精品解析：安徽省皖江名校2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题

数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择題两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题济用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，实数a满足，则复数的模为（ ） A. 2 B. C. D. 3 3. 设，为单位向量，已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 4. 已知，，则（ ） A. 5 B. C. D. 5. 已知样本空间中有4个等可能的样本点，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 正项等比数列满足：，则数列的前10项和为（ ） A. 1023 B. 1024 C. 2047 D. 2048 7. 已知a，，则以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. 在上单调递减 B. 是图象的一个对称中心 C. 是的一个对称轴 D. 的值域为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 样本数据的平均数是，方差是，极差为，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则的平均数为 B. 若，则的方差为0 C. 若的极差是，则 D. 若，则这组数据的第75百分位数是 10. 在棱长为2的正方体中，O是BD中点，P是直线上的动点，则（ ） A. 存在唯一的点P，使得平面 B. 当平面时， C. 当时， D. 当时，三棱锥外接球半径为 11. 设函数，是函数的极大值点，则（ ） A. B. 若，则 C. 若函数有三个零点，则 D. 过原点可作三条直线与曲线相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域是__________． 13. 已知个点大致呈线性分布，其中，且数据的回归直线方程为，则的最小值为______． 14. 已知四面体中的各棱长均为整数，，则该四面体的体积为__________． 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的大小； （2）若的平分线CD的长为，求的周长． 16. 某图书馆随机抽取了100位阅读者，对去年到该图书馆阅读图书时长进行调查．经统计，这100位阅读者去年到该图书馆阅读时长（单位：千小时）均在内，按分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）求该频率分布直方图中x的值； （2）同一组中的数据以这组数据所在范围的中间值做代表，求这100位读书者去年阅读图书的平均时间； （3）为了解阅读者的需求，该图书馆从阅读时长在和内的阅读者中采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，再从访谈的5人中随机选择2人作为“阅读之星”，求阅读之星中恰有1人来自区间的概率． 17. 在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，E为线段PB的中点，F为线段BC的中点． （1）证明：平面PBC； （2）求平面AEF与平面PCD所成锐二面角的大小． 18. 已知函数关于直线对称． （1）求的值； （2）判断函数的单调性； （3）若时恒成立，求m的取值范围． 19. 若是非零整数，，则称数列为“绝对差数列”. （1）若是“绝对差数列”，且，求的值； （2）证明：等差数列不可能是“绝对差数列”； （3）探索：“绝对差数列”中是否可以选出无穷多项组成两个不同的常数列？证明你的结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择題两部分．满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题济用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式化简集合A，再根据交集运算求解即可. 【详解】集合，又，所以. 故选：B 2. 已知i为虚数单位，实数a满足，则复数的模为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数运算求出，再根据复数模长计算公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，则， 故选：C. 3. 设，为单位向量，已知，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将计算，再计算即可求解. 【详解】根据题意有：，，， 即，所以； ，所以. 故选：C 4. 已知，，则（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和差公式展开，进而解得，，两式作商求得. 【详解】因为，， 所以，， 从而，，故． 故选：A. 5. 已知样本空间中有4个等可能的样本点，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由样本空间和事件包含的样本点个数，利用古典概型概率公式计算可得. 【详解】因为样本空间，又， 则，所以， 样本空间中包含4个等可能的样本点，事件包含1个样本点， 由古典概型概率公式，． 故选：D. 6. 正项等比数列满足：，则数列的前10项和为（ ） A. 1023 B. 1024 C. 2047 D. 2048 【答案】A 【解析】 【分析】运用等比数列通项公式和求和公式计算即可. 【详解】根据题意，已知，得到，又， 解得．则. 故. 故选：A. 7. 已知a，，则以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为a，，所以a，， ，所以A正确； 当时，，所以B错误； ， 当且仅当时等号成立，所以C正确； ，当且仅当时等号成立，所以D正确. 故选：B 8. 已知函数的最小正周期为，则（ ） A. 在上单调递减 B. 是图象的一个对称中心 C. 是的一个对称轴 D. 的值域为 【答案】D 【解析】 【分析】先根据最小正周期为，求出，确定的解析式，画出函数图象，判断函数的奇偶性，对称性，求出一个周期内函数值的范围，然后对选项中的结论逐一分析即可得结论. 【详解】函数的最小正周期为，所以， 从而 即，其图象如图所示， 由图象知先减后增，故A错误； ， 不是的一个对称中心，，故B错误； ， 不是的一条对称轴，因此答案C错误； 时，此时， 因为是偶函数，所以时， 又因为函数的最小正周期为，所以的值域为，D正确. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 样本数据的平均数是，方差是，极差为，则下列判断正确的是（ ） A. 若，则的平均数为 B. 若，则的方差为0 C. 若的极差是，则 D. 若，则这组数据的第75百分位数是 【答案】AB 【解析】 【分析】由平均数以及方差的性质即可判断AB，结合极差的定义，举出反例，即可判断C，由百分位数的计算公式，即可判断D. 【详解】对于A，由原数据的平均数， 可得新数据的平均数为， 故A正确； 对于B，由原数据的方差是， 可得新数据的方差为， 故B正确； 对于C，若样本数据为，则其极差为， 此时数据为，则其极差， 即，故C错误； 对于D，由，所以数据的第75百分位数是，故D错误； 故选：AB 10. 在棱长为2的正方体中，O是BD中点，P是直线上的动点，则（ ） A. 存在唯一的点P，使得平面 B. 当平面时， C. 当时， D. 当时，三棱锥外接球半径为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直关系判断A；根据三棱锥体积公式判断B；根据在延长线上另有一点也满足，判断C；根据外接球计算方式判断D. 【详解】 对于A，因为当平面时，面，所以，又因为， 所以，所以，又因为，，所以， 所以棱存在唯一的点P，故A正确； 对于B，平面时，，， 所以，所以，故B正确； 对于C，在延长线上另有一点也满足，故C错误： 对于D，易知P为中点，此时平面平面， 如图，分别为和外接圆的圆心，O为所求外接球球心， 在中，易知，所以其外接圆半径， 在中，易知，根据等腰三角形， 所以，因此由正弦定理得， 其外接圆半径，故， 所以，所求外接球半径，选项D正确； 故选：ABD. 11. 设函数，是函数的极大值点，则（ ） A. B. 若，则 C. 若函数有三个零点，则 D. 过原点可作三条直线与曲线相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】函数的零点为，，且是函数的极大值点，由极值点定义可得，结合图像的单调性，极值，零点等知识，数形结合验证选项. 【详解】对于选项A：依题意，函数的图象如图所示，且，，故A正确； 对于选项B，由于时，函数单调递增，且， 所以， 故B错误； 对于选项C，考虑到，所以， 令得或， 又是函数的极大值点，则 ， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增； 则时取极小值， 若函数有三个零点，则需，结合， 即得，解得，故C正确； 由函数的图形直观可知，过原点可作三条直线与曲线相切， 分别是轴，过原点斜率为正和过原点斜率为负的三条切线，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域是__________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数求得函数的单调性，即可求得值域. 【详解】由题意可得， 令，即，解得， 令，即，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 所以函数的值域是. 故答案为：. 13. 已知个点大致呈线性分布，其中，且数据的回归直线方程为，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据回归方程必过样本中心点，即可得到答案. 【详解】回归直线经过， 且， 代入回归方程得：， 即， 所以当时，的最小值为. 故答案为：. 14. 已知四面体中的各棱长均为整数，，则该四面体的体积为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】把看成一长方体的四个顶点，构造长方体，设长方体的长，宽，高分别为，列出方程组，再结合棱长为整数，可确定的值，再结合“割补法”可求四面体的体积. 【详解】如图构造长方体， 记，设， 则， 因而， 其中，由题意. 而. 故答案为： 【点睛】方法点睛：将三棱锥补形成长方体，结合条件，确定的值，再利用“割补法”求三棱锥的体积. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求的大小； （2）若的平分线CD的长为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式及二倍角的正弦公式化简即可求解. （2）利用三角形面积公式及余弦定理即可求出三角形周长. 【小问1详解】 在中，由，得， 则，而，于是，即， 因此，所以． 【小问2详解】 依题意，，即， 则，解得， 由余弦定理得， 所以的周长为． 16. 某图书馆随机抽取了100位阅读者，对去年到该图书馆阅读图书时长进行调查．经统计，这100位阅读者去年到该图书馆阅读时长（单位：千小时）均在内，按分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）求该频率分布直方图中x的值； （2）同一组中的数据以这组数据所在范围的中间值做代表，求这100位读书者去年阅读图书的平均时间； （3）为了解阅读者的需求，该图书馆从阅读时长在和内的阅读者中采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，再从访谈的5人中随机选择2人作为“阅读之星”，求阅读之星中恰有1人来自区间的概率． 【答案】（1） （2）平均时间为233小时 （3） 【解析】 【分析】（1）运用长方形面积之和为1进行计算即可； （2）运用平均数公式计算内即可； （3）运用列举法，结合古典概型概率公式计算即可. 【小问1详解】 由题意可知， 即，所以． 【小问2详解】 由频率分布直方图可得 因此这100位读书者去年阅读图书的平均时间为233小时． 【小问3详解】 记“阅读之星中恰有1人来自区间”为事件A． 因为时长在区间与内的频率之比为， 采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈， 故从区间中应抽取2人，分别记为， 从区间中应抽取3人，分别记为， 再从访谈的5人中随机选择2人作为“阅读之星”共有以下10种情况 ， 其中阅读之星中恰有1人来自区间的共有这6种情况， 因此所求概率． 17. 在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，E为线段PB的中点，F为线段BC的中点． （1）证明：平面PBC； （2）求平面AEF与平面PCD所成锐二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先用线面垂直性质得到，结合正方形性质得到，再用线面垂直判定得到平面PAB,进而得到平面PBC． （2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，借助向量夹角公式计算即可. 【小问1详解】 依题意，是等腰三角形，而E是PB的中点，所以．① 因为平面，平面，所以， 而四边形是正方形，所以，,平面PAB， 故平面，平面，从而，② 综合①②，且平面，则平面． 【小问2详解】 如图分别以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴， 不妨设， 则，， 从而，， 设平面AEF的法向量为，则， 所以，取，则，即， 设平面PCD的法向量为，则， 可取， 设平面AEF与平面PCD所成锐二面角的平面角为， 则， 所以平面AEF与平面PCD所成锐二面角为． 18. 已知函数关于直线对称． （1）求的值； （2）判断函数的单调性； （3）若时恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1）； （2）递减区间是，递增区间是； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，由对称性可得，再取特值求出并验证得解. （2）利用导数探讨函数在上的单调性，由对称性可得的对称性得解. （3）将不等式等价转化为，构造函数，利用导数分类讨论单调性求出范围. 【小问1详解】 函数中，由，得或， 由函数的图象关于直线对称，则必有，且， 即，解得，此时， ， 即， 因此当时，函数的图象关于直线对称， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，其中或， 求导得 当时，令，函数， 求导得，函数在上递减，，即， 因此函数在上单调递增，由对称性知，在上单调递减， 所以函数的递减区间是，递增区间是. 【小问3详解】 当时，， 令，，求导得， 当时，，令，， ，求导得， 函数在上单调递增，，即成立，则； 当时，令，方程，， ①当时，有两根，且，不妨设，有， 当时，，当时，，函数在上递减， 而当时，，从而，不合题意； ②当时，在上单调递增， 而当时，，因此，符合题意，则； ③当时，有两根，且， 不妨设，有，当时，，在上单调递增， 而当时，，因此，符合题意，则， 所以实数m的取值范围是. 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 19. 若是非零整数，，则称数列为“绝对差数列”. （1）若是“绝对差数列”，且，求的值； （2）证明：等差数列不可能是“绝对差数列”； （3）探索：“绝对差数列”中是否可以选出无穷多项组成两个不同的常数列？证明你的结论. 【答案】（1） （2） 证明：设等差数列的公差为d，若该数列是“绝对差数列”， 则是非零整数，且． 若，则，从而，矛盾！ 若，则，又，从而，矛盾！ 若，则，又，从而， 与矛盾！ 综上，等差数列不可能是“绝对差数列”. （3） 首先证明，存在m，使得“绝对差数列”中的． 若不然，， 若，则， 若，则， 因此，要么比小要么比小，令… 由上可知，即单调递减， 但是确定的正整数，所以这样下去，必然存在正整数k，使得， 这矛盾！ 从而数列必存在等于0的项， 记第一次等于0的项为，则由“绝对差数列”的定义知 当时，， 故“绝对差数列”中可以选出无穷多项组成两个不同的常数列． 【解析】 【分析】（1）根据“绝对差数列”的定义找到数列的周期性，即可得解. （2）根据“绝对差数列”的定义得，分，及分类讨论，推出矛盾即可证明. （3）先证明，存在m，使得“绝对差数列”中的，令…，进而单调递减，必然存在正整数k，使得， 这矛盾！从而数列必存在等于0的项，最后由“绝对差数列”的定义判断求解即可. 【小问1详解】 依题意，…，可知自第9项开始，周期的依次取1，1，0， 而，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：本题主要考查数列新定义的问题，处理此类问题时，通常根据题中新定义的概念，结合已知结论求解，根据题中的定义，结合等差数列通项公式进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $