第八章 实数（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（福建专用，人教版2024）

第8章 实数（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3 D． 2．估计的值在（     ） A．4 到 5 之间 B．5 到 6 之间 C．6 到 7 之间 D．7 到 8 之间 3．计算的值是（   ）． A．8 B．10 C．12 D．16 4．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．已知，，且，则的值等于（   ） A．5 B．1 C． D． 6．下列两实数比较大小，表示正确的是（　　） A． B． C．1 D．π 7．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（    ） A．8 B．±8 C．2 D． 8．若＝2.89，＝28.9，则b等于（　　） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 9．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 10．对于任意实数x，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过x的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（   ） ①； ②若（n是整数），则； ③若，，，则所有可能的值为，，； ④方程的解为或． A．个 B．个 C．个 D．个 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．化简＝ ，＝ ． 12．算术平方根等于它本身的实数有 个． 13．若，则 ． 14．如果a，b分别是2025的两个平方根，那 ． 15．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为12和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 ． 16．设，则的值为 ． 三、解答题：共8题，共86分，其中第17题16分，第18~19题每小题8分，第20~22题每小题10分，第23~24题每小题12分。 17．（16分）计算： (1)； (2)． (3) (4) 18．（8分）已知的立方根是，的算术平方根是2，c的平方根是它本身． (1)求a，b，c的值． (2)求的平方根． 19．（8分）已知，． （1）已知x的值为4，求a的值及的平方根； （2）如果一个正数的两个平方根分别是x和y，求这个数． 20．（本题10分）求下列各式中的x (1) (2) 21．（本题10分）把下列各数的序号填入相应的括号内①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦⑧，⑨1.3，⑩1.8080080008…（两个“8”之间依次多一个“0”）． 分数集合{_________}； 负整数集合{_________}； 正有理数集合{_________}； 无理数集合{_________}． 22．（10分）某装修公司现有一块面积为的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种方案： 方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料； 方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长宽比为． 王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由． 23．（12分）阅读理解，回答问题. 我们都知道是无理数，因为无理数是无限不循环小数，因此不可能把的小数部分全部写出来，于是小磊用表示的小数部分，请你根据小磊的思路完成下列问题： （1）的小数部分是 ； （2）已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分. ①的取值范围是 ； ②当是5的倍数时，求的值. 24．（12分）先阅读下面材料，再解答问题： 材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：若，其中a，b为有理数，是无理数，则． 证明：∵，a为有理数 ∴是有理数 ∵b为有理数，是无理数 ∴ ∴ ∴ (1)若，其中a、b为有理数，请猜想_________，_________，并根据以上材料证明你的猜想； (2)已知的整数部分为a，小数部分为b，且x，y为有理数，x，y，a，b满足，求x，y的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 实数（A卷·提升卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列各数中，是无理数的是（   ） A．0 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是无理数，无限不循环小数叫做无理数，根据无理数的定义依次判断即可． 【详解】解：A．0是整数，属于有理数，不符合题意； B．是无理数，符合题意； C．3是整数，属于有理数，不符合题意； D．是分数，属于有理数，不符合题意， 故选：B． 2．估计的值在（     ） A．4 到 5 之间 B．5 到 6 之间 C．6 到 7 之间 D．7 到 8 之间 【答案】A 【分析】本题考查的是估算无理数的大小，根据估算无理数大小的方法解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴的值在4 到 5 之间， 故选：A． 3．计算的值是（   ）． A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了立方根，乘方运算，有理数的混合运算等知识点，先进行立方根，乘方，去绝对值运算，再进行乘法运算，最后加减运算即可得解，熟练掌握其运算法则并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解： ， 故选：C． 4．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查开平方（求平方根），开立方（求立方根），根据平方根、算术平方根和立方根的定义逐项计算，即可判断． 【详解】解：A、，A计算错误，不符合题意； B、，B计算错误，不符合题意； C、，C计算错误，不符合题意； D、，D计算正确，符合题意； 故答案为：D． 5．已知，，且，则的值等于（   ） A．5 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值、立方根的定义，根据绝对值、立方根的定义求出x、y的值，再求出的值，注意把不符合题意的舍去． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故选：A． 6．下列两实数比较大小，表示正确的是（　　） A． B． C．1 D．π 【答案】C 【分析】根据实数比较大小的法则对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A．7>6， ， 故此选项错误； B．5>3， ， ， 故此选项错误； C．4<5<9， ∴2<<3， ∴， ∴． 故此选项正确； D．π， 故此选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了实数大小比较，熟知实数比较大小的法则是解答此题的关键． 7．小明是一个电脑爱好者，设计了一个程序如图，当输入x的值是有理数64时，输出的y值是（    ） A．8 B．±8 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的判断和求一个数的算术平方根和立方根，正确按照流程图顺序计算即可． 【详解】解：64的算术平方根是8，是有理数， 故将8取立方根为2，是有理数， 将2取算术平方根得，是无理数， 故选：D． 8．若＝2.89，＝28.9，则b等于（　　） A．1000000 B．1000 C．10 D．10000 【答案】B 【分析】根据立方根得出a＝2.893，ab＝28.93＝2.893×103，即可求出b的值． 【详解】∵＝2.89，＝28.9， ∴a＝2.893，ab＝28.93＝2.893×103， ∴b＝103＝1000， 故选：B． 【点睛】本题考查了对立方根定义的应用，解此题的关键是能关键立方根定义得出等式a＝2.893，ab＝28.93＝2.893×103，难度适中． 9．如图所示为一个按某种规律排列的数阵： 第一行 第二行 第三行 第四行 根据数阵规律，第八行倒数第三个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字的变化，算术平方根，观察题目找出解题点是解题的关键．根据数阵的规律可知：被开方数是连续的正整数，根据每一行的最后一个数的被开方数是所在的行数乘比行数大1的数，可得结论． 【详解】解：第1行的最后一个数是， 第2行的最后一个数是， 第3行的最后一个数是， …… 第8行最后一个数字为， ∴第8行倒数第三个数是， 故选：C． 10．对于任意实数x，其整数部分记为，小数部分记为，即：，其中表示不超过x的最大整数．如，；，．下列结论正确的个数是（   ） ①； ②若（n是整数），则； ③若，，，则所有可能的值为，，； ④方程的解为或． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了新定义问题，解题的关键在于对定义的理解与运用．利用新定义的理解对上述①②③④进行判断即可； 【详解】① ，， ，故①错误； ②， ， 则或，故②错误； ③，， 则所有可能的值为，，，故③正确； ④， ， 即， ， ， ，故④错误； 综上所述；只有一个正确， 故选：A 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．化简＝ ，＝ ． 【答案】 2 3 【分析】由题意直接根据立方根和算术平方根的性质进行化简即可得出答案. 【详解】解：＝2，＝3． 故答案为：2，3． 【点睛】本题考查立方根和算术平方根的化简，熟练掌握立方根和算术平方根的性质是解题的关键. 12．算术平方根等于它本身的实数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根等于它本身的实数有和即可得解． 【详解】解：算术平方根等于它本身的实数有和，共个， 故答案为：． 13．若，则 ． 【答案】 【分析】先根据非负性求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵，而， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性和绝对值的非负性，解题的关键是求出． 14．如果a，b分别是2025的两个平方根，那 ． 【答案】2025 【分析】此题主要考查了平方根的性质和意义，解本题的关键是熟练掌握平方根的性质． 根据一个正数的两个平方根互为相反数即可得到，再根据，代入即可得出结论． 【详解】解：∵分别是2025的两个平方根， ， ， ， 故答案为：2025． 15．如图，在长方形中无重叠放入面积分别为12和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的应用，根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：∵在长方形中无重叠放入面积分别为12和16的两张正方形纸片， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为：， ∴，， ∴空白部分的面积为； 故答案为：． 16．设，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，算术平方根，总结归纳出规律和掌握规律是解题的关键．通过计算总结归纳出规律，再化简算术平方根，然后由计算即可． 【详解】解：∵， …… ∴， ∴ ． 