章节综合训练三 函数（测试）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（湖南专用）

章节综合训练三 函数 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．将某一次函数图象向右平移2个单位后得到函数的图象，则这个一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将某一次函数图象向右平移2个单位后得到函数的图象， 则这个一次函数的解析式为，即． 故选：D． 2．一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图形，熟知一次函数中：，随增大而增大；，随增大而减小；，函数图像与轴交于正半轴；，函数图像与轴交于负半轴；是解本题的关键．对选项中的分别对应的的值进行分析可得答案． 【详解】解：A、： ； ： ； 故此选项不符合题意； B、：；： ； 故此选项符合题意； C、：；： ； 故此选项不符合题意； D、：；： ； 故此选项不符合题意； 故选：B． 3．已知，的图象经过点和点，且，则a的取值范围是（） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的性质及不等式的求解。求出二次函数在给定两点处的函数值表达式，再根据 建立不等式求解以及要是二次函数有意义，求解即可。 【详解】∵二次函数的图象经过点和点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴a的取值范围是或， 故选：D. 4．已知抛物线（a，b，c为常数，且）y与x的部分对应值如下表： x … 0 3 5 … y … 16 0 0 … 下列结论正确的是（   ） A．抛物线开口向下 B．有最小值 C．若，是抛物线上两点，则 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合和时，此时，则该抛物线的对称轴是直线，则越靠近对称轴的所对应的函数值越小，即抛物线开口向上，在对称轴时，函数值有最小值，且小于，即可作答． 【详解】解：依题意，和时，此时， 则该抛物线的对称轴是直线， ∵时，；时，，且， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越小，即抛物线开口向上； 故A选项不符合题意； 则在对称轴时，函数值有最小值，且时所对应的， 即抛物线有最小值，且小于， 故B选项不符合题意； ∵抛物线开口向上，且对称轴是直线，越靠近对称轴的所对应的函数值越小，且 ∴， 则或， 故C选项不符合题意； ∵抛物线开口向上，且对称轴是直线，越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∴当时，， 即D选项符合题意， 故选：D． 5．如图，点在反比例函数的图象上，作轴于点，已知点，关于原点对称，的面积为，则比例系数k为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数值的几何意义，根据题意，设点，根据函数图象可得，，根据点，关于原点对称，的面积为，则，即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴设点， ∴，， ∴， ∵点，关于原点对称， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∵函数图象在第二象限， ∴． 故选：B． 6．若点、、都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．所有反比例函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式． 将点分别代入反比例函数，求得的值后，再来比较一下它们的大小． 【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上， ∴，即； ，即； ，即； ∵， ∴； 故选：A． 【新考法】与函数有关的动点问题 7．如图1，点为矩形边上一点，，点P点Q同时从点B出发，点P沿运动到点C停止，点Q沿运动到点C停止，它们的运动速度都是．设P，Q出发t秒时，的面积为，已知y与t的函数关系的图象如图2．则下列结论：①；②当时，；③点H的坐标为；④若与相似，则秒，其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据图2结合，且P和Q速度相同，可得当P到达点E时，Q到达点C，即可求出的长；再根据点M的坐标可求出当时，与的函数关系式；利用勾股定理求出，进而求出，结合函数图象即可求出点H的坐标；当时，，此时是等腰三角形，从而判断④． 【详解】解：∵，且P和Q速度相同， ∴当P到达点E时，Q到达点C， 由图2可知此时，， 即，， ∴， 解得，故①正确，符合题意； 由图2易得， 设，将M坐标代入得， ∴，故②正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点H的坐标为，故③正确，符合题意； 当时，，此时是等腰三角形， 而是直角三角形，很明显不相似，故④错误，不符合题意； 所以正确的结论有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的性质与判定，二次函数的应用，根据图（2）判断出点到过点时，点到达点是解题的关键． 