专题6.7 一次方程组全章专项复习【3大考点9大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（华东师大版2024）

专题6.7 一次方程组全章专项复习【3大考点9大题型】 【华东师大版2024】 【考点1 二元一次方程组的解法】 1 【题型1 利用二元一次方程的定义求字母的值】 2 【题型2 由二元一次方程的解确定字母的值】 3 【题型3 根据实际问题列二元一次方程组】 3 【题型4 选择合适的方程解二元一次方程组】 4 【题型5 确定方程组中字母系数的值】 5 【考点2 实际问题与二元一次方程组】 5 【题型6 列二元一次方程组解决行程、利润、配比问题】 6 【题型7 列二元一次方程组解决数字、配套、工程问题】 7 【考点3 三元一次方程组的解法】 8 【题型8 解三元一次方程组】 8 【题型9 三元一次方程组的应用】 9 【考点1 二元一次方程组的解法】 1.二元一次方程 ①定义：含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程 ②一般形式：ax+by+c=0（a≠0，b≠0） ③二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 2.二元一次方程组 定义：有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 3.二元一次方程组的解的讨论 已知二元一次方程组 ①当 时，有唯一解； ②当时，无解； ③当时，有无数解. 4.二元一次方程组的解法 1）代入消元法 由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 注：代入法解二元一次方程组的一般步骤为： ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数前的系数相反或相等（或利用等式的性质可变为相反或相等）时，将两个方程的左右两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫加减消元法，简称加减法. 注：加减法解二元一次方程组的一般步骤为： ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 3）用换元法解方程组 根据题目的特点，利用换元法简化求解，同时应注意换元法求出的解要代回关系式中，求出方程组中未知数的解. 4）用整体代入法解方程组 【题型1 利用二元一次方程的定义求字母的值】 【例1】（23-24七年级·云南文山·期中）若是关于的二元一次方程，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【变式1-1】（23-24七年级·福建莆田·期中）若方程是关于、的二元一次方程，求、的值． 【变式1-2】（23-24七年级·浙江杭州·期末）已知关于、的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则 ， ；这些方程的公共解是 ． 【变式1-3】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的方程，当 时，此方程为二元一次方程． 【题型2 由二元一次方程的解确定字母的值】 【例2】（23-24七年级·浙江绍兴·期中）如果是方程的一组解，则的值为（   ） A． B． C． D．不能确定 【变式2-1】（23-24七年级·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程，不论m是怎样的常数，总有一组解为（其中a，b是常数），则a的值为 ． 【变式2-2】（23-24七年级·重庆潼南·期中）若是关于、的二元一次方程的解，则 ，并直接写二元一次方程的所有正整数解 ． 【变式2-3】（23-24七年级·北京顺义·期中）已知是方程的解，，是正整数，则的最大值是（　　） A． B． C． D． 【题型3 根据实际问题列二元一次方程组】 【例3】（23-24七年级·吉林·期中）某食品厂要配制含蛋白质的食品，需要含蛋白质分别为和的两种配料各多少千克？若设需要含蛋白质和的配料分别为、，则所列方程组是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24七年级·北京·期中）哥哥与弟弟现在的年龄和是24岁，弟弟对哥哥说：“当我的年龄是你现在年龄的时候，你就是24岁”．如果现在弟弟的年龄是岁，哥哥的年龄是岁，所列方程组为 ． 【变式3-2】（2024·北京东城·一模）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为 ． 【变式3-3】（23-24七年级·北京海淀·期中）学校红窗汇是同学们学习成果的展示、交流、分享的平台，去年的红窗汇分为线上和线下两种方式，同学们申报的摊位分别是个、个．其中线下摊位的交易总额比线上的倍还多万元，而线上平均每个摊位的交易额比线下少万元．设线上、线下摊位的交易总额分别为、万元，根据题意可列方程组为 【题型4 选择合适的方程解二元一次方程组】 【例4】（2024七年级·浙江·专题练习）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【变式4-1】（23-24七年级·全国·期中）（1）已知是关于x、y的方程组的解，求：a、b的值． （2）如果与互为相反数，求x、y的值． 【变式4-2】（23-24七年级·云南昆明·期中）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组： 由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． ∴原方程组的解为； 这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组： 【变式4-3】（23-24七年级·全国·期中）已知是一个非零常数，且关于，的方程组有解，求的值． 【题型5 确定方程组中字母系数的值】 【例5】（23-24七年级·福建泉州·期中）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (3)若方程组的解满足，求的值； (4)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【变式5-1】（23-24七年级·浙江宁波·期中）若关于的方程组的解满足与互为相反数，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式5-2】（23-24七年级·广东广州·期中）（1）已知关于，的二元一次方程组与方程有相同的解，求的值． （2）关于，的二元一次方程组的解为正整数，求整数的值． 【变式5-3】（23-24七年级·福建福州·期末）已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为（    ） A． B．1 C．或3 D．或 【考点2 实际问题与二元一次方程组】 1.利用二元一次方程组解实际应用问题的一般过程 审题并找出数量关系式 —> 设元（设未知数） —> 根据数量关系式列出方程组 —> 解方程组 —> 检验并作答. 