重点专练04 求函数解析式和参数范围-备战2025年中考数学真题题源解密（北京专用）

重点专练04 求函数解析式和参数范围 【类型1 一次函数】 1 ►类型1 一次函数 1．（2024·北京·模拟预测）如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点， (1)当时，求一次函数的解析式及点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求k的取值范围． 2．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C． (1)求该函数的表达式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出a的值． 3．（2024·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数图像的一个交点为点． (1)当点的坐标为，求和的值； (2)当时，对于的每一个值，一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出的取值范围． 4．（2024·北京·三模）对于平面直角坐标系中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A、B两点，使为等腰直角三角形，且，我们则称点C为图形G的“东中点”． (1)已知点，，在点，，中，线段的“东中点”是______； (2)直线分别交x轴、y轴于P、Q两点，若点为线段的“东中点”，求m的取值范围； (3)已知直线分别交x轴、y轴于P、Q两点，若线段上存在半径为2的的“东中点”，直接写出n的取值范围． 5．（2024·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 6．（2024·北京·三模）在平面直角坐标xOy中，函数 的图象经过点和， 与过点且平行于x轴的直线交于点 C． (1)求该函数的解析式及点 C的坐标； (2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于5，直接写出n的取值范围． 7．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，一次函数经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于0，直接写出的取值范围． 8．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，一次函数经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 9．（2024·北京平谷·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 10．（2024·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 11．（2024·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 12．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，与函数的图象交于点． (1)求m的值和函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出k的取值范围． 13．（2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，与过点且平行于x轴的直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值且小于，直接写出的取值范围． 14．（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，对于线段和直线，称线段的中点到直线的距离为线段关于直线的平均距离，记为．    已知点，． (1)线段关于轴的平均距离为 ； (2)若点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，则线段关于直线的平均距离的最小值为_________； (3)已知点是半径为1的上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，直接写出线段关于轴的平均距离的取值范围． 15．（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求该函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，当时，对于的每一个值，函数的值小于0，直接写出的值． 16.（2024·北京·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数()的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 17．（2024·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 18．（2024·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值与一次函数的值的差大于，直接写出的取值范围． 19．（2024·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与函数的图象交于点 (1)求k，b的值； (2)已知直线与图象分别交于点若结合函数图象，直接写出的取值范围． 20．（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由的图象向上平移2个单位得到，反比例函数 的图象过点．    (1)求一次函数表达式及m的值； (2)过点平行于x轴的直线，分别与反比例函数一次函数的图象相交于点M、N，当时，画出示意图并直接写出n的值． 21．（2024·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求该函数解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出n的取值范围． 22．（2024·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于函数的值且大于0，直接写出n的取值范围． 23．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求该函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 24．（2024·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于的值，直接写出的取值范围． 25．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象由函数的图象向下平移4个单位长度得到，且与轴交于点A． (1)求该一次函数的解析式及点A的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数（）的值且大于，直接写出的取值范围． 26．（2024·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，正比例函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 27．（2024·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． (1)求该函数的表达式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 28．