培优专题：相交线（知识盘点+10题型+5易错+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年七年级数学下册同步精品课堂（人教版2024）

培优专题 相交线 相交线 1．当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点. 【特别提醒】 (1)相交指的是同一平面内两条直线的一种位置关系(2)两条直线相交有且只有一个交点 2.邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角 . 注意： （1）邻补角是成对出现的单独一个角不能称为邻补角 （2）邻补角定义中既指明了位置关系，又指明了数量关系““邻”指的是位置相邻，即两个角有一条公共边补”指的是两个角的数量关系是互补 3. 邻补角与补角的区别与联系 如图，图中邻补角有几对　　 A．4对 B．5对 C．6对 D．8对 【分析】根据邻补角的概念判断即可． 【解答】解：与是邻补角，与是邻补角，与是邻补角，与是邻补角，与是邻补角，与是邻补角，与是邻补角，与是邻补角共8对， 故选：． 【点评】本题考查的是邻补角的概念，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 对顶角 1．对顶角的概念：有公共顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角叫作对顶角．如图所示，直线 AB与CD相交于点和是对顶角，和是对顶角． 2．对顶角的性质：对顶角相等． 如图所示，由 ，可得 ，即对顶角相等． 【特别提醒】 对顶角的位置关系和数量关系 1.位置关系：有公共顶点，两边分别互为反向延长线. 2.数量关系：对顶角相等. 3. 对顶角与邻补角的区别与联系 （2024春•长宁区期末）下列图中，、是对顶角的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据对顶角的定义逐项判断即可． 【解答】解：由一个公共端点，并且一个角的两边分别与另一个角的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角即为对顶角， 则，，中的图形不符合此定义；中的图形符合此定义； 故选：． 【点评】本题考查对顶角的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 【解后反思】判断两个角是否互为对顶角时一定要注意它们有没有公共顶点. 垂直与垂线 1.夹角:两条直线相交形成四个小于平角的角,其中不大于直角的那个角叫作这两条直线的夹角. 【提示】两条直线相交的位置特征,可以通过两条直线的夹角来描述. 2.垂直：如图直线AB与直线 CD 相交于点 O，当∠ BOC=90°（或形成的四个角中的任意一个角等于 90°）时，直线AB与直线CD互相垂直，记作AB ⊥ CD，读作“AB 垂直于 CD”. 3.垂线:如果两条相交直线的夹角为直角,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足. 【巧记】(已知垂直得直角,已知直角得垂直） 4.垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【特别提醒】 1.“有”说明垂线的存在性，“只有”说明垂线的唯一性 . 2.性质中的唯一性有两个关键条件不能少： 一是“同一平面”；二是过一点，这一点可以在直线上，也可以在直线外 . 【易混易错提醒】 1. 垂直是相交的特殊情况：夹角为 90° . 2. 垂线是直线. 3. 两条线段或射线垂直，是指这两条线段或射线所在的直线垂直 . 5.垂直的记法与读法:垂直用符号“⊥”表示,两条直线AB与CD互相垂直,记作AB⊥CD,读作“AB 垂直于 CD” 6.垂线的画法:给定直线l和点P,要求过点P画已知直线l的线,如图1,将三角尺的一条直角边紧靠直线l,另一直角边经过点P,沿着这条边画直线,它就是直线l的垂线,如图2.如果点P在直线l上,同样也可以画出直线l的垂线. 【补充】 垂直定义的双重性 垂直的定义既是判定也是性质. （2024秋•城关区期末）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【分析】根据得到，再由平角即可求解． 【解答】解：， ， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查垂线，对顶角、邻补角，掌握互相垂直的定义是正确解答的关键． 【解后反思】利用垂直的定义及对顶角的性质，将要求的角向已知角转化. 垂线段及点到直线的距离 1. 垂线段及点到直线的距离 【注意】①垂直是两条直线间的位置关系，垂线是直线，垂线段是线段.②点到直线的距离是两点间距离的特殊情况：直线外一点到垂足这两点间的距离. 2. 垂线段的性质 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短. 【注意】与“两点之间，线段最短”都是说明不等关系的重要依据 . （2024秋•永春县期末）如图，点是直线外一点，、、、都在直线上，于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是　　 A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 【分析】由垂线段最短，即可得到答案． 【解答】解：于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是垂线段最短． 故选：． 【点评】本题考查垂线段最短，直线的性质，线段的性质，关键是掌握垂线段最短． （2024秋•海口期末）如图，，，，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是　　 A． B． C． D． 【分析】根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可． 【解答】解：如图所示： 直线外一点到这条直线的垂线段最短，， 点到直线的距离是垂线段的长度，为， 故选：． 【点评】本题主要考查了点到直线的距离，解题关键是熟练掌握点到直线的距离的定义和垂线的性质． 三线八角 如图,直线与相交(也可以说两条直线被第三条直线所截),构成了个角，简称“三线八角”. 同位角、内错角、同旁内角 1. 同位角、内错角、同旁内角的概念 名称 定义 图形的结构特征 图示 同 位 角 ∠1与∠5都在第三条直线的同旁，并且分别位于直线的同一侧，这样的一对角叫做同位角. (1)在截线同侧； (2)在两条被截直线同侧； (3)形如字母“F” (或倒置、反置、旋转) 直线被直线所截 内 错 角 ∠3与∠5分别位于第三条直线异侧，且都在直线之间，这样的一对角叫做内错角. (1)在被截两直线之间； (2)在截线的异侧； (3)形如字母“Z” (或倒置、反置、旋转) 同 旁 内 角 ∠3与∠6在直线同旁且在直线之间，这样的一对角叫做同旁内角. (1)在被截两直线之间； (2)在截线同旁； (3)形如字母“U” (或倒置、反置、旋转) 注意： (1)同位角、内错角、同旁内角指的都是位置关系，而不是大小关系. (2)这三类角都是两条直线被第三条直线所截形成的，要分清截线和被截线 (3)两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角、2对内错角、2对同旁内角. 2. 手势表示 同位角、内错角、同旁内角也可以用手势表示出来(两大拇指代表两条被截直线，食指代表截线),如图所示，采用不同的手势，分别得到同位角、内错角、同旁内角. ①根据手势识别同位角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) ②根据手势识别内错角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) ③根据手势识别同旁内角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) （2024秋•晋江市期末）如图所示，下列说法一定正确的是　　 A．和互为余角 B．和是内错角 C．和互为补角 D．和是同位角 【分析】根据互为余角、互为补角、内错角、同位角以及同旁内角的定义结合具体图形进行判断即可． 【解答】解：．由于与的和不一定是，所以和不一定是互为余角，因此选项不符合题意； ．和不是两条直线被第三条直线所截得的角，不符合内错角的定义，因此选项不符合题意； ．和是一组同旁内角，但和不一定互补，因此选项不符合题意； ．和是两条直线被第三条直线所截的同位角，因此选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查互为余角、互为补角、内错角、同位角以及同旁内角，掌握互为余角、互为补角、内错角、同位角以及同旁内角的定义是正确解答的关键． 