【新考法】信息题 8．如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象， 则下列说法错误的是 （    ） A．乙车前6秒行驶的路程为48米 B．在0到6秒内甲车的速度每秒增加米 C．当两车速度相等时， 乙车行驶19.6米 D．在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度 【答案】C 【分析】此题考查了从函数图象获取信息，弄清函数图象表示的意义是解本题的关键．根据图中自变量时间与因变量速度关系结合速度、时间及路程的关系依此判断即可． 【详解】解：A、根据图象可得，乙前6秒的速度不变，为8米/秒，则行驶的路程为米，故正确，本选项不符合题意； B、根据图象得：在0到9秒内甲的速度是一条过原点的直线，即甲的速度从0均匀增加到30米/秒，则每秒增加米/秒，故B正确，本选项不符合题意； C、当两车速度相等时的时间为秒，乙车行驶米，故C错误，本选项符合题意； D、由图象知，3秒时甲的速度为米/秒，则在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度，故D正确，本选项不符合题意． 故选：C． 【新考法】与函数有关的规律题 9．将有序数对进行操作后得到一个新的有序数对，将得到的新的有序数对按上述操作继续进行下去，每得到一个新的有序数对称为一次操作．例如：经过第一次操作后得到，经过第二次操作后得到．下列说法①若经过三次操作得到，且，则．②将经过2n（为正整数）次操作后，得到的有序数对为．③在平面直角坐标系中，将所对应的点记为，经过第一次操作后的点记为，第二次操作后的点记为，当时，若直线与直线互相垂直（为正整数），则．正确的个数为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律探究、一次函数的应用、勾股定理、解一元二次方程，理解题意是解答的关键．根据题中操作可判断①；根据题中操作，发现规律可判断②；根据题中操作可得，，，，利用待定系数法分别求得直线的表达式为，直线的表达式为，可得两直线相交于坐标原点，则有，然后利用勾股定理列方程求解a值即可判断③，进而可得答案． 【详解】解：①经过第一次操作后得到，经过第二次操作后得到，经过第三次操作后得到， 则由题意，得，解得，故①错误； ②经过第一次操作后得到， 经过第二次操作后得到，即， 经过第三次操作后得到， 经过第四次操作后得到，即 经过第五次操作后得到， 经过第六次操作后得到，即， ……， 依次类推， 经过2n（为正整数）次操作后，得到的有序数对为，故②正确； ③经过第一次操作后得到， 经过第二次操作后得到，即， 经过第三次操作后得到， 经过第四次操作后得到，即， 经过第五次操作后得到， 经过第六次操作后得到，即， ……， 依次类推，，，，， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 同理直线的表达式为， 可得两直线相交于坐标原点， 若直线与直线互相垂直时，则有， ∵， ∴，， 由得：， 整理，得， 解得，故③错误， 综上，正确的有1个， 故选：B． 【新考法】与函数有关的规律题 10．如图，在平面直角坐标系中有两条直线：：，：，对点作如下操作．第1步，作点关于的对称点；第2步，作关于的对称点；第3步，再作关于的对称点；第4步，再作关于的对称点以此类推，问：点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】标出点，连接、、、、、，取直线：：上的点，取点，取点，取直线：：上的点，连接，取点，连接点、、，得到，过点作轴于点，得出，进而推出，，证明和是等边三角形，于是得出，，根据轴对称变换，分析、、、、，和坐标轴的夹角，得出，利用含度角的直角三角形的性质，得出，然后根据勾股定理得出，据此即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，标出点，连接、、、、、，取直线：：上的点，取点，取点，取直线：：上的点，连接，取点，连接点、、，得到，过点作轴于点， ∴轴，轴，， ， ， ， ， ∴， ， 和是等边三角形， ∴，， ∴第1步，作点关于的对称点落在轴上， 第2步，作关于的对称点落在轴上， 第3步，作关于的对称点，和轴的夹角， 第4步，作关于的对称点，和轴的夹角， 继续作关于的对称点，和轴的夹角，即， ∴， ， ∴点的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形变化——轴对称，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，熟练掌握坐标与图形变化——轴对称是解题的关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，C为线段的中点，为线段上的一点，P为线段上的一动点，的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点C′的坐标，利用勾股定理即可求得最小值． 本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，轴对称-最短路线问题，解此题的关键在于熟练掌握其知识点，准确得到一次函数与坐标轴的交点坐标． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小， 令中，则， ∴点的坐标为， 令中，则，解得， ∴点的坐标为， ∵为线段上的一点， 令中，则，解得， ∴点， 点为线段的中点， ∴点， ∵取点和点D关于x轴对称， ∴点的坐标为，， ∴最小值 ． 故答案为：． 12．如图，以原点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到．点是抛物线的顶点，点在抛物线上，则抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是求出点的坐标． 利用位似图形的性质求得点，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵将放大为原来的2倍，得到，点， ∴点，即点， ∵点是抛物线的顶点， ， 将代入得，， 解得：， ∴抛物线的解析式是 故答案为：． 13．我市于2024年11月14日举办第二届中小学师生万人硬笔书法大赛．如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校学生硬笔字的优秀率（该校成绩优秀人数与该校参加比赛人数的比值）y与该校参加比赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则硬笔字成绩优秀人数最多的学校是 ． 【答案】丙 【分析】本题考查反比例函数图象与性质的实际应用题，根据反比例函数图象与性质求解即可得到结论． 【详解】解：描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为，则令， 过甲点作y轴平行线交反比例函数于，过丙点作y轴平行线交反比例函数于，如图所示： 由图可知， ∴、、、在反比例函数图象上， 根据题意可知优秀人数，则： ①，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ②，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ③，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数乙学校优秀人数丁学校优秀人数丙学校优秀人数， ∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校， 故答案为：丙． 14．如图，点A在反比例函数的图象上，以点A为圆心画弦交x轴于B，C，延长交轴于点，连接，若的面积等于4，，则k的值为 ． 【答案】12 【分析】作于是解题的关键．作于，连接，根据等腰三角形的性质得出，根据相似三角形的性质求得，进而根据题意求得，根据反比例函数系数的几何意义即可求得的值． 【详解】解：作于，连接， 以点为圆心画弧交轴于点、， ， ， ， ， ， ， ， 的面积等于4，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，相似三角形的性质和判定，三角形的面积，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是关键． 【新考法】信息题 15．已知甲、乙两车分别从A、B两地同时以各自的速度匀速相向而行，两车相遇后，乙车减慢速度匀速行驶，甲车的速度不变，甲车出发5小时后，接到通知需原路返回到C处取货，于是甲车立即掉头加快速度匀速向C处行驶，甲追上乙后又经过40分钟到达C处，甲车取货后掉头以加快后的速度赶往B地，又经过小时，甲、乙两车再次相遇，相遇后各自向原来的终点继续行驶（接通知、掉头、取货物的时间忽略不计）甲、乙两车之间的距离（千米）与甲车行驶时间（小时）的部分函数图象如图所示，则乙车到达A地时，甲车距离A地 千米． 【答案】 【分析】此题考查了从函数图象获取信息，从图象分析已知信息，再结合路程中的相遇和追及问题列式即可． 根据图象提供的信息，小时后，甲、乙的距离由900缩小到300，可以求出甲、乙未改变速度之前的速度和，从而求出相遇时间，再根据5小时时，甲、乙的相距路程可求出甲未改变之前的速度和乙改变之后的速度之和，再根据40分钟，甲、乙相距40千米，可以求出甲、乙改变速度之后的速度差，再根据小时后又相遇，就可以求出甲、乙改变速度之后的速度和，从而求出甲、乙改变之前的速度和改变之后的速度． 【详解】解：，， ∴甲乙的速度之和为210， ，， ∴甲的速度与乙改变后的速度之和为150， ， ∴甲改变后的速度与乙改变后的速度差为60，     ∴甲改变后的速度与乙改变后的速度和为180， ∴甲改变后的速度为120，乙改变后的速度为60， ∵甲的速度与乙改变后的速度之和为150，∴甲的速度为90， ∵甲乙的速度之和为210，∴乙的速度为120， 乙未改变速度之前行驶的路程为：， ， ∴乙到达A地所需要的时间为， ∴甲改变速度后还需行驶的时间为：， ，． ∴甲返回C地所需的时间为． ∴乙到达时甲距离A地， 故答案为：． 【新考法】与函数有关的新定义问题 16．弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，其边长为半径画弧得到的三角形．在大片的麦田或农田中，由农作物倒伏形成的几何图案被称为“麦田怪圈”．图1中的麦田怪圈主要由圆和弧三角形构成，某研究小组根据照片尝试在操场上绘制类似的图形．如图2，成员甲先借助绳子绕行一周画出，再将三等分，得到A，B，C三点．接着，成员乙分别以A，B，C为圆心画出图中的弧三角形．研究小组在A，B，C，O四点中的某一点放置了监测仪器，若将射线绕着点O逆时针旋转，与交于点P，与弧三角形交于点Q，射线的旋转角记为自变量x（单位：°，），（如图2）．P、Q到监测仪器的距离分别记为和（单位：m），绘制出两个函数的图象（如图3）．结合以上信息判断，①的半径为；②图3中a的值为270；③当时，取得最大值12；④监测仪器放置在点A处．其中说法中错误的是 ．（填写序号即可） 【答案】② 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，圆周角定理、解直角三角形，根据题意找出、对应的图象，然后求出，以及，，进而求出圆的半径，结合所求对每个选项逐一分析即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵将射线的旋转角记为自变量x，P、Q到监测仪器的距离分别记为和， ∴根据图3所示，实线部分图象中距离先保持不变，再下降至0，然后再上升，可判断实线部分为到检测仪器的距离的图象．（由于点Q在以A为圆心，为半径的上，则的距离保持不变）． ∴当Q点从点B开始逆时针运动时，检测器应该在A点，虚线部分图象为到检测仪器的距离的图象．故选项④说法正确； ∵由等边三角形的性质可得，点Q从B点运动到A点，运动的角度为个圆周， ∴．故②选项说法不正确，此选项符合题意； 由图象3得：，可得， 连接，，过点O作于点D，如图2， ∵， ∴，． ∴．即的半径为．故①选项说法正确； 由图2可知，当射线旋转至的中点时，此时点P在直线上，取最大值，长度为的直径，此时射线转过的角度为，即．故③选项说法正确； 综上，正确的说法有：①③④，错误的说法是②． 故答案为：②． 三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分） 17．研学活动被称为“行走的课堂”，可以促进学生全面发展．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知轿车出发小时后追上大巴，此时两车与学校相距千米，如图所示，、分别表示大巴、轿车离开学校的路程（千米）与大巴行驶的时间（小时）的函数图象． (1)求所在直线的函数表达式； (2)轿车出发多长时间后，轿车与大巴首次相距千米． 【答案】(1) (2)小时 【分析】（）由题意可得，再利用待定系数法解答即可求解； （）分别求出大巴和轿车的速度，再根据题意列出方程解答即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，， 设所在直线的函数表达式为，把、代入得， ， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由题意可得，大巴的速度为千米小时， 轿车的速度为千米小时， 设轿车出发小时后，轿车与大巴首次相距千米， 由题意得，， 解得， 答：轿车出发小时后，轿车与大巴首次相距千米． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，直线与y轴交于点D．直线和直线相交于点A，已知A点纵坐标为2． (1)求点A的横坐标及k的值． (2)点M在直线上，轴，交于点N，若，求点M的坐标． 【答案】(1)点横坐标为1， (2)或 【分析】本题考查的是求解一次函数的解析式，坐标与图形； （1）由点纵坐标为，求解，再代入得的值； （2）先求解，，设，由轴，得，再利用方程求解即可． 【详解】（1）解：∵直线和直线相交于点，点纵坐标为， ，解得， ， 代入得， ，解得，    ，； （2）解：， 直线：， 直线：和直线：中， 令，分别得与， ，， ， 设，由轴，得， ， 解得或， 或． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)分别求一次函数和反比例函数的函数表达式； (2)一次函数与x轴交于点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，连接，求的面积． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出两点坐标，进而求出的长，过点B作，求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：把点代入中， ∴反比例函数的表达式为 把代入，得， ∴ 把，分别代入，得解得 ∴一次函数表达式为； （2）当时，由，得， ∴点C的坐标为 ∵轴，点D在的图象上， ∴点D的坐标为， ∴ 过点B作，垂足为E， ∴， ∴的面积． 【新考法】跨学科融合的问题 20．杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，杠杆原理为：阻力阻力臂动力动力臂（如图①）．某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：如图②，小明取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处将其吊在空中，在中点的左侧距中点处挂一个重的物体（即支点为，阻力为，阻力臂为），在中点右侧用一个弹簧测力计（重力忽略不计）竖直向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧测力计与中点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化（即动力臂为，动力为），在平面直角坐标系中描出了一系列点，并用平滑的曲线顺次连接，得到如图③所示的函数图象． (1)求图③中的函数解析式； (2)若点的位置不变，在不改变点与物体的距离及物体重力的前提下，要想使木杆平衡，弹簧测力计的示数最小可以是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． （1）根据杠杆原理的公式阻力阻力臂动力动力臂，求解即可得解； （2）根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：已知杠杆原理的公式：阻力阻力臂动力动力臂，阻力为，阻力臂为，动力臂为，动力为，则有， ∴图③中的函数解析式为． （2）解：∵ ∴当x最大时，y最小， ∵由于支点即为细绳悬挂点， ∴． ∵杆长，点右侧总长， ∴． 综上，． ∴当时，． 21．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出220件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 【答案】(1)y与x的函数关系式为 (2)当每件商品的售价定为56元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2560元 【分析】本题考查二次函数的实际应用．理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．掌握二次函数的性质也是关键． （1）根据题意可得，整理出一般式，最后再求出取值范围即可； （2）将（1）所求的二次函数一般式化为顶点式，再根据其性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设每件商品的售价上涨x元，则销售量为件， 根据题意得：， 整理，得：． ∵每件售价不能高于65元， ∴， ∴y与x的函数关系式为． （2）解：将化为顶点式为：， ∵，， ∴当时，y有最大值，最大值为2560． ∴（元/件）， ∴当每件商品的售价定为56元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2560元． 22．某校劳动教育基地的蔬菜大棚横截面如图1所示，轮廓可近似看成抛物线的一部分．已知米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．如图2，以所在直线为轴，过点且垂直的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为防止极端天气对蔬菜大棚造成破坏，学校对原有大棚进行了加固，安装了两根支架（即线段、），且．在上有个照明灯，经过照明灯的横梁与平行．若照明灯到支架顶端的距离与横梁之和恰为6米（即），求横梁的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）设，对称轴为直线则由题意得，则，可知为等腰直角三角形，均为等腰直角三角形，则，那么，则，即可求出，继而求出． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， 设解析式为：， ∵抛物线经过原点， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：， 设， 由可得对称轴为直线 则由题意得， ∵， ∴， ∵，由抛物线对称性可得， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由题意得， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍）， ∴， 即横梁的长为． 【新考法】 函数的新定义问题 23．定义：平面直角坐标系中，对于两点，称为两点的“曼哈顿距离”，记为． 【探究应用】 平面直角坐标系中，． （1）如图1，轴，轴，______． （2）如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在线段上任取一点是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． （3）使的所有点围成的图形面积为______． （4）若点是函数的图象上一动点，则使的所有点构成的线段长度为______． 【拓展延伸】 对于平面直角坐标系中的两点，定义．如图3的网格坐标系中，给定点，请类比“曼哈顿距离”的探究，在网格范围内画出使的所有点构成的图形，并直接写出的最大值． 