（2024·北京房山·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求该函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 29．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，一次函数（k为常数，）的图象由函数的图象平移得到，且经过点，与x轴交于点B． (1)求这个一次函数的解析式及点B的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 30．（2024·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． (1)求该函数的表达式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的取值范围． 31．（2024·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和反比例函数 的图象都经过点． (1)求该正比例函数和反比例函数的解析式； (2)当时， 对于x的每一个值， 函数的值都大于反比例函数 的值，直接写出n的取值范围． 32．（2024·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于y轴的直线交于点C． (1)求该函数的表达式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出n的取值范围． 33．（2024·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点， 且与y轴交于点 C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时， 对于x的每一个值， 函数的值大于函数的值，直接写出n的取值范围． 34．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求该函数的解析式； (2)当时．对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围． 35．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点． (1)求的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 36．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象经过点，，与x轴交于点A． (1)求该一次函数的表达式及点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数（）的值，直接写出m的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重点专练04 求函数解析式和参数范围 【类型1 一次函数】 1 ►类型1 一次函数 1．（2024·北京·模拟预测）如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点， (1)当时，求一次函数的解析式及点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求k的取值范围． 【答案】(1)；点A的坐标为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图象解不等式，数学结合是解答本题的关键． （1）当时，把点C的坐标代入，即可求得的k值，得到一次函数表达式，再求出点A的坐标即可． （2）根据图象得到不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：∵ ∴把点C的坐标代入， 解得， ∴一次函数表达式为， 当时，， 解得， ∵一次函数的图象与x轴交于点A， ∴点A的坐标为． （2）作如图： ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，结合函数图象可知， 当时，， 解得． ∴． 2．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C． (1)求该函数的表达式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出a的值． 【答案】(1)； (2)1 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点的纵坐标为，代入函数解析式求出点的横坐标即可； （2）根据函数图象得出当过点时满足题意，代入求出的值即可． 【详解】（1）把点和代入得：， 解得， ∴该函数的解析式为， 由题意知点的纵坐标为， 当时， 解得：， ∴点的坐标为； （2）由（1）知：当时，， 因为当时，的值小于函数的值且大于， 所以当过点时满足题意， ∴， 解得：． 3．（2024·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数图像的一个交点为点． (1)当点的坐标为，求和的值； (2)当时，对于的每一个值，一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）将点的坐标代入反比例函数解析式，再将所得点坐标代入一次函数解析式即可解决问题； （2）根据题意，时一次函数的值大于反比例函数的，将分别代入反比例函数和一次函数，据此可解决问题． 【详解】（1）将点坐标代入反比例函数解析式得， ， ∴点的坐标为， 将点坐标代入一次函数解析式得， ， 解得． （2）将代入得， ． 将代入中得， ． ∵当时，对于的每一个值，一次函数的值大于反比例函数的值， ∴， 解得， 所以的取值范围是． 4．（2024·北京·三模）对于平面直角坐标系中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A、B两点，使为等腰直角三角形，且，我们则称点C为图形G的“东中点”． (1)已知点，，在点，，中，线段的“东中点”是______； (2)直线分别交x轴、y轴于P、Q两点，若点为线段的“东中点”，求m的取值范围； (3)已知直线分别交x轴、y轴于P、Q两点，若线段上存在半径为2的的“东中点”，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）根据“东中点”的意义一一判断即可； （2）过点C作于B，作轴于E，交于N，作轴于D，交于M，则分别求出点M与N的坐标，结合图形知点M的横坐标非负或点N的纵坐标非负时，保证或是等腰直角三角形，使点为线段的“东中点”，即可求得m的范围；当点C在线段上时，点不是线段的“东中点”；最后综合即可得m的范围； （3）分三种情况：先考虑的情况；点C为线段上半径为2的的“东中点” ，分别连接，把绕点B逆时针旋转得到，其中点E与点C对应，连接，则由三角形三边关系得：，从而得；当C与P或Q重合时，，此时；当时，则，得，综合得； 当直线与圆相切时，求得n的最小值；当以为直径构造等腰直角三角形，此时为n的最大值，两者结合即可求得n为正时的取值范围；再考虑情况；最后考虑情况，由与的对称关系即可求解；最后可得n的取值范围． 【详解】（1）解：如图所示，由题意知，，故是等腰直角三角形，满足题意； 过作于A，，均不是等腰直角三角形，则不符合题意； 过作于B，则，故是等腰直角三角形，满足题意； 综上，满足题意点有； 故答案为：； （2）解：如图，过点C作于B，作轴于E，交于N，作轴于D，交于M，则， ∴N点的横坐标为3，M点的纵坐标为2； 由于M、N在线段上，则当时，；当时，； ∴； 在中，令，得；令，得； 即，显然， ∴， ∴； ∵轴，轴， ∴； ∵， ∴都是等腰直角三角形； ∴当或时，或是等腰直角三角形， 即或； ∴； 当点C在直线上时，，此时点不为线段的“东中点”，即； 综上：当或时，点为线段的“东中点”； （3）解：考虑时的情况； 如图，点C为线段上半径为2的的“东中点” ，分别连接，把绕点B逆时针旋转得到，其中点E与点C对应，连接， 则，， ∴， ∵， ∴， 即； 当C与P或Q重合时，，此时； 在中，令，得；令，得； 即，且， ∴， ∴，； 当时，则， ∴， ∴； ∵，， ∴； 当时，不存在； 当时，由对称性知，； 综上，n的范围为：或． 