2.列方程组解应用题的常见题型 ①和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系式是：较大量 - 较小量 = 相差量 ，总量 = 倍数 × 倍量； ②产品配套问题：解这类题的基本等量关系式是：加工总量成比例； ③速度问题：解这类问题的基本关系式是：路程 = 速度 × 时间，包括相遇问题、追及问题等； ④航速问题： 顺流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 + 水（风）速； 逆流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 – 水（风）速； ⑤工程问题：解这类问题的基本关系式是： 工作总量 = 工作效率×工作时间，（有时需把工作总量看作1）； ⑥增长率问题：解这类问题的基本关系式是： 原量×（1+增长率）= 增长后的量，原量×（1-减少率）= 减少后的量； ⑦盈亏问题：解这类问题的关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量； ⑧数字问题：解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示； ⑨几何问题：解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式； ⑩年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等. 【题型6 列二元一次方程组解决行程、利润、配比问题】 【例6】（23-24七年级·重庆黔江·期中）今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)重庆某厂接到一笔1500盒旅游纪念品订单，需要在15天内完成并送与游客，已知该种纪念品礼盒里有4个正方形纪念币和4个半圆形纪念币．工厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方形纪念币或6个半圆形纪念币，但每人一天只能加工一种纪念币，工厂每天加工的正方形纪念币和半圆形纪念币数量正好全部配套．工厂每天能生产多少盒纪念品礼盒？ 【变式6-1】（23-24七年级·山东菏泽·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需80万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元．假如这些新能源汽车全部售出，请设计出符合要求的一种购买方案．并求出此方案所获得的利润． 【变式6-2】（23-24七年级·浙江温州·期末）根据以下素材，探索解决任务． 确定什锦糖的销售量 素材1 某商店有甲，乙两种糖果，单价分别为15元/千克，20元/千克．    素材2 商店将两种糖果混合形成A型什锦糖如图所示． 小温根据个人需要，另外混合配制成B型什锦糖，每份重5千克，价格80元． 素材3 小温恰好用870元各买了若干份A，B型什锦糖． 问题解决 任务1 确定A型单价 每份什锦糖A需要多少元？ 任务2 确定B型配比 每份什锦糖B中甲，乙两种糖果的质量分别是多少千克？ 任务3 确定销售量 本次买卖中，商家卖出甲，乙糖果各多少千克？ 【【变式6-3】（23-24七年级·浙江温州·期中）商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．如下表： A型 B型 C型 满368减100 满168减68 满50减20 在此次活动中，小温领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物． (1)若小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了1张A型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了______张B型“优惠券”． (2)若小温同时使用了5张A，B型“优惠券”，共优惠了404元，那么他使用了A，B“优惠券”各几张？ (3)若小温共领到三种不同类型的“优惠券”各16张（部分未使用），他同时使用A，B，C型中的两种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了708元，请问有哪几种优惠券使用方案？（请写出具体解题过程） 【题型7 列二元一次方程组解决数字、配套、工程问题】 【例7】（23-24七年级·全国·课后作业）一个长方体的包装盒由1个侧面和2个底面组成．如果每张白卡纸可以做2个侧面，或者做3个底面，现有14张白卡纸，那么用多少张白卡纸做侧面，多少张白卡纸做底面，做出的侧面和底面恰好能配成包装盒？ 【变式7-1】（23-24七年级·全国·课后作业）一个两位数的十位上的数与个位上的数的和是5，如果这个两位数减去27，则恰好等于十位上的数与个位上的数对调后组成的两位数，求这个两位数. 【变式7-2】（2024七年级·全国·专题练习）我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式表达，其中《孙子算经》中记载了这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？ 【变式7-3】（23-24七年级·福建厦门·期中）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装，调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发10000元工资，每名新工人每月发6000元工资； (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？ (3)在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人多少名？ 【考点3 三元一次方程组的解法】 1.三元一次方程组的概念 含有三个未知数,每个方程的未知项的次数都是1,并且共有三个方程,这样的方程组叫做三元一次方程组. 2.三元一次方程组的解法思路 解三元一次方程组的基本思想仍是消元,一般地，其基本方法是代入法和加减法.一般地，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变二元一次方程组，求出两个未知数，最后求出另一个未知数. 3.三元一次方程组的解题步骤 ①利用代入法或加减法,消去一个未知数,得出一个二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把 这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解. 4.解题策略 ①有表达式，用代入法； ②缺某元，消某元.灵活运用加减消元法,代入消元法解简单的三元一次方程组. 【题型8 解三元一次方程组】 【例8】（23-24七年级·浙江舟山·期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为（    ） A．15 B．19 C．21 D．23 【变式8-1】（23-24七年级·浙江·课后作业）已知且x＋y＝3，则z的值为(　 　) A．9 B．－3 C．12 D．不确定 【变式8-2】（23-24七年级·上海静安·期末）解方程组：． 【变式8-3】（23-24七年级·全国·期末）对于，，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知，，则的值为 ． 【题型9 三元一次方程组的应用】 【例9】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）在甲、乙两盒坚果中，每盒均有核桃仁、腰果和杏仁三种坚果，其中甲盒坚果重千克，甲盒里核桃仁的重量占甲盒坚果重量． (1)甲盒里核桃仁重多少千克？ (2)若乙盒坚果重量比甲盒坚果重量多，且乙盒坚果中腰果是乙盒坚果重量的，求乙盒坚果中腰果重多少千克？ (3)在(1)、(2)的条件下，当甲乙两盒坚果混合在一起时，杏仁的重量占，并且在混合之前甲盒中的杏仁所占百分比是乙盒中杏仁所占百分比的倍，求甲盒坚果中腰果重多少千克？ 【变式9-1】（23-24七年级·四川内江·期中）A、、三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻，在前，在后，在、正中间．10分钟后，追上；又过了5分钟，追上．问再过 分钟，追上． 【变式9-2】（23-24七年级·重庆沙坪坝·期中）中国的元旦，距今已有 3000 多年的历史，“元旦 ”一词 最早出现于《晋书》．“元旦节 ”前夕，某超市分别以每袋 30元、20 元、10 元的价格购进腊排骨、腊香肠、腊肉各若干，由于该食品均是真空包装，只能成袋出售，每袋的售价分别为 50 元、40 元、20 元，元旦节当天卖出三种年货若干袋，元月2日腊排骨卖出的数量是第一天腊排骨卖出数量的 3 倍，腊香肠卖出的数量是第一天腊香肠卖出数量的 2 倍，腊肉卖出的数量是第一天腊肉卖出数量的4倍；元月3日卖出的腊排骨的数量是这三天卖出腊排骨的总数量的 ，卖出腊香肠的数量是前两天卖出腊香肠数量和的，卖出腊肉的数量是第二天卖出腊肉数量的一半．若第三天三种年货的销售总额比第一天三种年货销售总额多1600元，这三天三种年货的销售总额为9350元，则这三天销售的腊排骨和腊肉两种年货的利润之比为 ． 【变式9-3】（23-24七年级·上海虹口·期中）清明假期小刚与好友一同前往上海迪士尼乐园游玩，他们一早到达乐园入口等待8：30开园，已知入口处有若干条安检通道让游客通过安检入园（每天开放的安检通道数量当天不会改变），游客每分钟按相同的人数源源不断到达这里等待入园，8：42小刚通过安检进入乐园．回家后小刚通过新闻了解到，平均一个人通过安检通道入园耗时15秒，当天直到9：45安检处才没有排队人群，游客可以随到随检 (1)根据小刚当天的排队记录，他8：30到达入口处时排在第1200位，则当天开放的安检通道有多少条？ (2)根据以往数据分析，若开园时等待在入口处的游客人数与清明假期假时一致，但安检通道增加至清明假期时的1.1倍且每分钟到达入口处的游客人数与清明假期时一致时，从9：20开始游客可以随到随检．当每分钟到达入口处的游客人数增加10人时，若不增加安检通道数量，游客何时才能随到随检？ (3)迪士尼乐园管理方估计五一假期开园时等待在入口处的游客人数与清明假期假时一致时，但每分钟到达入口处的游客人数将增加50%，若希望最晚10：00开始游客可以随到随检，那至少需要增加多少条安检通道？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.7 一次方程组全章专项复习【3大考点9大题型】 【华东师大版2024】 【考点1 二元一次方程组的解法】 1 【题型1 利用二元一次方程的定义求字母的值】 3 【题型2 由二元一次方程的解确定字母的值】 4 【题型3 根据实际问题列二元一次方程组】 6 【题型4 选择合适的方程解二元一次方程组】 8 【题型5 确定方程组中字母系数的值】 11 【考点2 实际问题与二元一次方程组】 13 【题型6 列二元一次方程组解决行程、利润、配比问题】 14 【题型7 列二元一次方程组解决数字、配套、工程问题】 19 【考点3 三元一次方程组的解法】 21 【题型8 解三元一次方程组】 22 【题型9 三元一次方程组的应用】 24 【考点1 二元一次方程组的解法】 1.二元一次方程 ①定义：含有两个未知数（x和y），并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程 ②一般形式：ax+by+c=0（a≠0，b≠0） ③二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 2.二元一次方程组 定义：有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程.二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 3.二元一次方程组的解的讨论 已知二元一次方程组 ①当 时，有唯一解； ②当时，无解； ③当时，有无数解. 4.二元一次方程组的解法 1）代入消元法 由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法. 注：代入法解二元一次方程组的一般步骤为： ①变：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来； ②代：将变形后的关系式代入另一个方程（不能代入原来的方程哦），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值； ④再代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式（或原来的方程组中任一个方程）中，求出另一个未知数的值； ⑤联：把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 2）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数前的系数相反或相等（或利用等式的性质可变为相反或相等）时，将两个方程的左右两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫加减消元法，简称加减法. 注：加减法解二元一次方程组的一般步骤为： ①化、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等； ②加减、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； ④代、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值， ⑤联、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解. 3）用换元法解方程组 根据题目的特点，利用换元法简化求解，同时应注意换元法求出的解要代回关系式中，求出方程组中未知数的解. 