第03讲 勾股定理的逆定理（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（人教版）

第03讲 勾股定理的逆定理 【题型1：判断三边能否构成直角三角形】 【题型2：在网格中判断直角三角形】 【题型3：利用勾股定理的逆定理求解】 【题型4：勾股定理逆定理的实际应用】 知识点：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【题型1：判断三边能否构成直角三角形】 【典例1】（24-25八年级上·江苏南通·期末）下列由、、组成的三角形中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）若、、为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1-2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）以下列各组数为边，其中能构成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．6，7，8 C．8，15，17 D．9，24，25 【变式1-3】（24-25八年级上·江苏南京·期末）在中，的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【题型2：在网格中判断直角三角形】 【典例2】（24-25八年级上·广东河源·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均在网格的格点上． (1) ， ， ； (2)是直角三角形吗？请作出判断并说明理由． 【变式2-1】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上．点A、B、C的坐标分别为，，． (1)若与关于x轴成轴对称，画出； (2)①判断的形状，并说明理由． ②计算的面积为 ． 【变式2-2】（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中，画线段，且使，连结； (2)线段的长为______，的长为______，的长为______； (3)为______三角形，点A到的距离为______． 【变式2-3】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 【题型3：利用勾股定理的逆定理求解】 【典例3】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，点、是直线上两点，且，在线段上取一点，经测量，． (1)长是否为点到直线的最短距离？请说明理由； (2)求点和点的距离． 【变式3-1】（24-25七年级上·江西萍乡·期末）如图，在四边形中，，，，且．求： (1)的度数； (2)四边形的面积． 【变式3-2】（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在中，，求的长是多少？ 【变式3-3】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，点E在正方形内，正方形边长为13，，，求阴影部分的面积是多少？ 【题型4：勾股定理逆定理的实际应用】 【典例4】（24-25八年级上·陕西西安·期末）劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长12m，蔬菜区的边长，． (1)求蔬菜区边的长； (2)求花卉区的面积． 【变式4-1】（24-25八年级上·海南海口·期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,帮助学生更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． (1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时,小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程； (2)如图所示,八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为,请帮助他们求出该实验基地的面积． 【变式4-2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，且，由于某种原因，从取水点到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点在一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)是否是村庄到河边最近的路？请说明理由； (2)求原来的路线的长． 【变式4-3】（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学校园里现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，．根据你所学过的知识，求四边形的面积． 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）在中，，，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 5．（21-22八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以每秒的速度移动；点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果两点同时出发，则过4秒时，的面积为（） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为 ． 7．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示的网格每个正方形的边长是，则点到的距离等于 ． 8．（24-25八年级上·全国·期中）如图，将三边长分别为3，4，5的沿最长边翻转成，则的长 ． 9．（2024·上海宝山·一模）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠点A、B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且．则修建公路长度为 10．（24-25八年级上·云南昆明·期末）某校利用课后服务时间开设创意编程、模型设计打印、无人机等课程延伸科学教育，鼓励学生参与跨学科融合的项目式实践体验活动，现有一个模型设计的任务需要完成． 生活中的数学：确定模型零件平面图的面积 素材一 素材二 如图所示，四边形是模型零件平面图． 通过相应仪器扫描测量：已知，，，，． 问题解决：根据以上素材，请你求出该模型零件平面图的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 勾股定理的逆定理 【题型1：判断三边能否构成直角三角形】 【题型2：在网格中判断直角三角形】 【题型3：利用勾股定理的逆定理求解】 【题型4：勾股定理逆定理的实际应用】 知识点：勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 【题型1：判断三边能否构成直角三角形】 【典例1】（24-25八年级上·江苏南通·期末）下列由、、组成的三角形中，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：、，故线段、、组成的三角形不是直角三角形，本选项不符合题意； B、，故线段、、组成的三角形不是直角三角形，本选项不符合题意； C、，故线段、、组成的三角形是等边三角形，不是直角三角形，本选项不符合题意； D、，故线段、、组成的三角形是直角三角形，本选项符合题意． 故选：D． 【变式1-1】（24-25八年级上·河北邯郸·期末）若、、为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，理解并熟记勾股定理是解决本题的关键． 根据勾股定理的逆定理，利用勾股定理“”判定三角形是否为直角三角形． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，符合题意； B、，能构成直角三角形，不符题意； C、，能构成直角三角形，不符题意； D、，能构成直角三角形，不符题意； 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）以下列各组数为边，其中能构成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．6，7，8 C．8，15，17 D．9，24，25 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理进行判断即可，熟记常见的勾股数可以快速解题． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选C． 【变式1-3】（24-25八年级上·江苏南京·期末）在中，的对应边分别是，，．下列条件中，不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等知识，根据所给的条件，结合勾股定理逆定理、三角形内角和定理逐项判断即可作答． 【详解】解：∵，则 ∴是直角三角形，故A选项不符合题意； ∵， ∴可设， ∴， 即， ∴是直角三角形，故B选项不符合题意； ∵，且， ∴, ∴是直角三角形，故C选项不符合题意； ∵， ∴最大角， ∴不是直角三角形，故D选项符合题意， 故选：D． 【题型2：在网格中判断直角三角形】 【典例2】（24-25八年级上·广东河源·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为，的顶点均在网格的格点上． (1) ， ， ； (2)是直角三角形吗？请作出判断并说明理由． 【答案】(1)，， (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】（）利用勾股定理计算即可； （）利用勾股定理的逆定理判断即可； 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】（1）解：由网格得，，，， 故答案为：，，； （2）解：是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 【变式2-1】（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，的顶点均在格点上．点A、B、C的坐标分别为，，． (1)若与关于x轴成轴对称，画出； (2)①判断的形状，并说明理由． ②计算的面积为 ． 【答案】(1)图见解析 (2)等腰直角三角形，理由见解析 【分析】（1）按照画轴对称图形的方法作图即可； （2）①由勾股定理及其逆定理即可得出结论；②利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：①为等腰直角三角形，理由如下： 由勾股定理可得：，，， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形； ②的面积， 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，画轴对称图形，勾股定理与网格问题，在网格中判断直角三角形，等腰三角形的判定，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握坐标与图形变化——轴对称及画轴对称图形的方法是解题的关键． 【变式2-2】（24-25八年级上·北京通州·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在网格中，画线段，且使，连结； (2)线段的长为______，的长为______，的长为______； (3)为______三角形，点A到的距离为______． 【答案】(1)图见详解 (2)，，5 (3)直角， 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、平行线的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用网格，结合平行线的判定与性质按要求画图即可． （2）利用勾股定理分别计算即可． （3）由勾股定理的逆定理可得，则为直角三角形，然后根据等积法可得点A到的距离． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：由勾股定理可得：，，； 故答案为，，5； （3）解：由（2）可知：， ∴， ∴是直角三角形， ∴点A到的距离为； 故答案为：直角，2 【变式2-3】（24-25八年级上·江苏盐城·期中）如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出______，______，______； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)13、52、65； (2)是直角三角形，证明见解析． 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ， ， ， 故答案为：13、52、65； （2）解：是直角三角形． 证明：，， ， 是直角三角形，且． 【题型3：利用勾股定理的逆定理求解】 【典例3】（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，点、是直线上两点，且，在线段上取一点，经测量，． (1)长是否为点到直线的最短距离？请说明理由； (2)求点和点的距离． 【答案】(1)是；见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及勾股定理等知识；掌握这两个定理是解题的关键； （1）由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，则得长是点到直线的最短距离； （2）在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：长是点到直线的最短距离； 理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， 即， ∴长是点到直线的最短距离； （2）解：由（1）知，， 在中，， 由勾股定理得：； ∴点和点的距离为． 【变式3-1】（24-25七年级上·江西萍乡·期末）如图，在四边形中，，，，且．求： (1)的度数； (2)四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积． （1）连接，由勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，进而可求出的度数； （2）由（1）可知和是直角三角形，再根据即可得出结论． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知和是直角三角形， ∴ ． 【变式3-2】（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，在中，，求的长是多少？ 【答案】的长为 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理的运用，等面积法求高，掌握勾股定理，等面积法的计算是解题的关键． 根据题意，运用勾股定理逆定理可得是直角三角形，再根据即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴是直角三角形， ∵， ∴是的高， ∵， ∴， ∴的长为． 【变式3-3】（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）如图，点E在正方形内，正方形边长为13，，，求阴影部分的面积是多少？ 【答案】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理得到为直角三角形，利用分割法求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵正方形边长为13， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴阴影部分的面积． 【题型4：勾股定理逆定理的实际应用】 【典例4】（24-25八年级上·陕西西安·期末）劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长12m，蔬菜区的边长，． (1)求蔬菜区边的长； (2)求花卉区的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理即可求解； （2）先通过勾股定理逆定理证明，即可求解面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴； 答：蔬菜区边的长为； （2）解：∵，，， ∴，而， ∴， ∴， 花卉区的面积为：． 答：花卉区的面积为． 【变式4-1】（24-25八年级上·海南海口·期末）为贯彻《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的方针政策,帮助学生更好地理解劳动的价值与意义,培养学生的劳动情感、劳动能力和劳动品质,海口市某学校给八（1）班、八（2）班各分一块三角形形状的劳动试验基地． (1)当班主任测量出八（1）班试验基地的三边长分别为时,小明很快就给出这块试验基地的面积．请你写出完整的求解过程； (2)如图所示,八（2）班的劳动实验基地的三边长分别为,请帮助他们求出该实验基地的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理： （1）根据勾股定理的逆定理得到三角形是直角三角形,根据直角三角形的面积公式计算即可； （2）过点A作于D,根据勾股定理列出方程,解方程求出,再根据勾股定理求出,根据三角形面积公式计算,得到答案． 【详解】（1）解：∵, ∴, ∴这个三角形是直角三角形, ∴三角形的面积为：； （2）如图,过点A作于D, 设,则, 在中, 在中,, ∴,即, 解得：, 由勾股定理得：（m）, ∴, ∴该实验基地的面积为． 【变式4-2】（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在一条东西走向的河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，且，由于某种原因，从取水点到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（点在一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)是否是村庄到河边最近的路？请说明理由； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是村庄到河边最近的路，理由见解析 (2)原来的路线的长为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解一元一次方程等知识，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理证明，根据垂线段最短，即可得出结论； （2）先求出，再利用勾股定理列出方程，解方程即可求出的长度． 【详解】（1）解：是村庄到河边最近的路，理由如下： ∴ ∴是直角三角形，且， ∴， ∵垂线段最短， ∴是村庄到河边最近的路； （2）解：∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：（负值舍去）， 答∶原来的路线的长为． 【变式4-3】（24-25八年级上·江苏淮安·阶段练习）为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学校园里现有一块四边形的空地，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：，．根据你所学过的知识，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 先连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理说明是直角三角形，然后根据面积公式求出答案即可． 【详解】如图所示，连接， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴（）． 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）在中，，，的对边分别为a，b，c，下列条件中，不能确定三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理等知识点，根据三角形的内角和定理求出的度数，即可判断选项，根据三角形内角和定理求出和的度数，即可判断选项，选项，根据勾股定理的逆定理判定选项即可，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解决此题的关键． 【详解】解：、由,，则不是直角三角形，故本选项符合题意； 、由,，得,是直角三角形，故本选项不符合题意； 、由,,则,是直角三角形，故本选项不符合题意； 、由,得是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． 先通过勾股定理和逆定理证明出，再用等面积法求出，即可求出． 【详解】解：根据题意利用勾股定理计算出： ， ， ∴是直角三角形，， ， ， 解得：， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、 ， 此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； B、 ， 此组数据能作为直角三角形的三边长，故本选项符合题意； C、 ， 此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意； D、 ， 此组数据不能作为直角三角形的三边长，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，则这块菜地的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，连接，利用勾股定理得到，进而利用勾股定理的逆定理证明，最后根据四边形的面积的面积的面积进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴四边形的面积的面积的面积 故选：B． 5．（21-22八年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，且周长为．点从点开始沿边向点以每秒的速度移动；点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果两点同时出发，则过4秒时，的面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，解一元一次方程，三角形的面积公式等知识， 首先设为，为，为，利用方程求出三角形的三边，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形，再求出秒后的，，的长，利用三角形的面积公式计算求解，由勾股定理的逆定理得出三角形为直角三角形是解题的关键． 【详解】解：设为，为，为， ∵周长为， 即 解得： 是直角三角形， 过秒时， ， 故选：B． 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为 ． 【答案】/平方厘米 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键； 先设三角形的三边长分别为，，，再由其周长为求出的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可求解； 【详解】解：三角形的三边长的比为， ∴设三角形的三边长分别为，，， 其周长为， ，解得， ∴三角形的三边长分别是，，， ∵， 此三角形是直角三角形， ， 故答案为： 7．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示的网格每个正方形的边长是，则点到的距离等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；设点到的距离为，由勾股定理求出，，，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，然后由三角形面积求出即可． 【详解】解：设点到的距离为， 由勾股定理得： ， 是直角三角形，且， ， ， 即点到的距离等于； 故答案为：． 8．（24-25八年级上·全国·期中）如图，将三边长分别为3，4，5的沿最长边翻转成，则的长 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质以及勾股定理的逆定理的应用，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，根据翻转得出垂直平分，根据三角形面积公式求出，即可求出答案． 【详解】解： 记交于点D，    ∵，，， ∴， ∴是直角三角形． ∴， ∵沿最长边翻转成， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：． 9．（2024·上海宝山·一模）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠点A、B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且．则修建公路长度为 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，通过计算可得出 ，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，根据的面积公式可得，，从而求出的长． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴修建的公路的长是． 故答案为：12． 10．（24-25八年级上·云南昆明·期末）某校利用课后服务时间开设创意编程、模型设计打印、无人机等课程延伸科学教育，鼓励学生参与跨学科融合的项目式实践体验活动，现有一个模型设计的任务需要完成． 生活中的数学：确定模型零件平面图的面积 素材一 素材二 如图所示，四边形是模型零件平面图． 通过相应仪器扫描测量：已知，，，，． 问题解决：根据以上素材，请你求出该模型零件平面图的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理，连接．由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理得出是直角三角形且．再根据零件的面积，计算即可得出答案． 【详解】解：连接． ∵，，， ∴在中，， ∵，， ∴在中，，， ∴满足， ∴是直角三角形且． ∴零件的面积 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$