，， ， 解得：， 线段与线段有公共点， 或． 【点睛】本题考查轴对称的性质，一次函数的图像与性质，三角函数，圆的相关性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 8．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，对于的弦和点给出如下定义：若点关于直线的对称点在上，且点在弦的垂直平分线上，则称点是弦的“关联点”．已知的半径为． (1)如图，点．在点中，弦的“关联点”是_________； (2)若点是弦的“关联点”，求弦的长； (3)已知点对于线段上一点，存在的弦，使得点是弦的“关联点”记的长为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)的长为或； (3)或； 【分析】（1）由点坐标可知弦的垂直平分线为轴，根据新定义求出各点关于弦对称的点坐标，然后根据是否在上，进行判断作答即可； （2）由垂径定理可知，弦的垂直平分线过圆心，则为弦的垂直平分线，点关于直线的对称点为或，然后作图，构造直角三角形，利用勾股定理，垂径定理求解即可； （3）根据点，，结合“关联点”的定义和垂径定理，分别求得的极值即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：∵ ∴弦的垂直平分线为轴， ∴关于直线对称的点坐标为，在上，即是“关联点”； 关于直线对称的点坐标为，不在上，即不是“关联点”； 关于直线对称的点坐标为，在上，即是“关联点”； 不在弦的垂直平分线上，即不是“关联点”； 故答案为：，； （2）解：由垂径定理可知，弦的垂直平分线过圆心， ∵点是弦的“关联点”， ∴为弦的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为或， 当对称点为时，直线为，如图，线段， 则，， 由勾股定理得，， ∴； 当对称点为时，直线为，如上图，线段， 则，， 由勾股定理得，， ∴； 综上所述，的长为或； （3）解：如图，设交于，作直线交于点、，分别作线段、的垂直平分线，交于、、、，垂足为、，连接 当点在线段上时，且为， ∵垂直平分， ∴ ∴ ∵垂直， ∴ ∴ ∴当时，取最小值，取最小值，根据垂线短最短，当与重合时，取最大值，如图， 在中，， ∴， 当点沿线段运动到接近上时，逐渐减小， ， 当点在线段上时，且为， ∵垂直平分， ∴ ∴ ∵垂直， ∴ ∴ ∴当时，，取最小值， ∴， 当点沿线段运动到接近上时，逐渐增大， ∴当时，取最大值，即， ， 当在上时，为， 当点与重合时，则与互相垂直平分，如图，连接， K， 在中，， 当点运动到点时，如图，， ， 综上所述，的取值范围为或； 【点睛】本题考查了垂径定理，轴对称的性质，中点坐标，勾股定理等知识．熟练掌握垂径定理，轴对称的性质，中点坐标，勾股定理，理解题意联系所学知识是解题的关键． 9．（2024·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，对于点P和图形M，给出如下定义：若图形M上存在一点Q不与O重合，使点P关于直线的对称点在图形M上，则称P为图形M的关联点． (1)如图，点，．在点，，中，线段的关联点是______； (2)已知点，的半径为2，点P在直线上，若P为的关联点，求点P的横坐标的取值范围； (3)的圆心为，半径为3，x轴上存在的关联点，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）点关于直线的对称点是点A，点关于直线的对称点是线段的中点，故是线段的关联点； （2）由题意得，则以O为圆心，为半径的圆要与有公共点即，的中垂线与有交点即点Q，则，即，①当点P在第一象限时，当时，内切于x轴正半轴，切点为点，则；当时，内切于x轴负半轴，切点为点，则，因此，当点P在第三象限时，同理可求； （3）当，与相切时，最大，能让点落在x轴上，当点落在x轴负半轴时，设，则，可得，则， 此时，当点落在x轴正半轴时，可求，因此t的取值范围是． 【详解】（1）解：如图，作直线，， 由图可知：点关于直线的对称点是点A，点关于直线的对称点是线段上的点， 所以线段的关联点是、， 故答案为：，； （2）解：由题意得，则以O为圆心，为半径的圆要与有公共点即，的中垂线与有交点即点Q， ∴满足， ∴， 解得：， ①当点P在第一象限时， 当时，内切于x轴正半轴，切点为点，如图： 过点P作x轴的垂线，垂足为点G，设， 则， ∴， ∴， ∴； 当时，内切于x轴负半轴，切点为点，如图： ∴ ∴当时，满足条件； ②当点P在第三象限时，同理可求， 综上所述，若P为的关联点，点P的横坐标的取值范围为：或； （3）解：由题意得， 先定点Q和，当点P向下运动，点越靠近x轴，即尽可能大，因此当与相切符合题意，如图： ∵与相切时，点T到的距离最大，由不变，得到最大，则最大， ∴最大， ∴第一个满足的约束条件是与相切， 定点P和，则当点Q向下运动时，点越靠近x轴，即要尽可能大，同上可得当与相切时，最大， ∴第二个满足的约束条件是与相切， ∴当，与相切时，最大， 当点落在x轴负半轴时，如图： ∵， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 当点落在x轴正半轴时，如图： 同理可求， ∴， ∴t的取值范围为． 【点睛】本题考查了新定义，轴对称图形的性质，直线与圆的位置关系，角的直角三角形的性质，圆与圆的位置关系，解题的关键是将问题进行转化为直线与圆的位置关系，圆与圆的位置，难点在于“控制变量”，找出临界状态． 10．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形与图形给出如下定义：为图形上任意一点，将图形绕点顺时针旋转得到，将所有组成的图形记作，称是图形关于图形的“关联图形”． (1)已知，，，其中． 若，请在图中画出点关于线段的“关联图形”； 若点关于线段的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出的取值范围； (2)对于平面上一条长度为的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出的取值范围（用含和的式子表示）． 【答案】(1)①见详解；②或 (2) 【分析】（）根据新定义找出关键点的旋转后连接即可； 同上理分情况讨论即可； （）画出分析图，如图所示，线段的长度为，圆的半径为，易得且相似比为，再移动图形即可求出； 本题考查了旋转的性质，圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示：线段即为所求； 如图： 当 时，点关于线段的“关联图形”与轴恰有公共点， ∴时，点关于线段的“关联图形”与轴有公共点； 当 时，点关于线段的“关联图形”与轴恰有公共点， ∴时，点关于线段的“关联图形”与轴有公共点； 综上所述：或； （2）如图， 画出分析图，如图所示，线段的长度为，圆的半径为， 点分别绕点顺时针旋转得到， 分析可知且相似比为， 可得圆的半径均为， 随意转动图，可得． 11．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于和直线给出如下定义：若的一条边关于直线的对称线段是的弦，则称是的关于直线的“关联三角形”，直线是“关联轴”． (1)如图1，若是的关于直线的“关联三角形”，请画出与的“关联轴”（至少画两条）； (2)若中，点坐标为，点坐标为，点在直线的图像上，存在“关联轴”使是的关联三角形，求点横坐标的取值范围； (3)已知，将点向上平移2个单位得到点，以为圆心为半径画圆，，为上的两点，且（点在点右侧），若与的关联轴至少有两条，直接写出的最小值和最大值，以及最大时的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，， 【分析】(1)根据A（1，2），B（2，1），C（4，1），计算AB=， 确定圆O长为的弦，再确定其对称轴即可． (2)根据A（2，3），B（4，1），计算AB=，故AB不能落在圆的内部；过点A作AN⊥y轴，垂足为N，则AN=2，等于圆的直径，存在“关联轴”使是的关联三角形，此时；作点B关于x轴的对称点P，此时BP=2，等于圆的直径，存在“关联轴”使是的关联三角形，此时，综上所述，点C横坐标的范围是． (3) 如图，连接OM，交圆M于点C，此时OC最小，根据勾股定理，得OM=，圆M的半径为2，计算OC的最小值；OC=，此时AC=4． 【详解】（1）如图1，作BM⊥x轴，垂足为M，根据题意AB=AE=EF=BF=，且∠EFO=∠BFM=45°， ∴∠EFB=90°， ∴四边形ABFE是正方形， ∴边AE，BF的中点所在直线就是与的一条“关联轴”； ∵的半径为1， ∴EH=GH=FG=EF==，且∠EFG=90°， ∴四边形EFGH是正方形， ∵∠EFG+∠EFB=180°， ∴B、F、G三点共线， ∴直线EF是与的一条“关联轴”． （2）如图2，根据A（2，3），B（4，1），C（4，1），计算AB=，故AB不能落在圆的内部； 过点A作AN⊥y轴，垂足为N，则AN=2，等于圆的直径，存在“关联轴”使是的关联三角形， 此时； 作点B关于x轴的对称点P，此时BP=2，等于圆的直径，存在“关联轴”使是的关联三角形，此时，综上所述，点C横坐标的范围是． （3）如图，连接OM，交圆M于点C，此时OC最小， 根据勾股定理，得OM=，圆M的半径为2， 故OC的最小值为； 当点C是直径AC的一个端点时,OC最大,根据勾股定理，得 OC=，此时AC=4. 【点睛】本题考查了新定义问题，轴对称的性质，圆的基本性质，勾股定理，熟练掌握圆的性质，正确理解新定义是解题的关键． 12．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点给出如下定义：若直线，中一条是的切线，另一条是线段的垂线，则称点是弦的“关联点”． (1)如图，点，，． ①在点，，中，弦的“关联点”是__________； ②若点是弦的“关联点”，直接写出的长__________． (2)已知点，．对于线段上一点，存在的弦，使得点是弦的“关联点”．记的长为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】（1）①根据“关联点”的概念求解即可； ②根据题意分两种情况：是的切线，和是的切线，，然后设点C的坐标为，分别根据切线的性质和勾股定理求解即可； （2）根据，两点来求最值情况，S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂线上，运用相似三角形计算即可． 【详解】（1）如图所示， 由图象可得，和不垂直，和不垂直， ∴不是弦的“关联点”； 由图象可得，，点A在上 ∴是的切线 ∵，， ∴，， ∴ ∴ ∴是弦的“关联点”； 和不垂直，和不垂直， ∴不是弦的“关联点”； ②∵点是弦的“关联点” ∴如图所示，当是的切线，时 ∵是的切线 ∴ ∵ ∴点C的横坐标为 ∴设点C的坐标为 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴点C的坐标为 ∴； 如图所示，当是的切线，时 同理可得，此时点C的坐标为 ∴； 综上所述，的长为； （2）解：∵线段上一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”， 又∵弦随着S的变动在一定范围内变动，且，，， ∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的的垂线上，如图所示，    ①当S位于点时，为的切线，作， ∵，的半径为1，且为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴根据勾股定理得，， 根据勾股定理，， 同理，， ∴当S位于点时，的临界值为和． ②当S位于经过点O的的垂直平分线上即点K时， ∵点，， ∴， ∴， 又∵的半径为1，∴， ∴三角形为等边三角形， ∴在此情况下，，， ∴当S位于经过点O的的垂直平分线上即点K时，的临界值为和， ∴在两种情况下，的最小值在内，最大值在， 综上所述，t的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查最值问题，题目较为新颖，要灵活运用知识点，明确新概念时解答此题的关键． 13．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和点，给出如下定义：若是直角三角形，称点是弦的“关联点”． (1)如图，已知点，，在点，，中，是弦的“关联点”的是____________； (2)已知的直径的“关联点”在轴上，有一边与相切，设点，当时，直接写出点的纵坐标的取值范围； (3)点在上，轴，，已知点，，若线段上存在一点是的弦的“关联点”，且，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）由图可知是直角三角形；再由两点之间距离公式，结合勾股定理的逆定理判定即可得到不是直角三角形；是直角三角形；再由“关联点”定义即可得到答案； （2）根据题意，作出图形，如图所示，当点，时，，则，解得或；利用两点之间距离公式、勾股定理及对称性分类求解即可得到答案； （3）根据新定义可得点是为直径的圆上的一点，根据题意求得的最大值为，进而分在轴的上方与下方两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，是直角三角形， 由“关联点”定义可知，是弦的“关联点”； 点，，， ，，， ， 不是直角三角形，由“关联点”定义可知，不是弦的“关联点”； 点，，， ，，， ，即， 是直角三角形，由“关联点”定义可知，是弦的“关联点”； 故答案为：，； （2）解：如图所示： 当点，时，，则，解得或； 设轴上的，，即在轴正半轴时， 若，此时，是直角三角形时， 当，则，则，解得，即，此时取到最大值； 若，此时，是直角三角形时，根据对称性； 若，此时，是直角三角形时，则(此时重合)，此时最小； ； 设轴上的，，即在轴负半轴时， 若，此时，是直角三角形时， 当，则，则，解得，即，此时取到最小值； 若，此时，是直角三角形时，根据对称性； 若，此时，是直角三角形时，则，此时取到最大值； ； 综上所述，点的纵坐标的取值范围或； （3）解：由题意可知，当为直径时，满足题意，则最大值为； 当在轴下方时，如图所示，设以为直径的圆与相切于点，则当和点重合时，， ∵，， ∴，则， ∵，则 ∵，即 ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴ 解得：或（舍去） 当在轴上方时，如图所示 同理可得 又∵， ∴ 解得：或（舍去） 综上所述，． 【点睛】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，理解新定义是解题的关键． 14．（2024·北京石景山·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于与，给出如下定义：若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边上（不与点B，C重合），则称为的“点A关联三角形”． (1)如图，的半径为1，点，为的“点A关联三角形”． ①在，这两个点中，点A可以与点___________重合； ②点A的横坐标的最小值为___________； (2)的半径为1，点，点B是y轴负半轴上的一个动点，是等边三角形，且为的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围； (3)的半径为r，直线与在第一象限的交点为A，点，若平面直角坐标系中存在点B，使得是等腰直角三角形，且为的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)①，②， (2) (3)或 【分析】（1）当点A在y轴右侧时，先过点C作的切线，连接，可知，和，过点A作轴于H，可求得，则有点A的临界值，由对称性可得点A在y轴左侧时的值取得，①结合点和的横坐标即可判断；②可求得点A的横坐标的最小值； （2）由题意可得线段和除过点A为不能有交点，当线段除点A外不与有交点，当与相切时，结合题意可得点C的横坐标为1，当时，线段除点A外不与有交点；当线段除点A外不与有交点，即点B在处，记作点，结合为等边三角形，求得，过点作轴于G，进一步求得，在上取一点M，连接，使得，可求得，，则，在中利用勾股定理可求得，则有，即可得到m的取值范围； （3）分三种情况讨论：①当点C在圆内时，即；②当点C在圆外时，，过点B作y轴的平行线，过点A作于R，作于T，证得四边形是矩形，进一步证得，则有，，结合题意可知，则有，，求得，③当与相切时，由和，得点B与点O重合，此时，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1， 当点A在y轴右侧时，过点C作的切线，连接，则，， ∴， 过点A作轴于H， 则， ∴， ∴， 当点A在y轴左侧时，由对称性得，， 即，， ①∵点的横坐标为， 而， ∴点A不能与点重合， ∵点的横坐标为， 而， ∴点A能与点重合， 故答案为：； ②点A的横坐标的最小值为， 故答案为：； （2）如图2， ∵为的“点A关联三角形”， ∴线段和除过点A为不能有交点， 当线段除点A外不与有交点， 当与相切时， ∴轴，此时，点A的横坐标为1， 则点C的横坐标为1，即， ∴时，线段除点A外不与有交点， 当线段除点A外不与有交点， 即点B在处，记作点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， 在中，， ∴， 过点作轴于G， ∴，， ∴， 在上取一点M，连接，使得， ∴， 在中，则，， ∴， 在中，根据勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴时，线段除点A外不与有交点， 综上分析得，m的取值范围为； （3）①当点C在圆内时，当时，即， ∵直线与在第一象限的交点为A， ∴， 如图3， ②当点C在圆外时，当时， 如图4， 过点B作y轴的平行线，过点A作于R，作于T， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点A在直线上， ∴点A到x，y轴的距离相等是， ∴R在y轴上，点B也在y轴负半轴上， ∴， 当点B在上时，，， ∴， ∴， ③当与相切时，则， ∵， ∴点B与点O重合，此时， ∴， 综上所述，r的取值范围是：或． 