17.2勾股定理的逆定理课时训练-2024-2025学年人教版数学八年级下册

17.2勾股定理的逆定理课时训练-2024-2025学年数学八年级下册人教版 一．选择题（共7小题） 1．（2024秋•绥化期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23 2．（2025春•新郑市月考）如图每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 3．（2025春•新郑市月考）如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（　　） A．10米 B．12米 C．16米 D．20米 4．（2024秋•邓州市期末）如图，一块四边形ABCD，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，则这块地的面积为（　　）m2． A．24 B．30 C．48 D．60 5．（2025•港北区一模）如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表100m，以点O为原点，过数轴上的每一刻度点两同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点O处用雷达发现A，B两处鱼群，那么A，B两处鱼群的距离是（　　） A．5m B．400m C．500m D．300m 6．（2025春•历城区校级月考）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　） A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90° B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形 C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形 D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 7．（2025春•重庆校级月考）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4m处，这棵大树在折断前的高度为（　　） A．6m B．7m C．8m D．9m 二．填空题（共7小题） 8．（2025春•南沙区月考）下列各组数为勾股数的是 　 　 （填序号）． ①1.5，2，3；②3，4，7；③7，12，13；④8，15，17；⑤9，40，41． 9．（2025•元宝区校级开学）以直角三角形的三边为边，向这个直角三角形外作正方形，如果三个正方形的面积分别为S1，S2，S3，如果S1＝4，S2＝18，则S3＝　 　 ． 10．（2024秋•桓台县期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 　 　 米． 11．（2024秋•温州期末）如图，汽车A在某港口O的正北150km处，以90km/h的速度向正南方向行驶．同时，邮轮B在港口O的正东30km处，以30km/h的速度向正西方向行驶，则经过 　 　 小时，A和B之间的距离最近． 12．（2024秋•邗江区校级期末）如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m） 时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝CE＝3m，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD＝ 　 　 m． 13．（2024秋•大名县期末）如图，要在两幢楼房的房顶A、B间拉一根光缆线（按线段计算），则至少　 　 米． 14．（2024秋•分宜县期末）如图，点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，PA：PB：PC＝3：4：5，以AC为边作△AP′C≌△APB，连接PP′，则有以下结论：①△APP′是等边三角形；②△PCP′是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝105°．其中一定正确的是 　 　 ．（把所有正确答案的序号都填在横线上） 三．解答题（共7小题） 15．（2025春•长寿区校级月考）某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m． （1）求BC的长； （2）若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 16．（2024秋•宁阳县期末）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160km． （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 17．（2025•阎良区一模）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△CDE的顶点均在网格格点上．求证：BC⊥CE． 18．（2024秋•锦江区期末）某传媒公司张贴广告如图所示，已知吊臂总长AB＝15米，吊臂支柱B点与楼房的距离BE＝12米，且吊臂B点距离地面1.5米． （1）求吊臂最高点A与地面的距离（AO的长度）； （2）完成A处张贴任务后，吊车沿射线OP前移，使得吊臂上顶点A下滑至C处，若已知AC长为3米，求吊臂支柱B点移动的距离（BD的长度）． 19．（2024秋•沙坪坝区校级期末）古代护城河上有座吊桥，图1是它的结构原理图，图2是它的示意图．把桥面看成是均匀杆AB，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且AB＝BC．