【答案】探究应用：（1）3，（2）是定值，3，（3）18，（4），拓展延伸：图见解析，最大值为 【分析】探究应用：（1）根据定义代入数据计算即可； （2）先求出点的坐标，设点，再根据定义得到，即可解答； （3）由（2）知点Q在一次函数的图象上时，，根据对称的性质可得所有点围成的图形为边长为的正方形，即可解答； （4）设，根据定义得，解不等式，求出临界点，再利用勾股定理即可解答； 拓展延伸：由题意得，先求出或，再分别取特殊点，即可解答；分情况求出的关系式，利用一次函数的性质解答即可． 【详解】探究应用： 解：（1）根据题意：； （2）∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 令，则，令，则， ∴， 设点， 则， ∴是定值，且； （3）如图，由（2）知点Q在一次函数的图象上时，， 由对称的性质可得所有点围成的图形为边长为的正方形， 则所有点围成的图形面积为； （4）设，根据定义得， 当时，则，即，解得：（舍去）； 当时，则，即，解得：， ∴； 当时，则，即，解得：， ∴； 综上，时，， 此时，所有点构成的线段为点到点的线段长，长度为； 拓展延伸： 由题意得， ∵， ∴， ∴或， ∴或， 当时，；当时，； 当时，；当时，； 则在网格范围内使的所有点构成的图形如图所示， 当时，则， 此时，时，有最大值，最大值为； 当时，则， 此时，时，有最大值，最大值为； 当时，则， 此时，时，有最大值，最大值为； 综上，的最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数综合，理解曼哈顿距离的计算方法，掌握一次函数图形的性质，勾股定理，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 【新考法】 函数的新定义问题 24．定义：已知反比例函数（）和（），当且时，称为这两个函数的“均值函数”．完成下列问题： (1)已知反比例函数和，则它们的“均值函数”是 ； (2)判断：点是否在反比例函数和的“均值函数”图象上，请说明理由； (3)如图，已知，反比例函数和的“均值函数”为，点在的第一象限图象上，过点分别作轴、轴的垂线，与和的图象交于点，，，．求证：． 【答案】(1) (2)不在．理由见解析 (3)见解析 【分析】（）根据两个函数的“均值函数”的定义即可求解； （）根据题意得，若经过点，则转化为，然后根据根的判别式即可求解； （）由点在的图象上，则或，再根据轴，轴，求出，，，，再由和的“均值函数”为，则，最后由平行四边形的判定与性质即可求证； 本题考查了反比例函数的性质，平行四边形的判定与性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵反比例函数和， ∴， ∴它们的“均值函数”是， 故答案为：； （2）解：不在，理由如下： 根据题意，， 若经过点， ∴， ∴， 整理，得． ∵， ∴此方程无解， ∴不存在的值，使得， ∴点不在函数和的“均值函数”图象上； （3）解：∵点在的图象上， ∴或， ∵轴， ∴，， ∴，， ∵轴， ∴，， ∴，． ∵和的“均值函数”为， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 25.抛物线（是常数，）顶点为，与轴交于点和点，其中，与轴交于点． (1)若，，求抛物线解析式和顶点的坐标； (2)若点分别为线段，线段上的点，连接． ①若，，且，求抛物线解析式和顶点的坐标； ②若在点运动的过程中，始终保持，且，求抛物线解析式和顶点坐标． 【答案】(1)抛物线的表达式为，点的坐标为 (2)①抛物线的表达式为，点；②抛物线的表达式为或，点的坐标为或 【分析】（）由待定系数法解答即可求解； （）①求出点的坐标为，在中，，，则，得到，进而求解； ②当时，如图所示为取得最大值的情况，此时点与点（或点）重合，为斜边上的中线，得到；如图所示为为最小值的情况，此时于点，得到，即，则，进而求解；当时，同理可解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵点的坐标， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴抛物线的对称轴为， ∴点的坐标为； （2）解：①如图，延长与轴交于点， 由知，点在抛物线的对称轴上， ∴点， 设抛物线的表达式为， 将点代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为， ∴点的坐标为， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（不合，舍去）或， ∴抛物线的表达式为， ∴点； ②由题意得，点为以点为圆心长度为半径的圆和线段的交点， 当时，如图所示为取得最大值的情况， 此时点与点（或点）重合，为斜边上的中线， 则， ∵， ∴； 如图所示为为最小值的情况，此时于点， 则， ∴， ∴， 即， 在中，，即， ∴， ∴， ∴， ∴点， ∵点的坐标分别为、， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∴点的坐标为； 当时，同理可得，，， ∴抛物线的表达式为， ∴点的坐标为； 综上，抛物线的表达式为或，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，直角三角形的性质，圆的基本知识，勾股定理，三角函数，掌握二次函数的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 章节综合训练三 函数 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．将某一次函数图象向右平移2个单位后得到函数的图象，则这个一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．一次函数与，它们在同一坐标系中的大致图象可能是（　　） A．B．C． D． 3．已知，的图象经过点和点，且，则a的取值范围是（） A． B．或 C．或 D．或 4．已知抛物线（a，b，c为常数，且）y与x的部分对应值如下表： x … 0 3 5 … y … 16 0 0 … 下列结论正确的是（   ） A．抛物线开口向下 B．有最小值 C．若，是抛物线上两点，则 D．当时， 5．如图，点在反比例函数的图象上，作轴于点，已知点，关于原点对称，的面积为，则比例系数k为（   ） A． B． C． D． 6．若点、、都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【新考法】与函数有关的动点问题 7．如图1，点为矩形边上一点，，点P点Q同时从点B出发，点P沿运动到点C停止，点Q沿运动到点C停止，它们的运动速度都是．设P，Q出发t秒时，的面积为，已知y与t的函数关系的图象如图2．则下列结论：①；②当时，；③点H的坐标为；④若与相似，则秒，其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【新考法】信息题 8．如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象， 则下列说法错误的是 （    ） A．乙车前6秒行驶的路程为48米 B．在0到6秒内甲车的速度每秒增加米 C．当两车速度相等时， 乙车行驶19.6米 D．在第3秒到第9秒内甲车的速度都大于乙车的速度 【新考法】与函数有关的规律题 9．将有序数对进行操作后得到一个新的有序数对，将得到的新的有序数对按上述操作继续进行下去，每得到一个新的有序数对称为一次操作．例如：经过第一次操作后得到，经过第二次操作后得到．下列说法①若经过三次操作得到，且，则．②将经过2n（为正整数）次操作后，得到的有序数对为．③在平面直角坐标系中，将所对应的点记为，经过第一次操作后的点记为，第二次操作后的点记为，当时，若直线与直线互相垂直（为正整数），则．正确的个数为（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【新考法】与函数有关的规律题 10．如图，在平面直角坐标系中有两条直线：：，：，对点作如下操作．第1步，作点关于的对称点；第2步，作关于的对称点；第3步，再作关于的对称点；第4步，再作关于的对称点以此类推，问：点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，C为线段的中点，为线段上的一点，P为线段上的一动点，的最小值为 ． 12．如图，以原点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到．点是抛物线的顶点，点在抛物线上，则抛物线的解析式是 ． 13．我市于2024年11月14日举办第二届中小学师生万人硬笔书法大赛．如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校学生硬笔字的优秀率（该校成绩优秀人数与该校参加比赛人数的比值）y与该校参加比赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则硬笔字成绩优秀人数最多的学校是 ． 14．如图，点A在反比例函数的图象上，以点A为圆心画弦交x轴于B，C，延长交轴于点，连接，若的面积等于4，，则k的值为 ． 【新考法】信息题 15．已知甲、乙两车分别从A、B两地同时以各自的速度匀速相向而行，两车相遇后，乙车减慢速度匀速行驶，甲车的速度不变，甲车出发5小时后，接到通知需原路返回到C处取货，于是甲车立即掉头加快速度匀速向C处行驶，甲追上乙后又经过40分钟到达C处，甲车取货后掉头以加快后的速度赶往B地，又经过小时，甲、乙两车再次相遇，相遇后各自向原来的终点继续行驶（接通知、掉头、取货物的时间忽略不计）甲、乙两车之间的距离（千米）与甲车行驶时间（小时）的部分函数图象如图所示，则乙车到达A地时，甲车距离A地 千米． 【新考法】与函数有关的新定义问题 16．弧三角形，又叫莱洛三角形，是机械学家莱洛首先进行研究的．弧三角形是这样画的：先画正三角形，然后分别以三个顶点为圆心，其边长为半径画弧得到的三角形．在大片的麦田或农田中，由农作物倒伏形成的几何图案被称为“麦田怪圈”．图1中的麦田怪圈主要由圆和弧三角形构成，某研究小组根据照片尝试在操场上绘制类似的图形．如图2，成员甲先借助绳子绕行一周画出，再将三等分，得到A，B，C三点．接着，成员乙分别以A，B，C为圆心画出图中的弧三角形．研究小组在A，B，C，O四点中的某一点放置了监测仪器，若将射线绕着点O逆时针旋转，与交于点P，与弧三角形交于点Q，射线的旋转角记为自变量x（单位：°，），（如图2）．P、Q到监测仪器的距离分别记为和（单位：m），绘制出两个函数的图象（如图3）．结合以上信息判断，①的半径为；②图3中a的值为270；③当时，取得最大值12；④监测仪器放置在点A处．其中说法中错误的是 ．（填写序号即可） 三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分） 17．研学活动被称为“行走的课堂”，可以促进学生全面发展．某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动．大巴出发小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶．已知轿车出发小时后追上大巴，此时两车与学校相距千米，如图所示，、分别表示大巴、轿车离开学校的路程（千米）与大巴行驶的时间（小时）的函数图象． (1)求所在直线的函数表达式； (2)轿车出发多长时间后，轿车与大巴首次相距千米． 18．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，直线与y轴交于点D．直线和直线相交于点A，已知A点纵坐标为2． (1)求点A的横坐标及k的值． (2)点M在直线上，轴，交于点N，若，求点M的坐标． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)分别求一次函数和反比例函数的函数表达式； (2)一次函数与x轴交于点C，过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D，连接，求的面积． 【新考法】跨学科融合的问题 20．杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，杠杆原理为：阻力阻力臂动力动力臂（如图①）．某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：如图②，小明取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处将其吊在空中，在中点的左侧距中点处挂一个重的物体（即支点为，阻力为，阻力臂为），在中点右侧用一个弹簧测力计（重力忽略不计）竖直向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧测力计与中点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化（即动力臂为，动力为），在平面直角坐标系中描出了一系列点，并用平滑的曲线顺次连接，得到如图③所示的函数图象． (1)求图③中的函数解析式； (2)若点的位置不变，在不改变点与物体的距离及物体重力的前提下，要想使木杆平衡，弹簧测力计的示数最小可以是多少？ 21．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出220件，如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？ 22．某校劳动教育基地的蔬菜大棚横截面如图1所示，轮廓可近似看成抛物线的一部分．已知米，的垂直平分线与抛物线交于点，与交于点，点是抛物线的顶点，且米．如图2，以所在直线为轴，过点且垂直的直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)为防止极端天气对蔬菜大棚造成破坏，学校对原有大棚进行了加固，安装了两根支架（即线段、），且．在上有个照明灯，经过照明灯的横梁与平行．若照明灯到支架顶端的距离与横梁之和恰为6米（即），求横梁的长． 【新考法】函数的新定义问题 23．定义：平面直角坐标系中，对于两点，称为两点的“曼哈顿距离”，记为． 【探究应用】 平面直角坐标系中，． （1）如图1，轴，轴，______． （2）如图2，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，在线段上任取一点是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由． （3）使的所有点围成的图形面积为______． （4）若点是函数的图象上一动点，则使的所有点构成的线段长度为______． 【拓展延伸】 对于平面直角坐标系中的两点，定义．如图3的网格坐标系中，给定点，请类比“曼哈顿距离”的探究，在网格范围内画出使的所有点构成的图形，并直接写出的最大值． 【新考法】 函数的新定义问题 24．定义：已知反比例函数（）和（），当且时，称为这两个函数的“均值函数”．完成下列问题： (1)已知反比例函数和，则它们的“均值函数”是 ； (2)判断：点是否在反比例函数和的“均值函数”图象上，请说明理由； (3)如图，已知，反比例函数和的“均值函数”为，点在的第一象限图象上，过点分别作轴、轴的垂线，与和的图象交于点，，，．求证：． 25.抛物线（是常数，）顶点为，与轴交于点和点，其中，与轴交于点． (1)若，，求抛物线解析式和顶点的坐标； (2)若点分别为线段，线段上的点，连接． ①若，，且，求抛物线解析式和顶点的坐标； ②若在点运动的过程中，始终保持，且，求抛物线解析式和顶点坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$