第19讲 直角三角形（讲练）（思维导图+10个考点讲练+7种解题方法题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

第四章 三角形 第19讲 直角三角形 （思维导图+10个考点讲练+7种解题方法题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维引航 2 考点突破 考法探究 3 重点考点一 直角三角形的性质与判定 3 重点考点二 勾股定理 4 重点考点三 勾股定理逆定理 5 第一部分：常考考点讲练 6 考点1：直角三角形的性质 6 考点2：含30度角的直角三角形 10 考点3：直角三角形斜边上的中线 12 考点4：勾股定理 15 考点5：勾股定理的证明 18 考点6：勾股定理的逆定理 20 考点7：勾股数 22 考点8：勾股定理的应用 25 考点9：平面展开-最短路径问题 27 考点10：等腰直角三角形 29 第二部分：解题方法突破题型洞悉 33 题型1：直角三角形中的锐角平分线模型 33 题型2：勾股定理之图形折叠模型 34 题型3：勾股定理之赵爽线图模型 37 题型4：勾股定理之大树折断模型 40 题型5：勾股定理之风吹荷花模型 42 题型6：勾股定理之蚂蚁行程模型 43 题型7：勾股定理之垂美四边形模型 44 分层训练 巩固提升 48 基础夯实训练 48 能力拔高训练 65 考点要求 新课标要求 命题预测 直角三角形的性质与判定 · 理解直角三角形的概念. · 探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形. 该模块内容在中考中一直是较为重要的几何考点，考察难度为中等偏上，常考考点为:直角三角形的性质定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理与实际问题等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重点.出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸.结合以上考察形式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三角形常考的考察方向. 勾股定理 · 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题. 重点考点一 直角三角形的性质与判定 直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余. 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形. 2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 面积公式：S= (其中：c为斜边上的高，m为斜边长) 重点考点二 勾股定理 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，，,,. 勾股定理的证明方法（常见）： 方法一（图一）：，，化简可证． 方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 方法三（图三）：，，化简得证 图一 图二 图三 勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数. 常见的勾股数：如；；；等. 判断勾股数的方法：1）确定是三个正整数a，b，c； 2）确定最大的数c； 3）计算较小的两个数的平方是否等于. 1. 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形. 2. 如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 3. 应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2． 4. 每组勾股数的相同整数倍也是勾股数. 重点考点三 勾股定理逆定理 勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 1. 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形 2. 定理中a，b，c及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边. 第一部分：常考考点讲练 考点1：直角三角形的性质 【例1】（2024•姜堰区一模）在中，，，为边上的一点，若线段上存在一点到点的距离等于，则的取值范围为 　　． 解：在中，，， ， ， 以点为圆心，为半径画圆，当经过点时，如图1所示： 此时，在线段上刚按好有两个点到点的距离为，则， 以点为圆心，为半径画圆，当与线段相切时，如图2所示： 此时在线段上刚好有一个点到点的距离为， 设与线段相切于点， ，， ， ， ， 线段上存在两个点到的距离等于时，的取值范围为：． 故答案为：． 【变式1】（2023•邗江区二模）如图，，线段的两个端点分别在射线、上滑动，且，以为直角边在点的异侧作，且，，问滑动过程中的最大值为 　　． 解：作的外接圆，圆心为，连接，，，，过点作于，过点作于，如图： ，即， ， ，，， ，， 在中，， ， ， 在中，，，， ， ， 在中，， ， 又， ， ，， ，， 在中，， ， ， ， ， 根据“两点之间线段最短”得：， 当点，，在通一条直线上时，为最大，最大值为， 即的最大值为：． 故答案为：． 【变式2】（2018•无锡）如图，在中，，，，，点是边上一点，连接，将沿翻折得到． （1）若，，且，求的长； （2）连接，若四边形是平行四边形，求与之间的关系式． 解：（1）如图，作于． 由翻折的性质可知：， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ，， ． （2）如图2中，连接． 由翻折不变性可知：，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ，， 在中，则有， ， ．， ． 考点2：含30度角的直角三角形 【例2】（2024•玄武区二模）如图，在中，，，，、分别是、边上的动点，且，则线段的最小值为 　　． 解：过点作于点， ，，， ， 设， ，， ， ， ， 当时，取得最小值， 的最小值为， 故答案为：． 【变式1】（2022•邳州市一模）如图，在中，，，延长到点，使，连接，若，则的长为 　　． 解：，， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ，， ， 解得． 故答案为：． 【变式2】（2020•徐州）如图，，在上截取．过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；按此规律，所得线段的长等于　　． 解：，， ， ，， ， ， ， 同法可得，， 由此规律可得， ， ， 故答案为． 考点3：直角三角形斜边上的中线 【例3】（2023•天宁区校级二模）如图，是△的中线，是△的高线，，，，则点到的距离是 　11　． 解：，， △的面积为：， 是△的中线， △的面积为88， 点到的距离是． 故答案为：11． 【变式1】（2022•兴化市二模）中，，．当变化时，斜边上总存在、两点，使得、两点不重合），则的取值范围为 　且　． 解：， 当、两点不重合）时，点和必有一点为斜边的中点， 设为的中点， 如图1，点与重合， ， 是等边三角形， ， ； 如图2，当与重合，此时，不符合题意； 如图3，与重合， ， 是等边三角形， ， 的取值范围为且． 故答案为：且． 【变式2】（2017•常州模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点、，，点在以为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足，则的最小值是　　． 解：如图，连接， 点、点、，， ，， ， ， ， 要最小，就是点到上的一点的距离最小， 点在上， ，， ， 的最小值是， 故答案为． 考点4：勾股定理 【例4】（2024•新吴区二模）如图，已知等边，，延长至点，使得，以为直角边向右作，使，为斜边的中点，连接，随着边长的变化，长也在变化，则长的最小值为　　 A． B．7 C． D． 解：如图：连接，， ，， ， ，为斜边的中点， ， 由题意可知，点的运动轨迹为的角平分线， ， 当时，有最小值， 故的最小值为． 故选：． 【变式1】（2024•六合区校级三模）如图，在中，，，，点，分别在边，上，为的中点，若，则的长的最小值为 　　． 解：，为的中点， ， 当的长的最小时，最小， 设， ， 在中，， ， 当时，的最小值为8， 的最小值为（舍去负值）， 的最小值为． 【变式2】（2022•锡山区校级三模）“勾股图”有着悠久的历史，欧几里得在《几何原本》中曾对它做了深入研究．如图，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形．连接，，，分别与，相交于点，．若，则　30　，的值为 　　． 解：四边形、四边形四边形都为正方形， ，，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 设， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：30；． 考点5：勾股定理的证明 【例5】（2024•南通）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为　　 A．12 B．13 C．14 D．15 解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ，即①， ， ②， ①②得， 大正方形的面积为：， 故选：． 【变式1】（2024•泰兴市一模）用四个全等的直角三角形围成一个如图1大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国三国时期赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．现用如图2的两种直角三角形各两个围成一个如图3的四边形，若知道图3中阴影部分的面积，则一定能求出图3中　　 A．四边形的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积 解：设直角三角形的长直角边为，短直角边为，直角三角形的长直角边为，短直角边为． ， ． ． ． ． 故选：． 【变式2】（2022•启东市二模）如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上． （1）　　． （2）利用正方形网格，证明（1）中的结论． （1）解：， 故答案为：； （2）证明：延长交格点于，连接，如图， 则，，， ，， ， 为等腰直角三角形， ． ， ． 考点6：勾股定理的逆定理 【例6】（2022•滨海县模拟）如图所示的网格是正方形网格，则　　（点，，，，是网格线交点）． 解：设小正方形的边长是1，连接， ，，， ，， ， 即是等腰直角三角形， ， ， ， 即， ， 故答案为：． 【变式1】（2019•淮阴区二模）如图，已知中，，，，是的垂直平分线，交于点，连接，则　5　． 解：，，， ， 是直角三角形， 是的垂直平分线， ，，且线段是的中位线， ， ． 故答案为：5 【变式2】．（2018•镇江一模）中，，，，为边上一动点，过线段上的点作，交边于点，交边于点，点为中点．若四边形的面积为18，则的最大值　　． 解：中，，，， ， 为直角三角形，且， 为的中点， ， 四边形的面积为18，， ， 即， 当取最小值时，有最大值， 故当时，值最小，最小值为， 此时， 故答案为． 考点7：勾股数 【例7】（2023•南通）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数，，，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则　　（用含的式子表示）． 解：，，是勾股数，其中，均小于，，， ， 是大于1的奇数， ． 故答案为：． 【变式1】（2022•江都区二模）清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”．其中有一个法则是“如果是大于2的偶数，那么，的一半的平方减1，的一半的平方加1是一组勾股数．” （1）按照这个法则，写出2组不同的勾股数 　3，4，5　，　　（最大数不超过． （2）用等式表示这三个勾股数的数量关系并证明． 解：（1）当时，这一组勾股数是3，4，5； 当时，这一组勾股数是6，8，10． 故答案为：3，4，5；6，8，10； （2）当大于2时，． 证明：左边 ； 右边． 左边右边， 等式成立． 【变式2】（2018•常州模拟）（1）阅读理解：我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如：5、12、13；9、40、41；但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3、4、5； 是三个连续正整数组成的勾股数． 解决问题：①在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？ 答：　存在　，若存在，试写出一组勾股数：　　． ②在无数组勾股数中，是否还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由． ③在无数组勾股数中，是否存在三个连续奇数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由． （2）探索升华：是否存在锐角三边也为连续正整数；且同时还满足：；？若存在，求出三边的长；若不存在，说明理由． 解：（1）①存在三个连续偶数能组成勾股数，如6，8，10，（3分） 故答案为：存在；6，8，10； ②答：不存在，（4分） 理由是：假设在无数组勾股数中，还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数， 设这三个正整数为，，， 则，（5分） ，（舍， 当时，，， 三个连续正整数仍然是3，4，5， 不存在其它的三个连续正整数能组成勾股数；（6分） ③答：不存在，（7分） 理由是：在无数组勾股数中，存在三个连续奇数能组成勾股数， 设这三个奇数分别为：，，的整数）， ， ，， 不存在三个连续奇数能组成勾股数；（8分） （2）答：存在，三边长分别是4，5，6，（9分） 理由是：如图，在中，设，，， 则：；， 延长至，使，连接， ，（10分） ， ， ， ， ， ， ， ， 或0（舍， 当时，，， ，，， 答：满足条件的三边的长为4，5，6．（12分） 考点8：勾股定理的应用 【例8】（2020•秦淮区一模）在以下列长度为边长的4个正方形铁片中，若要剪出一个直角边长分别为和的直角三角形铁片，则符合要求的正方形铁片边长的最小值为　　 A． B． C． D． 解：如图所示： 是直角三角形，，，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ． 故选：． 【变式1】（2024•盱眙县校级一模）如图，边长为1的6个小正方形拼长方形后放置在内，长方形的两个顶点分别落在边，上，设点，为长方形的格点，连接，恰好经过格点，则的长为 　　． 解：如图， 边长为1的6个小正方形拼长方形后放置在内，点，为长方形的格点， ，， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（2023•南通二模）我国明代数学著作《算学宝鉴》中记载一个问题：“门厅一座，高广难知．长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺．两隅斜进，恰好方齐．请问三色，各该有几？”译文：现在有一座门（矩形），不知道高度和宽度．如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺；拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺；沿对角线斜着进，恰好通过．问门的高度、宽度及竹竿的长度各是多少尺？设竹竿的长度为尺，可列方程为 　　． 解：由竹竿的长度为尺，则门宽尺，门高尺， 根据题意得． 故答案为：． 考点9：平面展开-最短路径问题 【例9】（2024•建邺区二模）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是　　 A． B． C．3 D．4 解：如图1， ， 如图2， ， ， ， 最短路径的长是， 故选：． 【变式1】（2023•广陵区校级四模）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为 　20　（杯壁厚度不计）． 解：如图： 将杯子侧面展开，作关于的对称点， 连接，则即为最短距离，． 故答案为20． 【变式2】（2024秋•工业园区校级月考）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是　25　尺． 解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺， 另一条直角边长（尺， 因此葛藤长为（尺． 故答案为：25． 考点10：等腰直角三角形 【例10】（2023•淮阴区二模）如图，已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，其中点在直线上，若，则的度数为 　　． 解：作直线， 直线， 直线， ，， ， ， ， ， 故选：． 【变式1】（2024•铜山区模拟）如图，中，，是上的一点，，过点作，并截取． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）延长至，使得，连结并与的延长线相交于点，求的度数． （1）证明：， ，， 在和中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形； （2）解：，， ， （已证）， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 【变式2】（2023•邗江区校级二模）（1）请用一副三角板画一个角等于； （2）请用无刻度的直尺和圆规作一个角等于，不写作法，保留作图痕迹： （3）已知中，，，作边的垂直平分线，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接，请按要求画出图形，并求出的度数． 解：（1）让等腰直角三角形的一个锐角和另一个直角三角形的较大的锐角拼在一起，画出这个角如图所示，即：； （2）作线段，分别以点、点为圆心，为半径画弧，交于一点，可得为等边三角形，则， 以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点、点，再分别以点、点为圆心，大于为半径画弧，交于一点， 平分，则， 连接交于点，再分别以点、点为圆心，大于为半径画弧，交于一点，连接， 平分，则， 即：即为所求； （3）按要求画出图形，如图， ，， ， 过点作， 垂直平分， ， 四边形为矩形，则，， ，， ， ，， 平分， ， ， ， 的度数为或 第二部分：解题方法突破题型洞悉 题型1：直角三角形中的锐角平分线模型 【例1】（2022秋•江阴市期中）以下四组代数式作为的三边，能使为直角三角形的有　　 ①，，为正整数）； ②，，为正整数）； ③，，，为正整数）； ④，，，，为正整数）． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 解：①，，为正整数），，能构成直角三角形； ②，，为正整数），，不能构成直角三角形； ③，，，为正整数），，能构成直角三角形； ④，，，，为正整数），，能构成直角三角形． 故选：． 【变式1】（2021秋•连云港期中）如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，与交于点，则的长是 　　． 解：，， 是的垂直平分线． ． ， 在中，由勾股定理得：． ． ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 故答案为：． 题型2：勾股定理之图形折叠模型 【例2】（2024春•高新区校级期末）如图，矩形纸片，，，点为边上一动点，将矩形纸片沿折叠，折叠后与相交于点． （1）为何值时，点与点重合； （2）当长为何值时，△的面积最大？并求出面积的最大值． 解：（1）当点与点重合时，如图， 四边形为矩形， ， 由折叠可知，， ， ， 为时，点与点重合； （2）如图， 由折叠知，， ， ， ，即， ， ，而的长度不变， 当最大时，△的面积最大， 又 最大时，△的面积最大， 而在△中，只要当最大时，就最大， 当最大时，最大， 设，则， 在△中，， ， 解得：， ， ， 当时，△的面积最大值为10． 【变式】（2024•铜山区二模）如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，，将沿翻折得△，连接，当　或　时，是以为腰的等腰三角形． 解：设，则， 由翻折得：， 分两种情况： ①当时，， 四边形是矩形， ， 由勾股定理得：， 解得：， ； ②当时，如图4，过点作于点， ， ， ， 沿翻折得， ， ， ，， ， ， ， ， 即， 解得：； 综上所述：的值为或． 题型3：勾股定理之赵爽线图模型 【例3】（2022秋•工业园区校级期中）如图，在弦图中，正方形的对角线与正方形的对角线交于点，对角线交正方形于，两点，记面积为，面积为，若，，则的值为 　16　． 解：由题意可得， ，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形为正方形， ，即， 在和中， ， ， ，即点为正方形的中心， 如图，过点作于点， ，， ，， 在中， 由勾股定理得， ，， 则，， 设，，则， ， ， ． 故答案为：16． 【变式】（2024春•江阴市期中） 【回顾旧知】在学习“乘法公式”时，我们分别从两个不同的角度计算如图1所示的正方形的面积，从而得到公式：．【类比探究】用图2中四个完全一样的直角三角形可以拼成图3的大正方形，请根据图3，利用图形的面积关系，推导、、之间满足的关系式，写出推理过程． 【拓展应用】利用图3中探究的关系式解答下列问题： ①图3中如果大正方形的面积是25，且，则小正方形的面积为 　1　． ②连接图3中的四条线段得到图4的新图案，若，，则图4中阴影部分的周长为 　　． ③利用图2中八个完全一样的直角三角形可以拼成图5的大正方形，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，则三个正方形的面积、、满足的关系式是 　　． 解：【回顾旧知】大正方形的边长为， 大正方形的面积为． 大正方形由四个直角边长为、的直角三角形和一个边长为的小正方形组成， 大正方形的面积为：． ． ． ． 【拓展应用】①大正方形的面积是25， ． ． ， ． ． ． ， 小正方形的面积为1． 故答案为：1； ②，， ． 由题意得：， ． 阴影部分的周长． 故答案为：36； ③由题意得：，，， ． 故答案为：． 题型4：勾股定理之大树折断模型 【例4】（2014秋•连云港期中）台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，求旗杆在什么位置断裂的？ 解：设旗杆未折断部分长为米，则折断部分的长为， 根据勾股定理得：， 可得：，即距离地面6米处断裂． 【变式】（2024春•兴化市期末）如图，为的直径，为上一点，点为半圆的中点，交于点，若，，则的长为 　　． 解：如图所示，连接，过点作于点， ， 为的直径， ， ，， ， ， 的面积， ， ， 在中， ， 点为半圆的中点， ，即， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型5：勾股定理之风吹荷花模型 【例5】（2014秋•东台市期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？ 解；设水深为尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：（尺， 芦苇的长度（尺， 答：水池深12尺，芦苇长13尺． 【变式】（2020秋•天宁区校级期中）“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．问水深和芦苇长各多少？（画出几何图形并解答） 解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺， 因为尺，所以尺 在△中，， 解之得， 即芦苇长13尺，水深12尺． 题型6：勾股定理之蚂蚁行程模型 【例6】（2011秋•亭湖区校级期中）如图，有一圆柱，其高为，底面半径为，在圆柱下底面点处有一只蚂蚁，它想得到上底面处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 　15　．取 解：圆柱展开图为长方形， 则，所在的长方形的长为圆柱的高，宽为底面圆周长的一半为， 蚂蚁经过的最短距离为连接，的线段长， 由勾股定理得． 故蚂蚁经过的最短距离为． 【变式】（2017秋•新区期中）如图所示，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程取是　　 A． B． C． D．无法确定 解：如图所示：沿将圆柱的侧面展开， 底面半径为， ， 在中， ，， ． 故选：． 题型7：勾股定理之垂美四边形模型 【例7】（2021•武进区校级一模）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 　菱形，正方形　． （2）性质探究：如图2，已知四边形是垂美四边形，试探究其两组对边，与，之间的数量关系，并写出证明过程． （3）问题解决：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，交于点，已知，，求的长． 解：（1）菱形、正方形的对角线垂直， 菱形、正方形都是垂美四边形， 故答案为：菱形，正方形； （2）猜想：． 理由如下：连接，交于点， 四边形是垂美四边形， ， ， 由勾股定理，得， ， ； （3）连接，， ， ，即， 在和中，，，， ， ， 又， ， 又， ， ． 四边形是垂美四边形， 由（2）可知， ，， 由勾股定理，得，，， ， ． 【变式】（2016秋•通州区期末）【图形定义】 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【性质探究】 如图1，四边形是垂美四边形，试探究两组对边，与，之间的数量关系，并证明你的结论； 【拓展应用】 如图2，中，，分别以和为直角边向外作等腰和等腰，连接，若，，求的长． 解：（1）结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等． （或． 证明：设与相交于点． ， ， 由勾股定理得，， ， ； （2）连接，相交于点，交于点． ， ，即， 又，， ， ，又， ，即， 四边形是垂美四边形， 由（1）得，， ，， ，，， ， ． 基础夯实训练 1．（2024·四川成都·二模）如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为(　　) A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【思路点拨】根据垂径定理，得，且，解答即可． 本题考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握两个定理是解题的关键． 【规范解答】解：根据垂径定理，得， 根据勾股定理，得， 故． 故选：C． 2．（16-17八年级下·贵州遵义·期中）如图，字母所代表的正方形的边长是（　　） A．194 B．144 C．13 D．12 【答案】D 【思路点拨】本题考查了勾股定理，求一个数的算术平方根的运用，根据题意，的面积，可得正方形的面积，再求算术平方根即可． 【规范解答】解：根据题意可得，的面积， ∴正方形的面积为， ∴正方形的边长为， 故选：D ． 3．（20-21九年级上·河南周口·期中）《九章算术》书上一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈尺）设木杆长尺，依题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是由实际问题抽象出直角三角形，从而运用勾股定理解题． 当木杆的上端与墙头平齐时，木杆与墙、地面构成直角三角形，设木杆长为尺，则木杆底端离墙有尺，根据勾股定理可列出方程． 【规范解答】解：如图，木杆长为尺，则木杆底端B离墙的距离即的长有尺， 在中， ， ∴， 故选：A． 4．（12-13九年级上·四川成都·期中）如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要查了解直角三角形，勾股定理及其逆定理．取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理可证得，进而根据正弦的定义，即可求解． 【规范解答】解：如图，取格点D，连接，    根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．（19-20九年级上·山东济南·期中）如图，已知E，F分别为正方形的边的中点，与交于点M，O为的中点，则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【思路点拨】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，证明，得出，通过导角证明，可判断①；根据可判断②；证明，根据对应边成比例可判断③；过点M作于点N，证明，结合勾股定理可判断④． 【规范解答】解：在正方形中，，， E，F分别为边的中点， ． 在和中，， ， ． ， ， 故①正确； 是的中线， ， ， 故②错误； 设正方形的边长为，则， 在中，． ，， ， ，即， 解得，， ， ， 故③正确； 如图，过点M作于点N， ，， ， ，即， 解得，， ． 根据勾股定理，得， ，， ． 故④正确． 综上所述，正确的结论有①③④共3个， 故选B． 6．（2019·江苏徐州·二模）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是 ． 【答案】10 【思路点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识． 先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆直径等于斜边求出即可． 【规范解答】解：在中，，，， ， 其外接圆的直径为10． 故答案为：10． 7．（2023·山东东营·中考真题）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 【答案】26 【思路点拨】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设寸，则寸，由垂径定理得到寸，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：设寸，则寸， ，是直径， 寸， 在中，由勾股定理得， ， ， 寸， 故答案为：26． 8．（2024·江苏扬州·三模）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查勾股定理、解一元二次方程，设，，根据题意得到关于b的一元二次方程，然后解方程即可． 【规范解答】解：由题意，设，，则， ∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1， ∴，，即， ∴，则， 解得或（舍去）， 则， 故答案为：3． 9．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，②作直线分别与，，交于点，，，若，，则 ． 【答案】 【思路点拨】如图，连接，由作图可知垂直平分线段，由垂直平分线的性质，矩形的性质勾股定理可得，再证，得到，由此即可求解． 【规范解答】解：如图，连接， 由作图可知垂直平分线段， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查矩形的性质，尺规作垂直平分线及其性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质的综合．掌握垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质是解题的关键． 10．（2023·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，过点A作轴于点D，点O是线段的中点，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)试判断在第二象限的反比例函数图象上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)）反比例函数表达式为 (2)反比例函数图象上存在点，使得，点的坐标为 【思路点拨】本题考查考查了锐角三角函数、用待定系数法求反比例函数表达式、点在图象上的坐标特征，解题的关键是掌握反比例函数、一次函数的图象与性质． （1）利用锐角三角函数的定义和勾股定理求出的长，进而求出点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的表达式． （2）先设出点的横坐标，利用的长和点的坐标求出的面积，进而求出的面积，再利用面积公式进行求解． 【规范解答】（1）解：轴于点，，， ， ． ， 点是线段的中点， ． ， 代入，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：设点的横坐标为． 由（1）知，， ， ． 过点P作于点E， ∵， ∴， 解得， ， 此时，点的坐标为． 综上，反比例函数图象上存在点，使得，点的坐标为． 11．（2023·江苏无锡·一模）如图，以为直径的经过的顶点，是的中点，连接、分别交于点、． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【思路点拨】（1）由圆周角定理和垂径定理可得，可得结论； （2）由相似三角形的性质可得，设，则，分别求出，，由勾股定理可求的值，即可求解． 【规范解答】（1）证明：点是的中点，过圆心， ，， 是直径， ， 又， ； （2）解：， ， 设，则， ，， ， ， ， ，， ， ， （负值舍去）， ， 的面积． 【考点评析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理的推论及圆周角定理，三角形中位线定理等知识，证明三角形相似是解题的关键． 12．（2024·江苏苏州·二模）图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面 示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为37°，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．（结果精确到十分位．参考数据：，，，） (1)求图中到一楼地面的高度； (2)求日光灯到一楼地面的高度． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题、解直角三角形的应用—坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于，设，根据坡度比和勾股定理建立方程，解方程即可求出，从而求得答案； （2）过点作于交于，过点作于交于，先根据（1）的结论求出，再根据的正弦值即可求出，从而求出即可． 【规范解答】（1）解：过点作于，如图（2）所示：    设， 的坡度为， ， ， 在中，由勾股定理得， 解得：， ，． 答：到一楼地面的高度为； （2）解：过点作于交于，过点作于交于，    则，四边形、四边形是矩形，， ，，， 由（1）可知，， ， 在中，， ， ， 答：日光灯到一楼地面的高度约为． 13．（2019九年级·黑龙江大庆·学业考试）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【思路点拨】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【规范解答】（1）证明：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ， 在中，， ， ， ， ． 14．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【思路点拨】（1）先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论； （2）由菱形的性质得，，，再由勾股定理得，然后由菱形面积公式得，即可解决问题． 【规范解答】（1）证明：∵，， ∴，四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， 即的长为． 【考点评析】本题考查了菱形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识．掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 15．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 【答案】(1)证明见解析 (2)图见解析 (3)或 【思路点拨】（1）证，根据“关联点”的定义即可得结论； （2）以为直径作，过点作的垂线，交于，由圆周角定理可得，由（1）可得，以为圆心，为半径作圆，在直线右侧的上取点作即可得答案； （3）分类讨论，①当时，根据第二问可得出锐角三角形时C的位置，再利用勾股定理求出临界值范围即可，②当时，同①方法． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D是点C的“关联点”． （2）解：如图，①作线段的垂直平分线，交于点； ②以为圆心，为半径作圆； ③过作交于点； ④以为圆心，为半径画圆，则点在上且在直线右侧．连接、，即为所求， 证明：∵在以为直径的圆上运动， ∴， 由（1）可知：， ∵， ∴． （3）①当时， 如图所示，结合第（2）问，我们发现当点C在直线左侧、A的右侧时，是锐角三角形， 此时， ∵，且，， 在中，， 在中，， ； ②当时，同理可得：； 综上所述，或． 【考点评析】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识和正确理解题意是解题的关键． 能力拔高训练 16．（2023·江苏南京·中考真题）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里． 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大意：如图， 在中，里，里，里，则的面积是（   ） A．80 平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里 【答案】C 【思路点拨】本题考查了三角形面积，勾股定理，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边找到突破点．主要利用了勾股定理进行解答．过点作，利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式求出的面积即可． 【规范解答】解：如图，过点作于， 设里，则里， 在中，， 在中，， ， ， 解得， 在中，（里， 的面积（平方里）， 故选：C 17．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，边长为的正方形中，交于点，正方形绕着点旋转，直线与直线交于点，当时， 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】设交于M，交于N，交于O，作于T交于R．证明，得到，再证明，得到，再证明，，则，由勾股定理得到，则，，证明四边形是矩形，得到，则，则． 【规范解答】解：如图，设交于M，交于N，交于O，作于T交于R． ∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【考点评析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 18．（2024·江苏扬州·三模）如图，正方形中，为的中点，于延长交于点延长交于点于，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【思路点拨】根据题意可证即可判定①；如图所示，过点作于点，，交延长线于点，可证四边形是矩形，再证，可得四边形是正方形，由正方形的性质可判定②；如图所示，过点作于点，于点，可得四边形是正方形，，再证，由此即可判定③；设，运用相似三角形的判定和性质可得，由此可判定④；由此即可求解． 【规范解答】解：①， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴，故①正确； ②， 如图所示，过点作于点，，交延长线于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由①得，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，故②正确； ③， 如图所示，过点作于点，于点， 同理可得，四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④， 根据③中图示可得，， 设，，则， ∵， ∴， ∴, 根据勾股定理可得，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，即，故④错误； 综上所述，正确的有：①②③， 故选：． 【考点评析】本题主要考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合，掌握正方形的性质，相似三角形的判定和性质的综合运用是解题的关键． 19．（16-17九年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，是半的直径，点在半圆上，，，是上的一个动点，连接，过点作于，连接，的最小值为 ．    【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查了勾股定理、点与圆的位置关系等知识．取的中点，连接、，在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动，当、E、B三点共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题． 【规范解答】解：如图，取的中点，连接、，    ∵， ∴， ∴在点D移动的过程中，点E在以为直径的圆上运动， ∵是直径， ∴， 在中，∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴当、E、B共线时，的值最小，最小值为， 故答案为：． 20．（2022·黑龙江鸡西·一模）如图，是的弦，半径于点C，为直径，，，则线段的长为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了中位线的判定与性质、垂径定理的应用，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，先根据勾股定理列式计算，得出半径，根据分别是，的中点，得出，即可利用勾股定理作答． 【规范解答】解：连接，如图    ∵是的弦，半径于点， ∴ 在中， 解得 ∵分别是，的中点 ∴是的中位线 ∴ ∵为直径 ∴ 在， 故答案为：． 21．（2018·江苏南京·一模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 取的中点，作于点，取上的圆心，连接，设，利用勾股定理求解即可． 【规范解答】解：取的中点，作于点，取上的圆心，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， cm， 设，则， ∴， ∵cm， 在直角三角形中，， 即：， 解得： 故选：B． 22．（2024·上海嘉定·二模）如图在圆O中，是直径，弦与交于点E，如果，点M是的中点，连接，并延长与圆O交于点N，那么 ．    【答案】/ 【思路点拨】本题主要考查圆有关性质．熟练掌握垂径定理推论，等腰直角三角形性质，是解决问题的关键． 由题意可知，则， 根据垂径定理推论得到，结合可得是等腰直角三角形，求得，即可求得． 【规范解答】解：∵在圆O中，是直径，， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 23．（2023·江苏宿迁·一模）如图，在矩形中，，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，延长交于点，则的长为 ． 【答案】 【思路点拨】过点作的延长线于点，设与交于点，根据矩形性质和翻折性质，设，，利用勾股定理求出的值，证明，求出，然后证明，得，再由，得，求出，，证明，对应边成比例即可求出的长． 【规范解答】解：如图，过点作的延长线于点，设与交于点， 四边形是矩形， ，，， ， 由翻折可知：， ， ， 由翻折可知：，， ， ， 设， ， 在中，根据勾股定理得： ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【考点评析】本题是相似形的综合题，难度大，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是作出辅助线构造相似三角形． 24．（2024·江苏南通·三模）如图，已知半圆 的直径为 ，点 在半径 上，为 的中点，点 在弧 上，以、为邻边作矩形 ，边 交于点 ，连接，并延长交 于点 ，若，则 的值为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了圆周角定理，矩形的性质，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质，综合运用这些知识是解题关键. 先证明为的垂直平分线，是的垂直平分线，为的垂直平分线，设.再利用射影定理得故再计算即可. 【规范解答】过作延长线交于，过作延长线交于， 连. ， ∴为的垂直平分线. ∵矩形， ∴是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ∴为的垂直平分线，设， ， ∵为 的中点， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 25．（2023·陕西西安·二模）如图，在平行四边形中，，，，点，分别为，的中点，点在边上运动，将沿折叠，使得点落在处，连接，点为中点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【思路点拨】根据三角形中位线定理可得，知当取得最小值时，取得最小值，由折叠知，点在以点为圆心，的长为半径的半圆弧上运动，当点运动到线段上时，取得最小值，为，过点作于点，根据的直角三角形的性质可得的长与的长，根据勾股定理求出的长，进一步可得的最小值，即可求出的最小值． 【规范解答】解：连接，，过点作于点，如图所示，则， ∵点为的中点，点为中点， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值， ∵平行四边形中，，点为的中点， ∴， 由折叠知，， ∴点在以点为圆心，的长为半径的半圆弧上运动， 当点运动到线段上时，取得最小值，最小值为， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 【考点评析】本题主要考查了平行四边形折叠．熟练掌握平行四边形性质，折叠性质，三角形中位线定理，含的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，是解决问题的关键． 26．（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线 (2)若，，则的长 【答案】(1)见解析 (2)6 【思路点拨】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理的推论，全等三角形的性质和判定，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）连接，如图，根据圆周角定理得到，即，求得，得到，根据切线的判定定理得到答案； （2）根据勾股定理得到，求得，根据切线的性质得到根据勾股定理即可得出结论． 【规范解答】（1）证明：连接，如图， 为直径， ，即， 又， ， ， ， 即， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：． 27．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，是的直径，是一条弦，D是弧的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【思路点拨】（1）根据D是的中点，于点E，得到，得到即可得证； （2）根据，设，，运用勾股定理，得到，结合，得到，运用勾股定理，得到，从而得到，，在中，利用勾股定理计算x即可． 【规范解答】（1）∵D是的中点， ∴， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）∵，是的直径， ∴， ∵， 设，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴的半径为5． 【考点评析】本题考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数，熟练掌握垂径定理，勾股定理，圆周角定理，正弦函数是解题的关键． 28．（2023·江苏镇江·模拟预测）如图，在平行四边形中，点为上一点，点与点关于对称． (1)连接，，，已知与交于点，． ①求证：四边形是菱形． ②若点为的中点，求证：； (2)若四边形是正方形，连接，，，当是直角三角形时，求的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)1或 【思路点拨】（1）①根据轴对称的性质和平行线的性质知，，，，则，从而得出四边形是菱形； ②由中位线定理知，而，即可得出结论； （2）若时，则、、三点重合，得，当时，则为等腰直角三角形，当时，不存在． 【规范解答】（1）证明：①如图1， 点，点关于对称． ，，，， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． ②如图，由得①得四边形是菱形， ， 又， ， ； （2）解：四边形是正方形，是直角三角形，则有以下情况： Ⅰ．第一种情况：若时，则、、三点重合，得， Ⅱ．第二种情况：当时，如图， 四边形为正方形， ， ， 点与点关于对称， ，， 点为上一点， 为与的交点， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在中，， 即， Ⅲ．点为上一点，所以不存在， 综上所述：若四边形是正方形，是直角三角形，的值为1或． 【考点评析】本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，运用分类讨论思想是解题问题（2）的关键． 29．（2024·江苏苏州·一模）图1，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点． (1)请直接写出点的坐标； (2)若动点满足，求此时点的坐标； (3)如图2，若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，当时，求此时点的坐标； (4)如图3，若为线段上一点，且，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得线段，连接，当取最小值时，请直接写出的最小值和此时线段扫过的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4)的最小值为4， 【思路点拨】（1）利用勾股定理求出即可； （2）如图1中，过点作于点．设，构建方程求出，再利用相似三角形的性质求出即可； （3）如图2中，设交于点．利用相似三角形的性质求出，再求出，可得结论； （4）如图3中，以为边向右作等边，连接，延长交轴于点，过点作于点．于点，过点作于．证明，推出，推出点在直线上运动，当点与重合时，的值最小． 【规范解答】（1）解：如图1中，在中，，，， ， ； （2）解：如图1中，过点作于点． ， ， 设， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图2中，设交于点． ，， ， ， 由翻折的性质可知， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，； （4）解：如图3中，以为边向右作等边，连接，延长交轴于点，过点作于点．于点，过点作于． ， ， ，， ， ， 点在直线上运动，当点与重合时，的值最小， ，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， 的最小值为4， ，， 是等边三角形， ，即， 线段扫过的面积． 【考点评析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 30．（2024·江苏连云港·模拟预测）《数学实验手册》中有一个实验主题叫做“打印纸中的数学”，该实验中使用的打印纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一标准，打印纸被广泛的应用于我们的生活和生产实践中．      (1)观察发现：如图，将纸次折叠，发现第次的折痕与纸较长的边重合、由此可求出纸较长边与较短边的比为________； (2)探究迁移：如图，将一张纸沿经过，两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点的直线折叠，使点落在上（为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点、点在是否为的中点？请说明理由； (3)拓展应用：利用一张纸经过裁剪，可获得一张边长为的正方形纸片．进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明：是的黄金分割点． 【答案】(1)； (2)理由见解析； (3)理由见解析． 【思路点拨】（）设纸较长边的长为，较短边长为，易求得第一次折痕长为，根据第次的折痕与纸较长的边重合得到，进而可求解； （）设，，根据矩形和折叠性质得到，进而证得，由推导即可； （）延长相交于点，由正方形和折叠性质以及勾股定理可求得，再根据折叠性质和等角对等边得到，证明，进而可求得，即可证得结论． 【规范解答】（1）设纸较长边的长为，较短边长为，由题意，得第一次折痕长为， ∵第次的折痕与纸较长的边重合， ∴，即， 故答案为：； （2）点是的中点，理由如下：由（）得， 设，， 由折叠使得点和点重合得，则， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点是的中点； （3）如图，延长相于点，    ∵四边形是正方形， ∴，，， 由折叠性质得，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，即， ∴是的黄金分割点． 【考点评析】本题考查了矩形与折叠性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，黄金分割等知识，解题的关键是熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形 第19讲 直角三角形 （思维导图+10个考点讲练+7种解题方法题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维引航 2 考点突破 考法探究 3 重点考点一 直角三角形的性质与判定 3 重点考点二 勾股定理 4 重点考点三 勾股定理逆定理 5 第一部分：常考考点讲练 6 考点1：直角三角形的性质 6 考点2：含30度角的直角三角形 7 考点3：直角三角形斜边上的中线 7 考点4：勾股定理 8 考点5：勾股定理的证明 9 考点6：勾股定理的逆定理 10 考点7：勾股数 11 考点8：勾股定理的应用 12 考点9：平面展开-最短路径问题 13 考点10：等腰直角三角形 14 第二部分：解题方法突破题型洞悉 15 题型1：直角三角形中的锐角平分线模型 15 题型2：勾股定理之图形折叠模型 16 题型3：勾股定理之赵爽线图模型 16 题型4：勾股定理之大树折断模型 18 题型5：勾股定理之风吹荷花模型 18 题型6：勾股定理之蚂蚁行程模型 19 题型7：勾股定理之垂美四边形模型 19 分层训练 巩固提升 21 基础夯实训练 21 能力拔高训练 26 考点要求 新课标要求 命题预测 直角三角形的性质与判定 · 理解直角三角形的概念. · 探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形. 该模块内容在中考中一直是较为重要的几何考点，考察难度为中等偏上，常考考点为:直角三角形的性质定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理与实际问题等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是考察的重点.出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸.结合以上考察形式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三角形常考的考察方向. 勾股定理 · 探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题. 重点考点一 直角三角形的性质与判定 直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余. 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形. 2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。 面积公式：S= (其中：c为斜边上的高，m为斜边长) 重点考点二 勾股定理 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，，,,. 勾股定理的证明方法（常见）： 方法一（图一）：，，化简可证． 方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为 大正方形面积为，所以 方法三（图三）：，，化简得证 图一 图二 图三 勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数. 常见的勾股数：如；；；等. 判断勾股数的方法：1）确定是三个正整数a，b，c； 2）确定最大的数c； 3）计算较小的两个数的平方是否等于. 1. 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形. 2. 如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 3. 应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是a2+c2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2． 4. 每组勾股数的相同整数倍也是勾股数. 重点考点三 勾股定理逆定理 勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边. 1. 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形 2. 定理中a，b，c及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边. 第一部分：常考考点讲练 考点1：直角三角形的性质 【例1】（2024•姜堰区一模）在中，，，为边上的一点，若线段上存在一点到点的距离等于，则的取值范围为 　　 ． 【变式1】（2023•邗江区二模）如图，，线段的两个端点分别在射线、上滑动，且，以为直角边在点的异侧作，且，，问滑动过程中的最大值为 　　． 【变式2】（2018•无锡）如图，在中，，，，，点是边上一点，连接，将沿翻折得到． （1）若，，且，求的长； （2）连接，若四边形是平行四边形，求与之间的关系式． 考点2：含30度角的直角三角形 【例2】（2024•玄武区二模）如图，在中，，，，、分别是、边上的动点，且，则线段的最小值为 　　． 【变式1】（2022•邳州市一模）如图，在中，，，延长到点，使，连接，若，则的长为 　　． 【变式2】（2020•徐州）如图，，在上截取．过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；过点作，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；按此规律，所得线段的长等于　　． 考点3：直角三角形斜边上的中线 【例3】（2023•天宁区校级二模）如图，是△的中线，是△的高线，，，，则点到的距离是 　　． 【变式1】（2022•兴化市二模）中，，．当变化时，斜边上总存在、两点，使得、两点不重合），则的取值范围为 　　． 【变式2】（2017•常州模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点、点、，，点在以为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足，则的最小值是　　． 考点4：勾股定理 【例4】（2024•新吴区二模）如图，已知等边，，延长至点，使得，以为直角边向右作，使，为斜边的中点，连接，随着边长的变化，长也在变化，则长的最小值为　　 A． B．7 C． D． 【变式1】（2024•六合区校级三模）如图，在中，，，，点，分别在边，上，为的中点，若，则的长的最小值为 　　． 【变式2】（2022•锡山区校级三模）“勾股图”有着悠久的历史，欧几里得在《几何原本》中曾对它做了深入研究．如图，在中，，分别以的三条边为边向外作正方形．连接，，，分别与，相交于点，．若，则　　，的值为 　　． 考点5：勾股定理的证明 【例5】（2024•南通）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为　　 A．12 B．13 C．14 D．15 【变式1】（2024•泰兴市一模）用四个全等的直角三角形围成一个如图1大正方形，中间是一个小正方形，这个图形是我国三国时期赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．现用如图2的两种直角三角形各两个围成一个如图3的四边形，若知道图3中阴影部分的面积，则一定能求出图3中　　 A．四边形的面积 B．四边形的面积 C．的面积 D．的面积 【变式2】（2022•启东市二模）如图，的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上． （1）　　． （2）利用正方形网格，证明（1）中的结论． 考点6：勾股定理的逆定理 【例6】（2022•滨海县模拟）如图所示的网格是正方形网格，则　　（点，，，，是网格线交点）． 【变式1】（2019•淮阴区二模）如图，已知中，，，，是的垂直平分线，交于点，连接，则　　． 【变式2】．（2018•镇江一模）中，，，，为边上一动点，过线段上的点作，交边于点，交边于点，点为中点．若四边形的面积为18，则的最大值　　． 考点7：勾股数 【例7】（2023•南通）勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数，，，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则　　（用含的式子表示）． 【变式1】（2022•江都区二模）清代扬州数学家罗士琳痴迷研究勾股定理，提出推算勾股数的“罗士琳法则”．其中有一个法则是“如果是大于2的偶数，那么，的一半的平方减1，的一半的平方加1是一组勾股数．” （1）按照这个法则，写出2组不同的勾股数 　　，　　（最大数不超过． （2）用等式表示这三个勾股数的数量关系并证明． 【变式2】（2018•常州模拟）（1）阅读理解：我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如：5、12、13；9、40、41；但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3、4、5； 是三个连续正整数组成的勾股数． 解决问题：①在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？ 答：　　，若存在，试写出一组勾股数：　　． ②在无数组勾股数中，是否还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由． ③在无数组勾股数中，是否存在三个连续奇数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由． （2）探索升华：是否存在锐角三边也为连续正整数；且同时还满足：；？若存在，求出三边的长；若不存在，说明理由． 考点8：勾股定理的应用 【例8】（2020•秦淮区一模）在以下列长度为边长的4个正方形铁片中，若要剪出一个直角边长分别为和的直角三角形铁片，则符合要求的正方形铁片边长的最小值为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•盱眙县校级一模）如图，边长为1的6个小正方形拼长方形后放置在内，长方形的两个顶点分别落在边，上，设点，为长方形的格点，连接，恰好经过格点，则的长为 　　． 【变式2】（2023•南通二模）我国明代数学著作《算学宝鉴》中记载一个问题：“门厅一座，高广难知．长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺．两隅斜进，恰好方齐．请问三色，各该有几？”译文：现在有一座门（矩形），不知道高度和宽度．如果拿支长竹竿横着过，门的宽度比竹竿的长度少四尺；拿竹竿竖着过，竹竿的长度比门的高度多二尺；沿对角线斜着进，恰好通过．问门的高度、宽度及竹竿的长度各是多少尺？设竹竿的长度为尺，可列方程为 　　 ． 考点9：平面展开-最短路径问题 【例9】（2024•建邺区二模）如图，用3个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是　　 A． B． C．3 D．4 【变式1】（2023•广陵区校级四模）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为 　　（杯壁厚度不计）． 【变式2】（2024秋•工业园区校级月考）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是　　尺． 考点10：等腰直角三角形 【例10】（2023•淮阴区二模）如图，已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，其中点在直线上，若，则的度数为 　　． 【变式1】（2024•铜山区模拟）如图，中，，是上的一点，，过点作，并截取． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）延长至，使得，连结并与的延长线相交于点，求的度数． 【变式2】（2023•邗江区校级二模）（1）请用一副三角板画一个角等于； （2）请用无刻度的直尺和圆规作一个角等于，不写作法，保留作图痕迹： （3）已知中，，，作边的垂直平分线，以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接，请按要求画出图形，并求出的度数． 第二部分：解题方法突破题型洞悉 题型1：直角三角形中的锐角平分线模型 【例1】（2022秋•江阴市期中）以下四组代数式作为的三边，能使为直角三角形的有　　 ①，，为正整数）； ②，，为正整数）； ③，，，为正整数）； ④，，，，为正整数）． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式1】（2021秋•连云港期中）如图，在中，，，，点在边上，，，垂足为，与交于点，则的长是 　　． 题型2：勾股定理之图形折叠模型 【例2】（2024春•高新区校级期末）如图，矩形纸片，，，点为边上一动点，将矩形纸片沿折叠，折叠后与相交于点． （1）为何值时，点与点重合； （2）当长为何值时，△的面积最大？并求出面积的最大值． 【变式】（2024•铜山区二模）如图，在矩形中，，，点、分别在边、上，，将沿翻折得△，连接，当　　时，是以为腰的等腰三角形． 题型3：勾股定理之赵爽线图模型 【例3】（2022秋•工业园区校级期中）如图，在弦图中，正方形的对角线与正方形的对角线交于点，对角线交正方形于，两点，记面积为，面积为，若，，则的值为 　　． 【变式】（2024春•江阴市期中） 【回顾旧知】在学习“乘法公式”时，我们分别从两个不同的角度计算如图1所示的正方形的面积，从而得到公式：．【类比探究】用图2中四个完全一样的直角三角形可以拼成图3的大正方形，请根据图3，利用图形的面积关系，推导、、之间满足的关系式，写出推理过程． 【拓展应用】利用图3中探究的关系式解答下列问题： ①图3中如果大正方形的面积是25，且，则小正方形的面积为 　　． ②连接图3中的四条线段得到图4的新图案，若，，则图4中阴影部分的周长为 　　． ③利用图2中八个完全一样的直角三角形可以拼成图5的大正方形，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，则三个正方形的面积、、满足的关系式是 　　． 题型4：勾股定理之大树折断模型 【例4】（2014秋•连云港期中）台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8米处，已知旗杆原长16米，求旗杆在什么位置断裂的？ 【变式】（2024春•兴化市期末）如图，为的直径，为上一点，点为半圆的中点，交于点，若，，则的长为 　　． 题型5：勾股定理之风吹荷花模型 【例5】（2014秋•东台市期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如图所示，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．那么水深多少？芦苇长为多少？ 【变式】（2020秋•天宁区校级期中）“引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的（如图）．问水深和芦苇长各多少？（画出几何图形并解答） 题型6：勾股定理之蚂蚁行程模型 【例6】如图，有一圆柱，其高为，底面半径为，在圆柱下底面点处有一只蚂蚁，它想得到上底面处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 　　．取 【变式】（2017秋•新区期中）如图所示，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程取是　　 A． B． C． D．无法确定 题型7：勾股定理之垂美四边形模型 【例7】（2021•武进区校级一模）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：我们已经学习了平行四边形、菱形、矩形、正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 　　． （2）性质探究：如图2，已知四边形是垂美四边形，试探究其两组对边，与，之间的数量关系，并写出证明过程． （3）问题解决：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，交于点，已知，，求的长． 【变式】（2016秋•通州区期末）【图形定义】 我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 【性质探究】 如图1，四边形是垂美四边形，试探究两组对边，与，之间的数量关系，并证明你的结论； 【拓展应用】 如图2，中，，分别以和为直角边向外作等腰和等腰，连接，若，，求的长． 基础夯实训练 1．（2024·四川成都·二模）如图，是的弦，若的半径，圆心O到弦的距离，则弦的长为(　　) A．8 B．12 C．16 D．20 2．（16-17八年级下·贵州遵义·期中）如图，字母所代表的正方形的边长是（　　） A．194 B．144 C．13 D．12 3．（20-21九年级上·河南周口·期中）《九章算术》书上一个问题“今有垣高一丈．倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？”其内容表述为：“有一面墙，高1丈，将一根木杆斜靠在墙上，使木杆的上端与墙的上端对齐，下端落在地面上．如果使木杆下端从此时的位置向远离墙的方向移动1尺，则木杆上端恰好沿着墙滑落到地面上．问木杆长多少尺？”（说明：1丈尺）设木杆长尺，依题意，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（19-20九年级上·山东济南·期中）如图，已知E，F分别为正方形的边的中点，与交于点M，O为的中点，则下列结论：①，②，③，④．其中正确结论的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（2019·江苏徐州·二模）在中，，，，则这个三角形的外接圆的直径是 ． 7．（2023·山东东营·中考真题）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸． 8．（2024·江苏扬州·三模）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则 ． 9．（2024·江苏南京·模拟预测）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，②作直线分别与，，交于点，，，若，，则 ． 10．（2023·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，过点A作轴于点D，点O是线段的中点，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)试判断在第二象限的反比例函数图象上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由． 11．（2023·江苏无锡·一模）如图，以为直径的经过的顶点，是的中点，连接、分别交于点、． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 12．（2024·江苏苏州·二模）图（1）为某大型商场的自动扶梯、图（2）中的为从一楼到二楼的扶梯的侧面 示意图．小明站在扶梯起点处时，测得天花板上日光灯的仰角为37°，此时他的眼睛与地面的距离，之后他沿一楼扶梯到达顶端后又沿（）向正前方走了，发现日光灯刚好在他的正上方．已知自动扶梯的坡度为，的长度是．（结果精确到十分位．参考数据：，，，） (1)求图中到一楼地面的高度； (2)求日光灯到一楼地面的高度． 13．（2019九年级·黑龙江大庆·学业考试）如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 14．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，，平分，连接交于点O，过点C作交延长线于点E． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，求的长． 15．（2024·江苏徐州·中考真题）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点”． (1)如图（1），在中，若，于点．试说明：点是点的“关联点”． (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使其同时满足下列条件：①点为点的“关联点”；②是钝角（保留作图痕迹，不写作法）． (3)若为锐角三角形，且点为点的“关联点”．设，，用含、的代数式表示的取值范围（直接写出结果）． 能力拔高训练 16．（2023·江苏南京·中考真题）我国南宋数学家秦九韶的著作《数书九章》中有一道问题：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里， 大斜一十五里． 里法三百步， 欲知为田几何? ”问题大意：如图， 在中，里，里，里，则的面积是（   ） A．80 平方里 B．82平方里 C．84平方里 D．86平方里 17．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，边长为的正方形中，交于点，正方形绕着点旋转，直线与直线交于点，当时， 的值是（　　） A． B． C． D． 18．（2024·江苏扬州·三模）如图，正方形中，为的中点，于延长交于点延长交于点于，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 19．（16-17九年级下·江苏徐州·阶段练习）如图，是半的直径，点在半圆上，，，是上的一个动点，连接，过点作于，连接，的最小值为 ．    20．（2022·黑龙江鸡西·一模）如图，是的弦，半径于点C，为直径，，，则线段的长为 ． 21．（2018·江苏南京·一模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（    ） A． B． C． D． 22．（2024·上海嘉定·二模）如图在圆O中，是直径，弦与交于点E，如果，点M是的中点，连接，并延长与圆O交于点N，那么 ．    23．（2023·江苏宿迁·一模）如图，在矩形中，，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，延长交于点，则的长为 ． 24．（2024·江苏南通·三模）如图，已知半圆 的直径为 ，点 在半径 上，为 的中点，点 在弧 上，以、为邻边作矩形 ，边 交于点 ，连接，并延长交 于点 ，若，则 的值为 ． 25．（2023·陕西西安·二模）如图，在平行四边形中，，，，点，分别为，的中点，点在边上运动，将沿折叠，使得点落在处，连接，点为中点，则的最小值是 ． 26．（21-22九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，以点O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点D，连接，，过点A作交的延长线于点E． (1)求证：是的切线 (2)若，，则的长 27．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，是的直径，是一条弦，D是弧的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 28．（2023·江苏镇江·模拟预测）如图，在平行四边形中，点为上一点，点与点关于对称． (1)连接，，，已知与交于点，． ①求证：四边形是菱形． ②若点为的中点，求证：； (2) 若四边形是正方形，连接，，，当是直角三角形时，求的值． 29．（2024·江苏苏州·一模）图1，在平面直角坐标系中，的直角边在轴的正半轴上，且，斜边，点为线段上一动点． (1)请直接写出点的坐标； (2)若动点满足，求此时点的坐标； (3)如图2，若点为线段的中点，连接，以为折痕，在平面内将折叠，点的对应点为，当时，求此时点的坐标； (4)如图3，若为线段上一点，且，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得线段，连接，当取最小值时，请直接写出的最小值和此时线段扫过的面积． 30．（2024·江苏连云港·模拟预测）《数学实验手册》中有一个实验主题叫做“打印纸中的数学”，该实验中使用的打印纸是由国际标准化组织的定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一标准，打印纸被广泛的应用于我们的生活和生产实践中．      (1)观察发现：如图，将纸次折叠，发现第次的折痕与纸较长的边重合、由此可求出纸较长边与较短边的比为________； (2)探究迁移：如图，将一张纸沿经过，两点的直线折叠，展开后得折痕，再将其沿经过点的直线折叠，使点落在上（为两条折痕的交点），设第二条折痕与交于点、点在是否为的中点？请说明理由； (3)拓展应用：利用一张纸经过裁剪，可获得一张边长为的正方形纸片．进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明：是的黄金分割点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$