4）用整体代入法解方程组 【题型1 利用二元一次方程的定义求字母的值】 【例1】（23-24七年级·云南文山·期中）若是关于的二元一次方程，则的值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查了二元一次方程定义，关键是掌握含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程． 利用二元一次方程定义可得答案． 【详解】解：由题意得：，且， 解得， 故选：B． 【变式1-1】（23-24七年级·福建莆田·期中）若方程是关于、的二元一次方程，求、的值． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义列出二元一次方程组进行解答即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 【点睛】本题本题考查了二元一次方程的定义，代入法解二元一次方程组，掌握含有两个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程叫二元一次方程是解题的关键，注意未知项的次数都为1次． 【变式1-2】（23-24七年级·浙江杭州·期末）已知关于、的二元一次方程，当每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，则 ， ；这些方程的公共解是 ． 【答案】 0 1 【分析】将已知方程按a整理得（x+y-2）a=x-2y-3，要使这些方程有一个公共解，说明这个解与a的取值无关，即这个关于a的方程有无穷多个解，所以只须x+y-2=0且x-2y-3=0．联立以上两方程即可求出结果． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∵当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解， ∴（a-1）x+（a+2）y+3-2a=0， 整理得：（x+y-2）a=x-2y-3， 则， 解得：， 故答案为：0，1，． 【点睛】本题考查了关于x的方程ax=b有无穷解的条件：a=b=0，此知识点超出初中教材范围，属于竞赛题型．同时考查了二元一次方程组的解法．本题关键在于将已知方程按a整理以后，能够分析得出这个方程的解与a的取值无关，即这个关于a的方程有无穷多个解，从而转化为求解关于x、y的二元一次方程组． 【变式1-3】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于的方程，当 时，此方程为二元一次方程． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义即可求解，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程为二元一次方程， ∴，且，， ∴， 故答案为：． 【题型2 由二元一次方程的解确定字母的值】 【例2】（23-24七年级·浙江绍兴·期中）如果是方程的一组解，则的值为（   ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】把方程的解代入原方程，即可求得的值． 【详解】解：把代入方程，得： ， 解得:， 故选：． 【点睛】此题主要考查二元一次方程解的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程组的解． 【变式2-1】（23-24七年级·江苏南通·期中）已知关于x，y的方程，不论m是怎样的常数，总有一组解为（其中a，b是常数），则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，令，y值未知，消去y是解题的关键． 【详解】解：∵关于x，y的方程，不论m是怎样的常数，总有一组解为（其中a，b是常数）， ∴令，则原方程为， ∴， ∴， ∴a的值为． 故答案为：． 【变式2-2】（23-24七年级·重庆潼南·期中）若是关于、的二元一次方程的解，则 ，并直接写二元一次方程的所有正整数解 ． 【答案】 1 ，， 【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解”是解题的关键． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：． 原二元一次方程为：， 当时，， 当时，， 当时，， 故二元一次方程的所有正整数解为：，，， 故答案为：1；，，． 【变式2-3】（23-24七年级·北京顺义·期中）已知是方程的解，，是正整数，则的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把方程的解代入，则可得到一个关于和的二元一次方程，解答即可． 【详解】解：是方程的解， ， ，是正整数， 或或， 的最大值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，解题关键把方程的解代入原方程，得到关于和的二元一次方程，再求解． 【题型3 根据实际问题列二元一次方程组】 【例3】（23-24七年级·吉林·期中）某食品厂要配制含蛋白质的食品，需要含蛋白质分别为和的两种配料各多少千克？若设需要含蛋白质和的配料分别为、，则所列方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．根据题意正确的列二元一次方程组是解题的关键． 由食品厂要配制含蛋白质的食品可得，，进而可得方程组． 【详解】解：设需要含蛋白质和的配料分别为、， 依题意得，， 故选：C． 【变式3-1】（23-24七年级·北京·期中）哥哥与弟弟现在的年龄和是24岁，弟弟对哥哥说：“当我的年龄是你现在年龄的时候，你就是24岁”．如果现在弟弟的年龄是岁，哥哥的年龄是岁，所列方程组为 ． 【答案】 【分析】此题考查由实际问题列方程组，注意找出题目蕴含的数量关系解决问题．由弟弟的年龄是岁，哥哥的年龄是岁，根据“哥哥与弟弟的年龄和是24岁，”，哥哥与弟弟的年龄差不变得出，列出方程组即可． 【详解】解：设现在弟弟的年龄是岁，哥哥的年龄是岁，由题意得 ． 故答案为：． 【变式3-2】（2024·北京东城·一模）《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为 ． 【答案】 【分析】设醇酒为斗，行酒为斗，根据“醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱．现有30钱，买得2斗酒”，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：设醇酒为斗，行酒为斗， 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是理解题意，找准等量关系． 【变式3-3】（23-24七年级·北京海淀·期中）学校红窗汇是同学们学习成果的展示、交流、分享的平台，去年的红窗汇分为线上和线下两种方式，同学们申报的摊位分别是个、个．其中线下摊位的交易总额比线上的倍还多万元，而线上平均每个摊位的交易额比线下少万元．设线上、线下摊位的交易总额分别为、万元，根据题意可列方程组为 【答案】 【分析】设线上、线下摊位的交易总额分别为、万元，根据题意列出二元一次方程组即可求解． 【详解】解：设线上、线下摊位的交易总额分别为、万元， 则 故答案为：． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，找到等量关系列出方程组是解题的关键． 【题型4 选择合适的方程解二元一次方程组】 【例4】（2024七年级·浙江·专题练习）已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和求代数式的值等知识，能求出两方程组的相同的解是解此题的关键． （1）求出的解，即可解答； （2）将代入到中，求出a、b的值，再代入，求出即可． 【详解】（1）由题意，得 ， ，得 ， ∴， 把代入②得 ， ∴， 解得； （2）将代入，得， 解得． ∴， ∴． 【变式4-1】（23-24七年级·全国·期中）（1）已知是关于x、y的方程组的解，求：a、b的值． （2）如果与互为相反数，求x、y的值． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，绝对值和完全平方公式的非负性， （1）将方程组的解代入得出关于a，b的二元一次方程组，求出解即可； （2）根据绝对值和平方的非负性列出二元一次方程组，求出解即可． 【详解】（1）∵是方程组的解， ∴， 解得． （2）∵与互为相反数， ∴， 即， 解得． 【变式4-2】（23-24七年级·云南昆明·期中）先阅读材料，然后解方程组． 材料：解方程组： 由①，得．③ 把③代入②，得，解得． 把代入③，得． ∴原方程组的解为； 这种方法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答，请用这种方法解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先根据题意由①得到③，再把③代入②得到，据此求出，再把代入①求出x即可得到答案． 【详解】解： 由①得③， 把③代入②得：，即，解得， 把代入③得：，解得， ∴方程组的解为． 【变式4-3】（23-24七年级·全国·期中）已知是一个非零常数，且关于，的方程组有解，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，用代入消元法消去即可求解，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键． 【详解】解：， 由得：， 把代入得：， 则， ∴． 【题型5 确定方程组中字母系数的值】 【例5】（23-24七年级·福建泉州·期中）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (3)若方程组的解满足，求的值； (4)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或 【分析】本题考查求二元一次方程的整数解，已知二元一次方程组的解的情况，求参数的值： （1）根据二元一次方程的解的定义，求解即可； （2）将方程转化为，得到当时，方程成立，即可得出结果； （3）将和方程组中不含参数的方程组成新的方程组，求解后，代入含参方程，求解即可； （4）方程组消去后，得到关于的二元一次方程，求整数解即可． 【详解】（1）解：∵，且均为正整数， ∴或； （2）∵， ∴， ∴当时，方程成立， ∴， 即：不论为何值，方程总有一组解为． （3）联立，解得：； 把代入，得：， 解得：； （4）， ，得：， ∴， ∵均为整数， ∴或， ∴或． 【变式5-1】（23-24七年级·浙江宁波·期中）若关于的方程组的解满足与互为相反数，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据与互为相反数得到，代入方程组中计算即可求出的值． 【详解】解：由与互为相反数，得到，即， 代入方程组得：， 解得：． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，正确得到并利用代入消元法求解是解题的关键． 【变式5-2】（23-24七年级·广东广州·期中）（1）已知关于，的二元一次方程组与方程有相同的解，求的值． （2）关于，的二元一次方程组的解为正整数，求整数的值． 【答案】（1）；（2）或7 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）得，从而得出k的方程求解； （2）由得，结合，取正整数求出，的值，进而可求出整数的值． 【详解】解：（1） 得： （2） ，取正整数 ，或， 或7 【变式5-3】（23-24七年级·福建福州·期末）已知关于，的方程组，若方程组的解中恰为整数，也为整数，则的值为（    ） A． B．1 C．或3 D．或 【答案】D 【分析】利用加减消元法解关于、的方程组得到，利用有理数的整除性得到，从而得到满足条件的的值． 【详解】解：， 得， 解得， ∵为整数，为整数， ∴， ∴的值为或． 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．也考查了解二元一次方程组． 【考点2 实际问题与二元一次方程组】 1.利用二元一次方程组解实际应用问题的一般过程 审题并找出数量关系式 —> 设元（设未知数） —> 根据数量关系式列出方程组 —> 解方程组 —> 检验并作答. 2.列方程组解应用题的常见题型 ①和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系式是：较大量 - 较小量 = 相差量 ，总量 = 倍数 × 倍量； ②产品配套问题：解这类题的基本等量关系式是：加工总量成比例； ③速度问题：解这类问题的基本关系式是：路程 = 速度 × 时间，包括相遇问题、追及问题等； ④航速问题： 顺流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 + 水（风）速； 逆流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 – 水（风）速； ⑤工程问题：解这类问题的基本关系式是： 工作总量 = 工作效率×工作时间，（有时需把工作总量看作1）； ⑥增长率问题：解这类问题的基本关系式是： 原量×（1+增长率）= 增长后的量，原量×（1-减少率）= 减少后的量； ⑦盈亏问题：解这类问题的关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度来把握事物的总量； ⑧数字问题：解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示； ⑨几何问题：解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式； ⑩年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等. 【题型6 列二元一次方程组解决行程、利润、配比问题】 【例6】（23-24七年级·重庆黔江·期中）今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)重庆某厂接到一笔1500盒旅游纪念品订单，需要在15天内完成并送与游客，已知该种纪念品礼盒里有4个正方形纪念币和4个半圆形纪念币．