辽宁省铁岭市调兵山市第二高级中学2024-2025学年高二上学期1月期末考试数学试卷

调兵山市第二高级中学 2024-2025 学年度高二上学期期末考试 数 学 命题人：高二数学组 时间 120 分钟 满分 150 分 时间：2025 年 1 月 一、单项选择题（每题 5 分，共 40 分） 1．已知集合  2 1 6A x x   ，  3,0,1,2,3,4B   ，则 A B  ( ) A. 3,0,1 B. 0,1,2 C. 0,1,2,3 D. 1,2,3,4 2．在复平面内,复数   2 i 1 iz     对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3．设 xR ，则“ 1x  ”是“ 2 1x  ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．某地为践行“绿水青山就是金山银山”的人与自然和谐共生的发展理念，对该地企业 已处理的废水进行实时监测．对当地甲、乙两家企业 20天内已处理的废水的某项指标 值的检测结果如下图，则下列说法正确的是( ) A.甲企业样本数据的中位数是 72 B.甲企业样本数据的平均数大于 80 C.甲企业样本数据的众数大于乙企业样本数据的众数 D.不低于 80的样本数据个数，甲企业多于乙企业 5．一个体积为 38cm 的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是( ) A. 28 cm B. 212 cm C. 216 cm D. 220 cm 6．函数 1 5( 1) 1 y x x x      的最小值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 7．已知  是第二象限角，且 3sin 3   ，则 tan  ( ) A. 2 B. 2 2  C. 2 3  D. 3 2 2  8．函数   3 2 6xf x x   的零点所在的区间是( ) A.  1,0 B.  0,1 C.  1,2 D.  2,3 二、多项选择题（每题 6 分，共 24 分） 9．已知  ，  是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列说法中正确的 是( ) A.若m  ， //m n， n  ，则  B.若 ,m n  ， //m  ， //n  ，则 //  C.若 //  ，m  ， n  ，则 //m n D.若  ，m  ， n   ，m n ，则m  10．已知函数   πsin2 cos 2 6 f x x x       ，则( ) A.  f x 的最小正周期为π B.  f x 的图象关于直线 π 6 x   对称 C.  f x 的零点是  π π 2 6 kx x k       Z D.  f x 的单调递增区间为 5π ππ, π ( ) 6 6 k k k       Z 11．如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD为菱形， 60DAB  ， 侧面 PAD为正三角形，且平面 PAD 平面 ABCD， 则下列说法正确的有( ) A.在线段 AD上存在一点 M，使 AD 平面 PMB B.异面直线 AD与 PB所成的角为90 C.二面角P BC A  的大小为 45 D. BD 平面 PAC 12．已知函数   2 2 3, 0 2 ln , 0 x x x f x x x          ，令 ( ) ( )h x f x k  ，则下列说法正确的是( ) A.函数  f x 的单调递增区间为  0, B.当  4, 3k   时， ( )h x 有 3个零点 C.当 2k   时， ( )h x 的所有零点之和为-1 D.当  , 4k   时， ( )h x 有 1个零点 三、填空题（每题 5 分，共 40 分） 13．某校围棋社团､舞蹈社团､美术社团和篮球社团的学生人数分别为50,30,40,60 ,现采 用分层抽样的方法从这些学生中选出 18 人参加一项活动,则美术社团中选出的学生人 数为__________. 14．已知向量  1,0a  ，  , 2b x   ，且  2a a b    ，则 x __________. 15．已知 lg3=a , lg5=b ，用含 a、b的式子表示 lg15 =__________. 16．若 m、n是一元二次方程 2 3 5 0x x   的两个根，则 2 4n n m   ______. 四、解答题（共 66 分） 17．（12 分）已知平面向量 a  ，b  ，  1,2a   . （1）若b  =（0，1），求 2a b   的值； （2）若  2,b m  ，a  与a b   共线，求实数 m的值. 18．（13 分）在 ABC△ 中，角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c. 已知 4 5a c , 3cos 5 C  . (1)求 sin A的值； (2)若 11b  ，求 ABC△ 的面积. 19．（13 分）如图，在三棱锥 P ABC 中，PA AB ，PA BC ， AB BC ， 2PA AB BC   ，D为线段 AC的中点，E为线段 PC上一点. （1）求证： PA BD ； （2）求证：平面 BDE 平面 PAC； （3）当 //PA 平面 BDE时，求三棱锥E BCD 的体积. 20．（14 分）2022年 4月 16日神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，这 标志着此次载人飞行任务取得圆满成功.在太空停留期间，航天员们开展了两次“天宫 课堂”，在空间站进行太空授课，极大地激发了广大中学生对航天知识的兴趣.为此，某 班组织了一次“航空知识答题竞赛”活动，竞赛规则：两人一组，两人分别从 3个题 中不放回地依次随机选出 2个题回答，若两人答对题数合计不少于 3题，则称这个小 组为“优秀小组”.现甲、乙两位同学报名组成一组，已知 3个题中甲同学能答对的题 有 2个，乙同学答对每个题的概率均为 1 2 ，并且甲、乙两人选题过程及答题结果互不 影响. （1）求甲同学选出的两个题均能答对的概率； （2）求甲、乙二人获称“优秀小组”的概率. 21．（14 分）已知函数   2 2x xf x a    是定义在 R 上的奇函数. (1)求 a的值，并证明：  f x 在 R 上单调递增； (2)求不等式    23 5 4 0f x x f x    的解集； (3)若    4 4 2x xg x mf x   在区间 1,  上的最小值为 2 ，求 m的值.