【点睛】本题考查了新定义，涉及一次函数与圆的性质的应用，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，关键是读懂题意，借助定义作出图形，注意数形结合、分类讨论思想的运用． 5．（2024·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握一次函数的性质． （1）把和代入得：，解出的值可得答案； （2）当时，，把代入得，根据当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值，可知． 【详解】（1）解：把和代入得： ， 解得， ∴； （2）当时，， 把代入得：， 解得， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴直线(与直线的交点的横坐标不小于3， ． 6．（2024·北京·三模）在平面直角坐标xOy中，函数 的图象经过点和， 与过点且平行于x轴的直线交于点 C． (1)求该函数的解析式及点 C的坐标； (2)当 时，对于x的每一个值，函数 的值大于函数 的值且小于5，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用， （1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可； （2）当时，，当时，，根据题意可得，问题随之得解． 【详解】（1）解：把点，代入得：， 解得：， ∴该函数的解析式为， 由题意知：点C的纵坐标为4， 当时， 解得：， ∴； （2）解：由（1）知：当时，， 当时，， ∵当时，函数的值大于函数的值且小于5， ∴， 解得：． 7．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，一次函数经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于0，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式，将代入一次函数解方程即可得到答案； （2）令函数，函数，求出，由题意得到，进而得到当包含时，满足题意，从而得到，解不等式得到或；再由也满足题意，即可得到答案． 【详解】（1）解：一次函数经过点， ，解得， 故一次函数的解析式为：； （2）解：令函数，函数， ， 当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都大于0， ，解得；且，解得； ，则，解得， ， 或； 当时，，即满足题意； 综上所述，的取值范围是或． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、一次函数图象与性质、不等式与函数图象的关系，数形结合，灵活运用一次函数图象与性质是解决问题的关键． 8．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，一次函数经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，灵活掌握所学知识是解题关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）根据题意，列出关于m的不等式，结合图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点，， ∴把代入得：， 解得：， ∴一次函数的解析式； （2）解：由（1）得：一次函数的解析式， 当时，， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， 把代入得：， ∴， 解得：． 当直线与平行时，，此时函数的值大于一次函数的值， ∴ 9．（2024·北京平谷·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】可不是主要考查运用待定系数法求一次函数解析式以及两直线平行可相交问题 （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）画出图象，结合图象可知当时，两直线相交于点，当时，两直线平行，故可得出结论 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点和， ∴把和代入得， 一次函数的解析式为 （2）解：如图， 当时，两直线相交于点， 当时，两直线平行， 所以，m的取值范围为 10．（2024·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数与系数的关系，熟悉利用数形结合是解题的关键． （1）根据平移相同，得到的值后，代入点求解即可； （2）把代入求出相交时的交点坐标后，代入得到的最大值，结合的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴，则， ∵一次函数过点， ∴把，代入可得：， 解得：， ∴一次函数解析式为：； （2）解：把代入，得：， 把，代入可得：， 解得：， ∵当时，函数的值大于一次函数的值， ∴． 11．（2024·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数图象的平移，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）根据平移得到，再将，代入解析式即可得解； （2）根据题意，可得时直线在直线的上方，利用图象法求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴， 把点代入得 ， 解得， ∴这个一次函数的解析式是； （2）解：由题意，得时直线在直线的上方， 当时，， 把代入，得，解得， 如图： ∴当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值． 12．（2024·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，与函数的图象交于点． (1)求m的值和函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)，函数的解析式为； (2)且． 【分析】本题主要考查利用待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． （1）把代入，求出m，把，代入，求出a、b即可； （2）可判断经过顶点，再由当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，得出函数夹在和之间，且在右边，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点， ∴． ∵函数的图象经过点，， ∴ 解得 ∴函数的解析式为． （2）解：∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值， ∴且． 13．（2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，与过点且平行于x轴的直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值且小于，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，点的坐标为 (2) 【分析】本题考查一次函数图像与几何变化及待定系数法求一次函数解析式，数形结合方法解题是解题关键． （1）根据一次函数平移的性质可得，再利用待定系数法可得该函数的解析式；把代入所求解析式即可得出点的坐标； （2）求出直线过点、时的值，结合图像即可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∵一次函数的图象过点， ∴， 解得：， ∴该函数的解析式为， ∵一次函数的图象与过点且平行于x轴的直线交于点， ∴把代入得：， 解得：， ∴点的坐标为． （2）如图所示： 把代入得， 解得：， 把代入得， 解得：， ∵时，对于的每一个值，函数的值大于的值且小于， ∴的取值范围为． 14．（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，对于线段和直线，称线段的中点到直线的距离为线段关于直线的平均距离，记为．    已知点，． (1)线段关于轴的平均距离为 ； (2)若点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且，则线段关于直线的平均距离的最小值为_________； (3)已知点是半径为1的上的动点，过点作轴的垂线交直线于点，直接写出线段关于轴的平均距离的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用平均距离的定义解答即可； （2）设的中点为，利用直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的性质得到点在以为圆心，1为半径的圆弧上，过点作于点，与该圆弧交于点，则此时线段关于直线的平均距离的值最小，利用圆的有关性质和等腰直角三角形的性质解答即可； （3）首先求出直线的解析式为；其次设点，则得，由中点坐标公式求得，由题意得，即；由点P在上，则有，把代入并整理得关于x的一元二次方程，利用判别式即可求得t的范围． 【详解】（1）解：点，， 线段的中点为， 到轴的距离为1.5， 线段关于轴的平均距离为1.5； 故答案为：1.5； （2）解：设的中点为， 点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，且， ， 为的中点， ， 点在以为圆心，1为半径的圆弧上，如图1， 过点作于点，与该圆弧交于点，则此时线段关于直线的平均距离的值最小，   ，，， ， 线段关于直线的平均距离的最小值． 故答案为：． （3）解：设直线解析式为， 把，两点坐标分别代入中，得：， 解得：， 即直线解析式为； 设点， 轴交直线于点Q， ， 则， ， 即； 因点P在上，则有， ， 整理得：， 由于关于x的一元二次方程必有实数解，则， 即， 解得：； 线段关于轴的平均距离的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，点的坐标的特征，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，直角三角形的斜边上的中线的性质，一元二次方程根的判别式等知识，本题是新定义型，正确理解新定义的规定，并熟练运用是解题的关键． 15．（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求该函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，当时，对于的每一个值，函数的值小于0，直接写出的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次不等式，根据题意列出不等式组是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意列出不等式组，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：函数的图象经过点和， ， 解得：， 该函数的解析式为； （2）解：当时，， 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， ，， 解得：， 当时，对于的每一个值，函数的值小于0， ， 解得：， ． 16.（2024·北京·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求该一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数()的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数图像的旋转； （1）根据题意把点，代入，即可求解； （2）根据题意，可得时直线在直线的上方，利用图象法求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：直线绕着点旋转，如图，当直线在和之间时，满足条件， 当时，，代入得：； 当直线与平行时，； ∴当时，对于的每一个值，函数()的值大于一次函数的值． 17．（2024·北京房山·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点和． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质的应用等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． （1）用待定系数法即可得到一次函数的解析式； （2）根据点结合图象即可求得． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过，， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； （2）解：把代入，求得， ∴函数与一次函数的交点为， 把点代入，求得， 当两直线平行时，， 如图， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ∴． 18．（2024·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值与一次函数的值的差大于，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握图形平移的规律，解不等式是解题的关键． （1）根据图形的平移可确定的值，再根据待定系数法即可求解； （2）根据题意，，根据不等式的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据图象平移可得，且经过点， ∴， 解得，， ∴一次函数图象的解析式为； （2）解：根据题意，， 解得，， ∵， ∴， 当时，， ． 19．（2024·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与函数的图象交于点 (1)求k，b的值； (2)已知直线与图象分别交于点若结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的性质，，正确作出函数的图象是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）用待定系数法求出过点A的正比例函数解析式，再分别画出函数的图象，根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入，得； 把代入，得， 解得：； （2）解：设过点的正比例函数解析式为， 把代入，得， ∴过点的正比例函数解析式为，如图， 由图可得：直线与图象分别交于点若则． 20．（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由的图象向上平移2个单位得到，反比例函数 的图象过点．    (1)求一次函数表达式及m的值； (2)过点平行于x轴的直线，分别与反比例函数一次函数的图象相交于点M、N，当时，画出示意图并直接写出n的值． 【答案】(1)， (2)4或或2 【分析】（1）根据平移的规律即可求得一次函数的解析式，利用待定系数法即可求得的值； （2）表示出点、的坐标，由得出，整理得，解方程即可求得的值． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象与几何变换，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，正确表示点、的坐标是解题的关键． 【详解】（1）解： 一次函数的图象由的图象向上平移2个单位得到， 一次函数表达式为， 反比例函数的图象过点， ； （2）解：过点平行于轴的直线，分别与反比例函数、一次函数图象相交于点、， 则，，， ， ，整理得，解得或， 令代入，得， ∴直线与 y轴的交点为， 当时，此时点P与N重合，满足， 故的值为4或或2． 21．（2024·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求该函数解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象及性质等． （1）将点和代入中即可得到本题答案； （2）根据可得与轴交于，再画出符合题意的图象进行分析即可得到本题答案． 【详解】（1）解：由题意得：将点和代入中得： ，解得：， ∴该函数解析式为：； （2）解：当时，代入得：， 在平面直角坐标系中画出直线和满足条件的直线，如图： ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴当过时满足题意 ∴，， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于， ∴当过时满足题意， ∴，， 综上：满足条件的n的取值范围为：． 22．（2024·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于函数的值且大于0，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数图象的平移，求一次函数解析式，一次函数与不等式等知识．利用数形结合的思想是解题关键． （1）由题意结合函数图象平移的特点可得出，再将代入，求出b的值即可； （2）画出大致图形，结合图形即得出当时，当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于函数的值且大于0． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到， ∴， ∴． ∵该一次函数经过点， ∴，即， ∴这个一次函数的解析式为； （2）解：如图， 由图可知当时，当时，对于x的每一个值，一次函数的值小于函数的值且大于0， ∴n的取值范围是． 23．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求该函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键． （1）将两点坐标代入函数表达式中，用待定系数法求解即可． （2）根据函数图象得出当时，对于的每一个值，函数，即可求出的取值范围． 【详解】（1）把和代入中， 得， 解得， 该函数的解析式为； （2）由（1）知：当时，， 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， 当时，对于的每一个值，函数， ， 解得， 的取值范围是． 24．（2024·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式和图象与系数的关系，数形结合是解答本题的关键． （1）待定系数法求出一次函数解析式后令时，，得到点C坐标即可； （2）根据题意画出图象，分情况讨论当直线过点C时，，当直线与直线平行时，，此时，满足条件，即可得到满足条件的m取值范围． 【详解】（1）∵函数的图象过点和， ∴， 解得：， ∴直线解析式为：， 当时，， ∴． （2）如图所示，直线过点C时，， 当直线与直线平行时，，此时，满足条件． ∴满足条件． 25．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象由函数的图象向下平移4个单位长度得到，且与轴交于点A． (1)求该一次函数的解析式及点A的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数（）的值且大于，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的应用，求一次函数解析式，一次函数图象的平移： （1）根据一次函数平移的性质可得，当时， ，则可求得点A的坐标； （2）根据题意可得且，再根据，据此求解即可； 熟知一次函数的相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：一次函数（）的图象由函数的图象向下平移4个单位长度得到， 一次函数的解析式为， 当时，，解得：， ． （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值且大于， 且， 即：且， ， 且， 解得：． 26．（2024·北京西城·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，正比例函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一次函数解析式求解方法待定系数法，分类讨论等知识． （1）根据待定系数法得出一次函数的解析式即可； （2）要求的取值范围，需分类讨论：时；时；时，分别讨论即可． 【详解】（1）一次函数的图象经过点． 把点代入， 可得方程组：， 解得： 这个一次函数的表达式为：． （2）当时，对于x的每一个值，正比例函数的值大于一次函数的值， ， ． ①当时，，恒成立； ②当． 不能满足当时，对于x的每一个值，正比例函数 的值大于一次函数   的值， ③当． 时， 恒成立． 的取值范围时：． 27．（2024·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． (1)求该函数的表达式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将、坐标分别代入函数表达式，即可得到一次函数解析式，然后计算函数值为对应的自变量的值即可得到点坐标； （2）分情况讨论：当直线过点时和当直线与直线平行时，即可得到符合条件的的取值范围． 【详解】（1）解：将、代入函数表达式可得： ， 解得， 则函数的表达式为， 依题得，过点且平行于轴的直线为， 是该函数与过点且平行于轴的直线的交点， ， 解得，， 即． （2）解：当直线过点时， 即把代入， 得， ， 当时，对于的每一个值，的值大于的值，   ， 解得， 当与直线平行时，， 此时，满足条件， 且当时，不满足条件， 即． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、一次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握数形结合的方法解题． 28．（2024·北京房山·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求该函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，根据不等式的解集得是解题的关键． （1）根据函数的图象由函数的图象平移得到的，可求出k的值，再代入即可； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值时，即，得，可得，即可求解． 【详解】（1）∵ 函数的图象平行于函数的图象， ∴， 把代入，得：， 解得，， ∴该函数的表达式为； （2）当函数的值大于函数的值时，， ∴， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值， ∴， ∴． 29．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，一次函数（k为常数，）的图象由函数的图象平移得到，且经过点，与x轴交于点B． (1)求这个一次函数的解析式及点B的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，解题的关键是求出函数解析式和列出不等式解决问题． （1）根据一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点，可得，即可解得一次函数的解析式为；从而求出的坐标为； （2）当时，，，根据当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，可得，可解得答案． 【详解】（1）一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点， ， 解得， 一次函数的解析式为； 在中，令得， 解得， 的坐标为； （2）当时，，， 当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ， 解得， 的取值范围是． 30．（2024·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． (1)求该函数的表达式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象及性质，用数形结合思想考虑本题是解答本题的关键． （1）将两点代入函数解析式中即可求得函数解析式，再将代入解析式即可求出点坐标； （2）根据题意将代入求出的最小值，再根据题意将代入求出的最大值，即为本题答案． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点和， ∴将点和代入中， ，解得：， ∴该函数的表达式为：， ∵与过点且平行于轴的直线交于点， ∴将代入中，得， ∴； （2）解：∵当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于， ， 通过图象可知，当的函数值小于时，即将代入中，， 当的函数值大于函数的值将代入中，， ∴的取值范围为：． 31．（2024·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和反比例函数 的图象都经过点． (1)求该正比例函数和反比例函数的解析式； (2)当时， 对于x的每一个值， 函数的值都大于反比例函数 的值，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是： （1）将点坐标代入两个函数解析式求出值即可； （2）当时，，，根据题意，解出不等式解集即可． 【详解】（1）解：正比例函数的图象和反比例函数的图象都经过点， ，， 正比例函数解析式为：；反比例函数解析式为：； （2）当时，，， 当时，对于的每一个值，函数的值都大于反比例函数的值， ， 解得． 32．（2024·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于y轴的直线交于点C． (1)求该函数的表达式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值，一次函数与不等式之间的关系： （1）先利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出当时，，即可求出点C的坐标； （2）解不等式组得到，再根据不等式组有解，以及当时，不等式组一定成立可得，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点和， ∴， ∴， ∴该函数解析式为， 在中，当时，， ∴； （2）解：当时， 解得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于3， ∴， ∴． 33．（2024·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点， 且与y轴交于点 C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时， 对于x的每一个值， 函数的值大于函数的值，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)函数的解析式为，点C的坐标为 (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式， （1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当时，求出即可求解． （2）根据题意结合解出不等式结合，即可求解． 【详解】（1）解：将，代入函数解析式得， ，解得， ∴函数的解析式为：， 当时，， ∴点C的坐标为． （2）解：由题意得，， 即， 又， ∴， 解得：， ∴n的取值范围为． 34．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求该函数的解析式； (2)当时．对于x的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)函数的解析式为 (2) 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法和数形结合思想求解是解答的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入中，求得，则；将代入中求得，则，作出图象，再结合一次函数的图象与性质求解即可． 【详解】（1）解：把点和代入得： ， 解得， 该函数的解析式为； （2）解：将代入中， 解得， 此时函数解析式为 将代入中， 解得， 此时函数的解析式为， 如图，    由于当时，对于的每一个值，函数的值小于一次函数的值， 根据图象可得直线与直线的交点的横坐标不小于1， ． 35．（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点． (1)求的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法解一次函数解析式及一次函数和不等式的关系，解题关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）通过待定系数法将，代入解析式求解． （2）解不等式，然后分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入解得， ， 解得； （2）解：∵ ∴一次函数解析式为， 不等式得，， 当时，， ， 当时，，不合题意，舍去； 解得：． 36．（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，一次函数（）的图象经过点，，与x轴交于点A． (1)求该一次函数的表达式及点A的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数（）的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：掌握待定系数法求一次函数解析式一般步骤是解决问题的关键．也考查了一次函数的性质． （1）先利用待定系数法求出函数解析式为，然后计算自变量为0时对应的函数值得到点坐标； （2）当函数与轴的交点在点（含点）上方时，当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点，， ， 解得， 该一次函数的表达式为， 令，得， ， ； （2）解：当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$