工厂现在有100名工人，每人每天能加工9个正方形纪念币或6个半圆形纪念币，但每人一天只能加工一种纪念币，工厂每天加工的正方形纪念币和半圆形纪念币数量正好全部配套．工厂每天能生产多少盒纪念品礼盒？ 【答案】(1)该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时； (2)工厂每天能生产90盒纪念币． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用． （1）设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时，根据路程速度时间，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设每天安排名工人生产正方体纪念币，依题意得，解得即可． 【详解】（1）解：设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时， 依题意，得：， 解得：， 答：该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时； （2）解：设每天安排名工人生产正方体纪念币，则每天安排名工人生产半圆形纪念币， 依题意得， 解得：， 则工厂每天能生产的纪念币数为：（盒）， 答：工厂每天能生产90盒纪念币． 【变式6-1】（23-24七年级·山东菏泽·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车共需80万元；购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元．假如这些新能源汽车全部售出，请设计出符合要求的一种购买方案．并求出此方案所获得的利润． 【答案】(1)A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元，10万元 (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用： （1）设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据题意，列出方程组进行求解即可； （2）设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车，根据题意，列出二元一次方程，求出正整数解，即可． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为x万元和y万元，根据题意可列方程组为， 解得， 所以A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为25万元，10万元 （2）设购进m辆A型号的新能源汽车，购进n辆B型号的新能源汽车， 根据题意得：，且m，n均为正整数， ∴或或． 共有三种购买方案： 方案一：购进2辆A型号的新能源汽车，购进13辆B型号的新能源汽车，获得的利润为（万元） 方案二：购进4辆A型号的新能源汽车，购进8辆B型号的新能源汽车，获得的利润为（万元） 方案三：购进6辆A型号的新能源汽车，购进3辆B型号的新能源汽车，获得的利润为（万元） 【变式6-2】（23-24七年级·浙江温州·期末）根据以下素材，探索解决任务． 确定什锦糖的销售量 素材1 某商店有甲，乙两种糖果，单价分别为15元/千克，20元/千克．    素材2 商店将两种糖果混合形成A型什锦糖如图所示． 小温根据个人需要，另外混合配制成B型什锦糖，每份重5千克，价格80元． 素材3 小温恰好用870元各买了若干份A，B型什锦糖． 问题解决 任务1 确定A型单价 每份什锦糖A需要多少元？ 任务2 确定B型配比 每份什锦糖B中甲，乙两种糖果的质量分别是多少千克？ 任务3 确定销售量 本次买卖中，商家卖出甲，乙糖果各多少千克？ 【答案】任务1：70元；任务2：B中甲糖果有4千克，乙糖果有1千克；任务3：①若A型1份，B型10份，则卖出42千克甲糖果，12千克乙糖果．②若A型9份，B型3份，则卖出30千克甲糖果，21千克乙糖果 【分析】（1）由甲乙两种糖果的总价之和可得答案； （2）设什锦糖B中糖果甲，乙糖果质量分别为x千克，y千克，根据B型什锦糖，每份重5千克，价格80元，再列方程组即可； （3）设小温购买m份什锦糖A，n份什锦糖B，可得方程，再利用方程的正整数解可得答案． 【详解】解：（1）什锦糖A价格为元． （2）设什锦糖B中糖果甲，乙糖果质量分别为x千克，y千克，由题意可列方程：，解得， ∴B中甲糖果有4千克，乙糖果有1千克． （3）设小温购买m份什锦糖A，n份什锦糖B， 可得方程， ∵m，n为整数，解得，， ∴①若A型1份，B型10份，则卖出千克甲糖果，千克乙糖果． ②若A型9份，B型3份，则卖出千克甲糖果，千克乙糖果． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 【变式6-3】（23-24七年级·浙江温州·期中）商场为庆祝母亲节，为了促进消费，推出赠送“优惠券”活动，其中优惠券分为三种类型．如下表： A型 B型 C型 满368减100 满168减68 满50减20 在此次活动中，小温领到了三种不同类型的“优惠券”若干张，准备给妈妈买礼物． (1)若小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元，已知她用了1张A型“优惠券”，4张C型“优惠券”，则她用了______张B型“优惠券”． (2)若小温同时使用了5张A，B型“优惠券”，共优惠了404元，那么他使用了A，B“优惠券”各几张？ (3)若小温共领到三种不同类型的“优惠券”各16张（部分未使用），他同时使用A，B，C型中的两种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了708元，请问有哪几种优惠券使用方案？（请写出具体解题过程） 【答案】(1)5 (2)他使用了A型2张，B型3张． (3)有两种优惠券使用方案：①A型3张，B型6张．②B型6张，C型15张． 【分析】（1）根据“小温同时使用三种不同类型的“优惠券”消费，共优惠了520元”求解即可； （2）设他使用了A型“优惠券”x张，B型“优惠券”y张，根据“同时使用了5张A， B型‘优惠券’，共优惠了404元”列二元一次方程组，求解即可； （3）设小温使用了A型“优惠券”a张， B型“优惠券”b张， C型“优惠券”c张，根据题意，分三种情况∶①若使用了A， B两种类型的优惠券，②使用了B， C两种类型的优惠券，③使用了A， C两种类型的优惠券，分别列方程，求解即可确定使用方案． 【详解】（1）解∶根据题意，得 (张)， 故答案为∶5； （2）解：设他使用了A型x张，B型y张． 根据题意可得解得 答：他使用了A型2张，B型3张． （3）解：设小温使用A型a张，B型b张，C型c张． 根据题意可得三种情形： ①若小温使用了A，B型优惠券，则有 化简为： ∵a，b都为整数，且， ∴， ②若小温使用了B，C型优惠券，则有 化简为： ∵b，c都为整数，且， ∴， ③若小温使用了A，C型优惠券，则有 化简为： ∵a，c都为整数，且， ∴本小题无解． 综上所述，有两种优惠券使用方案：①A型3张，B型6张．②B型6张，C型15张． 【点睛】本题考查了二元一次方程(组)的应用，理解题意并建立相应的二元一次方程或二元一次方程组是解题的关键． 【题型7 列二元一次方程组解决数字、配套、工程问题】 【例7】（23-24七年级·全国·课后作业）一个长方体的包装盒由1个侧面和2个底面组成．如果每张白卡纸可以做2个侧面，或者做3个底面，现有14张白卡纸，那么用多少张白卡纸做侧面，多少张白卡纸做底面，做出的侧面和底面恰好能配成包装盒？ 【答案】用6张白卡纸做侧面，8张白卡纸做底面，做出的侧面和底面恰好能配成包装盒 【分析】设x张白卡纸做侧面，y张白卡纸做底面，根据“包装盒由1个侧面和2个底面组成．如果每张白卡纸可以做侧面2个，或者做底面3个，现有14张白卡纸”列出方程组求解即可． 【详解】解：设用x张白卡纸做侧面，y张白卡纸做底面， 由题意得，解得． 答：用6张白卡纸做侧面，8张白卡纸做底面，做出的侧面和底面恰好能配成包装盒． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组． 【变式7-1】（23-24七年级·全国·课后作业）一个两位数的十位上的数与个位上的数的和是5，如果这个两位数减去27，则恰好等于十位上的数与个位上的数对调后组成的两位数，求这个两位数. 【答案】41 【分析】设这个两位数的十位上的数字为x，个位上的数字为y，由数字问题在题目中的等量关系建立方程组求出其解即可． 【详解】设这个两位数的十位上的数字为x，个位上的数字为y，由题意，得 解得： , ∴这个两位数为41． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，数字问题的数量关系的运用，解答时灵活运用数字问题的数量关系建立方程组是关键． 【变式7-2】（2024七年级·全国·专题练习）我国民间流传着许多趣味算题，它们多以顺口溜的形式表达，其中《孙子算经》中记载了这样一个数学问题：一群老头去赶集，半路买了一堆梨，一人一个多一梨，一人两个少二梨，请问君子知道否，几个老头几个梨？ 【答案】有3个老头，4个梨． 【分析】题意中涉及两个未知数：几个老头几个梨． 两组条件：一人一个多一梨，一人两个少二梨，可设两个未知数，列二元一次方程组解题． 【详解】解：设有x个老头，y个梨， 根据题意得：， 解得：． 答：有3个老头，4个梨． 【点睛】本题考查了二元一次方程组在实际问题中运用，需要设两个未知数，再寻找建立方程组的两个等量关系. 【变式7-3】（23-24七年级·福建厦门·期中）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．每名熟练工均能独立安装电动汽车，由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，经过培训上岗可以独立进行安装，调研部门发现：2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发10000元工资，每名新工人每月发6000元工资； (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)如果工厂招聘名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种工人的招聘方案？ (3)在上述方案中，为了节省成本，应该招聘新工人多少名？ 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． (2)有种工人的招聘方案：抽调熟练工名，招聘新工人名；抽调熟练工名，招聘新工人名． (3)为了节省成本，应该招聘新工人名． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用等知识点，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键． （1）设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车，根据等量关系“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”和“名熟练工和名新工人每月可安装辆电动汽车”列出二元一次方程组求解即可； （2）设抽调熟练工名，招聘新工人名，根据“招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务”列出二元一次方程，求出符合题意的正整数解即可； （3）求出方案和方案的成本，然后比较即可解答． 【详解】（1）解：任务一：设每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车， 由题意得：，解得：， 答：每名熟练工每月可以安装辆电动汽车，每名新工人每月可以安装辆电动汽车． （2）设抽调熟练工名，招聘新工人名， 由题意得：， 整理得：， 、为正整数，且， 或， 有种工人的招聘方案： 抽调熟练工名，招聘新工人名； 抽调熟练工名，招聘新工人名． （3）方案中，每月发放工资为：元； 方案中，每月发放工资为：元； ， 为了节省成本，应该抽调熟练工名，招聘新工人名． 【考点3 三元一次方程组的解法】 1.三元一次方程组的概念 含有三个未知数,每个方程的未知项的次数都是1,并且共有三个方程,这样的方程组叫做三元一次方程组. 2.三元一次方程组的解法思路 解三元一次方程组的基本思想仍是消元,一般地，其基本方法是代入法和加减法.一般地，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而变二元一次方程组，求出两个未知数，最后求出另一个未知数. 3.三元一次方程组的解题步骤 ①利用代入法或加减法,消去一个未知数,得出一个二元一次方程组； ②解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值； ③将这两个未知数的值代入原方程中较简单的一个方程,求出第三个未知数的值,把 这三个数写在一起的就是所求的三元一次方程组的解. 4.解题策略 ①有表达式，用代入法； ②缺某元，消某元.灵活运用加减消元法,代入消元法解简单的三元一次方程组. 【题型8 解三元一次方程组】 【例8】（23-24七年级·浙江舟山·期末）已知多项式中，，，为常数，的取值与多项式对应的值如下表： 1 2 7 则值为（    ） A．15 B．19 C．21 D．23 【答案】D 【分析】本题考查的是三元一次方程组的特殊解法，先根据表格信息建立方程组，再利用整体未知数的方法解方程即可；先求解，，再利用整体代入法可得答案． 【详解】解：当时，①， 当时，②， 当时，③， 当时，④， ③①得：，即， ④②得：， ∴， ∴， ∴； 故选D 【变式8-1】（23-24七年级·浙江·课后作业）已知且x＋y＝3，则z的值为(　 　) A．9 B．－3 C．12 D．不确定 【答案】B 【分析】先利用x＋y＝3，得2x+2y=6,3x+3y=9,进而将方程组进行化简整理,再用代入消元法即可求解. 【详解】解：∵x＋y＝3，将其代入方程组得, 由（1）得y=z-6,将其代入（2）得z=-3, 故选B. 【点睛】本题考查了三元一次方程组的求解,中等难度,熟悉代入消元的方法和对原方程组进行化简是解题关键. 【变式8-2】（23-24七年级·上海静安·期末）解方程组：． 【答案】． 