【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合运用这些知识点和分类讨论思想是解题的关键． 15．（2024·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，对于图形M和图形N给出如下定义：如果图形M上存在点P、轴上存在点T，使得点P以点T为旋转中心，逆时针旋转得到的点Q在图形N上，那么称图形N是形M的“关联图形”． (1)如图，点，，，． ①在点B，C，D中，点A的“关联图形”是_____； ②若不是点A的“关联图形”，求的半径的取值范围； (2)已知点，，，的半径为1，以线段为对角线的正方形为，若是正方形的“关联图形”，直接写出的最小值和最大值． 【答案】(1)①，C②； (2)最小为，最大为． 【分析】（1）①根据“关联图形”的定义判断即可； ②根据关联图形的定义，判断出点旋转后的轨迹， 从而得到的半径范围 （2）根据关联图形的定义，求出点旋转后的轨迹，当与该轨迹有唯一交点时，取最小值； 根据关联图形的定义，求出点旋转后的轨迹，当与该轨迹有唯一交点时，取最大值； 【详解】（1）①点绕逆时针旋转得到点，A点绕逆时针旋转得到点C， 故答案为：，C； ②设点，那么点绕点逆时针旋转得到点，作轴交轴于点，作轴交轴于点，如图所示 由旋转可知，，， ， 坐标为 在上运动 设与轴的交点为，与轴交点为 当，，当时，， ， 以点为圆心，作圆，当与有为唯一交点时，半径为斜边上的高 当不是点的关联图形时， 故答案为：． （2）设点绕点逆时针旋转对应点为点，过点作轴交轴于点，连接，，如图所示 由旋转可知，，， ， 点坐标为 所以在上运动 ， 与轴的夹角为 设在轴的交点为，那么点坐标为 当与有唯一交点时，最大 与相切 为等腰直角三角形且 故最大为； 设点绕点逆时针旋转对应点为点，过点作轴交轴于点，过点作轴交连接，，如图所示 同理可证， ， 的坐标是 在上运动 设与轴的交点为，当与该直线有唯一交点时，取最小值． 同理可证为等腰直角三角形，且 故最小值为． 【点睛】本题考查了线段的旋转，三角形全等的判定与性质，圆与直线的关系判断，圆的切线的性质与计算，一次函数， “关联图形”等知识点，熟练掌握以上知识点并根据画出正确的图形是解题的关键． 16．（2024·北京昌平·二模）对于平面直角坐标系中的点P和图形M，给出如下定义：将图形M绕P顺时针旋转得到图形N，当图形M与图形N有公共点时，我们称点P是图形M的“关联点”．已知，． (1)如图1，点P是线段的“关联点”，在点，，中，则满足条件的点是__________； (2)若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，直接写出b的取值范围； (3)以为圆心，1为半径的，若线段上存在点P，使点P为的“关联点”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）连接和，过点B作轴于点H，利用两点之间距离得到，，结合勾股定理的逆定理即可知点A饶点顺时针旋转得到点B；由点知设点A、点B饶点顺时针旋转得到点、点，则得到点和点，由点的纵坐标小于点B纵坐标，可知线段与线段无交点；由点的坐标得和，利用勾股定理的逆定理即可知点B饶点顺时针旋转得到点A； （2）设线段饶点P顺时针旋转得，过点P作轴，与过点作交于点H，过点A作交于点G，由定义知，，利用可证得，即设点，求得点的纵坐标为，同理，可得点的纵坐标为，由“关联点”得线段的A点和线段的重合，或者线段的B点和线段的重合，分情况求解即可； （3）假设饶点P顺时针旋转得，则为等腰直角三角形，进一步可知与由公共点，，即线段上存在点P使得，①当点P与点B重合时，点T可以取得最大值，此时过点P作轴，即可求得t的最大值；②当点T到线段的距离为时，求得直线的解析式为，利用，得，即可求得t的最小值． 【详解】（1）解：连接和，过点B作轴于点H，如图， ∵，，， ∴， ∴ ∴ ∴点A饶点顺时针旋转得到点B， 则点是线段的“关联点”； ∵，，， ∴ 设点A、点B饶点顺时针旋转得到点、点，则 ∴点、点， ∵点的纵坐标小于点B纵坐标 ∴线段与线段无交点， 则点不是线段的“关联点”； ∵，，， ∴， ∴ ∴点B饶点顺时针旋转得到点A， 则点是线段的“关联点”； 故答案为：，； （2）设线段饶点P顺时针旋转得，过点P作轴，与过点作交于点H，过点A作交于点G，如图， 则，， ∵，， ∴， ∴， ∴ 由题意可设点， ∵，， ∴ ∴点的纵坐标为， 同理，可得点的纵坐标为， ∵点P为线段的“关联点”， ∴线段的A点和线段的重合，或者线段的B点和线段的重合， ①当线段的A点和线段的重合， ∵，点的纵坐标为， ∴，解得； ②当线段的B点和线段的重合， ∵，点的纵坐标为， ∴； 综上所述，； （3）假设饶点P顺时针旋转得，则为等腰直角三角形， ∵点P为的“关联点”， ∴与由公共点，如图， ∴， 即线段上存在点P使得， ①当点P与点B重合时，点T可以取得最大值，此时过点P作轴， ∵，，， ∴ 即t的最大值为4； ②当点T到线段的距离为时，如图， 则， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴直线的解析式为， 设点C为直线与x轴的交点，则点， ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查新定义下与圆相关的动态综合题，涉及旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、两点之间的距离、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定和性质、圆的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解“关联点”，学会用动态的思维寻找特殊点解决问题． 17．（2024·北京·模拟预测）对于两条不平行的直线和，它们所夹的角之一为．将点先关于作轴对称点，再将关于作轴对称点．称为的对称点 的半径为1． (1)当两条对称轴分别为和，直接写出的对称点坐标 (2)直接写出的对称点横坐标的取值范围 (3)和是上两个不同的点，交轴于为的对称点．的纵坐标取值范围，求的值 (4)的半径为为轴除原点外一点，使得上存在点，直线交y轴于点上有的对称点直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）如图所示，点T关于直线的对称点为S，点S关于直线的对称点为Q，过点T、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，连接，则，解直角三角形得到，再由直线是第二、四象限的角平分线，是一、三象限的角平分线，得到，，由轴对称的性质可得，则可求出；求出，则在中，，，；如图所示，点T关于直线的对称点为L，点L关于直线的对称点为M，同理可得，则，同理可得； （2）如图所示，射线满足，点T关于射线的对称点为A，点A关系射线的对称点为点B，过点B作x轴的垂线，垂足为F，由轴对称的性质可得，，导角可知，在中，，则，即的对称点横坐标为；如图所示，射线满足，点T关于射线的对称点为G，点G关系射线的对称点为点H，同理可证明  则，可得三点共线，即点H在y轴上，则，即的对称点横坐标为； （3）如图所示，不妨设抛物线开口向上，点A在第二象限，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为L、E，易证明，得到，设，则，可得；易求出直线解析式为，则；如图所示，射线满足，且O关于射线的对称点为K，点K关于射线的对称点为D，由轴对称的性质可得，则点D在以点C为圆心，半径为的圆上运动（不包括与y轴的交点），故，再由，可得；当开口向下时，同理可得，此时不满足题意；综上所述，； （4）不妨设的对称点为W，由于点O关于经过点C的两条射线（夹角为）其中一条对称后的点，再与W关于另外一条射线对称，则一定成立，故不管点A和点B怎么运动，点W一定在以C为圆心，的长为半径的圆上运动，如图所示，当与相切，且与外切时，设，则，利用勾股定理可得，解方程得到，由勾股定理得 ，则，证明，解直角三角形得到；当，此时一定可以满足与有交点，即上有的对称点，由对称性可得当时，也满足题意； 【详解】（1）解：如图所示，点T关于直线的对称点为S，点S关于直线的对称点为Q，过点T、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为N、M，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵直线是第二、四象限的角平分线，是一、三象限的角平分线 ∴，， 由轴对称的性质可得，， ∴； 在中，， ∴， 在中，，， ∴； 如图所示，点T关于直线的对称点为L，点L关于直线的对称点为M， 同理可得， ∴， ∴同理可得； 综上所述，的对称点坐标为； （2）解：如图所示，射线满足， 点T关于射线的对称点为A，点A关系射线的对称点为点B，过点B作x轴的垂线，垂足为F， 由轴对称的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的对称点横坐标为； 如图所示，射线满足， 点T关于射线的对称点为G，点G关系射线的对称点为点H， 同理可证明   ∴， ∴三点共线，即点H在y轴上， ∵， ∴， ∴的对称点横坐标为； 综上所述，的对称点横坐标为或； （3）解：如图所示，不妨设抛物线开口向上，点A在第二象限，分别过A、B作x轴的垂线，垂足分别为L、E， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 如图所示，射线满足，且O关于射线的对称点为K，点K关于射线的对称点为D， 由轴对称的性质可得， ∴点D在以点C为圆心，半径为的圆上运动（不包括与y轴的交点）， ∴， ∵， ∴， ∴； 当开口向下时，同理可得，此时不满足题意； 综上所述，； （4）解：不妨设的对称点为W，由于点O关于经过点C的两条射线（夹角为）其中一条对称后的点，再与W关于另外一条射线对称， ∴一定成立， ∴不管点A和点B怎么运动，点W一定在以C为圆心，的长为半径的圆上运动， 如图所示，当与相切，且与外切时，设，则， ∴， 解得， ∴， 在中，由勾股定理得 ， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴； 由于当与在x轴上方相切时，直线与y轴交点C的位置距离点O最远，故当时，此时点C的位置一定比时，且与相切时点C的位置要低，即此时与没有交点； 当，此时点C的位置一定比时，且与相切时点C的位置要高，那么一定在上存在一点B使得直线经过，则此时一定可以满足与有交点， 综上所述，当此时一定可以满足与有交点，即上有的对称点， 由对称性可得当时，也满足题意； 综上所述，当或时上有的对称点． 【点睛】本题主要考查了圆与一次函数综合，解直角三角形，二次函数综合，轴对称的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定等等，解题的关键在于画出对应的示意图，利用数学结合的思想求解． 18．（2024·北京海淀·模拟预测）对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作，已知点，，． (1)①求点，； ②若点在轴正半轴上，点，，求点的坐标； (2)记函数的图象为图形，若图，，直接写出的取值范围； (3)以点为正方形中心，四条边均平行于坐标轴且到点距离为的正方形为单位正方形，若点在轴上且单位正方形，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①2；②； (2)且； (3)或或． 【分析】（1）①根据点、、三点的坐标作出，利用“闭距离”的定义即可得； ②根据点、、三点的坐标作出，利用“闭距离”的定义即可得； （2）由题意知在范围内函数图象为过原点的线段，再分别求得经过和时的值即可得； （3）分单位正方形在的左侧、内部和右侧三种情况，利用“闭距离”的定义逐一判断即可得． 【详解】（1）解：①设点到直线的距离为， 如图所示，点到直线的距离为2，点到直线的距离为2， ，，， ∴， 解得， ∴点到的距离的最小值为2， 点，； ②在轴正半轴，由点到直线垂线段最短可知， 在时，由①知，最小距离， 故在与轴交点右侧，过作轴于， ，则， 故， ， 故； （2）解：经过原点，在范围内，函数图象为线段， 当经过时，，此时； 当经过时，，此时； ， ， 且； （3）解：正方形与的位置关系分三种情况： ①当单位正方形在的左侧时，由单位正方形，知此时； ②当在单位正方形内部时， 当点与原点重合时，单位正方形，，知此时； 当点位于位置时，由单位正方形，知， 、， ， 则， ， 故此时； ③当在单位正方形右边时，由单位正方形，知， ， ， ； 综上，或或． 【点睛】本题主要考查圆的综合问题，解直角三角形的应用，解题的关键是理解并掌握“闭距离”的定义与直线与圆的位置关系和分类讨论思想的运用． 19．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，将图形W上除原点O外的每一点P变换为射线上的点，使，称点是点P的“对应点”，构成的图形是图形W的“反形”．已知点S是满足的动点，以点S为圆心作过点O的．点T在半径为4的上运动，过点T作的切线l. (1)如图，当时，对于，在图中画出上的点的“对应点”； (2)当点T运动至点时，设为切线l上一点的“对应点”，试求的最大值； (3)如果存在点S与点T，使的“反形”中存在一点，切线l的“反形”中存在一点，满足直接写出r的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3) 【分析】本题属于圆的综合题，主要考查了切线的性质、坐标与图形等知识点，理解新定义并运用是解题的关键． （1）由“对应点”定义，可求点，点，即可求解； （2）由题意可得，由对应点定义可得，即可求解； （3）先确定点和点的轨迹，然后结合题意求解即可． 【详解】（1）解：（1）∵点， ∴，， ∵， ∴， 又∵在x轴上， ∴点， ∵，， ∴， ∵在直线上， ∴点． （2）解：∵点， ∴的切线解析式为， ∴点Q纵坐标为4， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为1． （3）解：∵点N是的切线上， ∴， ∴， ∴点在以O为圆心，1为半径的圆内或圆上（原点除外）， ∵， ∴点在以为圆心，2为半径的圆内或圆上（原点除外）， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于直线l和线段，给出如下定义：若线段关于直线l的对称图形是的弦（，分别为P，Q的对应点），则称线段是关于直线l的“对称弦”． (1)如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．线段，，中，是关于直线的“对称弦”的是 (2)是关于直线的“对称弦”，若点C的坐标为，且，直接写出点D的坐标； (3)已知直线和点，若线段是关于直线的“对称弦”，且，直接写出的最值和相应b的值． 【答案】(1) (2)或 (3)最小值：，；最大值：， 【分析】（1）根据题中定义即可画图得出； （2）根据题意可得直线垂直平分，，结合点的坐标，推得点在上，即可得出点是与交点，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求得点、的坐标； （3）结合（2）可得点是点与交点，先求出直线与，轴的交点坐标，求解，再画出图形，根据两点间的距离公式即可列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：如图所示： ∴关于直线的“对称弦”的是线段； （2）解：设点，关于直线的对称点为，， ∴直线垂直平分，， ∵是关于直线的“对称弦”， ∴，在上， ∵点的坐标为， ∴， 即点在上， ∵直线经过圆心， ∴点也在上， ∵， 故点在以点为圆心，为半径的圆上，如图：与交于点与点； 连接，， ∵， 即是等边三角形， 故点的横坐标为，点的纵坐标为0， 同理，点的横坐标为，点的纵坐标为， 综上，点的坐标为或； （3）解：设点关于直线的对称点为， ∴直线垂直平分， ∵线段是关于直线的“对称弦”， ∴在上， 由（2）可得点在以点为圆心，为半径的圆上， 又∵，即； 令直线与，轴交于点，，如图： 令，则，即点，， 令，则，即点，， ∴， ∴， 记与轴的交点为，而， ∴， ∵， ∴在以为圆心，为半径的圆上，记与格线的切点为，连接，， ∴轴，即轴， ∴， ∴是等边三角形， 过作于， ∴，， ∴， 此时最小，为， 设直线表达式为， 把，代入， 解得， 则直线为， ∴直线与轴的交点坐标为， 由轴对称的性质可得：， ∴， 解得：； 当在的右边时，最大，如图， 同理可得：， 则最大值为：， 此时， 同理可得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用等，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键． 