1.2 整式的乘法（第2课时 单(多)项式与多项式相乘）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024）

北师大版（2024）七年级数学下册 第一章 整式的乘除 1.2 整式的乘法 第2课时 单(多)项式与多项式相乘 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 能根据乘法分配律探究单(多)项式与多项式相乘的运算法则； 2. 掌握单(多)项式与多项式相乘的运算法则，会进行单(多)项式 与多项式的乘法运算. 3. 会用图形解释单(多)项式与多项式相乘的运算法则. 情景导入 1. 什么是单项式乘单项式法则? 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 2. 计算： （1）24×( - ) （2） ( + ) ×(-36) = -2 = 40 新知探究 （1）如图，在计算操场面积的问题中，如何计算A和B组成的长方形区域的面积?你是怎么计算的? 2b 3a a A B 直接计算大长方形的面积 a(2b+3a) (2)小明认为，这个长方形的面积既可以表示为a(2b+3a)，也可以表示为2ab+3a2，于是a(2b+3a)=2ab+3a2. A的面积+B的面积 你能用运算律解释吗? a (2b+3a)=2ab + 3a2 乘法的分配律 p(a+b+c)=pa+pb+pc 当p、a、b、c为单项式时，乘法分配律也成立。 操作交流 （1）你能计算 ab·(abc+2x)，c2·(m+n-p)，(x2y+xy2)·(-xy)吗? 解：ab·(abc+2x)=ab·abc+ab·2x=a2b2c+2xab， c2·(m+n-p)=c2m+c2n-c2p， (x2y+xy2)·(-xy)=x2y·(-xy)+xy2·(-xy)=-x3y2-x2y3. （2）一般地，如何进行单项式乘多项式的运算?与同伴进行交流。 单项式乘以单项式 单项式乘以多项式 转化 单项式与多项式相乘的运算法则： 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 例题讲解 课本例题 例2 计算： (1) 2ab(5ab2+3a2b)； (2) (ab2-2ab)·ab； (3) 5m2n(2n+3m-n2)； (4) 2(x+y2z+xy2z3)·xyz. 解：(1) 2ab(5ab2+3a2b) =2ab·5ab2+2ab·3a2b =10a2b3+6a3b2； (2) (ab2-2ab)·ab =ab2·ab+(-2ab)·ab =a2b3-a2b2； (3) 5m2n(2n+3m-n2) =5m2n·2n+5m2n·3m+5m2n·(-n2) =10m2n2+15m3n-5m2n3； (4) 2(x+y2z+xy2z3)·xyz = (2x+2y2z+2xy2z3)·xyz = 2x·xyz +2y2z·xyz +2xy2z3·xyz = 2x2yz +2xy3z2 +2x2y3z4. 例题讲解 补充例题 计算：(1)(－3x)(－2x2＋1)；(2)(3xy2－6xy－1)·xy. 解：(1)(－3x)(－2x2＋1) ＝(－3x)·(－2x2)＋(－3x)·1 ＝6x3－3x； 单项式乘多项式，当多项式的某一项为1时，也要与单项式相乘，不能漏乘 (2)(3xy2－6xy－1)·xy ＝3xy2·xy＋(－6xy)·xy＋(－1)·xy ＝x2y3－2x2y2－xy. 尝试交流 （1）如何计算(2a+b)(a+2b)，(x+y)(x-1)，(a2-b2)(a-b)？你是怎么做的？ （2）(x+y)(x-1)=(x+y)x-(x+y)=x2+xy-x-y， 解：（1）(2a+b)(a+2b)=2a(a+2b)+b(a+2b)=2a2+4ab+ab+2b2 =2a2+5ab +2b2， （3）(a2-b2)(a-b)=(a2-b2)a-(a2-b2)b=a3-ab2-a2b+b3. （2）一般地，如何进行多项式与多项式的乘法运算?与同伴进行交流. 多项式乘多项式运算法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn. 例题讲解 课本例题 例3 计算 （1） ( 1 – x ) ( 0.6 – x )； （2） ( 2x + y ) ( x – y )。 解：（1）( 1 – x ) ( 0.6 – x ) = 1 × 0.6 – 1 · x – x · 0.6 + x · x = 0.6 –x –0.6 x + x2 = 0.6 –1.6 x + x2； （2）( 2x + y ) ( x – y ) = 2x·x – 2x·y + y·x – y·y = 2x2 – 2xy + xy – y2 = 2x2 – xy – y2。 观察思考 (1)如图，一幅边长为am的正方形风景画，左右各留有宽为xm的长方形空白区域作装饰，中间画面的面积是多少平方米? 解：(1) a·(a - x - x) =a·(a - x) =a·a-a·x =(a2-ax) (m2). a a x x 答：中间画面的面积是a2- ax平方米。 观察思考 (2)如图，一幅长为am、宽为bm的长方形风景画，画面的四周留有空白区域作装饰，其中四角均是边长为xm的正方形，正中间画面的面积是多少平方米? 解：(2) (a-2x)(b-2x) =(ab-2ax-2bx+4x2) (m2) 答：正中间画面的面积是ab-2ax-2bx+4x2平方米。 随堂练习 1. 计算： (1) a(a2m+n)； (2)b2(b+3a-a2)； (3) x3y(xy3-1)； (4)4(e+f 2d)·ef 2d. 解: (1)原式= a3m+an . (2)原式= b3+3ab2 -a2b2. (3)原式= x3y·xy3-x3y= x4y4-x3y . (4)原式=(4e+4f 2d)·ef 2d=4e·ef 2d+4f 2d·ef 2d= 4e2f 2d+4ef 4d2. （2）(2a + 3)(b + 5)； 解：（1） (x+y)(a+2b)= ax+2bx+ay+2by； 2.计算： （3）(2x+3)(–x–1)。 （1）(x+y)(a+2b)； （2） (2a + 3)(b + 5)= 3ab+10a+b+15； （3） (2x+3)(–x–1)= –2x2–2x–3x–3= –2x2–5x–3。 分层练习 1.填空： _________ ______ _ ______________。 2.[2024盐城期中] 李老师做了一个长方形教具，其中一边长为 ， 另一边长为 ，则该长方形的面积为( ) D A. B. C. D. 基础题 3. 下列计算正确的是( ) D A. B. C. D. 4. （ 等于( ) D A. B. C. D. 5. [2024济宁期末] 根据图①的 面积可以说明多项式的乘法运算: ， 那么根据图②的面积可以说明多 项式的乘法运算是( ) A A. B. C. D. 6.下列计算正确的是( ) D A. B. C. D. 7.计算： （1） _________； （2） _______________； （3） ____________________。 8. [2024宜宾期末] 若， ， 则与 的大小关系是( ) C A. B. C. D. 由 的取值而定 9. 要使 的展开式中不含项，则 的值是( ) C A. B. 0 C. 2 D. 3 10. 某公司准备投资修建智能化工厂，实现工厂管理及生产自动化.若该 项目计划建设期为 个月，每月的投资额为 万元，则修建 这个智能化工厂共需要投入_________________万元. 【点拨】根据题意，得 万 元,所以修建这个智能化工厂需要投入 万元. 11.填空： ___ ___ _____________。 1 1 12.下列各式的结果为 的是( ) B A. B. C. D. 13. 计算： （1） ; 解：原式 。 （2） ; 解：原式 。 （3） ; 解：原式 。 （4） 。 解：原式 。 14.计算： （1） ; 【解】 . （2） ; . （3） . . 综合应用题 15.与 的关系是( ) A A.相等 B.前式是后式的 倍 C.互为相反数 D.前式是后式的 倍 [解析] 点拨： ， ， 所以 。 16. 已知，， ，若 的值与的取值无关，则 的值为( ) A A. B. 3 C. 5 D. 4 【点拨】因为，， ，所 以 . 因为的值与 的取值无关， 所以，解得 . 17. [2024济南章丘区校级月考] 有如图所示的正方形和长方形卡片若干 张，若要拼成一个长为,宽为 的长方形，需要 类卡片( ) D A. 3张 B. 6张 C. 8张 D. 11张 【点拨】由题意可得长方形的面积为 ，所以易知需要 类卡片11张. 18.从前，一位庄园主把一块长为米，宽为米 的长方形 土地租给租户张老汉，第二年，他对张老汉说：“我把这块地的长增加 10米，宽减少10米，继续租给你，租金不变，你看如何？”如果这样， 你觉得张老汉的租地面积( ) A A.变小了 B.变大了 C.没有变化 D.无法确定 [解析] 点拨：由题意可知原租地面积为 平方米，第二年按照庄园主 的说法，租地面积变为 平方米，因为，所以 ，所以租地面积 变小了。 19. 已知 ，那么代数式 的值是( ) A A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【点拨】因为 , 所以, . 所以 . 所以 .所以 . 20. 在综合与实践课上，小明设计了如下的运算：， 则 经过运算可化简为_____________. 【点拨】因为 ， 所以 . 21.在一次测试中，甲同学计算一道整式乘法题目： ， 由于抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为 。 （1）试求出式子中 的值； 解：由题意得，甲所计算的式子为 , 所以 ，所以,所以 。 （2）请你计算出这道题的正确结果。 解：由（1）得 22.[2024阜阳期中] 某居民小区为改善业主的宜居环境，准备在小区内一个长为 米，宽为 米的长方形休闲广场上修建宽度均为 米的健身跑道. （1）如图①，若修建一纵一横的两条 健身跑道，求健身跑道的面积共有多少 平方米； 【解】由题意知， （平方米）. （2）如图②，若修建两纵一横的三条健身跑道，且剩余部分的面积为216平方米. 当时，求 的值 【解】由题意知， （平方米）. 因为 , 平方米，所以 .所以 .又因为,所以 . 23.你能化简 吗？我们不妨先从简单情况 入手，发现规律，归纳结论。 【探究发现】 填空： _______； _______； _______；… 由此猜想： _________。 创新拓展题 【拓展应用】利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？ （1）求 的值； 解：因为 ，且 ， 所以 。 （2）若，求 的值。 解：因为 ， 所以 ， 所以，所以 。 24.有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅 读下面的解题过程，再解答下面的问题.例：若， ，试比较， 的大小. 解：设 ， 则， . 因为 ， 所以 . 问题：若 ， ，试比较， 的大小. 【解】设 , 则 , . 所以 . 习题 1.计算： （1）4xy·(-2xy3)； （3）2x2y·(-xy)2 ； （5）-xy2z3·(-x2y)3； （2）a3b·ab5c； （4） x2y3· xyz ； （6）-ab3·2abc2·(a2c)3。 解:（1）原式=-8x2y4； （2）原式= a4b6c ； （3）原式= 2x4y3 ； （4）原式= x3y4z ； （5）原式= x7y5z3 ； （6）原式= -2a8b4c5。 2.计算： （1）5x(2x2-3x+4)； （3）-2a2(ab+b2) ； （5）(-2m-1)·(3m-2) ； （2）-6x(x-3y) ； （4）( x2y-6xy)·xy2； （6）(x-y)2。 解:（1）5x(2x2-3x+4) = 5x·2x2+5x ·(-3x)+5x ·4=10x3-15x2+20x； （2）-6x(x-3y) = -6x·x -6x ·(-3y)= -6x2+18xy ； （3）-2a2(ab+b2) = -2a2· ab+(-2a2)·b2 = -a3b-2a2b2； （4） ( x2y-6xy)·xy2 =x2y ·xy2+(-6xy)·xy2 =x3y3-3x2y3 ； （5） (-2m-1)·(3m-2) = -2m·3m-2m·(-2) -1·3m-1· (-2)= -6m2+m+2； （6）(x-y)2=(x-y)(x-y) =x2-xy-xy+y2=x2-2xy+y2。 3.分别计算下面图中阴影部分的面积。 解:（1）S阴影=S大半圆-S小半圆 = π·(a)2- π·(a) 2 = πa2- πa 2 = πa 2； （2）S阴影=at+(b-t)t=at+bt-t2 。 （1） （2） 4.请你用图形直观解释 a(b-c)=ab-ac。 解:如图，阴影部分的面积可以利用长方形的面积公式直接计算，即a(b-c)， 也可以用大长方形的面积减空白长方形的面积，即ab-ac， 因此a(b-c)=ab-ac。 5.(1) 一套住房的部分结构如图所示(单位:m)，这套房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖?如果某种地砖的价格是a元/m2，那么购买所需地砖至少多少元? x 2x 4y 4x y 2y 卧室 客厅 厨房 卫生间 解:（1）xy+x·2y+2x·4y=xy+2xy+8xy=11xy，所以至少需要 11xy m2 的地砖。11xy·a=11xya， 所以购买所需地砖至少需要 11xya 元。 5.(2)已知(1)中房屋的高度为hm，现需要在客厅和卧室的墙壁上贴壁纸，那么至少需要多少平方米的壁纸?如果某种壁纸的价格是b元/m2，那么购买所需壁纸至少需要多少元(计算时不扣除门、窗所占的面积)? （2）4yh+2xh+4yh+4xh+2yh+2xh+2yh=12yh+8xh， 所以至少需要(12yh+8xh) m2 的壁纸。(12yh+8xh)·b=12yhb+8xhb， 所以购买所需壁纸至少需要(12yhb+8xhb)元。 6.下图是用棋子摆成的，按照这种摆法，第n个图形中共有多少枚棋子? ① ② ③ ④ 解:第n个图形中有(n2+n)枚棋子。 7. (1) 观察：4×6=24，14×16=224，24×26=624，34×36=1224，······ 你发现其中的规律了吗?如何用代数式表示这一规律? (2) 利用(1)中的规律计算 124×126。 (3)你还能找到哪些类似的规律?试举两例。 解:（1）(10a+4)(10a+6)=100a(a+1)+24(a为自然数)。 （2） 124×126=100×12×13+24=15624。 （3） 略。 ※8.计算： (a+b+c) (c+d+e)。 解:原式= ac+ad+ae+bc+bd+be+c2+cd+ce。 课堂小结 多项式的乘法 单项式 乘多项式 多项式 乘多项式 单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 m(a+b+c)=ma+mb+mc (m+a) (n+b) =mn+mb+an+ab 依据：乘法分配律 $$