精品解析：广东省梅州市梅县区2024-2025学年九年级上学期期末考试数学试题

2024-2025学年度第一学期 初中九年级数学学科期末考试试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可． 【详解】A. ，是一元二次方程，故该选项符合题意； B. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C. ，是一元一次方程，故该选项不符合题意； D. ，含由2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 已知关于的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是（ ） A. B. 5 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，提公因式得到，解方程即可得到答案，熟记因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：， ，解得或， 关于的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是， 故选：A． 3. 近十年来，中国高铁的建设和发展取得了显著的成就，截至2023年1月，中国高铁总里程达到42000公里，稳居世界第一．42000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，据此求解即可． 【详解】解：将42000用科学记数法表示为：． 故选：C． 4. 如图，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，能根据平行线的性质求出的度数是解此题的关键． 根据平行线性质求出即可． 【详解】解：∵，， ， 故选：D． 5. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减运算，掌握同分母分式加减法的运算法则是解题关键．根据同分母分式加减法，分母不变，分子相加减即可． 【详解】解：， 故选：A 6. 生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（ ） A. 1.37米 B. 0.76米 C. 1.22米 D. 1.24米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618， ∴， ∵米， ∴（米）， ∴a约为1.24米， 故选：D． 7. 某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用黄灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是黄灯的概率为多少． 【详解】根据题意可知，每分钟内黄灯亮的时间为秒，每分钟内黄灯亮的概率为，故抬头看是黄灯的概率为. 故选A. 【点睛】本题主要考查求随机事件概率的方法，熟悉掌握随机事件A的概率公式是关键. 8. 点与点均在双曲线上，则、大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的增减性，根据反比函数，当时，图象位于一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；反之，位于二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大，即可解答． 【详解】解：∵， ∴该双曲线位于二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵，均在双曲线， ∴点A和点B都位于第第三象限， ∵， ∴， 故选：A． 9. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形和正方形的判定方法容易得出A、B不正确；由平行四边形的性质和矩形的性质容易得出C不正确，D正确． 【详解】∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴A不正确； ∵对角线互相垂直的矩形是正方形， ∴B不正确； ∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角， ∴C不正确； ∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴D正确； 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、正方形的判定；熟练掌握平行四边形、矩形、正方形的判定与性质是解决问题的关键． 10. 如图，在正方形对角线上取点，使得，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的正方形的性质，等腰三角形的性质，根据正方形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解： __________． 【答案】a(a－b) 【解析】 【分析】根据本题特点，用“提公因式法”进行分解即可． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】熟知“用提公因式法分解因式的方法并能确定本题中多项式各项的公因式是”是解答本题的关键． 12. 已知反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象可列出不等式进行求解． 【详解】解：∵反比例函数y＝的图象位于第一、第三象限， ∴， ∴； 故答案． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键． 13. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】由一元二次方程没有实数根得到判别式列不等式即可求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根，且， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程判别式的应用，对宇一元二次方程，若判别式，则方程有两个不相等的实数根；若判别式，则方程有两个相等的实数根；若判别式，则方程没有实数根． 14. 如图，已知，若，，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：∵ ∵直线， ∴， 即， 解得：， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 15. 如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，且，．连接与相交于F．则图中四边形的面积为____________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由题意可证四边形是菱形，由菱形性质首先求得的面积，然后证明，即可求解． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； ∴， 连接交于点M， ∴四边形是平行四边形，， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：. 【答案】， 【解析】 【分析】先移项，然后两边都加上一次项系数的一半的平方，再根据完全平方公式整理，然后求解即可； 【详解】方程， ， ， 即 ∴， 【点睛】本题考查了解一元二次方程，要根据方程的特点选择合适的方法解方程，本题选用配方法比较简便． 17. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点B按顺时针旋转所得的． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化—旋转与中心对称： （1）根据成中心对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （2）根据旋转的性质，画出即可。 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 由图可知：； 【小问2详解】 如图，即为所求 18. 新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． （1）若降价2元，则平均每天销售数量为　 　件； （2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？ 【答案】（1）24；（2）70元 【解析】 【分析】（1）根据平均每天销售量＝20+2×降低的价格，即可求出结论； （2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，根据总利润＝每件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，求解后根据题意取其较小值即可得出结论． 【详解】解：（1）20+2×2＝24（件）． 故答案为：24． （2）设每件商品降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件， 依题意，得：（80-40﹣x）（20+2x）＝1200， 整理，得：x2﹣30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20． 当x＝20时，40﹣x＝20＜25， ∴x＝20舍去． 80-10=70（元） 答：当每件商品定价70元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 为了丰富学生课余生活，某区教育部门准备在七年级开设兴趣课堂．为了了解学生对音乐、书法、球类、绘画这四个兴趣小组的喜爱情况，在全区进行随机抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅统计图(信息不完整)，请根据图中提供的信息，解答下面的问题： 此次共调查了多少名学生? 将条形图补充完整； 计算扇形统计图中音乐部分的圆心角的度数； 小华和小红想报名参加兴趣课堂，现从音乐、书法、球类、绘画四种兴趣课堂中随机选择一种，用列表法或树状图法求出他们选中同一种兴趣课堂的概率． 【答案】（1）300；（2）见解析；（3）96°；（4） 【解析】 【分析】（1）根据球类人数及其所占百分比可得总人数； （2）根据各组人数之和等于总人数求得音乐人数，据此可补全条形图； （3）用360°乘以音乐人数所占比例可得； （4）利用树形图即可得出结论 【详解】解：（1）此次共调查了120÷40%=300（名）， 答此次共调查了300名． （2）音乐的人数为= 补全条形图如下： （3）扇形统计图中音乐部分的圆心角的度数为: （4）设小音乐、绘画、球类、书法四种兴趣班分别为画树状图如图所示： 共有个等可能的结果，小华和小红选中同一种乐器的结果有个， 选中同一种乐器的概率为 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图以及树形图等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 20. 如图所示，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将ΔADE绕点E旋转180°得到ΔCFE，连接AF，CD． (1)求证四边形ADCF是菱形； (2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长． 【答案】（1）证明见解析；（2）28． 【解析】 【分析】（1）根据旋转可得AE=CE，DE=EF，可判定四边形ADCF是平行四边形，然后证明DF⊥AC，可得四边形ADCF是菱形； （2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案． 【详解】解：（1）∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE， ∴AE=CE，DE=EF， ∴四边形ADCF平行四边形， ∵D、E分别为AB，AC边上的中点， ∴DE是△ABC中位线， ∴DE∥BC， ∵∠ACB=90°， ∴∠AED=90°， ∴DF⊥AC， ∴四边形ADCF是菱形； （2）在Rt△ABC中，BC=8，AC=6， ∴AB=10， ∵D是AB边上的中点， ∴AD=5， ∵四边形ADCF是菱形， ∴AF=FC=AD=5， ∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质；旋转的性质． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出关于的不等式的解集． （3）在轴上取一点，当的面积为3时，求点的坐标； 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，面积的计算，数形结合思想等，熟练掌握函数的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）根据图形可知，当在一次函数上方即可； （3）由即可得到答案． 【小问1详解】 解：反比例函数的图象经过点， ， 即反比例函数， 当时，，即， 一次函数经过点和， ， 解得， ； 【小问2详解】 解：由图像可知，当在一次函数上方即可，不等式的解集为或； 【小问3详解】 解：当时，代入中得，，即， ，且， ， 或． 五、解答题（三）：（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【发现问题】 （1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． （3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①，证明见解析；②； （3）度，，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定以及性质， 相似三角形的判定以及性质等知识． （1）由等边三角形的性质可求解； （2）①由“SAS”可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，即可解决问题． （3）结论：，．证明，可得，，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2中， ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴（SAS）， ∴； ②∵， ∴， 设交于点． ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）结论：，． 理由： ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 23. 