第八章 实数（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（福建专用，人教版2024）

第8章 实数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列各数中：，，，，，，，无理数的个数为（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方的才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个1之间依次多1个0）等形式．无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此对每个数进行判断，得出答案即可． 【详解】解：在，，，，，，中无理数有，共2个． 故选：D． 2．下列各式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了算术平方根、平方根、立方根等，熟练掌握相关的定义是解题的关键． 根据算术平方根、平方根、立方根的定义逐项判断即可解答． 【详解】A． ，故A选项正确，不符合题意； B． ，故B选项正确，不符合题意； C． ，故C选项错误，符合题意； D． ，故D选项正确，不符合题意． 故选C． 3．一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A． B． C． D．1000 【答案】C 【分析】本题考查了立方根，根据正方体的体积公式计算即可，熟练掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为， 故选：C． 4．如图规定：每个数都等于上方相邻两数之和，比如，则当时，的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，求一个数的算术平方根，根据题意列出方程，是解题的关键．根据题意先得出，，再根据列出方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：， ， ∵，， ∴， 解得：， 故选：C． 5．如图，在数轴上，点表示实数，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是实数与数轴，实数的大小比较，掌握实数的大小比较的方法是解本题的关键．根据数轴可得，再逐一分析各选项的数据即可． 【详解】解： ， ， ， ，即， 故A符合题意； ，， ，， 故B，C不符合题意； ， ，故D不符合题意； 故选：A． 6．已知均为正数，且，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查的是算术平方根的性质，掌握算术平方根的性质是解题关键，由题意得，，即可解决． 【详解】解：均为正数，且，， ，， 故选：C． 7．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算无理数的大小和实数的混合运算，能估算出的范围是解此题的关键． 先估算出的范围，求出的值，再代入求出即可． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 8．若a，b互为相反数，m，n互为倒数，c的平方等于4，d是8的立方根，则的值为（　　） A． B． C．2 D．54 【答案】A 【分析】此题主要考查了平方根、立方根以及代数式求值的方法，要熟练掌握． 首先根据a，b互为相反数，可得；根据m，n互为倒数，可得；然后根据c的平方等于4，d是8的立方根，分别求出、的值各是多少，代入求解即可． 【详解】 a，b互为相反数， ； m，n互为倒数， ； c的平方等于4， ； d是8的立方根， ， 故选：A． 9．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，为正整数），类似地我们规定关于任意正整数的一种新运算：．比如，则，当，那么的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查定义新运算，同底数幂的乘法，有理数的乘方运算，掌握定义新运算，同底数幂的乘法法则是解题的关键． 根据，通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故选：C． 10．在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了新定义运算“新运算操作”，正确理解“新运算操作”是解题关键． 根据数轴可知，，则有，结合“新运算操作”可得，即可判断说法①；结合可得，即可判断说法②；推导，易得，可知，即可判断说法③；根据“新运算操作”可知所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，即可判断说法④． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴，故说法①正确； ∵， ∴，故说法②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0，说法③错误； 可能的“新运算操作”有， ， ， ， ， ， ， ∴所有可能的“新运算操作”共有6种不同运算结果，说法④错误． 故选：D． 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平方根和立方根，先根据求出，再求出的立方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 故答案为． 12．写出一个比大且比小的整数 ． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查估算无理数的大小．熟练掌握用有理数逼近无理数的方法是解题关键． 利用估算无理数大小的逼近方法，求出和的范围，即可求解． 【详解】∵，， ∴，． ∴比大且比小的整数有5、6． ∴可取5． 故答案为：5． 13．有一个数值转换器，流程如图所示．当输入x的值为125时，输出y的值是 ． 【答案】 【分析】根据流程图进行求立方根与算术平方根，并判断是否是无理数即可求解． 【详解】解：由题意得 不是无理数， 的算术平方根是，是无理数， 输出． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了算术平方根以及立方根的定义，以及无理数的概念，熟练掌握立方根的意义是解答本题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根；正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0． 14．设，都是有理数，规定 ，则= ． 【答案】1 【分析】本题考查平方根与立方根，正确理解规定，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键． 根据规定，利用算术平方根与立方根的定义计算即可得答案． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：1 15．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝ ． 【答案】0或﹣1或﹣ 【分析】将原方程变形得到＝2x+1，根据一个数的立方根等于它本身得到这个数是0或1或-1，由此化成一元一次方程，解方程即可得到答案. 【详解】∵﹣2x﹣1＝0， ∴＝2x+1， ∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0， 解得x＝0或x＝﹣1或x＝﹣． 故答案为：0或﹣1或﹣． 【点睛】此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的关键. 16．阅读下列材料： ，则．请根据上面的材料回答下列问题： ． 【答案】54 【分析】利用类比的思想，对比确定个位数是4的立方根，应该是个位数是4的数，再根据被开方数的前两位数或前三位数的范围，确定最终结果. 【详解】 ，则，故答案为54. 【点睛】本题考查的知识迁移能力，能够看懂题干是解题的关键. 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，立方根，绝对值，实数的混合运算，熟练掌握实数的混合运算法则是解题的关键． （1）先计算立方根，算术平方根和，再进行实数的加减运算； （2）先计算算术平方根，立方根，绝对值，再进行实数的加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（8分）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了利用平方根的性质求未知数的值． （1）整理后，根据平方根的性质求解即可； （2）整理后，根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1）解：整理得， 解得； （2）解：整理得， 开方得， 解得． 19．（8分）把下列各数填入相应的集合： 、、、、、、、． (1)有理数集合{ ___________…}； (2)无理数集合{ ___________…}； (3)正实数集合{ ___________…}； (4)负实数集合{ ___________…}． 【答案】(1)、、、； (2)、、、； (3)、、、、； (4)、、 【分析】本题主要考查有理数、实数的分类等知识点，熟练掌握实数的定义及其分类是解题的关键． 根据有理数、实数的定义及其分类求解即可． 【详解】（1）解：有理数有：、、、． 故答案为：、、、． （2）解：无理数有、、、． 故答案为：、、、． （3）解：正实数有：、、、、． 故答案为：、、、、． （4）解：负实数集合、、． 故答案为：、、． 20．（8分）已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，一个正数的两个平方根分别是和，求的平方根． 【答案】 【分析】根据立方根、算术平方根、无理数的估算、平方根的定义，先求出a、b、c、d的值，然后代入代数式求值，再计算平方根即可. 【详解】解：根据题意， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的平方根为：. 【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的性质，解决本题的关键是利用性质求出a、b、c、d值，然后再求的平方根，特别是最终求值，是本题的易错点．题目整体较难，适合课后培优训练． 21．（8分）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 【答案】(1)这块长方形空地的周长为米 (2)宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行 【分析】本题考查了平方根的应用； （1）设长方形空地的长为，则宽为，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为，根据总面积为1176平方米列式，利用平方根的性质求出x，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可． 【详解】（1）解：设长方形空地的长为，则宽为， 由题意得：， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∴这块长方形空地的周长为米； （2）设花坛2的宽为y，则长为，正方形花坛1的边长为， 由题意得：， 解得：（负值已舍去）， ∴花坛2的宽为14，正方形花坛1的边长为， ∵， ∴宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行． 22．（10分）观察下表，并解决问题． a 0.000 1 0.01 1 100 10 000 0.01 0.1 1 10 100 (1)①随着被开方数的小数点的移动，它的算术平方根的小数点是怎样移动的？请归纳总结这一规律； ②已知 则 ． (2)①猜想被开方数的小数点移动和它的立方根的小数点移动有怎样的关系？写出你的猜想； ② 已知 请用含 m 的式子表示n． 【答案】(1)①被开方数a的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位；②0.447； (2)①被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位；② 【分析】本题考查算术平方根、立方根的变化规律，熟练掌握算术平方根、立方根的变化规律是解决本题的关键． （1）①从被开方数的小数点，以及相应的算术平方根的小数点的移动来找规律； ②根据（1）的规律即可得出答案； （2）①仿照算术平方根的规律探讨被开方数与其立方根小数点移动规律；②根据①所求规律解决此题即可． 【详解】（1）解：①观察表格可知，被开方数a的小数点每向右移两位，它的算术平方根的小数点相应向右移一位； ②∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵， ∴规律是：被开方数的小数点每向右移3位，它的立方根的小数点相应向右移一位； ②∵， ∴． 23．（10分）（1）如图1是方格，其中每个小正方形的边长为1，中间阴影部分正方形的边长为______；面积为______． （2）如图2是方格，请在方格中画出边长为的正方形（顶点在格点上），并涂上阴影； （3）若两个连续整数x，y满足，求的算术平方根． 【答案】（1），5；（2）见解析；（3）3 【分析】本题考查作图一应用与设计作图，估算无理数的大小，算术平方根的应用： （1）阴影部分的面积等于大正方形面积减去四周小三角形的面积，再根据算术平方根求出边长即可； （2）参照图（1）即可作图； （3）估算的大小，得出和y的值，进而即可求解． 【详解】（1）整个方格的面积为， 四周四个直角三角形的面积之和为：（每个直角三角形的两条直角边分别为1和2）， 那么中间阴影部分正方形的面积就等于整个方格的面积减去四周四个直角三角形的面积，即，所以阴影部分正方形的面积为5，其边长为5算术平方根：， 故答案为：，5； （2）如图： （3）解：， ， ， ，， ∴9的算术平方根为3． 24．（12分）【阅读理解】 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，a与b是互质的两个整数，且， 则 即 ① ． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以 ② ． 所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数， 【答案】(1)①表示的代数式；②表示的代数式 (2)证明见解析 【分析】考查了无理数的概念，解题的关键是根据所给事例模仿去做，做到举一反三． （1）根据等式性质得出结论即可； （2）类比是无理数的证明进行证明即可． 【详解】（1）解：设，a与b是互质的两个整数，且， 则 即． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以． 所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾． 所以是无理数． （2）设，a与b是互质的两个整数，且，则， 所以， ∵a，b是整数且不为0， ∴a为7的倍数． 设（n是整数）， ∴， ∴b也是7的倍数，与a与b是互质的整数矛盾， ∴是无理数． 25．（14分）单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5 (1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (2)继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (3)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值． 【答案】(1)2.65 (2)2.646 (3) 【分析】（1）设＝2.6＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案； （2）设＝2.64＋r，面积为7的正方形由一个边长为2.64的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案； （3）设，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成，根据图形建立等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴＞2.6，设＝2.6＋r， 如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.6的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵r2较小故略去，得5.2r＋6.76≈7， ∴r≈0.05，即≈2.65； （2）∵， ∴＞2.64，设＝2.64＋r， 如下图所示，面积为7的正方形由一个边长为2.64的正方形和一个边长为r的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵r2较小故略去，得5.28r＋6.970≈7， ∴r≈0.006，即≈2.646； （3）∵n＜＜n＋1，且b＝n2＋m ∴设， 如下图所示，面积为b的正方形由一个边长为n的正方形和一个边长为的正方形以及两个长方形组成， ∴， ∵r2较小故略去，得， ∴， ∵b＝n2＋m， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次根式、正方形、矩形的面积，解题的关键是仿照案例画出图形，再根据图形建立等式． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8章 实数（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列各数中：，，，，，，，无理数的个数为（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．下列各式中，错误的是（   ） A． B． C． D． 3．一个正方体包装盒的体积为10，则它的棱长为（　　） A． B． C． D．1000 4．如图规定：每个数都等于上方相邻两数之和，比如，则当时，的值为（   ） A． B．1 C．2 D．4 5．如图，在数轴上，点表示实数，则可能是（   ） A． B． C． D． 6．已知均为正数，且，，则下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 7．若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 8．若a，b互为相反数，m，n互为倒数，c的平方等于4，d是8的立方根，则的值为（　　） A． B． C．2 D．54 9．我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，为正整数），类似地我们规定关于任意正整数的一种新运算：．比如，则，当，那么的结果是（   ） A． B． C． D． 10．在学习二次根式过程中，对代数式M定义新运算：，在代数式中任意加新运算，然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“新运算操作”，不能改变式子中字母和数字顺序，每次操作只能加一次新运算．实数，在数轴上的位置如图所示．例如：，．下列说法： ①； ②不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式相等； ③不存在任何一种“新运算操作”，使其运算结果与原代数式之和为0； ④所有可能的“新运算操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 2、 填空题：共6题，每题4分，共24分。 11．若，则 ． 12．写出一个比大且比小的整数 ． 13．有一个数值转换器，流程如图所示．当输入x的值为125时，输出y的值是 ． 14．设，都是有理数，规定 ，则= ． 15．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝ ． 16．阅读下列材料： ，则．请根据上面的材料回答下列问题： ． 三、解答题：共9题，共86分，其中第17~21题每小题8分，第22~23题每小题10分，第24题12分，第25题14分。 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（8分）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 19．（8分）把下列各数填入相应的集合： 、、、、、、、． (1)有理数集合{ ___________…}； (2)无理数集合{ ___________…}； (3)正实数集合{ ___________…}； (4)负实数集合{ ___________…}． 20．（8分）已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分，一个正数的两个平方根分别是和，求的平方根． 21．（8分）一块长方形空地面积为1500平方米，其长宽之比为． (1)求这块长方形空地的周长； (2)如图，在空地内修建“T字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长宽之比为），花坛的总面积为1176平方米，宽度为米的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？ 22．（10分）观察下表，并解决问题． a 0.000 1 0.01 1 100 10 000 0.01 0.1 1 10 100 (1)①随着被开方数的小数点的移动，它的算术平方根的小数点是怎样移动的？请归纳总结这一规律； ②已知 则 ． (2)①猜想被开方数的小数点移动和它的立方根的小数点移动有怎样的关系？写出你的猜想； ② 已知 请用含 m 的式子表示n． 23．（10分）（1）如图1是方格，其中每个小正方形的边长为1，中间阴影部分正方形的边长为______；面积为______． （2）如图2是方格，请在方格中画出边长为的正方形（顶点在格点上），并涂上阴影； （3）若两个连续整数x，y满足，求的算术平方根． 24．（12分）【阅读理解】 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看做分母为1的有理数；反之为无理数．如不能表示为两个互质的整数的商，所以是无理数．可以这样证明： 设，a与b是互质的两个整数，且， 则 即 ① ． 因为b是整数且不为0， 所以a是不为0的偶数． 设（n是整数，且）， 则． 所以 ② ． 所以b也是偶数，与a，b是互质的整数矛盾． 所以是无理数． 【解决问题】 (1)写出①，②表示的代数式，使证明过程完整； (2)证明：是无理数， 25．（14分）单项式“a2”可表示边长为a的正方形的面积，这就是数学中的数形结合思想的体现．康康由此探究的近似值，以下是他的探究过程： 面积为2的正方形边长为，可知＞1，因此设＝1＋r，画出示意图：图中正方形的面积可以用两个正方形的面积与两个长方形面积的和表示，即S正方形＝x2＋2×r＋1，另一方面S正方形＝2，则x2＋2×r＋1＝2，由于r2较小故略去，得2r＋1≈2，则r≈0.5，即≈1.5 (1)仿照康康上述的方法，探究的近似值．（精确到0.01）（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (2)继续仿照上述方法，在（1）中得到的的近似值的基础上，再探究一次，使求得的的近似值更加准确，精确到0.001（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）； (3)综合上述具体探究，已知非负整数n，m，b，若n＜＜n＋1，且b＝n2＋m，试用含m和n式子表示的估算值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$