三、解答题：共8题，共86分，其中第17题16分，第18~19题每小题8分，第20~22题每小题10分，第23~24题每小题12分。 17．（16分）计算： (1)； (2)． (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)2 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， ． （3）解： ； （4）解： ． 18．（8分）已知的立方根是，的算术平方根是2，c的平方根是它本身． (1)求a，b，c的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根及代数式的求值，熟练掌握相关概念进行求解是解决本题的关键． （1）根据立方根，算术平方根，平方根的概念即可求出答案； （2）根据（1）中所求，，的值代入代数式中求出答案再求平方根即可求出答案． 【详解】（1）解： ∵，，c的平方根是它本身， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：由（1）知：，，， ∴， ∴的平方根是． 19．（8分）已知，． （1）已知x的值为4，求a的值及的平方根； （2）如果一个正数的两个平方根分别是x和y，求这个数． 【答案】（1），平方根为；（2）9 【分析】（1）当时，可求出 ，从而求出 ，即可解答； （2）根据平方根的性质，可求出，从而求出这个正数，即可解答． 【详解】解：（1）当时， ，解得：， ∴   ， ∴， ∵2的平方根为   ， ∴的平方根； （2）依题意得：，即， 解得：     ∴这个数为． 【点睛】本题主要考查了平方根和整式的加减，解一元一次方程，熟练掌握一个正数有两个平方根，且互为相反数是解题的关键． 20．（本题10分）求下列各式中的x (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． （1）先移项，再由即可求解； （2）先移项，然后把括号前系数化为1，把看成一个整体，再由即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ， ． 21．（本题10分）把下列各数的序号填入相应的括号内①，②，③，④，⑤，⑥0，⑦⑧，⑨1.3，⑩1.8080080008…（两个“8”之间依次多一个“0”）． 分数集合{_________}； 负整数集合{_________}； 正有理数集合{_________}； 无理数集合{_________}． 【答案】见解析 【分析】此题考查实数的分类，有理数和无理数的概念．根据实数的分类，有理数和无理数的概念判断即可． 【详解】解：， 分数集合{④⑦⑨}； 负整数集合{①⑧}； 正有理数集合{②⑦⑨}； 无理数集合{③⑤⑩}． 22．（10分）某装修公司现有一块面积为的正方形的木板，准备做装饰材料用，设计师王师傅设计了如下两种方案： 方案一：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料； 方案二：沿着边的方向裁出一块面积为的长方形装饰材料，且长宽比为． 王师傅设计的两种方案是否可行？若可行，请帮助解决如何裁剪；若不可行，请说明理由． 【答案】方案一可行，方案二不可行，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程、算术平方根的实际应用和估算无理数的大小． 先求出正方形的边长为，再分别求出两种方案的长方形的长和宽，最后比较大小即可． 【详解】解：方案一可行． ∵正方形木板的面积为， 正方形木板的边长为． 如图所示，沿着裁剪， ∵， 只要使就满足条件； 方案二不可行．理由如下： 设所裁长方形装饰材料的长为、宽为， 则，即， 解得（负值已舍去）， 所裁长方形的长为， ∵， 所裁长方形的长大于正方形的边长， 方案二不可行． 23．（12分）阅读理解，回答问题. 我们都知道是无理数，因为无理数是无限不循环小数，因此不可能把的小数部分全部写出来，于是小磊用表示的小数部分，请你根据小磊的思路完成下列问题： （1）的小数部分是 ； （2）已知是正整数，是一个无理数，且表示的小数部分. ①的取值范围是 ； ②当是5的倍数时，求的值. 【答案】（1）；（2）①；②当是5的倍数时，的值为24或31. 【分析】（1）仿照小磊的方法表示即可； （2）①根据表示的小数部分可得m的取值范围； ②根据①中的结果，可求出m的值，分别代入中计算即可. 【详解】解：（1）∵＜＜， ∴2＜＜3， ∴的小数部分是； （2）①∵表示的小数部分， ∴3＜＜4， ∴； ②∵且是5的倍数， ∴或， 当时， ， 当时， ， 综上，当是5的倍数时，的值为24或31. 【点睛】本题考查了无理数的估算，利用被开方数越大算术平方根越大得出2＜＜3和3＜＜4是解题的关键. 24．（12分）先阅读下面材料，再解答问题： 材料：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：若，其中a，b为有理数，是无理数，则． 证明：∵，a为有理数 ∴是有理数 ∵b为有理数，是无理数 ∴ ∴ ∴ (1)若，其中a、b为有理数，请猜想_________，_________，并根据以上材料证明你的猜想； (2)已知的整数部分为a，小数部分为b，且x，y为有理数，x，y，a，b满足，求x，y的值． 【答案】(1)3；1，证明见解析 (2) 【分析】（1）猜想有理数和有理数相等，无理数和无理数相等，根据若a+b=0，其中a，b为有理数，是无理数，则a=0，b=0进行证明； （2）估算无理数的大小，代入方程，化简即可得出答案． 【详解】（1）解： 猜想，； 证明∵a+b=3+，其中a、b为有理数， ∴a-3+（b-1）=0， ∴， ∵a为有理数， ∴为有理数， ∴是有理数， 又∵为有理数，是无理数， ∴即， ∴， ∴即， ∴，； 故答案为：3，1； （2）解：∵9＜11＜16， ∴3＜＜4， ∴a=3，， 代入得 ， ， 整理得 ， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了无理数的估算，实数的运算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$