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握解三元一次方程组的方法，即消元法，是解答本题的关键． ①②得④，②③得⑤，④⑤得，把代入④得，把、代入③得，由此得到答案． 【详解】解：根据题意： 由①②得④， 由②③得⑤， ④⑤得， 得， 把代入④得， 得， 把、代入③得， 得， 原方程组的解为． 【变式8-3】（23-24七年级·全国·期末）对于，，定义新运算：，其中、、是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组，新定义，根据新定义得到，再利用得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴ 得：， ∴， 故答案为：． 【题型9 三元一次方程组的应用】 【例9】（23-24七年级·黑龙江哈尔滨·期中）在甲、乙两盒坚果中，每盒均有核桃仁、腰果和杏仁三种坚果，其中甲盒坚果重千克，甲盒里核桃仁的重量占甲盒坚果重量． (1)甲盒里核桃仁重多少千克？ (2)若乙盒坚果重量比甲盒坚果重量多，且乙盒坚果中腰果是乙盒坚果重量的，求乙盒坚果中腰果重多少千克？ (3)在(1)、(2)的条件下，当甲乙两盒坚果混合在一起时，杏仁的重量占，并且在混合之前甲盒中的杏仁所占百分比是乙盒中杏仁所占百分比的倍，求甲盒坚果中腰果重多少千克？ 【答案】(1)千克 (2)千克 (3)千克 【分析】本题考查的是百分数的与分数的应用，方程组的应用； （1）甲盒里核桃仁重量为：（千克）； （2）先计算乙盒坚果的重量，再计算乙盒坚果中腰果的重量即可； （3）先计算杏仁的总重量为千克．设甲盒坚果中腰果重千克，甲盒坚果中杏仁重千克，乙盒坚果中杏仁重千克，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：甲盒里核桃仁重量为：千克； 答：甲盒里核桃仁重千克； （2）乙盒坚果重量为：千克， 乙盒坚果中腰果重量为：千克； 答：乙盒坚果中腰果重千克； （3）混合后，杏仁的总重量为：千克； 设甲盒坚果中腰果重千克，甲盒坚果中杏仁重千克，乙盒坚果中杏仁重千克， 根据题意列方程组，得： 解得：，，； 答：甲盒坚果中腰果重千克． 【变式9-1】（23-24七年级·四川内江·期中）A、、三辆车在同一条直路上同向行驶，某一时刻，在前，在后，在、正中间．10分钟后，追上；又过了5分钟，追上．问再过 分钟，追上． 【答案】15 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，设、、的速度为，，，再过分钟，追上，某一时刻，之间的距离为，间的距离为，根据10分钟后，追上；又过了5分钟，追上，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设、、的速度为，，，再过分钟，追上，某一时刻，之间的距离为，间的距离为，则： ， 由①得：④， 由②得：⑤， 把④⑤代入③得：， 故答案为：15． 【变式9-2】（23-24七年级·重庆沙坪坝·期中）中国的元旦，距今已有 3000 多年的历史，“元旦 ”一词 最早出现于《晋书》．“元旦节 ”前夕，某超市分别以每袋 30元、20 元、10 元的价格购进腊排骨、腊香肠、腊肉各若干，由于该食品均是真空包装，只能成袋出售，每袋的售价分别为 50 元、40 元、20 元，元旦节当天卖出三种年货若干袋，元月2日腊排骨卖出的数量是第一天腊排骨卖出数量的 3 倍，腊香肠卖出的数量是第一天腊香肠卖出数量的 2 倍，腊肉卖出的数量是第一天腊肉卖出数量的4倍；元月3日卖出的腊排骨的数量是这三天卖出腊排骨的总数量的 ，卖出腊香肠的数量是前两天卖出腊香肠数量和的，卖出腊肉的数量是第二天卖出腊肉数量的一半．若第三天三种年货的销售总额比第一天三种年货销售总额多1600元，这三天三种年货的销售总额为9350元，则这三天销售的腊排骨和腊肉两种年货的利润之比为 ． 【答案】 【分析】设元旦节当天三种年货腊排骨、腊香肠、腊肉的数量分别是、、袋，则元月2日的数量分别为，，袋，元月3日为，，袋，根据“第三天三种年货的销售总额比第一天三种年货销售总额多1600元，这三天三种年货的销售总额为9350元”建立方程组，化简得到，可求出，，的值，进而利用利润（售价成本）数量即可求解．本题考查了销售中的利润问题，灵活运用方程思想，本题通过设设元旦节当天三种年货的数量分别是、、，根据题意算出元月2日，元月3日的销售量，得出方程组是解题关键． 【详解】解：设元旦节当天三种年货腊排骨、腊香肠、腊肉的数量分别是、、袋、、均为正整数）， 由题意可得， ， 整理得， 解得， ∴ ∵、、均为正整数， ∴的个位数是或5 ∴的个位数是5或 ∵ ∴时，，不合题意，舍去； 时，，； 时，，不合题意，舍去； 则，，， 腊排骨利润为：（元） 腊肉利润为：（元）， ∴ 故答案为： 【变式9-3】（23-24七年级·上海虹口·期中）清明假期小刚与好友一同前往上海迪士尼乐园游玩，他们一早到达乐园入口等待8：30开园，已知入口处有若干条安检通道让游客通过安检入园（每天开放的安检通道数量当天不会改变），游客每分钟按相同的人数源源不断到达这里等待入园，8：42小刚通过安检进入乐园．回家后小刚通过新闻了解到，平均一个人通过安检通道入园耗时15秒，当天直到9：45安检处才没有排队人群，游客可以随到随检 (1)根据小刚当天的排队记录，他8：30到达入口处时排在第1200位，则当天开放的安检通道有多少条？ (2)根据以往数据分析，若开园时等待在入口处的游客人数与清明假期假时一致，但安检通道增加至清明假期时的1.1倍且每分钟到达入口处的游客人数与清明假期时一致时，从9：20开始游客可以随到随检．当每分钟到达入口处的游客人数增加10人时，若不增加安检通道数量，游客何时才能随到随检？ (3)迪士尼乐园管理方估计五一假期开园时等待在入口处的游客人数与清明假期假时一致时，但每分钟到达入口处的游客人数将增加50%，若希望最晚10：00开始游客可以随到随检，那至少需要增加多少条安检通道？ 【答案】(1)当天开放的安检通道有25条． (2)游客11：00才能随到随检． (3)至少需要增加10条安检通道． 【分析】（1）设当天开放的安检通道有条，再建立方程，解方程即可； （2）设8：30开园时，排队的人数为人，每分钟到达的人数为人，游客的随检时间为时，再根据提示的三个时间段分别建立方程，可得方程组，从而可得答案； （3）设至少需要增加条安检通道，再根据检测人数不小于原来人数加上增加的人数列不等式即可． 【详解】（1）解：∵（分钟），1分钟通过的人数为（人）， 设当天开放的安检通道有条， ∴， 解得：， 答：当天开放的安检通道有25条． （2）设8：30开园时，排队的人数为人，每分钟到达的人数为人，游客的随检时间为时，则 ， 解得：， ∴当每分钟到达入口处的游客人数增加10人时，若不增加安检通道数量，游客11：00才能随到随检． （3）设至少需要增加条安检通道，则， ，而， 解得：， ∴m的最小整数值为10． ∴至少需要增加10条安检通道． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，三元一次方程组的应用，熟练的设未知数，确定相等或不等关系是解本题的关键． 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