某人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面E的距离为1.5m． （1）若AB＝7.5m，AE＝15.5m，求从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长（结果保留根号）； （2）若BE的长为12m，CD比BC长6.5m，求桥面的宽AB． 20．（2024秋•魏县期末）如图，罗甸大小井景区的河流一侧有两个景点A和C，河边DF上有一个观景台B（点D，B，F在同一直线上，其中BD＝70米，BF＝240米），点B到景点A和C的距离相等，且AB⊥BC，测得∠ADB＝∠CFB＝90°，某游客要从观景台B到景点A和C游玩，但步行只能沿着线段BD到线段DA再到线段AC行走，请求出该游客行走该路线的总长度． 21．（2025春•三水区校级月考）【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点A表示小球静止时的位置．小明将小球从OA摆到OB的位置，并向右推动小球，OC是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且OB与OC恰好垂直，A，B，O，C在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，OB⊥OC，过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E， 【数据测量】BD＝8cm，OA＝17cm， 【问题解决】 （1）求证：∠COE＝∠B； （2）求AE的长． 17.2勾股定理的逆定理课时训练-2024-2025学年数学八年级下册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B B D A C A C 一．选择题（共7小题） 1．（2024秋•绥化期末）下列各组数中，能构成直角三角形的是（　　） A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23 【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误； B、∵12+12，∴能构成直角三角形，故B正确； C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误； D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误． 故选：B． 2．（2025春•新郑市月考）如图每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 【解答】解：连接AC， 根据题意，可知：BC2＝12+22＝5，AC2＝12+22＝5，AB2＝12+32＝10． ∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°． 故选：B． 3．（2025春•新郑市月考）如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为AC的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（　　） A．10米 B．12米 C．16米 D．20米 【解答】解： ∵底面周长约为8米，柱身高约12米， ∴AE＝8米，BE＝BDED＝6（米）， AB10（米）， 的巨龙至少为10×2＝20（米）， 故选：D． 4．（2024秋•邓州市期末）如图，一块四边形ABCD，已知AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°，AB＝13m，BC＝12m，则这块地的面积为（　　）m2． A．24 B．30 C．48 D．60 【解答】解：连接AC， ∵AD＝4m，CD＝3m，∠ADC＝90°， ∴AC5， ∵AB＝13m，BC＝12m， ∴AB2＝BC2+CD2，即△ABC为直角三角形， ∴这块地的面积为S△ABC﹣S△ACDAC•BCAD•CD5×123×4＝24． 故选：A． 5．（2025•港北区一模）如图所示为雷达图，规定：1个单位长度代表100m，以点O为原点，过数轴上的每一刻度点两同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点O处用雷达发现A，B两处鱼群，那么A，B两处鱼群的距离是（　　） A．5m B．400m C．500m D．300m 【解答】解：如图，连接AB，数轴交点为O， 由题意得，同心圆平均分成十二等分，则每三等分即为360°÷12×3＝90°， ∴∠AOB＝90°， 又1个单位长度代表100m， ∴OA＝300m，OB＝400m， ∴根据勾股定理可得， ∴Rt△AOB中，． 故选：C． 6．（2025春•历城区校级月考）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（　　） A．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠A＝90° B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC是直角三角形 C．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形 D．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形 【解答】解：A、如果a2＝b2﹣c2，即b2＝a2+c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，原说法错误，符合题意； B、如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠C＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意； C、如果a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意； D、如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC是直角三角形，说法正确，不符合题意， 故选：A． 7．（2025春•重庆校级月考）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4m处，这棵大树在折断前的高度为（　　） A．6m B．7m C．8m D．9m 【解答】解：一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4m处，如图， ， ∴AB＝3m，AC＝4m，∠BAC＝90°， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， ∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC＝3+5＝8（m）， 故选：C． 二．填空题（共7小题） 8．（2025春•南沙区月考）下列各组数为勾股数的是 　④⑤　 （填序号）． ①1.5，2，3；②3，4，7；③7，12，13；④8，15，17；⑤9，40，41． 【解答】解：①1.5不是整数，故不是勾股数，不符合题意； ②32+42≠72，故不是勾股数； ③72+122≠132，故不是勾股数； ④82+152＝172，故是勾股数； ⑤92+402＝412，故是勾股数， 故答案为：④⑤． 9．（2025•元宝区校级开学）以直角三角形的三边为边，向这个直角三角形外作正方形，如果三个正方形的面积分别为S1，S2，S3，如果S1＝4，S2＝18，则S3＝　22或14　 ． 【解答】解：∵以直角三角形的三边为边，向这个直角三角形外作正方形， 根据勾股定理结合正方形的面积可知S1+S2＝S3，或S2﹣S1＝S3， ∴S3＝4+18＝22或S3＝18﹣4＝14， 故答案为：22或14． 10．（2024秋•桓台县期末）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地面的高度AB为2.5米，一名学生站在C处时，感应门自动打开了，此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米，头顶离感应器的距离AD为1.5米，则这名学生身高CD为 　1.6　 米． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，如图所示： 则CD＝BE，DE＝BC＝1.2米米， 在Rt△ADE中，AD＝1.5米米， 由勾股定理得：AE0.9（米）， ∴BE＝AB﹣AE＝2.5﹣0.9＝1.6（米）， ∴CD＝BE＝1.6米， 故答案为：1.6． 11．（2024秋•温州期末）如图，汽车A在某港口O的正北150km处，以90km/h的速度向正南方向行驶．同时，邮轮B在港口O的正东30km处，以30km/h的速度向正西方向行驶，则经过 　1　 小时，A和B之间的距离最近． 【解答】解：当邮轮B行驶到港口O时，A和B之间的距离最近， ∵OB＝30km， ∴邮轮B行驶D的时间为30÷30＝1小时， 答：经过1小时，A和B之间的距离最近， 故答案为：1． 12．（2024秋•邗江区校级期末）如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m） 时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝CE＝3m，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD＝ 　10　 m． 【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 设绳索AD的长度为x m，则AC＝（x﹣2）m， ∴x2＝62+（x﹣2）2， 解得：x＝10， 答：绳索AD的长度是10m． 故答案为：10． 13．（2024秋•大名县期末）如图，要在两幢楼房的房顶A、B间拉一根光缆线（按线段计算），则至少　10　 米． 【解答】解：如图：作BD⊥AC于点D， 由题意知：AD＝AC﹣CD＝AC﹣BE＝18﹣12＝6米， 根据勾股定理得：AB10米， 故答案为：10． 14．（2024秋•分宜县期末）如图，点P是等边△ABC内一点，连接PA，PB，PC，PA：PB：PC＝3：4：5，以AC为边作△AP′C≌△APB，连接PP′，则有以下结论：①△APP′是等边三角形；②△PCP′是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝105°．其中一定正确的是 　①②③　 ．（把所有正确答案的序号都填在横线上） 【解答】解：△ABC是等边三角形，则∠BAC＝60°，又△AP'C≌△APB，则AP＝AP′，∠PAP′＝∠BAC＝60°， ∴△APP'是正三角形，①正确； 又PA：PB：PC＝3：4：5， ∴设PA＝3x，则：PP′＝PA＝3x，P′C＝PB＝4x，PC＝5x， 根据勾股定理的逆定理可知：△PCP'是直角三角形，且∠PP′C＝90°，②正确； 又△APP'是正三角形， ∴∠AP′P＝60°， ∴∠APB＝150°③正确；错误的结论只能是∠APC＝105°． 故答案为①②③． 三．解答题（共7小题） 15．（2025春•长寿区校级月考）某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m． （1）求BC的长； （2）若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：， 答：BC的长为4m； （2）地毯长为：3+4＝7（m）， 已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25元， ∴地毯的面积为2.8×7＝19.6（m2）， ∴需要花费25×19.6＝490（元）， 答：需要花费490元地毯才能铺满所有台阶． 16．（2024秋•宁阳县期末）如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160km． （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【解答】解：（1）由题意可知，AD⊥BC，AB＝340km，AD＝160km， 在Rt△ABD中，， ∵300÷20＝15， ∴台风中心经过15h从B点移到D点； （2）如图，在射线BC上取点E、F，使得AE＝AF＝200km， 由AD⊥BC得DE＝DF， 在Rt△AED中，， ∴EF＝2ED＝240km， ∴t＝240÷20＝12， ∴A市受到台风影响的时间持续12h． 17．（2025•阎良区一模）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△CDE的顶点均在网格格点上．求证：BC⊥CE． 【解答】证明：连接BE， 由勾股定理得，BC2＝EC2＝32+12＝10，BE2＝22+42＝20， ∴BC2+EC2＝BE2， ∴∠BCE＝90°， ∴BC⊥CE． 18．（2024秋•锦江区期末）某传媒公司张贴广告如图所示，已知吊臂总长AB＝15米，吊臂支柱B点与楼房的距离BE＝12米，且吊臂B点距离地面1.5米． （1）求吊臂最高点A与地面的距离（AO的长度）； （2）完成A处张贴任务后，吊车沿射线OP前移，使得吊臂上顶点A下滑至C处，若已知AC长为3米，求吊臂支柱B点移动的距离（BD的长度）． 【解答】解：（1）∵AB＝15米，BE＝12米， ∴（米）， ∴OE＝1.5米， ∴AO＝AE+OE＝9+1.5＝10.5（米）， 答：吊臂最高点A与地面的距离是10.5米； （2）AE＝9米，AC＝3米， ∴CE＝AE﹣AC＝9﹣3＝6（米）， ∵CD＝AB＝15米， ∴（米）， ∴（米）． 19．（2024秋•沙坪坝区校级期末）古代护城河上有座吊桥，图1是它的结构原理图，图2是它的示意图．把桥面看成是均匀杆AB，可以绕转轴B点在竖直平面内转动，在B点正上方固定一个定滑轮C，绳子通过定滑轮与杆的另一端A相连，且AB＝BC．某人站在点E处，拉绳子的手的位置D与地面E的距离为1.5m． （1）若AB＝7.5m，AE＝15.5m，求从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长（结果保留根号）； （2）若BE的长为12m，CD比BC长6.5m，求桥面的宽AB． 【解答】解：（1）由题意知：∠ABC＝90°，BC＝AB＝7.5m， ∴ACAB＝7.5（m）， ∵AE＝15.5m， ∴BE＝AE﹣AB＝8m， 由题意可知：四边形BEDF是矩形， ∴DF＝BE＝8m， 由题意知：DE＝BF＝1.5m， ∴CF＝BC﹣BF＝6m， ∴CD10（m）， ∴AC+CD＝（7.510）m， ∴从A到定滑轮C，再到D点拉着的绳长为（7.510）m； （2）由（1）知DF＝BE＝12m，DE＝BF＝1.5m， ∴CF＝BC﹣BF＝（AB﹣1.5）m， ∵CD比BC长6.5m， ∴CD＝BC+6.5＝（AB+6.5）m， ∵CF2+DF2＝CD2， ∴（AB﹣1.5）2+122＝（AB+6.5）2， ∴AB＝6.5m， ∴桥面的宽AB长为6.5m． 20．（2024秋•魏县期末）如图，罗甸大小井景区的河流一侧有两个景点A和C，河边DF上有一个观景台B（点D，B，F在同一直线上，其中BD＝70米，BF＝240米），点B到景点A和C的距离相等，且AB⊥BC，测得∠ADB＝∠CFB＝90°，某游客要从观景台B到景点A和C游玩，但步行只能沿着线段BD到线段DA再到线段AC行走，请求出该游客行走该路线的总长度． 【解答】解：∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠CBF＝90°． ∵∠ADB＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝∠CBF． 在△ADB和△BFC中， ， ∴△ADB≌△BFC（AAS）， ∴AD＝BF＝240米， 在Rt△ADB中，由勾股定理，得（米）， ∴BC＝AB＝250米． 在Rt△ABC中，由勾股定理，得（米）， ∴（米）． 答：该游客行走该路线的总长度为米． 21．（2025春•三水区校级月考）【实践主题】从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】在支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点A表示小球静止时的位置．小明将小球从OA摆到OB的位置，并向右推动小球，OC是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，且OB与OC恰好垂直，A，B，O，C在同一平面上． 【数学建模】如图2是小球摆动过程的示意图，OB⊥OC，过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥OA于点E， 【数据测量】BD＝8cm，OA＝17cm， 【问题解决】 （1）求证：∠COE＝∠B； （2）求AE的长． 【解答】（1）证明：∵OB⊥OC， ∴∠BOD+∠COE＝90°， 又∵CE⊥OA，BD⊥OA， ∴∠CEO＝∠ODB＝90°， ∴∠BOD+∠B＝90°， ∴∠COE＝∠B； （2）解：由题意得：OC＝OB＝OA＝17cm， 由（1）得：∠COE＝∠B，∠CEO＝∠ODB＝90°， 在△COE和△OBD中， ， ∴△COE≌△OBD（AAS）， ∴OE＝BD＝8cm， ∵OB＝OA＝OC＝17cm， ∴AE＝OA﹣OE＝9cm． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$