导数及其应用专题训练-2025届高三数学一轮复习

导数及其应用专题训练-2025年高考数学一轮复习题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．函数的图象在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，且是的极小值点，则可以是（    ） A． B． C． D． 5．已知三次函数的定义域和值域都为，则（   ） A． B．0 C．1 D． 6．直线是曲线和的公切线，则（    ） A． B． C．或 D． 7．已知函数的部分图象如图所示，其中，，为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 8．定义双曲正弦函数：.若双曲正弦函数在区间上的值域与在区间上的值域相同，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．函数，不等式对恒成立，满足实数a的充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 10．设直线与函数图象的三个交点分别为，，，且，则（   ） A．图象的对称中心为 B．abc的取值范围为 C．ac的取值范围为 D．的取值范围为 11．已知函数及其导函数的定义域均为，记．若奇函数，且，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知函数在处取得极大值，则实数的值是 . 13．已知函数，若的图象与和的图象从左到右依次交于三点，则的最大值为 ． 14．现代建筑讲究的线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率，若曲线和在处的曲率分别为，则 ；设余弦曲线的曲率为K，则的最大值为 ． 四、解答题 15．已知函数. (1)若，求的取值范围； (2)当时，证明：. 16．已知函数在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)求的单调区间和极值. 17．已知函数关于直线对称． (1)求的值； (2)判断函数的单调性； (3)若时恒成立，求m的取值范围． 18．已知函数． (1)若，求的极小值； (2)若的图象与直线切于点，求的值． 19．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. (1)若曲线与在处的曲率分别为，，比较，大小； (2)求正弦曲线曲率的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《导数及其应用专题训练-2025年高考数学一轮复习题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D C D C B B AB ACD 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】先求出，再求即可. 【详解】因为， 所以， 则， 故选：C. 2．A 【分析】求出，然后求导求出切线的斜率，再由点斜式得到直线方程即可； 【详解】， 因为，所以， 所求的切线方程为，即． 故选：A. 3．D 【分析】求导得到，利用导数得到的最小值，从而要使有两个零点，则的最小值小于0，利到的范围，再利用零点存在性定理证明所求的的范围符合题意. 【详解】由函数，可得， 当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 所以至多一个零点，不符合题意， 当时，，可得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值，也是最小值， 又函数有两个零点，所以， 即，解得， 当时，， 当时，， 当时，， 设，则， 所以单调递增，则， 所以，所以在上有且只有一个零点， 在上有且只有一个零点， 所以满足函数有两个零点的实数的取值范围是. 故选：D. 4．C 【分析】根据导数依次判断是不是的极小值点即可. 【详解】对于A，，， 则，当时，，所以； 当时，，所以， 所以不是的极值点，故A错误； 对于B，，则， ，当时，，，所以； 当时，，，所以， 所以不是的极值点，故B错误； 对于C，，则， ，当时，； 当时，，所以是的极小值点，故C正确； 对于D，，则， ，当时，；当时，， 所以是的极大值点，故D错误. 故选：C. 5．D 【分析】先因为定义域和值域都为，得出，分和两种情况结合导函数得出函数单调性即可根据值域列式求解即可. 【详解】因为， 三次函数的定义域和值域都为，所以，所以， 所以， 当时，不合题意； 当时，， 单调递减； 单调递增； 所以， 所以，即得. 故选：D. 6．C 【分析】分别设两个切点，根据导数的几何意义分别求得切线方程，联立解方程即可. 【详解】对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 对于，设切点为，求导得， 则在该点处的斜率为， 则切线方程为：，即， 因为是公切线， 所以，即， 所以，即， 所以 即或，解得或， 当时，此时，，所以 当时，此时，，所以， 所以或， 故选：C. 7．B 【分析】根据导数的几何意义直接判断. 【详解】由图可知函数在点的切线斜率小于，即， 在点的切线斜率等于，即， 在点的切线斜率大于，即， 所以， 故选：B. 8．B 【分析】分别分析两个函数的单调性，求出它们的值域，再根据函数的值域相同，得到一个方程组，进而将问题转化为方程对应的函数有两个不同的零点问题求解. 【详解】因为，所以在上为增函数， 所以在上的值域为. 又在也是增函数， 所以在上的值域为. 因为两个函数的值域相同，所以. 即方程有两个不同的解. 因为方程. 当即时，方程成立，即是方程的一个解； 则当即时，只有一个解， 因为函数在上单调递增，且，所以函数在上单调递减. 因为且，所以且， 所以当且时，方程有且只有一个非0解. 综上：且. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据两个函数的值域相同，得到方程组，进而将问题转化为方程有两个不同的解. 9．AB 【分析】先证明函数为奇函数，再利用导数证明函数为增函数，利用函数性质将条件转化为在上恒成立，结合二次函数性质可求的范围，再结合充分不必要条件的定义确定结论. 【详解】因为， 所以， 令，则，得为奇函数， 又， 又，当且仅当，即时等号成立； ，当且仅当，即时等号成立； 所以，得在上为增函数， 因为， 所以在上恒成立，显然时满足； 当，需满足，解得，综上，． 所以为不等式对恒成立充要条件，D错误， 因为都为的真子集， 所以为不等式对恒成立充分不必要条件， 为不等式对恒成立充分不必要条件，AB正确； 不是的子集，也不是的子集， 所以为不等式对恒成立既不充分也不必要条件，C错误； 故选：AB. 10．ACD 【分析】利用导数确定函数的单调性，作出函数图象，得出，由是方程的三个根，应用韦达定理（一元三次方程的韦达定理）得出的关系式，然后判断各选项． 【详解】选项A， ， 因为， 所以的图象关于点对称，A正确； 选项B， ，则， 或， 当或时，，时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 时取得极大值，时取得极小值， 作出函数的图象，如图， 因为直线与函数图象的三个交点分别为，，，且，由图象知， 由得，或， 所以， 由有三个根， 得， 所以，，， 所以，B错； 选项C，且，所以，C正确； 选项D，, 所以， ， 因为，所以，即，又， 所以，D正确， 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：本题考查用导数研究方程的根，解题方法把方程的根转化函数图象与直线的交点的横坐标，然后利用导数研究函数的性质：单调性、极值等，作出函数图象及动直线，利用图象可得出根所满足的性质（如范围），然后再由此解决与根有关的其他问题． 11．BCD 【分析】由奇函数可得为偶函数，再结合已知得出的解析式，再分别判断A,C,D选项，再结合解析式应用基本不等式计算判断B. 【详解】因为奇函数关于对称，所以，所以，所以为偶函数， 因为，则, 又因为奇函数，所以为偶函数，所以， 所以，A选项错误； 因为，当且仅当时等号成立，所以，所以，B选项正确； 因为，又因为，所以，所以 所以，C选项正确； 因为，所以，D选项正确. 故选：BCD. 12．3 【分析】对函数求导，得，由题意得到或，将和分别代入导函数，用导数的方法判断函数单调性，确定在处的极值，即可得出结果. 【详解】由得， 因为函数在处取得极大值， 所以是方程的根，因此或，即或； ①若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极小值，不符合题意； ②若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极大值，符合题意； 故答案为：3 13． 【分析】先利用函数相交列出式子，再用韦达定理得到，求出，再令新函数，利用导数研究单调性即可求出最大值. 【详解】因为的图象与的交点为， 则由，整理得：，由韦达定理得：； 由的图象与的图象交于，则，即， 则，即， 又因为当时，即； 令，则，令， 解得：（舍）或，且当时，，当时，, 故在上单调递增，单点递减， 所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：（1）先找出三个根之间的关系，得知 （2）利用导数研究单调性即可求出函数的最大值. 14． ； 1 【分析】根据曲率的定义求得 ,从而求得 ,求得 的表达式,结合导数求得 的最大值. 【详解】因为 ,所以 , 所以 ,所以 . 因为 ,所以 . 所以 ,所以 , 所以 . 因为 ,所以 ,则 , 所以 . 令则因为 所以在上单调递增， 当即时，有最大值所以 故答案为： 15．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）令，将问题转化为，利用导数求出即可； （2）令，将问题转化为，通过导数研究单调性，借助隐零点和放缩法证明即可. 【详解】（1）记，，则恒成立，即. 因为， 当；当； 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，解得. 故实数的取值范围是； （2）记，则， 令，则， 所以即在上单调递增. 由，知. 所以，即， 故当单调递减；当单调递增. 所以， 由（*）式，可得. 代入式，得. 由（1）知，当时有，故， 所以. 由于，所以. 故，即，原不等式得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，转化为构造函数，利用导数分析构造的函数的单调性，求得最值，证明即可.当导函数的零点不易求出时，可借助其单调性和零点存在定理确定零点所在区间，设出零点，再整体代换即可. 16．(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，极小值为 【分析】（1）由导数的意义令，列方程组求解即可； （2）由导数分析单调性和极值即可； 【详解】（1），切点坐标为， ，即，解得， . （2），定义域为， 得或， 得或得； 的单调递增区间为，单调递减区间为； 的极大值为的极小值为. 17．(1)； (2)递减区间是，递增区间是； (3). 【分析】（1）求出函数的定义域，由对称性可得，再取特值求出并验证得解. （2）利用导数探讨函数在上的单调性，由对称性可得的对称性得解. （3）将不等式等价转化为，构造函数，利用导数分类讨论单调性求出范围. 【详解】（1）函数中，由，得或， 由函数的图象关于直线对称，则必有，且， 即，解得，此时， ， 即， 因此当时，函数的图象关于直线对称， 所以. （2）由（1）知，，其中或， 求导得 当时，令，函数， 求导得，函数在上递减，，即， 因此函数在上单调递增，由对称性知，在上单调递减， 所以函数的递减区间是，递增区间是. （3）当时，， 令，，求导得， 当时，，令，， ，求导得， 函数在上单调递增，，即成立，则； 当时，令，方程，， ①当时，有两根，且，不妨设，有， 当时，，当时，，函数在上递减， 而当时，，从而，不合题意； ②当时，在上单调递增， 而当时，，因此，符合题意，则； ③当时，有两根，且， 不妨设，有，当时，，在上单调递增， 而当时，，因此，符合题意，则， 所以实数m的取值范围是. 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 18．(1)0 (2) 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，再求极值即可； （2）求的导数，根据导数和切线斜率的关系求解即可. 【详解】（1）的定义域为， 当时，，， 令，得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在单调递增， 所以在处取得极小值，极小值为； （2）， 由题意得 消去得， 令，易知在上单调递增， 且，所以， 将代入，得. 所以. 19．(1) (2)1 【分析】（1）根据曲率的定义以及导数来求得正确答案. （2）先求得的曲率，利用换元法以及构造函数法，结合导数来求得曲率的最大值. 【详解】（1），，，， 所以， ，，，， ， 所以； （2），，所以， ， 令，，则， 设，则， 显然当时，，递减，所以. 最大值为1， 所以的最大值为1. 【点睛】关键点睛： 曲率公式的运用：熟练掌握并应用曲率公式是解决问题的核心. 导数计算的准确性：确保计算导数和二阶导数的准确性，避免运算错误. 最大值优化：通过换元法、构造函数法以及导数求解曲率的最大值，确保最终结果正确. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$