21．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于直线l和线段，给出如下定义： 若线段关于直线l的对称图形是的弦（，分别为P，Q的对应点），则称线段是关于直线l的“对称弦”． (1)如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．线段，，中，是关于直线的“对称弦”的是_________ (2)是关于直线（）的“对称弦”，若点C的坐标为，且，直接写出点D的坐标； (3)已知直线和点，若线段是关于直线的“对称弦”，且，直接写出的最值和相应b的值． 【答案】(1) (2)或 (3)最小值，；最大值， 【分析】（1）根据题中定义即可画图得出； （2）根据题意可得直线垂直平分，，结合点的坐标，推得点在上，即可得出点是与交点，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求得点、的坐标； （3）结合（2）可得点是点与交点，先求出直线与，轴的交点坐标，求解，再画出图形，根据两点间的距离公式即可列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：如图所示： ∴关于直线的“对称弦”的是线段； （2）解：设点，关于直线的对称点为，， ∴直线垂直平分，， ∵是关于直线的“对称弦”， ∴，在上， ∵点的坐标为， ∴， 即点在上， ∵直线经过圆心， ∴点也在上， ∵， 故点在以点为圆心，为半径的圆上，如图：与交于点与点； 连接，， ∵， 即是等边三角形， 故点的横坐标为，点的纵坐标为0， 同理，点的横坐标为，点的纵坐标为， 综上，点的坐标为或； （3）解：设点关于直线的对称点为， ∴直线垂直平分， ∵线段是关于直线的“对称弦”， ∴在上， 由（2）可得点在以点为圆心，为半径的圆上， 又∵，即； 令直线与，轴交于点，，如图： 令，则，即点，， 令，则，即点，， ∴， ∴， 记与轴的交点为，而， ∴， ∵， ∴在以为圆心，为半径的圆上，记与格线的切点为，连接，， ∴轴，即轴， ∴， ∴是等边三角形， 过作于， ∴，， ∴， 此时最小，为， 由，可得直线为， ∴直线与轴的交点坐标为， 由轴对称的性质可得：， ∴， 解得：； 当在的右边时，最大，如图， 同理可得：， 则最大值为：， 此时， 同理可得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，切线的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数的应用等，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键． 22．（2024·北京延庆·模拟预测）我们规定：将图形先向右平移个单位，得到图形，再作出图形关于直线的对称图形，则称图形是图形的，平对图形． (1)已知点，若，，则点的坐标是________；点的坐标是________； (2)已知点，它的平对图形，求出与的数量关系； (3)已知的半径为，其中，若存在实数，使的平对图形与直线有公共点，直接写出的最小值及相应的的值． 【答案】(1)点的坐标是；点的坐标是 (2) (3)的最小值为，相应的的值为 【分析】（1）根据坐标的平移和轴对称规律，结合新定义解答即可； （2）根据新定义和坐标平移，轴对称坐标的变化规律列式变形即可求出与的数量关系； （3）先求出圆心的平对点的坐标，求出到直线的距离，再根据的平对图形与直线有公共点，则到直线的距离不大于半径，列式求解即可． 【详解】（1）解：点向右平移个单位，得到，即， 关于直线的对称点，即， 故答案为：，； （2）点，它的平对图形， ,向右平移个单位长度，得到 '，关于直线 的对称图形 ''， ， ； （3）圆心向右右平移个单位，得到关于直线的对称点， 画出示意图如下，连接''，图中，，，于点， ，，， ， 使的平对图形与直线有公共点，只要到直线的距离不大于半径即可， ，即， 当时，解得，此时有最小值， ， ，随着的增大而增大， 当时，最小，最小值为； 当时，解得，此时有最大值，不合题意， 故的最小值为，相应的的值为． 【点睛】本题以新定义为背景，考查几何变换，解答中涉及平移，轴对称，坐标与变换，点到直线的距离，直线与圆的位置关系，面积法，一次函数图象，不等式变形等，理解新定义是解题的关键． 23．（2024·北京·三模）对于平面直角坐标系中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A、B两点，使为等腰直角三角形，且，我们则称点C为图形G的“东中点”． (1)已知点，，在点，，中，线段的“东中点”是______； (2)直线分别交x轴、y轴于P、Q两点，若点为线段的“东中点”，求m的取值范围； (3)已知直线分别交x轴、y轴于P、Q两点，若线段上存在半径为2的的“东中点”，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据“东中点”的意义一一判断即可； （2）过点C作于B，作轴于E，交于N，作轴于D，交于M，则分别求出点M与N的坐标，结合图形知点M的横坐标非负或点N的纵坐标非负时，保证或是等腰直角三角形，使点为线段的“东中点”，即可求得m的范围；当点C在线段上时，点不是线段的“东中点”；最后综合即可得m的范围； （3）分三种情况：先考虑的情况；点C为线段上半径为2的的“东中点” ，分别连接，把绕点B逆时针旋转得到，其中点E与点C对应，连接，则由三角形三边关系得：，从而得；当C与P或Q重合时，，此时；当时，则，得，综合得； 当直线与圆相切时，求得n的最小值；当以为直径构造等腰直角三角形，此时为n的最大值，两者结合即可求得n为正时的取值范围；再考虑情况；最后考虑情况，由与的对称关系即可求解；最后可得n的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，由题意知，，故是等腰直角三角形，满足题意； 过作于A，，均不是等腰直角三角形，则不符合题意； 过作于B，则，故是等腰直角三角形，满足题意； 综上，满足题意点有； 故答案为：； （2）解：如图，过点C作于B，作轴于E，交于N，作轴于D，交于M，则， ∴N点的横坐标为3，M点的纵坐标为2； 由于M、N在线段上，则当时，；当时，； ∴； 在中，令，得；令，得； 即，显然， ∴， ∴； ∵轴，轴， ∴； ∵， ∴都是等腰直角三角形； ∴当或时，或是等腰直角三角形， 即或； ∴； 当点C在直线上时，，此时点不为线段的“东中点”，即； 综上：当或时，点为线段的“东中点”； （3）解：考虑时的情况； 如图，点C为线段上半径为2的的“东中点” ，分别连接，把绕点B逆时针旋转得到，其中点E与点C对应，连接， 则，， ∴， ∵， ∴， 即； 当C与P或Q重合时，，此时； 在中，令，得；令，得； 即，且， ∴， ∴，； 当时，则， ∴， ∴； ∵，， ∴； 当时，不存在； 当时，由对称性知，； 综上，n的范围为：或． 【点睛】本题考查了新定义，涉及一次函数与圆的性质的应用，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，关键是读懂题意，借助定义作出图形，注意数形结合、分类讨论思想的运用． 24．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段，给出如下定义：若将线段沿着某条直线对称可以得到的弦，分别为，的对应点），则称线段是的以直线为对称轴的对称的“反射线段”，直线称为“反射轴”． (1)如图1，线段、、中是的以直线为对称轴的“反射线段”______； (2)如图2，已知点的坐标为，点坐标为．若线段是以直线为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴与轴的交点的坐标； (3)已知点、是在以为圆心，半径为的圆上的两个动点，且满足，若是的以直线为对称轴的“反射线段”，当点在圆上运动一周时，请你直接写出反射轴与轴的交点的纵坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)作图见解析，“反射线段”为弦时，坐标为；“反射线段”为弦时，坐标为 (3)或 【分析】（1）在圆中找出对应的弦，其中大于圆的直径，根据“反射线段”的定义即可判断； （2）由“反射线段”的定义，画出的反射弦，找出对应点的垂直平分线即为直线，数形结合求出直线与轴的交点的坐标即可得到答案； （3）根据（2）的方法找到所在的圆心，当点在圆上运动一周时，如图，取的中点，的中点，即的中点在以为圆心，半径为的圆上运动，进而即可求得反射轴与轴交点的纵坐标的取值范围． 【详解】（1）解：如图， 是关于直线的对称的弦， 是的以直线为对称轴的“反射线段”， 是关于直线的对称的弦， 线段是的以直线为对称轴的“反射线段”， ，的直径，， 线段不是的以直线为对称轴的“反射线段”， 故答案为：、； （2）解：由“反射线段”的定义，作出图形，如图所示： 当关于直线的对称弦是时，直线过的中点，即直线：，则直线与轴交点； 当关于直线的对称弦是时，，设，则由中垂线性质可知， ，解得，则直线与轴交点； （3）解：以为斜边构造等腰直角三角形，以为圆心、为半径作圆，设与x轴的交点为L，如图所示： 设，则， ，是等腰直角三角形， ， ， ， 当点在圆上运动一周时，取的中点，的中点，如图所示： 是的中位线， ，，即的中点，在以为圆心，半径为的圆上运动， 若是的以直线为对称轴的反射线段，则为的切线， 设与轴交于点，， ，， ， 反射轴与轴交点的纵坐标的取值范围为或． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，掌握中心对称与轴对称，切线的性质，三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理是解题的关键． 25．（2024·北京西城·二模）如图1，对于外的线段（线段上的各点均在外）和直线上的点，给出如下定义：若线段绕点旋转某一角度得到的线段恰好是的弦，则称点为线段关于的“割圆点”， 在平面直角坐标系中，的半径为1． （1）如图2，已知点，，，．在线段，，中，存在关于的“割圆点”的线段是 ，该“割圆点”的坐标是 ； （2）直线经过点，与轴的交点为点．点，点都在线段上，且．若线段关于的“割圆点”为点，写出点的横坐标的取值范围； （3）直线经过点，不重合的四个点都在直线上，且点既是线段关于的“割圆点”，又是线段关于的“割圆点”，线段，的中点分别为点，，记线段的长为．写出的取值范围． 【答案】（1），；（2）或；（3）或 【分析】（1）由题意得，若将绕着点R旋转后的圆记作，则经过， 点在弦的垂直平分线上，且的半径与的半径相等，“割圆点”R在线段的垂直平分线于弦所在的直线的交点，由，得到不是关于的“割圆点”的线段；确定点为中点，而的垂直平分线于平行，故不是关于的“割圆点”的线段；对于线段，先确定点为中点，“割圆点”一定是弦所在的直线与的垂直平分线的交点，可求直线表达式为：，把代入得； （2）可求直线表达式为，为等腰直角三角形，则，，找到两个临界位置，当点Q与点V重合时，则点落在x轴上，此时，当点Q运动到使得点P与W重合时，此时点落在y轴上，则，代入直线，可求，因此可求的取值范围； （3）可求，由于直线l经过点，以直线分析，由题意得，点在以点H为圆心，为半径的圆上，则线段是以点为圆心，1为半径的圆被直线l所割的弦，连接，，，第一种情况，当线段在点H异侧时，此时，当与直线相切时，此时点A、B重合，点C、D重合，连接，则，同理，因此，但是取不到，故；第二种情况，当线段在点H同侧时，当点M与点N重合时，此时A、C重合，B、D重合，则，当线段为与直线相交的线段，另一个与直线相切，此时最大，但是取不到，由于点C、D重合，连接，可求，故，综上即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴不是关于的“割圆点”的线段， 由题意得，若将绕着点R旋转后的圆记作，则经过， 则， ∴点R在的垂直平分线上， ∵，， ∴， ∴点为中点， ∵的垂直平分线与平行， ∴不是关于的“割圆点”的线段， 由题意得圆心在弦的垂直平分线上，且根据旋转的性质， 得， ∴点即为中点， 由题意得“割圆点”一定是弦所在的直线与的垂直平分线的交点，如图： ∵，， ∴设直线表达式为： ， 代入得：， 解得， ∴直线表达式为：， 把代入得：， ∴， ∴， ∴是关于的“割圆点”的线段， 故答案为：，； （2）解：将代入得， ∴直线表达式为， 当时，， ∴， ∴， 由题意知点R为的垂直平分线与直线的交点，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 而，， ∴， 当点Q与点V重合时，则点落在x轴上，此时，如图： 当点Q向上运动时，点R也向上运动，此时，如图： 当点Q运动到时，即的垂直平分线与直线平行，此时正无穷大，如图： ∴， 当点Q继续向上运动一点时，的垂直平分线与直线交点在第三象限很远处， 此时负无穷大，如图： 当点Q运动到使得点P与W重合时，此时点落在y轴上， ∴，代入直线得：， ∴， ∴， 综上所述：或； （3）∵点， ∴， ∵直线l经过点，以直线分析， 由题意得，点在以点H为圆心，为半径的圆上，则线段是以点为圆心，1为半径的圆被直线l所割的弦， 连接，， ∵经过圆心，点M为中点， ∴， ∴， 当减小时，增大直至等于，如图： 第一种情况，当线段在点H异侧时， 当点与点M重合时，此时，如图： 当与直线相切时，此时点A、B重合，点C、D重合，连接，如图： 则，同理， ∴，但是取不到， ∴； 第二种情况，当线段在点H同侧时， 当点M与点N重合时，此时A、C重合，B、D重合，如图： ∴， 当线段为与直线相交的线段，另一个与直线相切，此时最大，但是取不到，由于点C、D重合，如图，连接， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了新定义，难度很大，旋转的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点，正确理解题意，找出临界位置是解决本题的关键． 26．（2024·江苏常州·二模）给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系中，点、、、． (1)在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． (2)若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标． (3)若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围． 【答案】(1)、，（答案不唯一） (2)点的坐标为或 (3) 【分析】本题考查圆的综合应用，解题的关键是弄清楚新定义，熟练掌握圆与直线的关系，绝对值方程的解法，数形结合． （1）根据定义通过计算求解即可得到答案； （2）设，由根据“斜关点”定义列方程求解即可得到答案； （3）作直线满足与两轴的夹角为，在直线右侧作直线且与相距一个单位，设交于点，连接，作轴于点，交于，作于，设直线交于，以、为圆心，为半径作圆，则两圆分别与直线和相切，利用勾股定理求出，再设，利用列出方程，求出，即可求解； 【详解】（1）解：满足的为正数， ，， ，， 点、、、， 只能是与或与形成“斜关点”， 当与形成“斜关点”时，， ， 故答案为：、，（答案不唯一）； （2）设点， 点，，点、是一对“斜关点”， 点、也是一对“斜关点”，且， ，， ， 解得：， ， ， 点的坐标为或； （3）如图即为，作直线满足与两轴的夹角为，在直线右侧作直线且与相距一个单位，设交于点，连接，作轴于点，交于，作于，设直线交于，以、为圆心，为半径作圆， 两圆分别与直线和相切， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上， ， 点需在直线的右侧（可以在直线上）， ， 点需在的左侧，则满足题意得点的横坐标应在点和点之间（不与点重合）， ，， ， 设， ， ， ， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ． 27．（2024·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，对于点，，，给出如下定义：若点以点为中心逆时针旋转后，能与点重合，则称点为线段的“完美等直点”．      (1)如图1，当，，时，线段的“完美等直点”坐标是______； (2)如图2，当，时，若直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”，求点的坐标及的值； (3)当时，若点在以为圆心，为半径的圆上，点为线段的“完美等直点”，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)点坐标为； (3) 【分析】（1）根据“完美等值点”的定理，可得，则是等腰直角三角形，四边形是正方形，由此即可求解； （2）当，时，，设，根据题意可证，根据全等三角形的性质即可求解； （3）根据分类讨论，当时，根据正方形的判定和性质可得点的横坐标；当时，根据“完美等值点”的概念及计算方法即可求解． 【详解】（1）解：当，，时，，， ∴，, 如图所示， ∵点绕“完美等直点”逆时针旋转， ∴，则是等腰直角三角形， ∴点的中点坐标为 ∴，且， ∴旋转中心点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点于点重合， ∴点以点为中心逆时针旋转后， ∴线段的“完美等直点”坐标是， 故答案为：； （2）解：当，时，， ∵直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”， ∴设，， 如图所示，过点作轴于点，作轴于点， 在中，， ∴， ∵轴， ∴，且，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； （3）解：如图所示，当时，，点在圆上，圆心坐标为，半径为， ∴， ∴点横坐标的取值范围为：，纵坐标的取值范围为：， 由（1）的推理可得，线段的中点坐标为，过点作线段的垂直平分线， ∴根据“完美等值点”的定义，旋转的性质可得，中心对称点在线段的垂直平分线线上，且， ∴，，即是等腰直角三角形， ∴由（1）中证明可得四边形是正方形， ∴， ∴的横坐标为； 当点三点共线时，线段的长度值最大，如图所示，以点作矩形， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即点的横坐标大于； 当时，，如图所示，作轴于点， ∴，，， ∴，则， ∴，即， ∵是的垂直平分线， ∴的横坐标为； 综上所述，的横坐标的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标中图形的变换规律，理解“完美等值点”的定义，掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形运动的规律，分类讨论思想，图形结合思想是解题的关键． 28．（2024·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，的半径为，是的一条弦，以为边作平行四边形．对于平行四边形和弦，给出如下定义：若边所在直线是的切线，则称四边形是弦的“弦切四边形”． (1)若点，，四边形是弦的“弦切四边形”，在图中画出“弦切四边形”，并直接写出点的坐标； (2)若弦的“弦切四边形”为正方形，求的长； (3)已知图形和图形是弦的两个全等的“弦切四边形”，且均为菱形，图形与不重合．，分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，记的长为，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）因为四边形是弦的“弦切四边形”故是的切线，因为，四边形是平行四边形，故线段是在直线上，且垂直于轴，根据平行四边形的性质可得，所以垂直轴，因为是的一条弦，在上，，由图象可得点坐标为，所以，因为， ，，所以由图象可得点的坐标为． （2）当弦的“弦切四边形”为正方形时，则以为边作出的四边形为正方形，可得线段与相切，交点为点，连接并延长交于点G，故可得出正方形，因为线段与相切，交点为点，为的圆心，所以，因为，所以，，四边形为矩形，设为，因为，所以，又因为，，所以点是AB的中点，即，故在中，，带入数值为，解得：或（舍），所以． （3）分情况讨论：①由题意可得，圆上任意点（与轴轴交点除外），关于轴的对称点B，作菱形与，分别为菱形和菱形，且和与圆相切于点，，分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，连接交轴于点，连接，交轴于点，连接，故是直角三角形，设，因为，所以，因为，，和分别是和的中点，所以，，，所以，因为，和分别是和的中点，所以，因为，，所以，故在中，，带入数值为，故当时，，因为，所以，即，因为，所以．②当点在圆上与轴轴交点上时，关于轴的对称点B，作菱形和菱形， ，分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时的长为圆的直径，即，即．同理可得作菱形和菱形，，分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时的长为圆的直径，即，即．综上所述，的取值范围为或． 【详解】（1）解：∵四边形是弦的“弦切四边形” ∴是的切线， ∵，四边形是平行四边形， 故线段是在直线上，且垂直于轴， 根据平行四边形的性质可得， ∴垂直轴， ∵是的一条弦，在上，， 由图象可得点坐标为， ∴， ∵， ，， ∴由图象可得点的坐标为． ． （2）当弦的“弦切四边形”为正方形时，则以为边作出的四边形为正方形，可得线段与相切，交点为点，连接并延长交于点G，故可得出正方形，如下图所示： ∵线段与相切，交点为点，为的圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， 设为， ∵， ∴， 又∵，， ∴点是AB的中点，即， 故在中，， 带入数值为， 解得：或（舍）， ∴． （3）①由题意可得，圆上任意点（与轴轴交点除外），关于轴的对称点B，作菱形与，分别为菱形和菱形，且和与圆相切于点，，分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，连接交轴于点，连接，交轴于点，连接，故是直角三角形，如图所示： 设， ∵， ∴， ∵，，和分别是和的中点， ∴，，， ∴， ∵，和分别是和的中点， ∴， ∵，， ∴， 故在中，， 带入数值为， 故当时，， ∵， ∴，即， ∵， ∴． ②当点在圆上与轴轴交点上时：如图所示，关于轴的对称点B，作菱形和菱形， ，分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时的长为圆的直径，即，即． 同理可得作菱形和菱形，，分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时的长为圆的直径，即，即． 同理可得作菱形和菱形，,分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时,即. 同理可得作菱形和菱形，,分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，此时,即. 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的性质、正方形的性质、勾股定理解三角形、平面直角坐标系、矩形的性质，二次函数的实际应用、切线的性质定理，熟练掌握这些知识是解题的关键． 29．（2024·北京门头沟·二模）对于关于的一次函数，我们称函数为一次函数的级衍生函数（其中为常数）． 例如，的级衍生函数为：当时，；当时，． (1)如果的级衍生函数为， ①当时，______； ②当时，______． (2)如果的级衍生函数为，求双曲线与的图像的交点坐标； (3)如果以点为圆心，为半径的与的级衍生函数的图像有交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①4；② (2)和 (3)或 【分析】（1）根据定义可得，①当时，代入计算即可；②当时，分两种情况分别求解：当时和当时，再根据的取值范围作进一步判断； （2）根据定义可得再分两种情况分别建立联立方程组求解即可： （3）根据题意可得，如图，直线与轴于点，与轴于点，过点作于点，确定，，，，得到，，设沿轴正方向移动，再分两种情况进行讨论：①当时，如图，当点刚好在上时，过点作轴于点，连接；如图，当与直线相切时，设切点为，连接；②时，如图，当点刚好在上时，过点作轴于点，连接；如图，当与直线相切时，设切点为，连接，设直线交轴于点，可得结论． 【详解】（1）解：∵的级衍生函数为， ∴， ①当时，， 故答案为：； ②当时， 当时，得：，解得：， 当时，得：，解得：（舍去）， 故答案为：； （2）∵的级衍生函数为， ∴ 当时， 联立方程组， ∴， ∵， ∴方程无解，即方程组无解， 此时两个函数图像之间没有交点； 当时， 联立方程组， 解得：或， ∴双曲线与的图像的交点坐标是和； （3）∵的级衍生函数为， ∴ 如图，直线与轴于点，与轴于点， 当时，得：；当时，得：；当时，得：， ∴，，， 当时，得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵以点为圆心，为半径的与的级衍生函数的图像有交点， 设沿轴正方向移动， ①当时， 如图，当点刚好在上时，过点作轴于点，连接， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时； 如图，当与直线相切时，设切点为，连接， ∴，， 在中，， ∴， ∴此时， ∴的取值范围是； ②时， 如图，当点刚好在上时，过点作轴于点，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴此时； 如图，当与直线相切时，设切点为，连接，设直线交轴于点， ∴，， 对于直线， 当时，得：；当时，得：， ∴，且在直线上， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴此时， ∴的取值范围是； 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】本题考查函数的新定义，函数图像上点的坐标特征，一次函数与反比例函数图像的交点，点和圆的位置关系，切线的性质，等边对等角，解直角三角形等知识点，运用了分类讨论的思想．掌握函数图像交点坐标的确定方法，点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系，解直角三角形是解题的关键． 30．（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，点P、Q是平面内的点，如果点P关于点Q的中心对称点在上，我们称圆上的点为点P关于点Q的“等距点”． (1)已知如图1点． ①如图1，在点 中，上存在点P关于点Q的“等距点”的是________； ②如图2，点 ，上存在点P关于点Q的“等距点”，则m的取值范围是________； (2)如图3，已知点，点P在的图象上，若上存在点P关于点Q的“等距点”，求b的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①求出点P关于的对称点，利用点到圆心的距离与半径比较，即可判断“等距点”； ②在上任取一点点P关于点Q的“等距点”M，连接，取的中点即为点Q，连接，取其中点，连接，根据中位线定理则判断出点Q的在以为圆心，半径为1的上，即可求解； （2）过点O作点Q的对称点，则点为，则上所有的点关于点Q的对称点都在以为圆心，半径为2的上，那么直线与有公共点即可，找到两个临界状态，即相切位置，分别求b即可． 【详解】（1）解：①如图，点P关于的对称点分别为，则，， ∴在上， ∴点P关于点Q的“等距点”的是 故答案为：； ②在上任取一点点P关于点Q的“等距点”M，连接，取的中点即为点Q，连接，取其中点，连接， ∴， ∴点Q的在以为圆心，半径为1的上， ∵与轴交于点， ∴， 故答案为：． （2）解：过点O作点Q的对称点，则点为， ∴上所有的点关于点Q的对称点都在以为圆心，半径为2的上， ∵点P在的图象上， ∴当直线与相交即可， 当直线与第一次相切时，设切点为点E，直线与y轴交点G，当直线与第二次相切时，设切点为点F， ∵， ∴， ∴， ∵点， ∴其点Q与点O的水平距离与铅锤距离均是1， ∴， 由相切得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， 同理可求当直线与第二次相切时，， 综上：． 【点睛】本题考查了新定义，中心对称，圆的定义，中位线定理，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 31．（2024·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和外一点，给出如下定义：若直线，都是的切线，则称点是弦的“关联点”． (1)已知点． ①如图1，若的弦，在点，，中，弦的“关联点”是______； ②如图2，若点，点C是的弦的“关联点”，直接写出长； (2)已知点，线段是以点D为圆心，以1为半径的的直径，对于线段EF上任意一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”．当点S在线段上运动时，将其对应的弦长度的最大值与最小值的差记为t，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①，；②． (2) 【分析】（1）①已知线段长，求出的长度，根据平面直角坐标系中两点间的距离公式求出，，，再看与是否相等即可作出判断； ②由，的坐标求出，再求出到的距离，进而求出； （2）首先确定线段与长度间的关系，线段长度越长，线段长度越长；然后举例线段，确定线段最大值和最小值取值情况；改变线段的位置，确定线段最大值和最小值的变换情况；当线段是水平线段时，取最大值；当线段是竖直线段时，取最小值，由此可解决问题． 【详解】（1）解：先探究长度确定时，的长度，如图， ，是的切线，切点分别为，， 由切线长定理，得，，， ， ，即， ， ①，， ， ， ， ， ， 弦的“关联点”是，， 故答案为：和； ②． 理由：由，， 可知， ， ； （2）解：． 理由如下：，， ， ， 越大，越大；越小，越小； 以线段为例，如图： 当最大时，， 当最小时，， 改变线段的位置到，如图： 当由变为， ， ， 当由变为， ， ， ，， ， 当为水平线段时，如图： ，， ， ， ， 改变线段的位置到，如图： 过点作于点， 当由变为， ， ， 当由变为时， ， ， ，， ， 当为竖直线段时，如图： ，或， ， ， ， 综上，． 【点睛】本题是一道圆的综合题，考查对新定义的理解，切线长定理，相似三角形，勾股定理，准确理解“关联点”，能灵活运用线段与的等量关系是解题的关键． 32．（2024·北京平谷·一模）平面直角坐标系中，已知和平面上一点P，若切于点A，切于点B，且，则称点P为的伴随双切点． (1)如果的半径为2 ①下列各点，，，是的伴随双切点的是______； ②直线上存在点P为的伴随双切点，则b的取值范围______； (2)已知点，过点F作y轴的垂线l，点是x轴上一点，若直线l上存在以为直径的圆的伴随双切点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或 【分析】（1）求出点P为的伴随双切线的条件，①根据求出的条件进行判断即可；②根据得出的条件，判断原点到直线的距离的关系，从而得出解； （2）根据（1）得出点P存在的条件，判断以为直径的圆的圆心和半径的数量关系，从而得解． 【详解】（1）解：①根据定义，由，是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵点，，，， ∴， ∵， ∴点是的伴随双切点． 故答案为：； ②∵直线上存在点P为的伴随双切点． ∴圆心O到直线的距离不大于． 设直线与x轴，y的交点为C，D，过点O作于点E，如图． 令，则，令，则， ∴点，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）设的中点为F， ∴． ∵轴，F过直线l， ∴直线l的表达式为， ∴圆心F到直线l的距离为， 由（1）可知， ∴， ∴， 即， ∴或． 【点睛】本题是一道圆的综合问题，考查了切线的性质，锐角三角函数，勾股定理等，准确的理解新定义是解题的关键． 33．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于线段，直线l和图形W给出如下定义：线段关于直线l的对称线段为（分别是M，N的对应点）．若与均与图形W（包括内部和边界）有公共点，则称线段为图形W关于直线l的“对称连接线段”． (1)如图1，已知圆O的半径是2，的横、纵坐标都是整数．在线段中，是关于直线的“对称连接线段”的是 ． (2)如图2，已知点，以O为中心的正方形的边长为4，各边与坐标轴平行，若线段是正方形关于直线的“对称连接线段”，求k的取值范围． (3)已知的半径为r，点，线段的长度为1．若对于任意过点Q的直线l，都存在线段是关于l的“对称连接线段”，直接写出r的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、圆的性质、“对称连接线段”的定义等知识点，掌握“对称连接线段”的定义成为解题的关键． （1）直接根据“对称连接线段”的定义以及抽对称的性质进行解答即可； （2）先根据“对称连接线段”的定义以及抽对称的性质画出图形，然后点P的对称点是和时是临界点即可解答； （3）如图3：连接，则，然后根据图形及“对称连接线段”的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图1: 因为关于的对称点是在上，所以是关于直线的“对称连接线段”， 因为和关于的对称点是和在外，所以不是关于直线的“对称连接线段”， 因为关于的对称点是在内，所以是关于直线的“对称连接线段”． 故答案为：． （2）解：如图2： 设直线交y轴于A，根据轴对称的性质，点P和它的对称点到A的距离相等， 所以点P的对称点在以A为圆心，1为半径的圆上运动， 当点P的对称点在圆和正方形重合的部分时，满足条件， 过点P的对称点是和时是临界，此时k的值分别是1和． ∴或． （3）解：如图3： 连接，则， ∴点M关于过Q的直线的对称点在以Q为圆心，为半径的圆上运动，点N在以Q为圆心，半径是和的圆上运动， 设半径是的圆交y轴于点W， ∴． 34．