阅读材料：有一边是另一边的倍的三角形叫做卓越三角形，这两边中较长边称为卓越边，这两边的夹角叫做卓越角． （1）在中，，若为卓越角，为卓越边，则的度数为________； （2）如图①，卓越中，，是卓越角，为卓越边，若，求的长； （3）如图②，卓越中，为卓越边，为卓越角，且，点、均在函数的图象上，点在点的上方，点的纵坐标为．当是直角三角形时，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接点C和中点D，根据题意得出，设，则，则，通过证明为等边三角形，得出，即可求解； （2）过点B作于点H，易得，根据题意得出，求出，最后根据即可解答； （3）根据题意得出，然后进行分类讨论：①当时，过点B作轴于点N，过点C作于点M，通过证明，设，则，得出，，即可解答；②当时， 过点B和点C作x轴的垂线，垂足分别为点F和点E，通过证明，设，则，则，设，则，得出，，即可解答． 【小问1详解】 解：连接点C和中点D， ∵为卓越角，为卓越边， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得：， ∵，点D为中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点B作于点H， ∵，， ∴， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵， ∴， 解得：， ∵是卓越角，为卓越边， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴； 【小问3详解】 解：∵卓越中，为卓越边，为卓越角， ∴， ①当时， 过点B作轴于点N，过点C作于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，点的纵坐标为， ∴，， ∴， ∴， 把，代入得： ， 解得：（舍去）， ∴； ②当时， 过点B和点C作x轴的垂线，垂足分别为点F和点E， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理可得：， ∴， 设，则， ∵，点的纵坐标为， ∴，， ∴， ∴， 把，代入得： ， 解得：（舍去）， 综上：． 【点睛】本题主要考查了新定义，反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理，正确理解题目所给“卓越三角形”的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期 初中九年级数学学科期末考试试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是（ ） A. B. 5 C. D. 1 3. 近十年来，中国高铁建设和发展取得了显著的成就，截至2023年1月，中国高铁总里程达到42000公里，稳居世界第一．42000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 6. 生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（ ） A. 1.37米 B. 0.76米 C. 1.22米 D. 1.24米 7. 某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率为（　　） A. B. C. D. 8. 点与点均在双曲线上，则、大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法比较 9. 下列说法中正确的是（　　）． A. 对角线相等四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是正方形 C. 平行四边形的对角线平分一组对角 D. 矩形的对角线相等且互相平分 10. 如图，在正方形对角线上取点，使得，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解： __________． 12. 已知反比例函数y＝图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是______． 13. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是________． 14. 如图，已知，若，，则的值是______． 15. 如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，且，．连接与相交于F．则图中四边形面积为____________． 三、解答题（一）：（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：. 17. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点B按顺时针旋转所得的． 18. 新华商场销售某种商品，每件进货价为40元，市场调研表明：当销售价为80元时，平均每天能售出20件；在每件盈利不少于25元前提下，经过一段时间销售，当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出2件． （1）若降价2元，则平均每天销售数量为　 　件； （2）当每件商品定价多少元时，该商场平均每天销售某种商品利润达到1200元？ 四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 为了丰富学生课余生活，某区教育部门准备在七年级开设兴趣课堂．为了了解学生对音乐、书法、球类、绘画这四个兴趣小组的喜爱情况，在全区进行随机抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅统计图(信息不完整)，请根据图中提供的信息，解答下面的问题： 此次共调查了多少名学生? 将条形图补充完整； 计算扇形统计图中音乐部分的圆心角的度数； 小华和小红想报名参加兴趣课堂，现从音乐、书法、球类、绘画四种兴趣课堂中随机选择一种，用列表法或树状图法求出他们选中同一种兴趣课堂的概率． 20. 如图所示，在RtΔABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将ΔADE绕点E旋转180°得到ΔCFE，连接AF，CD． (1)求证四边形ADCF是菱形； (2)若BC＝8，AC＝6，求四边形ABCF的周长． 21. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）请直接写出关于的不等式的解集． （3）在轴上取一点，当的面积为3时，求点的坐标； 五、解答题（三）：（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【发现问题】 （1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． （3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 23. 阅读材料：有一边是另一边的倍的三角形叫做卓越三角形，这两边中较长边称为卓越边，这两边的夹角叫做卓越角． （1）在中，，若为卓越角，为卓越边，则的度数为________； （2）如图①，卓越中，，是卓越角，为卓越边，若，求的长； （3）如图②，卓越中，为卓越边，为卓越角，且，点、均在函数的图象上，点在点的上方，点的纵坐标为．当是直角三角形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$