利用邻补角的性质求角度 例1 如图，直线，相交于点，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 审题关键:解答本题应先根据邻补角求出，由角平分线求出，根据邻补角即可求出的度数. 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 故选：D 【变式1-1】如图，直线，相交于点O，平分，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线及角平分线的定义，熟知角平分线的定义及对顶角相等和邻补角互补是解题的关键． 根据求出，根据平分，得出，再结合，得出，即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式1-2】如图，已知点为直线上一点，，，平分，． (1)求的度数； (2)试说明：平分； (3)若改变的大小，其余条件不变，设，(2)中的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请用表示． 【答案】(1) (2)见解析 (3)（2）中的结论依然成立，理由见解答过程 【分析】此题主要考查了角平分线定义，垂直定义，邻补角定义，角的计算； （1）先根据邻补角定义求出，再根据可得的度数； （2）先根据及角平分线定义得，进而得，则，由此即可得出结论； （3）根据邻补角定义得，根据得，再根据角平分线定义得，进而得，则，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：点为直线上一点，， ， ， ， ； （2），平分， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， 平分； （3）（2）中的结论依然成立，理由如下： 点为直线上一点， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分． 【变式1-3】如图，直线、相交于点G，，平分，若，则 °．    【答案】30 【分析】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据已知可设，，从而可得，然后根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，从而列出关于x的方程，进行计算可求出，最后利用平角定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分​， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：30． 【方法总结】 ① 在直线相交问题中，通过邻补角和角平分线的性质可以求出特定角度的度数。 ②当改变某个角度的大小时，若其他条件保持不变，角平分线的性质仍然适用，可以继续求解相关角度。 利用角的相关性质求角度 例2问题情境：如图，直线，相交于点．把分成两个角，且． 问题提出： (1)若，求的度数． (2)如果，平分，那么是的平分线吗？试说明理由． 问题解决： (3)若，则是否为定值？若是，请求出定值：若不是，求说明理由． 破题思路:（1）由对角相等，先求出．然后根据即可求解； （2）结合（1）的结论，求出，然后再求即可作出判断； （3）设，则，然后用的代数式把，表示出来，即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 又， ； （2）由（1）知当时，， ， 平分， ， ， 是的平分线； （3）是定值，理由如下： 设， 则， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了角度的和差倍分关系，角平分线的定义，关键是掌握对顶角相等，角平分线的意义，用代数式表示角的和差倍分关系． 【变式2-1】如图，直线相交于点，已知，射线将分成两个角，且， (1)求的度数； (2)若平分，试说明平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角度的计算，对顶角相等，角平分线的定义； （1）根据对顶角相等求出，再由求解即可； （2）先求出的度数，再根据平分得到，即可证明平分． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； （2）∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分． 【变式2-2】如图，直线相交于点O，平分，． (1)图中的余角是 （把符合条件的角都填上）； (2)如果， 求和的度数． 解： ∵平分， （ ）， =（ ）． 又∵， ∴， ∴ = °． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）由垂线的定义得，从而，结合对顶角的性质得，可得结论； （2）由角平分线的定义得，由补角的性质得，然后结合可求出． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的余角是，． 故答案为：，； （2）解： ∵平分， （角平分线的定义）， （同角的补角相等）． 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂线，对顶角，角平分线的定义，余角的定义，补角的性质，数形结合是解答本题的关键． 【方法总结】 通过角的性质求解角度问题的解题技巧 首先确定对顶角相等，然后利用角平分线的定义和角度的和差倍分关系进行计算.在给定条件下，若两角相等且其中一个角被平分，则可判断另一角也被平分，在分析问题的时候要结合数形结合的方法. 利用邻补角及对顶角的性质求角 例3 如图，直线和直线相交于点，平分． (1)写出图中的对顶角______，和两个邻补角______； (2)若，求的度数． 审题关键:解答本题应根据对顶角及邻补角的定义即可求解；求的度数可以根据角平分线的性质. 【答案】(1)，． (2)的度数为． 【详解】（1）解：的对顶角是， ∵， ∴的邻补角是， 故答案为：，． （2）解：∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 【点睛】本题主要考查邻补角，角平分线综合，掌握角平分线的性质，邻补角的定义是解题的关键． 【变式3-1】如图，直线AB，CD，EF相交于点O. （1）请写出的对顶角； （2）若，求的度数. 【答案】（1）的对顶角是，的对顶角是，的对顶角是；（2）， 【分析】（1）根据对顶角的定义写出对顶角即可； （2）根据对顶角的性质和邻补角的性质即可得出结论. 【详解】（1）的对顶角是， 的对顶角是， 的对顶角是. （2）因为的对顶角是，， 所以. 因为是的邻补角， 所以. 【点睛】此题考查的是对顶角的定义及性质和邻补角的性质，掌握对顶角的定义、对顶角相等和邻补角互补是解决此题的关键. 【变式3-2】如图，直线、相交于点，、是内部的两条射线． (1)的对顶角是__________，的补角是__________； (2)若，，是的平分线．求的度数． 【答案】(1)；、 (2) 【分析】本题考查了对顶角、补角的概念，角平分线的定义，角的和差计算； （1）根据对顶角、补角的概念可得答案； （2）首先求出和的度数，再根据角平分线定义求出，然后根据计算即可． 【详解】（1）解：的对顶角是，的补角是、； 故答案为：；、． （2）∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 【变式3-3】如图，直线，相交于点O，于点O，平分，．    (1)写出的邻补角和对顶角； (2)求的度数． 【答案】(1)的邻补角是和，对顶角是 (2) 【分析】本题主要考查了邻补角的定义，对顶角的定义，垂线定义理解，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握相关定义，数形结合． （1）根据邻补角和对顶角定义进行解答即可； （2）根据垂线定义得出，根据，得出，根据角平分线定义求出，最后根据邻补角求出结果即可． 【详解】（1）解：的邻补角是和，对顶角是； （2）解：， ， ∵， ， 平分， ， ． 【方法总结】 利用对顶角和邻补角的性质来求解角度问题 1.对顶角是两条相交直线所形成的相对角，邻补角是两个相邻角的和为180度。 2.角平分线的性质用于求解角的度数，即平分线将角分成两个相等的部分。 3.解题关键在于掌握对顶角相等、邻补角互补以及角平分线的性质。 利用基本图形法进行计数 例4 观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角． (1)如图1，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (2)如图2，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (3)如图3，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 审题关键:易考二级结论条直线相交于一点，则可形成对对顶角，对邻补角. 【答案】(1)2，4 (2)6，12 (3)12，24 (4)若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角，对邻补角 【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （2）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （3）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （4）由（1）-（3）中直线与对顶角、邻补角的对数找到规律，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，2条直线相交于一点，共有2对对顶角，4对邻补角； 故答案为：2，4； （2）解：如图2，3条直线相交于一点，共有6对对顶角，12对邻补角； 故答案为：6，12； （3）解：如图3，4条直线相交于一点，共有12对对顶角，24对邻补角； 故答案为：12，24； （4）解：2条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 3条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 4条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角，对邻补角． 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角的定义，图形类规律的探索，熟练掌握知识点，找到规律是解题的关键． 【变式4-1】四条直线两两相交，则图形中共有 对对顶角（平角除外）；有 对邻补角． 【答案】 12 24 【分析】根据对顶角、邻补角的定义得到4×3＝12对对项角，6×4＝24对邻补角． 【详解】解：∠AOC与∠BOD互为对顶角，∠AOH与∠BOG互为对顶角，∠AOF与∠BOE互为对顶角； ∠COH与∠DOG互为对顶角，∠COF与∠DOE互为对顶角，∠COB与∠DOA互为对顶角； ∠HOF与∠GOE互为对顶角，∠HOB与∠GOA互为对顶角，∠HOD与∠GOC互为对顶角； ∠FOB与∠EOA互为对顶角，∠FOD与∠EOC互为对顶角，∠FOG与∠EOH互为对顶角， ∴对顶角共有12对； ∠AOC与∠BOC互为邻补角，∠AOH与∠BOH互为邻补角，∠AOF与∠BOF互为邻补角，∠AOE与∠BOE互为邻补角，∠AOG与∠BOG互为邻补角，∠AOD与∠BOD互为邻补角； ∠COH与∠DOH互为邻补角，∠COF与∠DOF互为邻补角，∠COB与∠DOB互为邻补角，∠COA与∠DOA互为邻补角，∠COE与∠DOE互为邻补角，∠COG与∠DOG互为邻补角； ∠GOE与∠HOE互为邻补角，∠GOA与∠HOA互为邻补角，∠GOC与∠HOC互为邻补角，∠GOD与∠HOD互为邻补角，∠GOB与∠HOB互为邻补角，∠GOF与∠HOF互为邻补角； ∠EOA与∠FOA互为邻补角，∠EOC与∠FOC互为邻补角，∠EOH与∠FOH互为邻补角，∠EOG与∠FOG互为邻补角，∠EOD与∠FOD互为邻补角，∠EOB与∠FOB互为邻补角， ∴邻补角共有24对， 故答案为：12；24． 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角的定义；仔细观察图形弄清各个角之间的对顶角关系和邻补角关系是解题的关键． 【变式4-2】如图所示，若平面上4条两两相交，且无三线共点的4条直线，则共有同旁内角的对数为（　　） A．12对 B．15对 C．24对 D．32对 【答案】C 【分析】一条直线与另3条直线相交（不交于一点），有3个交点．每2个交点决定一条线段，共有3条线段．4条直线两两相交且无三线共点，共有条线段．每条线段两侧各有一对同旁内角，可知同旁内角的总对数． 【详解】解：平面上4条直线两两相交且无三线共点， 共有条线段． 又每条线段两侧各有一对同旁内角， 共有同旁内角（对． 故选：C． 【点睛】本题考查了同旁内角的定义．解题的关键是注意在截线的同旁找同旁内角．要结合图形，熟记同旁内角的位置特点．两条直线被第三条直线所截所形成的八个角中，有两对同旁内角． 比例关系转化分数占比或设元列方程法求角 例5 如图，直线，相交于点O，平分，平分．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 破题思路:（1）由平分，平分，得到，，根据邻补角互补可得出，进而可得出，由此即可证出； （2）由，，得到，由对顶角相等，可求出，根据平分，平分，可得出以及，根据邻补角互补结合，可求出的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【详解】（1）． 证明：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴． 【变式5-1】如图，直线相交于点平分平分 若，判断与的位置关系，并进行证明． 若求的度数． 【答案】（1）OF⊥OD，证明详见解析；（2）60° 【分析】（1）由OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠FOE＝∠AOE=61°，∠EOD＝∠EOB=29°，可得出∠FOD＝∠FOE＋∠EOD＝90°，由此即可证出OF⊥OD； （2）由∠AOC：∠AOD＝1：5结合邻补角互补、对顶角相等，可求出∠BOD的度数，根据OD平分∠BOE、OF平分∠AOE，可得出∠BOE的度数以及∠EOF＝∠AOE，再根据邻补角互补结合∠EOF＝∠AOE，可求出∠EOF的度数． 【详解】（1）OF⊥OD． 证明：∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE，， ∴∠FOE＝∠AOE=61°，∠EOD＝∠EOB=29°， ∴∠FOD＝∠FOE+∠EOD＝（∠AOE+∠EOB）＝90°， ∴OF⊥OD； （2）∵∠AOC：∠AOD＝1：5，∠AOC＝∠BOD， ∴∠BOD：∠AOD＝1：5， ∵∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠BOD＝30°，∠AOD＝150°， ∵OD平分∠BOE，OF平分∠AOE， ∴∠BOE＝2∠BOD＝60°，∠EOF＝∠AOE， ∵∠AOE+∠BOE＝180°， ∴∠AOE＝120°， ∴∠EOF＝60°． 【点睛】本题考查了对顶角，邻补角以及角平分线的定义，解题的关键是：（1）得出∠FOE＝∠AOE=61°，∠EOD＝∠EOB=29°；（2）通过比例关系结合邻补角互补求出∠BOD的度数． 【变式5-2】如图所示，直线，相交于点，作，平分． (1)判断与的位置关系； (2)若：：，，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据角平分线的性质，可得与的关系，根据角的和差，可得的度数，可得答案； （2）根据补角的性质，：，可得、的度数，根据角的和差，可得的度数，根据角平分线的性质，可得答案． 【详解】（1）解：∵平分， ∴． ∴， ； （2）解：由：：，得 ． ∵， ∴． ． ∴， ∵平分， ∴． ∴°． 当是钝角时如图所示， °， 故或． 【点睛】本题考查了垂线，利用了垂线的定义，角平分线的性质，角的和差计算，数形结合是解题的关键． 【变式5-3】如图，直线，相交于点，作，平分． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)或． 【分析】本题考查了垂线，利用了垂线的定义，角平分线的定义，角的和差，解决本题的关键是熟练掌握有关角平分线的计算． （1）根据角平分线的定义，可得与的关系，根据角的和差，可得的度数，可得答案； （2）根据补角的性质，，可得、的度数，根据角的和差，可得的度数，根据角平分线的定义，可得答案． 【详解】（1），理由如下： 由平分，得 ． 由角的和差得， ； （2）如图， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， 当在直线的上方时， ． 当在直线的下方时， ， 故或． 【方法总结】 求特定角的度数时，要结合条件定图，如果图形具有多样性，则需要分类讨论. 利用垂线说明两角的关系 例6 已知． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)根据（1）（2）的结果猜想与的关系，并根据图①说明理由． 审题关键:将线的垂直关系转化成数的角度大小关系. 【答案】(1) (2) (3)．理由见解析 【分析】本题考查了垂线，角的和差，解题的关键是利掌握以上知识点． （1）根据垂线的定义，可得与的度数，根据余角的定义，可得的度数，根据角的和差，可得答案； （2）根据角的和差，可得答案； （3）根据题意得出，，再根据角的和差，可得答案 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴． （3）解：．理由如下： 由题图①，得，． ∵， ∴． 【变式6-1】如图，直线相交于点O，，垂足为O． (1)若，则______°； (2)若，则______°； (3)猜想和的关系是______，并证明关系式成立． 【答案】(1)120； (2)150； (3)，证明见解析． 【分析】本题考查了垂线的意义，对顶角的性质，邻补角的定义，解题的关键是熟练掌握对顶角和邻补角的性质． （1）根据垂直的定义和邻补角的性质即可得到结论； （2）根据垂直的定义和邻补角的性质即可得到结论； （3）根据垂直的定义和邻补角的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：， ， ， ． ， 故答案为：120； （2）， ， ， ． ， 故答案为：150； （3）， 证明：∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式6-2】如图，已知AB⊥CD，垂足为O，直线EF经过点O，图中∠1与∠2的关系是(　　) A．∠1＋∠2＝180° B．∠1＋∠2＝90° C．∠1＝∠2 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据垂线的定义得出∠BOD＝90°；然后由平角的定义来求∠1与∠2的关系． 【详解】解：∵AB⊥CD， ∴∠BOD＝90°． 又∵EF为过点O的一条直线， ∴∠1＋∠2＝180°−∠BOD＝90°， 故选B． 【点睛】本题考查了垂线的定义、平角的定义、角的互余关系；熟练掌握垂线的定义和平角的定义是解决问题的关键． 垂线段最短 例7 如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，E、F分别是、上的动点．若，的面积为12，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 审题关键:作辅助线，再根据三角形面积公式求出的长． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称—最短路线问题，垂线段最短．解此题的关键是正确作出辅助线．作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N，从而可确定，即最小时，最小．再根据垂线段最短可知的长即为最小时，最后根据三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：如图，作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N， ∴， ∴， ∴最小时，最小． 当时最小，即为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值是4． 故选B． 【变式7-1】如图，正方形网格的格点在的边上，点，，也是格点，请利用网格完成下面画图： (1)过点画的垂线，交于点，经过的一个格点记为； (2)过点画的垂线，垂足记为； (3)试判断线段，，的大小关系并说明判断的依据． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，依据见解析 【分析】本题考查了格点作图，垂线段最短，点到直线的距离，解题的关键是数形结合． （1）利用网格的特点作图即可； （2）利用网格的特点作图即可； （3）根据垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，即为所求； （3）， 判断的依据：直线外一点和直线上所有点的连线中，垂线段最短． 【变式7-2】如图，已知点P在的边上．    (1)过点P作边的垂线l； (2)过点P作边的垂线段； (3)过点O作的平行线交l于点E，比较三条线段的大小，并用“>”连接得 ，得此结论的依据是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】此题考查了垂直的定义，垂线段最短的性质， （1）根据垂直的定义作图即可； （2）根据垂直的定义作图即可； （3）根据垂线段最短判断三条线段的大小即可． 【详解】（1）如图，直线l即为所求； （2）如图，即为所求；    （3）过点O作， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 理由是：垂线段最短． 【变式7-3】用“垂线段最短”来解释的现象是（　　） A．   测量跳远成绩 B．   木板上弹墨线 C．   两钉子固定木条 D．  弯曲河道改直 【答案】A 【分析】本题考查了线段的性质，根据给出的现象逐一分析即可，解题时注意：两点的所有连线中可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质是垂线段最短． 【详解】解：A、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故选项符合题意； B、木板上弹墨线是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意； C、两钉子固定木条是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意； D、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故选项不符合题意； 故选：A． 点到直线的距离 例8 如图，点在直线上，点，在直线上，设，且无论取何值，均有，则下列说法正确的是（    ）    A．点到直线的距离是的长度 B．点到直线的距离是的长度 C．点到直线的距离是的长度 D．点到直线的距离是的长度 审题关键:根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解． 【答案】B 【详解】解：∵，且无论取何值，均有， ∴点到直线的距离是的长度， 故选：B． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握点到直线的距离，垂线段最短是解题的关键． 【变式8-1】在已知平面内，点P是直线l上一点，点M，N到直线l的距离分别是，且，则线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了线段的和差、点到直线的距离等知识点，根据题意正确画出图形以及掌握分类讨论思想成为解题的关键． 分点M，N在直线l的同侧和异侧两种情况，分别画出图形进行计算即可． 【详解】解：①如图：当点M，N在直线l的同侧时，； ②如图：当点M，N在直线l的异侧时，； 综上，线段的长度是或． 故答案为：或． 【变式8-2】点A是直线l外一点，点B 是直线l上一点，点A到l的距离为，则 ．(填“小于”“大于” “不小于”或“不大于”) 【答案】不小于 【分析】据点到直线距离的定义进行解答即可．本题考查了点到直线的距离．解题的关键是明确垂线段最短，即从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短． 【详解】解：为直线外一点，是直线上一点，点到的距离为， 当时，；当不与直线垂直时，． ． 故答案为：不小于． 【变式8-3】如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，，，，，则点P到直线l的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．5.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了点到直线的距离判断．根据点到直线的距离的概念确定出那条线段的长度即可． 【详解】解：点到直线的距离是点到直线垂线段的长度， ，且， 点到直线的距离是5， 故选：C． 利用垂线段的性质进行方案设计 例9如图是一个湖泊，C是湖泊外的一块田地，现欲挖一条水渠从湖泊将水引到C处．问：从湖泊的何处开挖，才能使所挖水渠最短？画图表示，并说明设计理由． 审题关键:垂线段最短． 【答案】沿线段开挖，水渠最短；图见解析；理由：垂线段最短． 【分析】本题考查了垂线段最短的应用；根据垂线段最短，过点C作于点D，即是最短的． 【详解】解：如图，过点C作于点D，则沿线段开挖，水渠最短； 理由是垂线段最短． 【变式9-1】如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质得到，证明和，即可证明结论； （2）根据（1）得到的结论进行画图即可． 【详解】（1）解：连接， 点A，点关于l对称，点C在l上， ， ． 同理可得． ， （2）如答图，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是ACDB（其中点D是正方形的顶点）． 【变式9-2】如图，是一条河流，要铺设管道将河水引到两个用水点和，现有两种铺设管道的方案，若铺设管道单位长度的造价均相同，则下列说法正确的是（    ） 方案一：分别过，作的垂线，垂足为，，沿，铺设管道； 方案二：连接交于点，沿，铺设管道． A．方案一与方案二一样省钱，因为管道长度一样 B．方案二比方案一省钱，因为两点之间，线段最短 C．方案一比方案二省钱，因为垂线段最短 D．方案一与方案二无法比较 【答案】C 【分析】本题考查垂线段的性质，即垂线段最短．根据垂线段最短可得，，进而得出结论．解题的关键是掌握：垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴按照方案一铺设管道的长度比按照方案二铺设管道的长度更短， ∵铺设管道单位长度的造价均相同， ∴方案一比方案二省钱． 故选：C． 【变式9-3】如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】垂线段最短指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．依据线段的性质以及垂线段的性质，即可得出结论． 【详解】解：依据垂线段最短，以及两点之间，线段最短，可得最节省材料的方案是B选项． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂线段最短的运用，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择． 同位角、内错角、同旁内角 例10 下图选项中是对同位角的是（      ） A． B． C． D． 审题关键:前提“三线八角”，再注意同位角在截线和被截线的位置关系一致． 【答案】B 【分析】本题考查了同位角的知识，解题的关键是熟练掌握同位角的定义．两条直线，被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线，的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角．根据同位角的定义分析，即可得到答案． 【详解】解：A.和不是同位角，本选项不符合题意； B. 和是同位角，本选项符合题意； C. 和不是同位角，本选项不符合题意； D. 和不是同位角，本选项不符合题意． 故选：B． 【变式10-1】已知图①～④， 在上述四个图中，与是同位角的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了同位角的定义．根据同位角的定义“两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两条线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样的角叫做同位角”进行判断即可． 【详解】解：图①③中，∠1与∠2是同位角； 故选：D． 【变式10-2】如图，按各组角的位置，判断错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【答案】C 【分析】本题考查了同位角、同旁内角、内错角的定义，根据同位角、同旁内角、内错角的定义结合图形，逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、与是同旁内角，故本选项正确，不符合题意； B、与是内错角，故本选项正确，不符合题意； C、与不是同旁内角，故本选项错误，符合题意； D、与是同位角，故本选项正确，不符合题意； 故选：C． 【变式10-3】如图，从已经标出的五个角中， （1）直线，被直线所截，与 是同位角； （2）直线，被直线所截，与 是内错角； （3）直线，被直线所截，与 是同旁内角． 【答案】 【分析】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成F形，内错角的边构成Z形，同旁内角的边构成U形．根据两条直线被第三条直线所截，所形成的角中，两角在两条直线的中间，第三条直线的两旁，可得内错角，两角在两直线的中间，第三条直线的同侧，可得同旁内角，两角在两条直线的同侧，第三条直线的同侧，可得同位角． 【详解】解：（1）直线，被直线所截，与是同位角； （2）直线，被直线所截，与是内错角； （3）直线，被直线所截，与是同旁内角． 故答案为：，， 【例1】小明做了四道练习题： ①有公共顶点的两个角是对顶角； ②两个直角互为补角； ③一个三角板中两个锐角互为余角； ④一个角的两边与另一个角的两边分别在同一直线上，这两个角是对顶角； ⑤平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑥两条直线相交，一定垂直； ⑦若两条直线相交所形成的四个角都相等，则这两条直线互相垂直． 其中正确的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据垂线 的定义和余角和补角的性质解答即可． 【解答】解：①有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角是对顶角；故不符合题意； ②两个直角互为补角，故符合题意； ③一个三角板中两个锐角互为余角，故符合题意； ④一个角的两边与另一个角的两边分别在同一直线上，这两个角是对顶角或等角，故不符合题意； ⑤平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故不符合题意； ⑥两条直线相交所成的角是直角，则两直线一定垂直，故不符合题意； ⑦若两条直线相交所形成的四个角都相等，则这两条直线互相垂直，故符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了垂线，余角和补角，相交线，熟练掌握各定义是解题的关键． 【例2】下列说法正确的是　　 A．相等的角是对顶角 B．邻补角一定互补 C．互补的两角一定是邻补角 D．两个角不是对顶角，则这两个角不相等 【分析】根据对顶角和邻补角的定义逐一分析、判断可得． 【解答】解：、相等的角不一定是对顶角，此说法错误，不符合题意； 、邻补角一定互补，此说法正确，符合题意； 、互补的两角不一定是邻补角，此说法错误，不符合题意； 、若两个角不是对顶角，则这两个角不一定相等，此说法错误，不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查对顶角、邻补角，解题的关键是掌握对顶角和邻补角的定义及其性质． 【例3】在直线上任取一点，过点作射线，，使，当时，的度数是　　 A． B． C．或 D．或 【分析】根据题意进行分类讨论：①当，在同侧时，②当，在两侧时，即可解得． 【解答】解：①当，在同侧时， ， ， ， ， ②当，在两侧时， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了角度之间的和差关系，解题的关键是正确画出图形，进行分类讨论． 点为直线外一点，点，，为直线上三点，，，，则点到直线的距离为　　 A． B． C．小于 D．不大于 【分析】根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案． 【解答】解：当时，的长是点到直线的距离，即点到直线的距离， 当不垂直直线时，点到直线的距离小于的长，即点到直线的距离小于， 综上所述：点到直线的距离不大于， 故选：． 【点评】本题考查了点到直线的距离，利用了垂线段最短的性质． 如图所示，下列说法：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角；④与是内错角，其中正确的有　　 A．①②④ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可． 【解答】解：①与是内错角，说法正确； ②与是同位角，说法正确； ③与是同旁内角，说法正确； ④与是内错角，说法正确； 故选：． 【点评】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“”形，内错角的边构成“”形，同旁内角的边构成“”形． 一、单选题 1．如图，、被所截，则的同位角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同位角，熟练掌握定义是解题的关键．根据同位角的定义判断即可． 【详解】解：如图，、被所截， 和在和的上方，在的同一侧 的同位角是 故选：A． 2．如图，直线与直线相交于点O，若增大，则（    ） A．减少 B．增大 C．不变 D．增大 【答案】B 【分析】根据对顶角的性质，即可求解． 【详解】解：直线与直线相交于点O， ， 若增大，则增大， 故选：B． 【点睛】本题考查了对顶角的性质，熟练掌握和运用对顶角的性质是解决本题的关键． 3．如图，于点平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线的定义，角平分线的定义，根据垂线的定义，即可得到的度数，依据角平分线的定义，即可得到的度数，由平角定义即可求解． 【详解】解：于点， ， 平分， ， ． 故选：C． 4．如图，三角形中，，，垂足为，则下列结论正确的是（    ） A．点到的垂线段是线段 B． C．点到的距离是线段的长度 D． 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系和垂线段最短即可得到结论． 【详解】解：A、点到的垂线段是线段，故选项错误，不符合题意； B、在中，是直角边，是斜边，故，故选项错误，不符合题意； C、点到的距离是线段的长度，故选项正确，符合题意； D、在中，和都是直角边，故，无法判断大小，故错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，垂线段最短，解题的关键是正确的识别图形． 5．如图，直线，相交于点，平分，设，，下列结论：①，则；②若，则；③若，则；④若平分．则，其中正确的结论是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差，直角和平角定义；根据角平分线定义得，可说明，判断①；再根据垂直定义知，进而得出，即可判断②；的度数不能确定的度数，解答③；最后根据平角定义得，再结合角平分线的定义说明④ 即可． 【详解】解：因为平分，， 所以． 当时， 即， 所以， 即． 故①正确； 当时，可得， 即． 因为， 即， 所以． 故②正确； 当时，， 不能确定的大小． 所以③不正确； 因为平分时， 所以． 因为， 所以， 即， 所以． 则④正确； 所以正确的结论是． 故选：B． 二、填空题 6．如图，要把河中的水引到农田处，若河岸，垂足为点，则沿着线段铺设管道能使水管最短，其中蕴含的数学道理是 ．    【答案】垂线段最短 【分析】本题主要考查了垂线段最短，利用垂线段的性质是解题的关键． 根据垂线段的性质（直线外的点与直线上所有点的连线，垂线段最短），可得答案． 【详解】解：根据垂线段的性质（直线外的点与直线上所有点的连线，垂线段最短），可知其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 7．如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示的点在直线a上，表示的点在直线b上，则 ． 【答案】80 【分析】本题考查了角的计算，对顶角相等，熟练掌握对顶角相等这条性质是解题的关键． 先计算的度数，后利用对顶角相等确定即可． 【详解】解：如图， 根据题意，得， ∵， ∴， 故答案为：80． 8．如图，直线与相交于点B，，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂线的定义、对顶角相等、几何图中角度的计算，根据两直线垂直，可得的度数，根据对顶角的性质，可得的度数，根据角的和差，可得答案． 【详解】解：， ． 与是对顶角， ． 由角的和差，得 ， 故答案为： 9．如图，直线相交于点O，，平分，若，则 °． 【答案】132 【分析】此题考查了角平分线的定义，平角的定义，垂直的定义，准确识图，理解角平分线的定义，平角的定义，垂直的定义是解决问题的关键．设，，根据，得，再根据角平分线的定义得，由平角的定义得，即，将代入可得，进而可求出，然后再根据对顶角相等可得的度数． 【详解】解：设，， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即， ∴， ∴． 故答案为：132． 10．如图， 线段，是线段外一点，连接、，、分别是、的中点，连接、交于点．当四边形的面积为10时，线段的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形中线等分面积，垂线段最短，关键是由三角形面积公式求出的面积． 【详解】解：过作于，连接，延长交于， 、分别是、的中点， 的面积面积的一半，的面积面积的一半， 的面积的面积， 的面积四边形的面积， 、分别是、的中点， 的面积的面积，的面积的面积． 的面积的面积的面积的面积四边形的面积， 的面积， 的面积， ， ， ， 线段的最小值是6． 故答案为：6． 三、解答题 11．如图，直线与相交于点O，平分．    (1)当时，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角，平角，补角，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线定义以及对顶角即可求解； （2）由垂线得到，结合角平分线得到，则，化简得，由，得到方程，继而可求解． 【详解】（1）解：∵直线与相交于点O， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵若， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 解得. ∴． 12．如图，直线与相交于点，． (1)如果，那么根据________，可得________； (2)如果，求的度数． 【答案】(1)对顶角相等，； (2)． 【分析】（）利用对顶角相等的性质解答即可； （）根据对顶角相等，可知，结合，即可求解； 本题考查了对顶角的性质，平角的定义，垂直的定义，熟练掌握上述性质和定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴（对顶角相等）， 故答案为：对顶角相等，； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 13．直线相交于点O，过点O作． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，作射线使，则是的平分线．请说明理由． (3)在图1上作，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或，理由见解析 【分析】（1）根据垂直的定义进行计算即可； （2）根据垂直的定义，对顶角相等以及等角的余角相等可得答案； （3）根据垂直的定义，平角的定义以及对顶角相等、同角的余角相等进行计算即可． 【详解】（1）解：∵． ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵． ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即是的平分线； （3）解：如图11，，理由如下： ∵， ∴，即， ∵． ∴，即， ∵， ∴ ∵， ∴． 如图12，，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂线，角平分线，度分秒的计算以及对顶角、邻补角、同角的余角相等，掌握垂直的定义，角平分线的定义，度分秒的计算以及对顶角、邻补角、同角的余角相等是正确解答的关键． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优专题 相交线 相交线 1．当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点. 【特别提醒】 (1)相交指的是同一平面内两条直线的一种位置关系(2)两条直线相交有且只有一个交点 2.邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角 . 注意： （1）邻补角是成对出现的单独一个角不能称为邻补角 （2）邻补角定义中既指明了位置关系，又指明了数量关系““邻”指的是位置相邻，即两个角有一条公共边补”指的是两个角的数量关系是互补 3. 邻补角与补角的区别与联系 如图，图中邻补角有几对　　 A．4对 B．5对 C．6对 D．8对 对顶角 1．对顶角的概念：有公共顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线的两个角叫作对顶角．如图所示，直线 AB与CD相交于点和是对顶角，和是对顶角． 2．对顶角的性质：对顶角相等． 如图所示，由 ，可得 ，即对顶角相等． 【特别提醒】 对顶角的位置关系和数量关系 1.位置关系：有公共顶点，两边分别互为反向延长线. 2.数量关系：对顶角相等. 3. 对顶角与邻补角的区别与联系 （2024春•长宁区期末）下列图中，、是对顶角的是　　 A． B． C． D． 【解后反思】判断两个角是否互为对顶角时一定要注意它们有没有公共顶点. 垂直与垂线 1.夹角:两条直线相交形成四个小于平角的角,其中不大于直角的那个角叫作这两条直线的夹角. 【提示】两条直线相交的位置特征,可以通过两条直线的夹角来描述. 2.垂直：如图直线AB与直线 CD 相交于点 O，当∠ BOC=90°（或形成的四个角中的任意一个角等于 90°）时，直线AB与直线CD互相垂直，记作AB ⊥ CD，读作“AB 垂直于 CD”. 3.垂线:如果两条相交直线的夹角为直角,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫作另一条直线的垂线,它们的交点叫作垂足. 【巧记】(已知垂直得直角,已知直角得垂直） 4.垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 【特别提醒】 1.“有”说明垂线的存在性，“只有”说明垂线的唯一性 . 2.性质中的唯一性有两个关键条件不能少： 一是“同一平面”；二是过一点，这一点可以在直线上，也可以在直线外 . 【易混易错提醒】 1. 垂直是相交的特殊情况：夹角为 90° . 2. 垂线是直线. 3. 两条线段或射线垂直，是指这两条线段或射线所在的直线垂直 . 5.垂直的记法与读法:垂直用符号“⊥”表示,两条直线AB与CD互相垂直,记作AB⊥CD,读作“AB 垂直于 CD” 6.垂线的画法:给定直线l和点P,要求过点P画已知直线l的线,如图1,将三角尺的一条直角边紧靠直线l,另一直角边经过点P,沿着这条边画直线,它就是直线l的垂线,如图2.如果点P在直线l上,同样也可以画出直线l的垂线. 【补充】 垂直定义的双重性 垂直的定义既是判定也是性质. （2024秋•城关区期末）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【解后反思】利用垂直的定义及对顶角的性质，将要求的角向已知角转化. 垂线段及点到直线的距离 1. 垂线段及点到直线的距离 【注意】①垂直是两条直线间的位置关系，垂线是直线，垂线段是线段.②点到直线的距离是两点间距离的特殊情况：直线外一点到垂足这两点间的距离. 2. 垂线段的性质 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 简单说成：垂线段最短. 【注意】与“两点之间，线段最短”都是说明不等关系的重要依据 . （2024秋•永春县期末）如图，点是直线外一点，、、、都在直线上，于，在与、、、四点的连线中，线段最短，依据是　　 A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．垂线段最短 （2024秋•海口期末）如图，，，，四点在直线上，点在直线外，，若，，，，则点到直线的距离是　　 A． B． C． D． 三线八角 如图,直线与相交(也可以说两条直线被第三条直线所截),构成了个角，简称“三线八角”. 同位角、内错角、同旁内角 1. 同位角、内错角、同旁内角的概念 名称 定义 图形的结构特征 图示 同 位 角 ∠1与∠5都在第三条直线的同旁，并且分别位于直线的同一侧，这样的一对角叫做同位角. (1)在截线同侧； (2)在两条被截直线同侧； (3)形如字母“F” (或倒置、反置、旋转) 直线被直线所截 内 错 角 ∠3与∠5分别位于第三条直线异侧，且都在直线之间，这样的一对角叫做内错角. (1)在被截两直线之间； (2)在截线的异侧； (3)形如字母“Z” (或倒置、反置、旋转) 同 旁 内 角 ∠3与∠6在直线同旁且在直线之间，这样的一对角叫做同旁内角. (1)在被截两直线之间； (2)在截线同旁； (3)形如字母“U” (或倒置、反置、旋转) 注意： (1)同位角、内错角、同旁内角指的都是位置关系，而不是大小关系. (2)这三类角都是两条直线被第三条直线所截形成的，要分清截线和被截线 (3)两条直线被第三条直线所截形成的8个角中共有4对同位角、2对内错角、2对同旁内角. 2. 手势表示 同位角、内错角、同旁内角也可以用手势表示出来(两大拇指代表两条被截直线，食指代表截线),如图所示，采用不同的手势，分别得到同位角、内错角、同旁内角. ①根据手势识别同位角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) ②根据手势识别内错角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) ③根据手势识别同旁内角(两大拇指所在直线代表被截直线，食指所在直线代表截线) （2024秋•晋江市期末）如图所示，下列说法一定正确的是　　 A．和互为余角 B．和是内错角 C．和互为补角 D．和是同位角 利用邻补角的性质求角度 例1 如图，直线，相交于点，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 审题关键:解答本题应先根据邻补角求出，由角平分线求出，根据邻补角即可求出的度数. 【变式1-1】如图，直线，相交于点O，平分，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，已知点为直线上一点，，，平分，． (1)求的度数； (2)试说明：平分； (3)若改变的大小，其余条件不变，设，(2)中的结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请用表示． 【变式1-3】如图，直线、相交于点G，，平分，若，则 °．    【方法总结】 ① 在直线相交问题中，通过邻补角和角平分线的性质可以求出特定角度的度数。 ②当改变某个角度的大小时，若其他条件保持不变，角平分线的性质仍然适用，可以继续求解相关角度。 利用角的相关性质求角度 例2问题情境：如图，直线，相交于点．把分成两个角，且． 问题提出： (1)若，求的度数． (2)如果，平分，那么是的平分线吗？试说明理由． 问题解决： (3)若，则是否为定值？若是，请求出定值：若不是，求说明理由． 破题思路:（1）由对角相等，先求出．然后根据即可求解； （2）结合（1）的结论，求出，然后再求即可作出判断； （3）设，则，然后用的代数式把，表示出来，即可求解． 【变式2-1】如图，直线相交于点，已知，射线将分成两个角，且， (1)求的度数； (2)若平分，试说明平分． 【变式2-2】如图，直线相交于点O，平分，． (1)图中的余角是 （把符合条件的角都填上）； (2)如果， 求和的度数． 解： ∵平分， （ ）， =（ ）． 又∵， ∴， ∴ = °． 【方法总结】 通过角的性质求解角度问题的解题技巧 首先确定对顶角相等，然后利用角平分线的定义和角度的和差倍分关系进行计算.在给定条件下，若两角相等且其中一个角被平分，则可判断另一角也被平分，在分析问题的时候要结合数形结合的方法. 利用邻补角及对顶角的性质求角 例3 如图，直线和直线相交于点，平分． (1)写出图中的对顶角______，和两个邻补角______； (2)若，求的度数． 审题关键:解答本题应根据对顶角及邻补角的定义即可求解；求的度数可以根据角平分线的性质. 【变式3-1】如图，直线AB，CD，EF相交于点O. （1）请写出的对顶角； （2）若，求的度数. 【变式3-2】如图，直线、相交于点，、是内部的两条射线． (1)的对顶角是__________，的补角是__________； (2)若，，是的平分线．求的度数． 【变式3-3】如图，直线，相交于点O，于点O，平分，．    (1)写出的邻补角和对顶角； (2)求的度数． 【方法总结】 利用对顶角和邻补角的性质来求解角度问题 1.对顶角是两条相交直线所形成的相对角，邻补角是两个相邻角的和为180度。 2.角平分线的性质用于求解角的度数，即平分线将角分成两个相等的部分。 3.解题关键在于掌握对顶角相等、邻补角互补以及角平分线的性质。 利用基本图形法进行计数 例4 观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角． (1)如图1，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (2)如图2，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (3)如图3，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 审题关键:易考二级结论条直线相交于一点，则可形成对对顶角，对邻补角. 【变式4-1】四条直线两两相交，则图形中共有 对对顶角（平角除外）；有 对邻补角． 【变式4-2】如图所示，若平面上4条两两相交，且无三线共点的4条直线，则共有同旁内角的对数为（　　） A．12对 B．15对 C．24对 D．32对 比例关系转化分数占比或设元列方程法求角 例5 如图，直线，相交于点O，平分，平分．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 破题思路:（1）由平分，平分，得到，，根据邻补角互补可得出，进而可得出，由此即可证出； （2）由，，得到，由对顶角相等，可求出，根据平分，平分，可得出以及，根据邻补角互补结合，可求出的度数． 【变式5-1】如图，直线相交于点平分平分 若，判断与的位置关系，并进行证明． 若求的度数． 【变式5-2】如图所示，直线，相交于点，作，平分． (1)判断与的位置关系； (2)若：：，，求的度数． 【变式5-3】如图，直线，相交于点，作，平分． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【方法总结】 求特定角的度数时，要结合条件定图，如果图形具有多样性，则需要分类讨论. 利用垂线说明两角的关系 例6 已知． (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)根据（1）（2）的结果猜想与的关系，并根据图①说明理由． 审题关键:将线的垂直关系转化成数的角度大小关系. 【变式6-1】如图，直线相交于点O，，垂足为O． (1)若，则______°； (2)若，则______°； (3)猜想和的关系是______，并证明关系式成立． 【变式6-2】如图，已知AB⊥CD，垂足为O，直线EF经过点O，图中∠1与∠2的关系是(　　) A．∠1＋∠2＝180° B．∠1＋∠2＝90° C．∠1＝∠2 D．无法确定 垂线段最短 例7 如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，E、F分别是、上的动点．若，的面积为12，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 审题关键:作辅助线，再根据三角形面积公式求出的长． 【变式7-1】如图，正方形网格的格点在的边上，点，，也是格点，请利用网格完成下面画图： (1)过点画的垂线，交于点，经过的一个格点记为； (2)过点画的垂线，垂足记为； (3)试判断线段，，的大小关系并说明判断的依据． 【变式7-2】如图，已知点P在的边上．    (1)过点P作边的垂线l； (2)过点P作边的垂线段； (3)过点O作的平行线交l于点E，比较三条线段的大小，并用“>”连接得 ，得此结论的依据是 ． 【变式7-3】用“垂线段最短”来解释的现象是（　　） A．   测量跳远成绩 B．   木板上弹墨线 C．   两钉子固定木条 D．  弯曲河道改直 点到直线的距离 例8 如图，点在直线上，点，在直线上，设，且无论取何值，均有，则下列说法正确的是（    ）    A．点到直线的距离是的长度 B．点到直线的距离是的长度 C．点到直线的距离是的长度 D．点到直线的距离是的长度 审题关键:根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解． 【变式8-1】在已知平面内，点P是直线l上一点，点M，N到直线l的距离分别是，且，则线段的长度是 ． 【变式8-2】点A是直线l外一点，点B 是直线l上一点，点A到l的距离为，则 ．(填“小于”“大于” “不小于”或“不大于”) 【变式8-3】如图，在直线l外一点P与直线上各点的连线中，，，，，则点P到直线l的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．5.5 利用垂线段的性质进行方案设计 例9如图是一个湖泊，C是湖泊外的一块田地，现欲挖一条水渠从湖泊将水引到C处．问：从湖泊的何处开挖，才能使所挖水渠最短？画图表示，并说明设计理由． 审题关键:垂线段最短． 【变式9-1】如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． (1)如图②，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点C的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线是最短的．为了证明点C的位置即为所求，不妨在直线l上另外任取一点，连接，，证明．请完成这个证明； (2)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区（正方形区域），其位置如图③所示，并规定燃气管道不能穿过该区域，请给出这时铺设管道的方案（不需说明理由）． 【变式9-2】如图，是一条河流，要铺设管道将河水引到两个用水点和，现有两种铺设管道的方案，若铺设管道单位长度的造价均相同，则下列说法正确的是（    ） 方案一：分别过，作的垂线，垂足为，，沿，铺设管道； 方案二：连接交于点，沿，铺设管道． A．方案一与方案二一样省钱，因为管道长度一样 B．方案二比方案一省钱，因为两点之间，线段最短 C．方案一比方案二省钱，因为垂线段最短 D．方案一与方案二无法比较 【变式9-3】如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条管道将水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（    ） A． B． C． D． 同位角、内错角、同旁内角 例10 下图选项中是对同位角的是（      ） A． B． C． D． 审题关键:前提“三线八角”，再注意同位角在截线和被截线的位置关系一致． 【变式10-1】已知图①～④， 在上述四个图中，与是同位角的有（    ） A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③ 【变式10-2】如图，按各组角的位置，判断错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同旁内角 D．与是同位角 【变式10-3】如图，从已经标出的五个角中， （1）直线，被直线所截，与 是同位角； （2）直线，被直线所截，与 是内错角； （3）直线，被直线所截，与 是同旁内角． 【例1】小明做了四道练习题： ①有公共顶点的两个角是对顶角； ②两个直角互为补角； ③一个三角板中两个锐角互为余角； ④一个角的两边与另一个角的两边分别在同一直线上，这两个角是对顶角； ⑤平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑥两条直线相交，一定垂直； ⑦若两条直线相交所形成的四个角都相等，则这两条直线互相垂直． 其中正确的有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【例2】下列说法正确的是　　 A．相等的角是对顶角 B．邻补角一定互补 C．互补的两角一定是邻补角 D．两个角不是对顶角，则这两个角不相等 【例3】在直线上任取一点，过点作射线，，使，当时，的度数是　　 A． B． C．或 D．或 点为直线外一点，点，，为直线上三点，，，，则点到直线的距离为　　 A． B． C．小于 D．不大于 如图所示，下列说法：①与是内错角；②与是同位角；③与是同旁内角；④与是内错角，其中正确的有　　 A． ①②④ B．①② C．①②③ D．①②③④ 一、单选题 1．如图，、被所截，则的同位角是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线与直线相交于点O，若增大，则（    ） A．减少 B．增大 C．不变 D．增大 3．如图，于点平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，三角形中，，，垂足为，则下列结论正确的是（    ） A．点到的垂线段是线段 B． C．点到的距离是线段的长度 D． 5．如图，直线，相交于点，平分，设，，下列结论：①，则；②若，则；③若，则；④若平分．则，其中正确的结论是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 二、填空题 6．如图，要把河中的水引到农田处，若河岸，垂足为点，则沿着线段铺设管道能使水管最短，其中蕴含的数学道理是 ．    7．如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示的点在直线a上，表示的点在直线b上，则 ． 8．如图，直线与相交于点B，，，则的度数是 ． 9．如图，直线相交于点O，，平分，若，则 °． 10．如图， 线段，是线段外一点，连接、，、分别是、的中点，连接、交于点．当四边形的面积为10时，线段的最小值为 ． 三、解答题 11．如图，直线与相交于点O，平分．    (1)当时，求的度数； (2)若，，求的度数． 12．如图，直线与相交于点，． (1)如果，那么根据________，可得________； (2)如果，求的度数． 13．直线相交于点O，过点O作． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，作射线使，则是的平分线．请说明理由． (3)在图1上作，写出与的数量关系，并说明理由． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$