（2024·北京石景山·一模）对于线段和点给出如下定义：点在线段的垂直平分线上，若以点为圆心，为半径的优弧上存在三个点，使得是等边三角形，则称点是线段的“关联点”．例如，图1中的点是线段的一个“关联点”. 特别地，若这样的等边三角形有且只有一个，则称点是线段的“强关联点”．    在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)如图2，在点，，，中，是线段的“关联点”的是 ； (2)点在直线上．存在点，是线段的“关联点”，也是线段的“强关联点”． ①直接写出点的坐标； ②动点在第四象限且，记．若存在点，使得点是线段的“关联点”，也是的“关联点”，直接写出及线段的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或或； 【分析】（1）根据“关联点”的定义进行判断即可； （2）①设直线与线段的垂直平分线交于点C，求出，根据点P是线段的“关联点”，是线段的“强关联点”，得出点P在直线上，，，证明，求出，得出点B的纵坐标为，即可求出结果； ②根据题意得出点D在以点A为圆心，2为半径的圆上，点Q在直线上，点Q也在的垂直平分线上，画出图形，找出临界点，然后求出的取值范围，的范围即可． 【详解】（1）解：在的垂直平分线上取点，连接，使，以点为圆心，为半径作圆，交的垂直平分线于点，连接，，    则，， ∴为等边三角形， 此时在优弧上只能作一个等边三角形， ∴点是线段的“强关联点”， ∵当时，在优弧上任意作一个圆周角一定大于， ∴要使线段的“关联点”存在，， ∵不在线段的垂直平分线上， ∴点不是线段的“关联点”， 连接，，，，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是线段的“关联点”， ∵， ∴， ∴点不是线段的“关联点”； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是线段的“关联点”； （2）解：①设直线与线段的垂直平分线交于点C，如图所示：      把代入得：， ∴， ∴， ∵点P是线段的“关联点”，是线段的“强关联点”， ∴点P在直线上，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴点B的纵坐标为， 把代入得：， 解得：， ∴； ②∵， ∴点D在以点A为圆心，2为半径的圆上， ∵，， ∴点O、B在该圆上， 过点A作于点E， ∴， ∴垂直平分， ∴点Q在直线上， 根据解析①可知：， ∴当时， ∴， ∵点Q也在的垂直平分线上， ∴的垂直平分线必须与相交， 当时，的垂直平分线与的垂直平分线互相平行，此时的不符合题意， 根据解析（1）可知，当时，点Q不是的“关联点”， ∴要Q是的“关联点”，则， 即， 如图，取、，使，则点D在（不包括端点、）上时，不符合题意， ∴的取值范围是：或或，      作的垂直平分线交于点F，交于点Q， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，两点间距离公式，解题的关键是作出辅助线，理解题意，根据题意画出图形． 35．（2024·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点．对于点，给出如下定义： 若点关于直线的对称点为点，点关于直线的对称点为点，则称点是点关于点的“二称点”． (1)已知点，点，点是点关于点的“二称点”， ①如图1，当时，点的坐标为__________； ②连接，若所在直线平行于坐标轴时，直接写出此时的长度； (2)已知点在直线上，如图，直线与轴，轴分别交于点，，对于线段上（包括端点）任意一点，若以为半径的上总存在一点，使得点关于点的“二称点”在x轴的正半轴上，直接写出符合条件的的值．（已知） 【答案】(1)①，②或者； (2)． 【分析】（）根据新定义求出点的坐标即可； 分两种情况讨论，再根据特殊三角形的计算即可； （）利用新定义的运算即可求解；分别求得点与重合的情形，取得临界值，关于直线对称的与轴相切，则也与轴相切，进而求得直线与轴的夹角，进而得出，即可求解． 本题考查圆综合题、一次函数的应用、二元一次方程组的应用、轴对称变换，垂直平分线的性质，锐角三角函数，直角三角形的性质，中点坐标及两点间距离等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图形，寻找特殊位置解决问题． 【详解】（1）∵ ∴ 则， 如图所示， 设直线上一点为，直线与轴的夹角为，则 ∴， ∵关于的对称点为，则是等边三角形，则 则 ∴点关于对称的点， 点关于对称的点， 故答案为： 如图，当点在时，与重合时，此时轴， 当时，，则 ∴ 点关于对称的点， ∴； 如图，当关于原点对称时，      ∴， ∴， ∴， 综上：的值为或； （2）解：∵直线与轴，轴分别交于点，， 当时，，当时， ∴，， ∴，则， ∵点在直线上 ∴， ∵点关于直线的对称点为点，点关于直线的对称点为点， 如图所示，当点与点重合时，关于直线对称的与轴相切时符合题意，则轴，设交轴于点,设是直线在第一象限内一点， ∵，，， 在中， ∴ ∵， ∴ ∵关于直线对称 ∴直线与轴的夹角为，即 即 解得： 当点与点重合时，如图所示， ∵ 则是等边三角形，则 设，则 ∴ ∴ ∴直线与轴的夹角为，则 ∴在线段上运动，观察函数图象可得在，点时，总有1个点满足题意，在线段（不含端点）上时，,总有交点，即上总有一点使得点关于点的“二称点”在x轴的正半轴上， 综上所述， 36．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，对于和线段给出如下定义：如果线段上存在点P，Q，使得点P在⊙G内，且点Q在外，则称线段为的“交割线段”．    (1)如图，的半径为2，点． ①在的三条边中，的“交割线段”是 ； ②点M是直线上的一个动点，过点M作轴，垂足为N，若线段是的“交割线段”，求点M的横坐标m的取值范围； (2)已知三条直线，，分别相交于点D，E，F，的圆心为，半径为2，若的三条边中有且只有两条是的“交割线段”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①；②当或 (2)或 【分析】（1）先根据点A和点B的坐标得到与相切，则线段上没有点在外；再证明线段上没有点在外，线段上有点在内，也有点在内，即可得到结论； （2）设直线在x轴上方与交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，设，利用勾股定理求出，由函数图象可知，当点M在之间（不包括端点），即时，线段是的“交割线段”；由对称性可得当时，线段是的“交割线段”； （3）分图2-1，图2-2，图2-3，图2-4四种临界情况，求出此时t的值，再结合图形以及“交割线段”的定义即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴点A在上， ∴与相切， ∴线段上没有点在外， ∴线段不是的“交割线段”， ∵， ∴点C在内，点B在外， ∴线段上没有点在外，线段上有点在内，也有点在内， ∴线段不是的“交割线段”，线段是的“交割线段”， 故答案为：；    ②如图所示，设直线在x轴上方与交于T，过点T和点B分别作x轴的垂线，垂足分别为G、H，设， ∴，， ∴此时点H刚好在上，且此时与相切； ∵的半径为2， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴由函数图象可知，当点M在之间（不包括端点），即时，线段是的“交割线段”； 由对称性可得当时，线段是的“交割线段”； 综上所述，当或时，线段是的“交割线段”；    （2）解：联立 得， ∴， 同理可得，； 如图2-1所示，当恰好经过点D时， ∴， ∴；    如图2-2所示，当恰好与相切于H时，连接， ∵，， ∴， ∴， 由切线的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当时，是的“交割线段”，不是的“交割线段”；        如图2-3所示，当恰好经过点D时， ∴， ∴；    如图2-4所示，当恰好与相切于P时，连接，设直线与x轴交于Q， ∴， ∴， ∴； 由切线的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，是的“交割线段”，不是的“交割线段”；      综上所述，当或时，的三条边中有且只有两条是的“交割线段”． 【点睛】本题主要考查了切线的性质与判定，坐标与图形，勾股定理，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定等等，解题的关键在于正确理解“交割线段”的定义，以及求出临界情况下的临界值． 37．（2024·北京房山·一模）在平面直角坐标系中，将中心为的等边三角形记作等边三角形，对于等边三角形和点（不与重合）给出如下定义：若等边三角形的边上存在点N，使得直线与以为半径的⊙相切于点，则称点为等边三角形的“相关切点”． (1)如图，等边三角形的顶点分别为点，，． ①在点，，中，等边三角形的“相关切点”是 ； ②若直线上存在等边三角形的“相关切点”，求的取值范围； (2)已知点，等边三角形的边长为．若存在等边三角形的两个“相关切点”，，使得△为等边三角形，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；②； (2)或． 【分析】（）根据新定义即可求解； 找到关键点先求出此时的值，然后即可求解； （）由可知，点在直线上，再根据新定义分四种情况画出图即可； 本题考查了圆的切线，勾股定理和等边三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图， 根据题意，直线与以为半径的相切， 由图可知，等边三角形的“相关切点”是， 故答案为：； 根据题意，满足题意的点是以，半径为的弧上，如图， 若直线上存在等边三角形的“相关切点”，如图， 由，是等腰直角三角形，， ∴， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， 此时， ∴的取值范围为； （2）如图，此时中，，， 此时，， 解得：（负值舍去）， 如图，此时中，，， 此时，， 解得：（正值舍去）， 如图， 此时，， 解得：或（舍去）， 如图， 此时，， 解得：（舍去）或， 综上可知：或． 38．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，已知线段和直线，，线段关于直线，的“垂点距离”定义如下：过点P作于点M，过点Q作于点N，连接，称的长为线段关于直线和的“垂点距离”，记作d． (1)已知点，，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d为______； (2)如图1，线段在直线上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为______； (3)如图2，已知点，的半径为1，直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点P作于点M，过点Q作于点N，得到，，根据两点间距离公式即可求解， （2）设点，，得到，将代入，得到，结合，得，，由两点间距离公式得到，由，即可求解， （3）延长、交于点，作中点，由，，得到 ，，，进而得到等边三角形，根据线段垂直平分线的判定，及等腰三角形三线合一，得到，，，进而得到直线的解析式：，当点在点右侧时，，四点共圆，当点在点左侧时，四点共圆，根据直角所对弦是直径及圆周角定理，得到为的直径，是顶角为的等腰三角形，，设点，则，，根据直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），得到，进而得到的取值范围，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，连接， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：， （2）解：设点，， ∵点P，Q在直线上，轴，轴， ∴， 将代入，得：，解得：， ∴， ∴，整理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：， （3）解：设直线与轴交于点，与直线交于点，延长、交于点，作直线与轴交于点，连接，作中点，连接，，，， ∵直线的解析式为：， ∴，， ∵直线的解析式为：， ∴当时，，当时，，即：， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为：，则：，解得：， ∴直线的解析式为：， 当点在点右侧时，， ∴， ∴四点共圆， 当点在点左侧时， ∴， ∴四点共圆， ∵，点为中点，， ∴为的直径，，， ∴是顶角为的等腰三角形， ∴， 设点，则， ∴， ∵直线与交于P，Q两点， ∴，即， ∵点P的横坐标大于点Q的横坐标， ∴点P在直线下方， 当时，，，解得：， ∴， ∴，即：， ∴，即：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了，两点间距离公式，圆周角定理，四点共圆，特殊角三角函数，解题的关键是：连接辅助线找到与相关线段的取值范围． 39．（2024·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，已知点，的半径为1，过外一点作两条射线，一条是的切线，另一条经过点，若这两条射线的夹角大于或等于，则称点为的“伴随点”． (1)当时， ①在，，，中，的“伴随点”是______． ②若直线上有且只有一个的“伴随点”，求的值； (2)已知正方形的对角线的交点，点，若正方形上存在的“伴随点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2)或 【分析】（1）①设射线与相切于点M，连接，根据题目中的定义得出，分别求出四个点与间的距离，然后进行判断即可； ②根据直线上有且只有一个的“伴随点”，得出直线与以为圆心，为半径的圆相切，设直线与x轴，y轴分别交于点A、B，与以为圆心，为半径的圆相切于点C，连接，求出，得出，即可求出结果； （2）分两种情况进行讨论：当时，当时，分别画出图形，列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：①如图1，设射线与相切于点M，连接， ∴， 当时，为等腰直角三角形， ∴， ， ∴当点P在外，时，， 当时，点， ∵，，，， ∴在，，，中，的“伴随点”是，； 故答案为：， ②∵当点P在外，时，， ∴点P在以T为圆心，以为半径的圆上或圆内且在以1为半径的圆外， 如图2： ∵直线上有且只有一个的“伴随点”， ∴直线与以为圆心，为半径的圆相切， ∴， 设直线与x轴，y轴分别交于点A、B，与以为圆心，为半径的圆相切于点C，连接， ∴， 令，，令，， ∴，， ∴，， 在中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵正方形的对角线的交点，点， ∴点，，， 当时，如图所示： 此时正方形上的点到圆心T的最大距离为，最小距离为， ∵正方形上存在的“伴随点”，且点P在以T为圆心，以为半径的圆上或圆内且在以1为半径的圆外， ∴，， ∵， ， ∴， 解得：； 当时，如图所示： 此时正方形上的点到圆心T的最大距离为，最小距离为， ∵正方形上存在的“伴随点”，且点P在以T为圆心，以为半径的圆上或圆内且在以1为半径的圆外， ∴，， ∵， ， ∴， 解得：； 综上分析可知：的取值范围是或． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，勾股定理，两点间距离公式，等腰直角三角形的性质，解不等式组，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 40．（2024·北京西城·一模）在平面直角坐标系 中，已知的半径为．对于上的点 和平面内的直线 给出如下定义：点关于直线的对称点记为，若射线 上的点满足 则称点为点关于直线的“衍生点”． (1)当时，已知上两点 在点， 中，点关于直线的“衍生点”是 ，点关于直线的“衍生点”是 ； (2)为 上任意一点， 直线 与轴， 轴的交点分别为点 ，． 若线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，直接写出的取值范围； (3)当时，若过原点的直线上存在线段 ，对于线段 上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”． 将线段长度的最大值记为，对于所有的直线，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先得出直线为，根据轴对称得出进而可得，，勾股定理求得点与原点的距离，进而根据新定义即可求解； （2）依题意，当线段上存在一个点到原点的距离为时，则符合题意，进而分画出图形，即可求解； （3）根据题意，画出图形，就点的位置，分类讨论，根据新定义即可求解． 【详解】（1）解：∵当时，直线为，即轴， ∵ ∴ ∴，， ∵， ∴，，，， ∴点关于直线的“衍生点”是，点关于直线的“衍生点”是， 故答案为：． （2）解：依题意，， 由（2）可得当点是点关于直线的“衍生点”则， ∵为 上任意一点， 直线 与轴， 轴的交点分别为点 ，． ∴， ∴当线段上存在一个点到原点的距离为时， 当时，如图所示， 当时，即与点重合时，存在点是点关于直线的“衍生点”，则 则（除端点外）上所有的点到的距离都， ∵对称轴为直线，不能为轴，则和不是点关于直线的“衍生点”，则符合题意， ∵线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”， ∴， 当，此时最短，则当时，，此时只有1个点到的距离为，其他的点都不是点关于直线的“衍生点”， ∴； 根据对称性，当时，可得； 综上所述，或 （3）∵时 ∴随着的变化，点关于直线的对称点始终在圆上， 如图所示，依题意，直线是经过圆心，且经过的直线，经过圆心， ①当点在（包括边界）上时，当重合时，当为直径时，则， 根据新定义可得， ∴， ②当点在的内部的圆弧上时（不包括边界），当为直径时，则， 则对于线段 上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”． 当在轴上时，两条边界线的正中间，则的最小值为， ∴即 综上所述，． 【点睛】本题考查了一次函数，圆的定义，轴对称的性质，勾股定理求线段长，理解新定义，熟练掌握几何变换是解题的关键． 41．（23-24九年级上·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点， ，将一个图形先绕点S顺时针旋转α，再绕点T逆时针旋转α．    (1)点R在线段ST上，则在点，，， 中，有可能是由点R经过一次“对称旋转”后得到的点是_________； (2)x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q． ①当时， ________； ②当时，若轴，求点P的坐标； (3)以点O为圆心作半径为1的圆．若在上存在点M，使得点M经过一次“α对称旋转”后得到的点在x轴上，直接写出α的取值范围． 【答案】(1)B，C； (2)①2；②； (3)或． 【分析】本题主要考查了新定义，旋转的性质，解直角三角形，圆周角定理，正确理解题目所给“对称旋转”的定义，熟练掌握旋转的性质，是解题的关键． （1）根据“α对称旋转”新定义即可判断; （2）①由旋转可得和均为等边三角形，进而推出即可证得结论;②根据“α对称旋转”新定义得点Q的坐标为，，，进而得出，再利用勾股定理即可求得答案; (3) 点M在上，则M绕S顺时针旋转α度以后的的轨迹为O绕S顺时针旋转α度以后的上，关于T逆时针旋转α度以后得到点N，则N在关于T逆时针旋转α度以后的上，只需与x轴有交点在粉弧上，且,则与x轴相切，再证得，即可求得答案； 【详解】（1）解：由一次“对称旋转”定义，将先绕点T顺时针旋转得，再绕点S逆时针旋转得，如图所示：   不是由点R经过一次“对称旋转”后得到的点； 同理可得，是由点经过一次“对称旋转”后得到的点；是由点经过一次“对称旋转”后得到的点；不是由点R经过一次“对称旋转”后得到的点； 故答案为： B，C； （2）①当时，如图，   x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q， 和均为等边三角形， ，， ， ， ， ， 故答案为：2； ②当时，设点P绕点S顺时针旋转30°得到点，则, 如图，将x轴作一次“α对称旋转”后得到直线，   轴，点P经过一次“α对称旋转”得到点Q， 点Q的坐标为， 点绕点T逆时针旋转30°得到点Q， ，， ， ， ， ， ， ， , 点P的坐标为． （3）点M在上，则M绕S顺时针旋转α度以后的的轨迹为O绕S顺时针旋转α度以后的上，关于T逆时针旋转α度以后得到点N，则N在关于T逆时针旋转α度以后的上，只需与x轴有交点在粉弧上，且, 如图，与x轴相切，则，在x轴上取点R,连接，使， ″   ， ，，， ， ， 故； 如图，与x轴相切，则，在x轴上取点R,连接，使，   ， ， ， ， ， ， ， ， ； 综上所述，或． 42．（2022·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点” (1)点A的坐标为，则在点，，中，O关于点A的“联络点”是 （填字母）； (2)直线与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足，求点P的坐标； (3)的圆心在y轴上，半径为，点M为y轴上的动点，点N的坐标为，在上存在点M关于点N的“联络点”P，且为等腰三角形，直接写出T的纵坐标t的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）根据新定义结合直径所对的圆周角是直角得到当或者点O与点P或者点A重合时，点P是点O关于点A的“联络点”，据此利用勾股定理和勾股定理的逆定理进行求解判断即可； （2）先求出，则，解直角三角形得到，；根据定义得到，解直角三角形得到，则；设直线与y轴交于点G，先证明，再证明，得到，则，可得，求出直线解析式为，设，则，解方程即可得到答案； （3）根据等腰得到或点M与点P重合，再由为等腰三角形，得到，；当点M在x轴上方时，过点P作轴于点Q，证明，得到，设，则，进而得到，则点P在直线上；设直线与y轴交于点S，则，依题意可知，P在上，则直线与要有交点，如图所示，当点T在点S上方，且直线与相切于点H时，连接，证明是等腰直角三角形，得到，由切线的性质可得，则是等腰直角三角形，可得，则；同理可得当点M在点S下方时，点T的坐标为，故当时，直线与有交点，即此时符合题意；再同理求出M在x轴下方时t的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：根据新定义可知，当点O在以为直径的圆上时，满足点P是点O关于点A的“联络点”， ∴或者点O与点P或者点A重合； ∵点A的坐标为，点， ∴，， ， ∴， ∴， ∴是O关于点A的“联络点”； 同理可得是O关于点A的“联络点”； ∵，， ， ∴， ∴， ∴不是O关于点A的“联络点”； 故答案为：，； （2）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∴， ∵点P是点C关于点D的“联络点”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，设直线与y轴交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 设， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或； （3）解：∵点P是M关于N的“联络点”， ∴或点M与点P重合， ∵为等腰三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 如图所示，当点M在x轴上方时，过点P作轴于点Q， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴点P在直线上， 设直线与y轴交于点S，则， 依题意可知，P在上， ∴直线与要有交点， 如图所示，当点T在点S上方，且直线与相切于点H时，连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由切线的性质可得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； 同理可得当点M在点S下方时，点T的坐标为， ∴当时，直线与有交点，即此时符合题意； 如图所示，当点M在x轴下方时，同理可得当时，符合题意； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，直径所对的圆周角是直角，勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确理解新定义，根据直径所对的圆周角是直角得到对应的角是直角是解题的关键． 43．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”． (1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段，，中，的“倍弦线”是_____； (2)的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围； (3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)、； (2)； (3)． 【分析】本题是新定义阅读题，考查了理解能力，与圆的位置关系，勾股定理等知识，解决问题的关键是几何直观能力，数形结合． （1）根据定义验证可得结果； （2）根据最大值为6，所以以为圆心，3为半径画圆，根据勾股定理求得，进而求得结果； （3）以为圆心，1为半径作圆，直线与圆相切，此时，以为圆心，2为半径作圆，直线与圆相切，求得，进而求得结果． 【详解】（1）解：如图1， ，， ，是的“倍弦线”， 与不相交，， 和不是的“倍弦线”， 故答案为：、； （2）如图2， 以为圆心，3 为半径画圆交直线于和， ， ； （3）如图3， 以为圆心，2为半径画圆，直线与相切， 此时， 以为圆心，1为半径作，直线与线切， 此时， ． 44．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知正方形，其中，为正方形外两点，．给出如下定义： 如果线段平移m个单位后，两端点均落在正方形的边上，则称m的最小值为线段到正方形的“平移距离”，记为d．    (1)如图1，平移线段，得到两条端点在正方形边上且长度为1的线段和，则这两条线段的位置关系是_________；在点中，连接点M与点________的线段的长度等于d． (2)若点都在直线上，求d的值； (3)若点M的坐标为，直接写出d的取值范围． 【答案】(1)平行； (2) (3) 【分析】（1）由平移的性质可得：，由平移的距离的含义结合新定义可得：连接点M与点的线段的长度等于d． （2）如图，在正方形的边上取，可得，再结合一次函数的性质与垂线段最短可得答案； （3）如图，当平行于正方形的边时，不妨设当，且，在上（或在上）时，此时平移距离最短，如图，当与正方形的边不平行时，此时越接近时，平移距离最大，再利用勾股定理可得结论． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：，， ∴， 由平移的距离的含义结合新定义可得：连接点M与点的线段的长度等于d． （2）如图，在正方形的边上取，则，    ∵， ∴，， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴直线， 当直线时，， 记直线的交点为，过作直线于，则， 当时，则， ∴， 记直线与轴的交点为， ∴， 同理可得：， ∴， ∴； （3）如图，当平行于正方形的边时， 不妨设当，且，在上（或在上）时， 此时平移距离最短，    ∵， ∴， 如图，当与正方形的边不平行时，    此时越接近时，平移距离最大， ∵， ∴； ∴； 【点睛】本题考查的是新定义的含义，正方形的性质，一次函数的性质，圆的基本性质，本题难度大，理解题意是关键． 45．（2024·北京东城·一模）对于平面内的点和点，给出如下定义： 若点是点绕点旋转所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图1，点是点关于点的锐角旋转点． (1)已知点，在点中，是点关于点的锐角旋转点的是______． (2)已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围； (3)点是轴上的动点，，点是以为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足．若直线上存在点关于点的锐角旋转点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，． (2) (3) 【分析】（1）如图中，满足条件的点在半圆上（不包括点以及轴上的点），点，满足条件． （2）如图中，以为圆心，3为半径作半圆，交轴于，当直线与半圆有交点（不包括，时，满足条件． （3）根据题意，点关于点的锐角旋转点在半圆上，设点在半圆上，点在半圆上（将半圆绕点旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，求出图3（2），图3（3）中，的值，可得结论． 【详解】（1）解：如图，，， ，， 点不是点关于点的锐角旋转点； ，作轴于点， ， ， ， 点是点关于点的锐角旋转点； ，作轴于点， 则， ， ， ， 不是点关于点的锐角旋转点； ，作轴于点， 则， ， ， 是点关于点的锐角旋转点； 综上所述，在点，，，中，是点关于点的锐角旋转点的是，， 故答案为：，． （2）解：在轴上取点，当直线经过点时，可得， 当直线经过点时，则， 解得：， 当时，绕点逆时针旋转锐角时，点一定可以落在某条直线上， 过点作直线，垂足在第四象限时，如图， 则，， ， 当时，取得最小值， ， ， ． （3）解：根据题意，点关于点的锐角旋转点在半圆上，设点在半圆上，点在半圆上（将半圆绕点旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分， 如图3（2）中，阴影部分与直线相切于点，，，过点作轴于点，过点作于点， ， ， ，， ， ， ，即， 解得， 如图3（3）中，阴影部分与相切于点，，，则，， ， 解得， 观察图象可知，． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，坐标与图形，解直角三角形，勾股定理，点是点关于点的锐角旋转点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于压轴题． 46．（2023·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，对于两个图形和直线，若在图形X上存在点A，在图形Y上存在点B，使得点A和点B关于直线对称，就称图形X和Y互为m关联图形． (1)已知点P的坐标为， ①点P与点Q互为关联图形，则点Q的坐标为 ； ②若的半径为1，点P与互为m关联图形，则m的值为 ； (2)已知点，射线OA与线段l：互为t关联图形，求t的取值范围． (3)已知⊙O的半径为2，直线与x轴，y轴分别交于C，D，若关于对称的图形S与点C互为2m关联图形，直接写出m的值及点D与图形S的位置关系． 【答案】(1)①；②1或2； (2)； (3)，，D在S上，，D在S内部． 【分析】本题考查了轴对称的性质，与圆有关的位置关系等知识，解决问题的关键是理解题意，求对称点． （1）①求出点P关于的对称点即可；②求点P和以及点P和对称得m的值； （2）求出和点对称时的 t的值，以及和对称时t的值，从而确定范围； （3）圆心O关于的对称点是，设图形S上的点J与C点关于对称，设，由得，将代入得，求出m的值，进而求出D个图形S的位置关系． 【详解】（1）解：①如图1， ∵， ∴， ②如图2， ∵，， ∴或1． （2）解：如图3， 由题意得， ∵， ∴直线的解析式是：， ∴当时，， ∵， ， ∴． （3）解：如图4， 圆心O关于的对称点是，设图形S上的点J与C点关于对称， 设，由得， ， 由得， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴D在S上， 当时，， ∴， ∴D在S内部． 47．（2024·北京·模拟预测）已知：如图①，是半圆的直径，点是的中点，点在半圆上运动（不与点重合），若，设线段的长为的面积为，回答下列问题： (1)x的取值范围是_____； (2)当_____时，为等腰三角形； (3)当_____时，有最大值，最大值为______； (4)图②是根据满足条件的的值所画出的图象，则直线与图象有______个公共点，公共点的坐标为______． 【答案】(1) (2) (3)，1 (4)1， 【分析】（1）根据圆的有关概念分别求出、的长，根据三角形的三边关系即可得答案； （2）根据（1）中的取值范围，结合、的长即可得答案； （3）过点作于，用表示出的面积，根据圆的概念得出时，即时的面积最大，利用勾股定理可求出的长，即可得答案； （4）根据及可得时只有于的一种情况，利用勾股定理求出的长，代入求出值即可得答案． 【详解】（1）解：∵，是半圆的直径， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为： （2）∵，，， ∴当时，为等腰三角形． 故答案为： （3）如图，过点作于， ∴， ∴当取最大值时，的面积最大， ∴当时，即时的面积最大， ∴，， ∴，有最大值为． 故答案为：， （4）∵， ∴当时，， ∵，，， ∴当时只有如图于的一种情况， ∴直线与图象有个公共点， ∴， 当时，， ∴交点坐标为． 故答案为： 【点睛】本题考查圆的概念、三角形的三边关系、等腰三角形的定义、勾股定理及一次函数的性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键． 48．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等和点．已知点．                   备用图 (1)在，，中，点P的等和点有________； (2)点A在直线上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标； (3)已知点和线段MN，对于所有满足的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）根据定义判断即可； （2）设点的等和点为，则，设，则点的等和点为，则，即可求； （3）由题意可得点的等和点在直线上，点的等和点在直线上，设直线与轴的交点为，再由，可得点在以为圆心，半径为1的圆上，则点的等和点是两条直线之间的区域，以为圆心，1为半径作圆，过点作的垂线交圆与点，交直线于点，由的最小值为5，可得最小值为4，在中，，可求，同理当点在轴左侧时， 【详解】（1），则， 是点的等和点； ，则， 不是点的等和点； ，则， 是点的等和点； 故答案为：，； （2）设点的等和点为， ， 设，则点的等和点为， ， ， ； （3）， 点的等和点在直线上， ， 点的等和点在直线上， 设直线与轴的交点为， ， 点在以为圆心，半径为1的圆上， 点的等和点是两条直线之间的区域， 如图，以为圆心，1为半径作圆，过点作的垂线交圆与点，交直线于点， 的最小值为5， 最小值为4， 在中，， ， ， 同理当点在轴左侧时， 或． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解新定义，将所求问题与圆相结合是解题的关键． 49．（2024·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知点，A为坐标系中任意一点．现定义如下两种运动：P运动：将点A向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，再将点绕点O逆时针旋转，得到点； Q运动：将点A绕点O逆时针旋转，得到点，再将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点． (1)如图，已知点，，点A分别经过P运动与Q运动后，得到点，． ①若，请你在下图中画出点，的位置； ②若，求m的值． (2)已知，点A，B分别经过P运动与Q运动后，得到点，与点，，连接，．若线段与存在公共点，请直接写出此时线段长度的取值范围（用含有t的式子表示）． 【答案】(1)①见详解；② (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）①根据P运动和Q运动的运动方式求解即可; ②首先表示出点的坐标为，的坐标为，然后根据得到，进而求解即可； （2）由题意得：，设，经过P运动，则，则；Q运动后，，，则即可求解． 【详解】（1）①作图如图所示： 由P运动知，由旋转得，， 而， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 由Q运动同理可求，再向右平移1个单位，向上平移0个单位得到． ②∵， ∴点A经过P运动后得到的点的坐标为 点A经过Q运动后得到的点的坐标为 ∵ ∴， ∴． （2）由题意可得： 由旋转的不变性和平移的性质得：，， 设，经过P运动，则，则； Q运动后，，， 则， ∴当时，线段与存在公共点， ∴， ∴． 50．（2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1，P为外一点．给出如下定义：以线段为对角线作矩形，若点M在内或上，点N在外，则称矩形是点P的“圆伴矩形”． 例如，图1中的矩形是点P的一个“圆伴矩形”． (1)已知矩形是点A的“圆伴矩形”且点N在外， ①若点A的坐标为且点M在上，则矩形的面积是__________； ②若点A的坐标为，则点N的横坐标t的取值范围是__________； (2)已知，直线与x轴，y轴分别交于点C，D．若线段上存在点N，使得矩形是点B的“圆伴矩形”（点在外），直接写出b的取值范围． 【答案】(1)①2；② (2)或 【分析】（1）根据新定义画出图形计算即可； （2）分和两种情况，然后根据题意画出图形计算出最大值和最小值即可解题． 【详解】（1）①如图，由题可得点M坐标为， 即 ∴矩形的面积是； ②如图，以为直径作圆，则点，在圆上， 又∵点M在内或边上， ∴， 当时，过点N作轴于点B， ∵，即， 解得：， ∴； ∴点N的横坐标t的取值范围是； （2）解：若，当，最小， 当点N在x轴负半轴上时，b值最小，这时， ∴点N的坐标为， 代入可得：； 当时，值最大， 令，则，解得：， ∴， 当时，， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即， 由于这时矩形不存在，故取不到， 故b的取值范围为 当时，由对称性可得， ∴b的取值范围为或． 【点睛】本题考查矩形的性质，新定义，圆的切线的性质，勾股定理，三角函数，一次函数能根据题意找准临界位置是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 难点专练08 新定义题 【类型1 新定义问题】 1 ►类型1 新定义问题 1．（2024·北京·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点C给出如下定义：若直线，都是的切线，则称点C是弦的“关联点”． (1)如图，点，，． ① 在点，，中，弦的“关联点”是 ； ② 若点C是弦的“关联点”，直接写出，的长． (2)已知直线与x轴，y轴分别交于点M，N，对于线段上一点T，存在的弦，使得点T是弦的“关联点”，记四边形的面积为S，当点T在线段上运动时，直接写出S的最小值和最大值，以及相应的长． 2．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于直线l和线段，给出如下定义：若将线段关于直线l对称，可以得到的弦（，分别为A，B的对应点），则称线段是的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段是的关于直线l对称的“关联线段”． (1)如图2，点，，，，，的横、纵坐标都是整数． ①在线段，，中，的关于直线对称的“关联线段”是______； ②若线段，，中，存在的关于直线对称的“关联线段”，则______； (2)已知交x轴于点C，在中，，．若线段是的关于直线对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的长． 3．（2024·北京平谷·二模）平面直角坐标系中，已知线段，为线段上一点不与点、重合，以为圆心，长为半径画，以为顶点作，，若角的两边一边与相切，另一边与相交，则称线段与关于点关联． (1)若点为线段的中点，线段与关于点关联，则满足条件的值可以是________①②③④． (2)半径为，是上一点，，是轴上一点，线段与关于点关联，直接写出的取值范围； (3)半径为，点是上一点，点，，线段与关于点关联，若在直线上存在满足条件的点，直接写出的取值范围． 4．（2024·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点和的弦，给出如下定义：若，则称弦是点的“关联弦”． (1)如图1，已知点，点，，，，，，在弦，，中，点的“关联弦”是 ； (2)如图2，已知点，在上，弦是点的“关联弦”，直接写出长度的最大值； (3)如图3，已知点，，对于线段上一点，存在的弦，使得弦是点的“关联弦”，若对于每一个点，将其对应的“关联弦”长度的最大值记为，则当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 5．（2024·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，对于两点和直线，过点作直线的垂线，垂足为点，若点关于点的对称点为点，则称点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”．已知点． (1)①点关于轴和点的“垂足对称关联点”的坐标为______； ②点为点关于直线和点的“垂足对称关联点”，则点到直线的距离为______； (2)如图，点在线段上，点在轴下方，且满足，若直线上存在点关于轴和点的“垂足对称关联点”，求的取值范围． 6．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，的半径为1，已知点A，过点A作直线MN．对于点A和直线MN，给出如下定义：若将直线MN绕点A顺时针旋转，直线MN与有两个交点时，则称MN是的“双关联直线”，与有一个交点P时，则称MN是的“单关联直线”，AP是的“单关联线段”． (1)如图1，，当MN与y轴重合时，设MN与交于C，D两点．则MN是的“______关联直线”（填“双”或“单”）；的值为______； (2)如图2，点A为直线上一动点，AP是的“单关联线段”． ①求OA的最小值； ②直接写出△APO面积的最小值． 7．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，对于线段与直线，给出如下定义：若线段关于直线的对称线段为(，分别为点，的对应点)，则称线段为线段的“关联线段”． 已知点，． (1)线段为线段的“关联线段”，点的坐标为，则的长为______，的值为______； (2)线段为线段的“关联线段”，直线经过点，若点，都在直线上，连接，求的度数； (3)点，，线段为线段的“关联线段”，且当取某个值时，一定存在使得线段与线段有公共点，直接写出的取值范围． 8．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，对于的弦和点给出如下定义：若点关于直线的对称点在上，且点在弦的垂直平分线上，则称点是弦的“关联点”．已知的半径为． (1)如图，点．在点中，弦的“关联点”是_________； (2)若点是弦的“关联点”，求弦的长； (3)已知点对于线段上一点，存在的弦，使得点是弦的“关联点”记的长为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 9．（2024·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，对于点P和图形M，给出如下定义：若图形M上存在一点Q不与O重合，使点P关于直线的对称点在图形M上，则称P为图形M的关联点． (1)如图，点，．在点，，中，线段的关联点是______； (2)已知点，的半径为2，点P在直线上，若P为的关联点，求点P的横坐标的取值范围； (3)的圆心为，半径为3，x轴上存在的关联点，直接写出t的取值范围． 10．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，对于图形与图形给出如下定义：为图形上任意一点，将图形绕点顺时针旋转得到，将所有组成的图形记作，称是图形关于图形的“关联图形”． (1)已知，，，其中． 若，请在图中画出点关于线段的“关联图形”； 若点关于线段的“关联图形”与坐标轴有公共点，直接写出的取值范围； (2)对于平面上一条长度为的线段和一个半径为的圆，点在线段关于圆的“关联图形”上，记点的纵坐标的最大值和最小值的差为，当这条线段和圆的位置变化时，直接写出的取值范围（用含和的式子表示）． 11．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于和直线给出如下定义：若的一条边关于直线的对称线段是的弦，则称是的关于直线的“关联三角形”，直线是“关联轴”． (1)如图1，若是的关于直线的“关联三角形”，请画出与的“关联轴”（至少画两条）； (2)若中，点坐标为，点坐标为，点在直线的图像上，存在“关联轴”使是的关联三角形，求点横坐标的取值范围； (3)已知，将点向上平移2个单位得到点，以为圆心为半径画圆，，为上的两点，且（点在点右侧），若与的关联轴至少有两条，直接写出的最小值和最大值，以及最大时的长． 12．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于的弦和外一点给出如下定义：若直线，中一条是的切线，另一条是线段的垂线，则称点是弦的“关联点”． (1)如图，点，，． ①在点，，中，弦的“关联点”是__________； ②若点是弦的“关联点”，直接写出的长__________． (2)已知点，．对于线段上一点，存在的弦，使得点是弦的“关联点”．记的长为，当点在线段上运动时，直接写出的取值范围． 13．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和点，给出如下定义：若是直角三角形，称点是弦的“关联点”． (1)如图，已知点，，在点，，中，是弦的“关联点”的是____________； (2)已知的直径的“关联点”在轴上，有一边与相切，设点，当时，直接写出点的纵坐标的取值范围； (3)点在上，轴，，已知点，，若线段上存在一点是的弦的“关联点”，且，直接写出的取值范围． 14．（2024·北京石景山·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于与，给出如下定义：若与有且只有两个公共点，其中一个公共点为点A，另一个公共点在边上（不与点B，C重合），则称为的“点A关联三角形”． (1)如图，的半径为1，点，为的“点A关联三角形”． ①在，这两个点中，点A可以与点___________重合； ②点A的横坐标的最小值为___________； (2)的半径为1，点，点B是y轴负半轴上的一个动点，是等边三角形，且为的“点A关联三角形”．设点C的横坐标为m，求m的取值范围； (3)的半径为r，直线与在第一象限的交点为A，点，若平面直角坐标系中存在点B，使得是等腰直角三角形，且为的“点A关联三角形”，直接写出r的取值范围． 15．（2024·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，对于图形M和图形N给出如下定义：如果图形M上存在点P、轴上存在点T，使得点P以点T为旋转中心，逆时针旋转得到的点Q在图形N上，那么称图形N是形M的“关联图形”． (1)如图，点，，，． ①在点B，C，D中，点A的“关联图形”是_____； ②若不是点A的“关联图形”，求的半径的取值范围； (2)已知点，，，的半径为1，以线段为对角线的正方形为，若是正方形的“关联图形”，直接写出的最小值和最大值． 16．（2024·北京昌平·二模）对于平面直角坐标系中的点P和图形M，给出如下定义：将图形M绕P顺时针旋转得到图形N，当图形M与图形N有公共点时，我们称点P是图形M的“关联点”．已知，． (1)如图1，点P是线段的“关联点”，在点，，中，则满足条件的点是__________； (2)若直线上存在点P，使点P为线段的“关联点”，直接写出b的取值范围； (3)以为圆心，1为半径的，若线段上存在点P，使点P为的“关联点”，直接写出t的取值范围． 17．（2024·北京·模拟预测）对于两条不平行的直线和，它们所夹的角之一为．将点先关于作轴对称点，再将关于作轴对称点．称为的对称点 的半径为1． (1)当两条对称轴分别为和，直接写出的对称点坐标 (2)直接写出的对称点横坐标的取值范围 (3)和是上两个不同的点，交轴于为的对称点．的纵坐标取值范围，求的值 (4)的半径为为轴除原点外一点，使得上存在点，直线交y轴于点上有的对称点直接写出k的取值范围． 18．（2024·北京海淀·模拟预测）对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果，两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形，间的“闭距离”，记作，已知点，，． (1)①求点，； ②若点在轴正半轴上，点，，求点的坐标； (2)记函数的图象为图形，若图，，直接写出的取值范围； (3)以点为正方形中心，四条边均平行于坐标轴且到点距离为的正方形为单位正方形，若点在轴上且单位正方形，，请直接写出的取值范围． 19．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，将图形W上除原点O外的每一点P变换为射线上的点，使，称点是点P的“对应点”，构成的图形是图形W的“反形”．已知点S是满足的动点，以点S为圆心作过点O的．点T在半径为4的上运动，过点T作的切线l. (1)如图，当时，对于，在图中画出上的点的“对应点”； (2)当点T运动至点时，设为切线l上一点的“对应点”，试求的最大值； (3)如果存在点S与点T，使的“反形”中存在一点，切线l的“反形”中存在一点，满足直接写出r的取值范围． 20．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于直线l和线段，给出如下定义：若线段关于直线l的对称图形是的弦（，分别为P，Q的对应点），则称线段是关于直线l的“对称弦”． (1)如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．线段，，中，是关于直线的“对称弦”的是 (2)是关于直线的“对称弦”，若点C的坐标为，且，直接写出点D的坐标； (3)已知直线和点，若线段是关于直线的“对称弦”，且，直接写出的最值和相应b的值． 21．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于直线l和线段，给出如下定义： 若线段关于直线l的对称图形是的弦（，分别为P，Q的对应点），则称线段是关于直线l的“对称弦”． (1)如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．线段，，中，是关于直线的“对称弦”的是_________ (2)是关于直线（）的“对称弦”，若点C的坐标为，且，直接写出点D的坐标； (3)已知直线和点，若线段是关于直线的“对称弦”，且，直接写出的最值和相应b的值． 22．（2024·北京延庆·模拟预测）我们规定：将图形先向右平移个单位，得到图形，再作出图形关于直线的对称图形，则称图形是图形的，平对图形． (1)已知点，若，，则点的坐标是________；点的坐标是________； (2)已知点，它的平对图形，求出与的数量关系； (3)已知的半径为，其中，若存在实数，使的平对图形与直线有公共点，直接写出的最小值及相应的的值． 23．（2024·北京·三模）对于平面直角坐标系中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A、B两点，使为等腰直角三角形，且，我们则称点C为图形G的“东中点”． (1)已知点，，在点，，中，线段的“东中点”是______； (2)直线分别交x轴、y轴于P、Q两点，若点为线段的“东中点”，求m的取值范围； (3)已知直线分别交x轴、y轴于P、Q两点，若线段上存在半径为2的的“东中点”，直接写出n的取值范围． 24．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于线段，给出如下定义：若将线段沿着某条直线对称可以得到的弦，分别为，的对应点），则称线段是的以直线为对称轴的对称的“反射线段”，直线称为“反射轴”． (1)如图1，线段、、中是的以直线为对称轴的“反射线段”______； (2)如图2，已知点的坐标为，点坐标为．若线段是以直线为对称轴的“反射线段”，画出图形，反射轴与轴的交点的坐标； (3)已知点、是在以为圆心，半径为的圆上的两个动点，且满足，若是的以直线为对称轴的“反射线段”，当点在圆上运动一周时，请你直接写出反射轴与轴的交点的纵坐标的取值范围． 25．（2024·北京西城·二模）如图1，对于外的线段（线段上的各点均在外）和直线上的点，给出如下定义：若线段绕点旋转某一角度得到的线段恰好是的弦，则称点为线段关于的“割圆点”， 在平面直角坐标系中，的半径为1． （1）如图2，已知点，，，．在线段，，中，存在关于的“割圆点”的线段是 ，该“割圆点”的坐标是 ； （2）直线经过点，与轴的交点为点．点，点都在线段上，且．若线段关于的“割圆点”为点，写出点的横坐标的取值范围； （3）直线经过点，不重合的四个点都在直线上，且点既是线段关于的“割圆点”，又是线段关于的“割圆点”，线段，的中点分别为点，，记线段的长为．写出的取值范围． 26．（2024·江苏常州·二模）给出如下定义：点，点是平面直角坐标系中不同的两点，且，若存在一个正数，使点、的坐标满足，则称、为一对“斜关点”，叫点、的“斜关比”，记作．由定义可知，．例如：若，，有，所以点、为一对“斜关点”，且“斜关比”为． 如图，已知平面直角坐标系中，点、、、． (1)在点、、、中，写出一对“斜关点”是________，此两点的“斜关比”是________（只需写出一对即可）． (2)若存在点，使得点、是一对“斜关点”，点、也是一对“斜关点”，且，求点的坐标． (3)若的半径是，是上一点，满足的所有点，都与点是一对“斜关点”，且．请直接写出点横坐标的取值范围． 27．（2024·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，对于点，，，给出如下定义：若点以点为中心逆时针旋转后，能与点重合，则称点为线段的“完美等直点”．      (1)如图1，当，，时，线段的“完美等直点”坐标是______； (2)如图2，当，时，若直线上的一点，满足是线段的“完美等直点”，求点的坐标及的值； (3)当时，若点在以为圆心，为半径的圆上，点为线段的“完美等直点”，直接写出点的横坐标的取值范围． 28．（2024·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，的半径为，是的一条弦，以为边作平行四边形．对于平行四边形和弦，给出如下定义：若边所在直线是的切线，则称四边形是弦的“弦切四边形”． (1)若点，，四边形是弦的“弦切四边形”，在图中画出“弦切四边形”，并直接写出点的坐标； (2)若弦的“弦切四边形”为正方形，求的长； (3)已知图形和图形是弦的两个全等的“弦切四边形”，且均为菱形，图形与不重合．，分别为两个“弦切四边形”对角线的交点，记的长为，直接写出的取值范围． 29．（2024·北京门头沟·二模）对于关于的一次函数，我们称函数为一次函数的级衍生函数（其中为常数）． 例如，的级衍生函数为：当时，；当时，． (1)如果的级衍生函数为， ①当时，______； ②当时，______． (2)如果的级衍生函数为，求双曲线与的图像的交点坐标； (3)如果以点为圆心，为半径的与的级衍生函数的图像有交点，直接写出的取值范围． 30．（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，的半径为2，点P、Q是平面内的点，如果点P关于点Q的中心对称点在上，我们称圆上的点为点P关于点Q的“等距点”． (1)已知如图1点． ①如图1，在点 中，上存在点P关于点Q的“等距点”的是________； ②如图2，点 ，上存在点P关于点Q的“等距点”，则m的取值范围是________； (2)如图3，已知点，点P在的图象上，若上存在点P关于点Q的“等距点”，求b的取值范围． 31．（2024·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和外一点，给出如下定义：若直线，都是的切线，则称点是弦的“关联点”． (1)已知点． ①如图1，若的弦，在点，，中，弦的“关联点”是______； ②如图2，若点，点C是的弦的“关联点”，直接写出长； (2)已知点，线段是以点D为圆心，以1为半径的的直径，对于线段EF上任意一点S，存在的弦，使得点S是弦的“关联点”．当点S在线段上运动时，将其对应的弦长度的最大值与最小值的差记为t，直接写出t的取值范围． 32．（2024·北京平谷·一模）平面直角坐标系中，已知和平面上一点P，若切于点A，切于点B，且，则称点P为的伴随双切点． (1)如果的半径为2 ①下列各点，，，是的伴随双切点的是______； ②直线上存在点P为的伴随双切点，则b的取值范围______； (2)已知点，过点F作y轴的垂线l，点是x轴上一点，若直线l上存在以为直径的圆的伴随双切点，直接写出m的取值范围． 33．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，对于线段，直线l和图形W给出如下定义：线段关于直线l的对称线段为（分别是M，N的对应点）．若与均与图形W（包括内部和边界）有公共点，则称线段为图形W关于直线l的“对称连接线段”． (1)如图1，已知圆O的半径是2，的横、纵坐标都是整数．在线段中，是关于直线的“对称连接线段”的是 ． (2)如图2，已知点，以O为中心的正方形的边长为4，各边与坐标轴平行，若线段是正方形关于直线的“对称连接线段”，求k的取值范围． (3)已知的半径为r，点，线段的长度为1．若对于任意过点Q的直线l，都存在线段是关于l的“对称连接线段”，直接写出r的取值范围． 34．（2024·北京石景山·一模）对于线段和点给出如下定义：点在线段的垂直平分线上，若以点为圆心，为半径的优弧上存在三个点，使得是等边三角形，则称点是线段的“关联点”．例如，图1中的点是线段的一个“关联点”. 特别地，若这样的等边三角形有且只有一个，则称点是线段的“强关联点”．    在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)如图2，在点，，，中，是线段的“关联点”的是 ； (2)点在直线上．存在点，是线段的“关联点”，也是线段的“强关联点”． ①直接写出点的坐标； ②动点在第四象限且，记．若存在点，使得点是线段的“关联点”，也是的“关联点”，直接写出及线段的取值范围． 35．（2024·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点．对于点，给出如下定义： 若点关于直线的对称点为点，点关于直线的对称点为点，则称点是点关于点的“二称点”． (1)已知点，点，点是点关于点的“二称点”， ①如图1，当时，点的坐标为__________； ②连接，若所在直线平行于坐标轴时，直接写出此时的长度； (2)已知点在直线上，如图，直线与轴，轴分别交于点，，对于线段上（包括端点）任意一点，若以为半径的上总存在一点，使得点关于点的“二称点”在x轴的正半轴上，直接写出符合条件的的值．（已知） 36．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，对于和线段给出如下定义：如果线段上存在点P，Q，使得点P在⊙G内，且点Q在外，则称线段为的“交割线段”．    (1)如图，的半径为2，点． ①在的三条边中，的“交割线段”是 ； ②点M是直线上的一个动点，过点M作轴，垂足为N，若线段是的“交割线段”，求点M的横坐标m的取值范围； (2)已知三条直线，，分别相交于点D，E，F，的圆心为，半径为2，若的三条边中有且只有两条是的“交割线段”，直接写出的取值范围． 37．（2024·北京房山·一模）在平面直角坐标系中，将中心为的等边三角形记作等边三角形，对于等边三角形和点（不与重合）给出如下定义：若等边三角形的边上存在点N，使得直线与以为半径的⊙相切于点，则称点为等边三角形的“相关切点”． (1)如图，等边三角形的顶点分别为点，，． ①在点，，中，等边三角形的“相关切点”是 ； ②若直线上存在等边三角形的“相关切点”，求的取值范围； (2)已知点，等边三角形的边长为．若存在等边三角形的两个“相关切点”，，使得△为等边三角形，直接写出的取值范围． 38．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，已知线段和直线，，线段关于直线，的“垂点距离”定义如下：过点P作于点M，过点Q作于点N，连接，称的长为线段关于直线和的“垂点距离”，记作d． (1)已知点，，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d为______； (2)如图1，线段在直线上运动（点P的横坐标大于点Q的横坐标），若，则线段关于x轴和y轴的“垂点距离”d的最小值为______； (3)如图2，已知点，的半径为1，直线与交于P，Q两点（点P的横坐标大于点Q的横坐标），直接写出线段关于x轴和直线的“垂点距离”d的取值范围． 39．（2024·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，已知点，的半径为1，过外一点作两条射线，一条是的切线，另一条经过点，若这两条射线的夹角大于或等于，则称点为的“伴随点”． (1)当时， ①在，，，中，的“伴随点”是______． ②若直线上有且只有一个的“伴随点”，求的值； (2)已知正方形的对角线的交点，点，若正方形上存在的“伴随点”，直接写出的取值范围． 40．（2024·北京西城·一模）在平面直角坐标系 中，已知的半径为．对于上的点 和平面内的直线 给出如下定义：点关于直线的对称点记为，若射线 上的点满足 则称点为点关于直线的“衍生点”． (1)当时，已知上两点 在点， 中，点关于直线的“衍生点”是 ，点关于直线的“衍生点”是 ； (2)为 上任意一点， 直线 与轴， 轴的交点分别为点 ，． 若线段上存在点，，使得点是点关于直线的“衍生点”，点不是点关于直线的“衍生点”，直接写出的取值范围； (3)当时，若过原点的直线上存在线段 ，对于线段 上任意一点，都存在上的点和直线，使得点是点关于直线的“衍生点”． 将线段长度的最大值记为，对于所有的直线，直接写出的最小值． 41．（23-24九年级上·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，点， ，将一个图形先绕点S顺时针旋转α，再绕点T逆时针旋转α．    (1)点R在线段ST上，则在点，，， 中，有可能是由点R经过一次“对称旋转”后得到的点是_________； (2)x轴上的一点P经过一次“α对称旋转”得到点Q． ①当时， ________； ②当时，若轴，求点P的坐标； (3)以点O为圆心作半径为1的圆．若在上存在点M，使得点M经过一次“α对称旋转”后得到的点在x轴上，直接写出α的取值范围． 42．（2022·北京海淀·模拟预测）在平面直角坐标系中，对已知的点A，B，给出如下定义：若点A恰好在以为直径的圆上，则称点P为点A关于点B的“联络点” (1)点A的坐标为，则在点，，中，O关于点A的“联络点”是 （填字母）； (2)直线与x轴，y轴分别交于点C，D，若点C关于点D的“联络点”P满足，求点P的坐标； (3)的圆心在y轴上，半径为，点M为y轴上的动点，点N的坐标为，在上存在点M关于点N的“联络点”P，且为等腰三角形，直接写出T的纵坐标t的取值范围. 43．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”． (1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段，，中，的“倍弦线”是_____； (2)的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围； (3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 44．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知正方形，其中，为正方形外两点，．给出如下定义： 如果线段平移m个单位后，两端点均落在正方形的边上，则称m的最小值为线段到正方形的“平移距离”，记为d．    (1)如图1，平移线段，得到两条端点在正方形边上且长度为1的线段和，则这两条线段的位置关系是_________；在点中，连接点M与点________的线段的长度等于d． (2)若点都在直线上，求d的值； (3)若点M的坐标为，直接写出d的取值范围． 45．（2024·北京东城·一模）对于平面内的点和点，给出如下定义： 若点是点绕点旋转所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图1，点是点关于点的锐角旋转点． (1)已知点，在点中，是点关于点的锐角旋转点的是______． (2)已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围； (3)点是轴上的动点，，点是以为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足．若直线上存在点关于点的锐角旋转点，请直接写出的取值范围． 46．（2023·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，对于两个图形和直线，若在图形X上存在点A，在图形Y上存在点B，使得点A和点B关于直线对称，就称图形X和Y互为m关联图形． (1)已知点P的坐标为， ①点P与点Q互为关联图形，则点Q的坐标为 ； ②若的半径为1，点P与互为m关联图形，则m的值为 ； (2)已知点，射线OA与线段l：互为t关联图形，求t的取值范围． (3)已知⊙O的半径为2，直线与x轴，y轴分别交于C，D，若关于对称的图形S与点C互为2m关联图形，直接写出m的值及点D与图形S的位置关系． 47．（2024·北京·模拟预测）已知：如图①，是半圆的直径，点是的中点，点在半圆上运动（不与点重合），若，设线段的长为的面积为，回答下列问题： (1)x的取值范围是_____； (2)当_____时，为等腰三角形； (3)当_____时，有最大值，最大值为______； (4)图②是根据满足条件的的值所画出的图象，则直线与图象有______个公共点，公共点的坐标为______． 48．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点，给出如下定义：当点满足时，称点Q是点P的等和点．已知点．                   备用图 (1)在，，中，点P的等和点有________； (2)点A在直线上，若点P的等和点也是点A的等和点，求点A的坐标； (3)已知点和线段MN，对于所有满足的点C，线段MN上总存在线段PC上每个点的等和点．若MN的最小值为5，直接写出b的值． 49．（2024·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，已知点，A为坐标系中任意一点．现定义如下两种运动：P运动：将点A向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，再将点绕点O逆时针旋转，得到点； Q运动：将点A绕点O逆时针旋转，得到点，再将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点． (1)如图，已知点，，点A分别经过P运动与Q运动后，得到点，． ①若，请你在下图中画出点，的位置； ②若，求m的值． (2)已知，点A，B分别经过P运动与Q运动后，得到点，与点，，连接，．若线段与存在公共点，请直接写出此时线段长度的取值范围（用含有t的式子表示）． 50．（2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，的半径为1，P为外一点．给出如下定义：以线段为对角线作矩形，若点M在内或上，点N在外，则称矩形是点P的“圆伴矩形”． 例如，图1中的矩形是点P的一个“圆伴矩形”． (1)已知矩形是点A的“圆伴矩形”且点N在外， ①若点A的坐标为且点M在上，则矩形的面积是__________； ②若点A的坐标为，则点N的横坐标t的取值范围是__________； (2)已知，直线与x轴，y轴分别交于点C，D．若线段上存在点N，使得矩形是点B的“圆伴矩形”（点在外），直接写出b的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $$