第17讲 全等三角形（讲练）（思维导图+7个考点讲练+9种解题方法题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

第四章 三角形 第17讲 全等三角形 （思维导图+7个考点讲练+9种解题方法题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导航 思维引航 2 考点突破 考法探究 3 重点考点一 全等三角形及其性质 3 重点考点二 全等三角形的判定 4 重点考点三 角平分线的性质 7 重点考点四 全等三角形的应用 7 第一部分：常考考点讲练 7 考点1：全等三角形的性质 7 考点2：全等三角形的判定 9 考点3：直角三角形全等的判定 11 考点4：全等三角形的判定与性质 13 考点5：全等三角形的应用 16 考点6：角平分线的性质 21 考点7：线段垂直平分线的性质 24 第二部分：解题方法突破题型洞悉 28 题型1：一线三等角构造全等三角形 28 题型2：手拉手模型-旋转全等 32 题型3：倍长中线模型 36 题型4：平行线＋线段中点构造全等模型 41 题型5：角平分线+垂直构造全等三角形 46 题型6：正方形中的半角模型 50 题型7：等腰三角形中的半角模型 56 题型8：对角互补且邻边相等的半角模型 59 题型9：“边边角”模型 65 分层训练 巩固提升 69 基础夯实训练 69 能力拔高训练 80 考点要求 新课标要求 命题预测 全等三角形及其性质 · 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角. 在中考中，全等三角形主要以选择题、填空题和解答题的简单类型为主．常结合四边形综合考查． 全等三角形的判定 · 掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； · 掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； · 掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等； · 证明定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等； · 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 角平分线的性质 · 探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 全等三角形的应用 · 重点考点一 全等三角形及其性质 全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形. 特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等. 全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 【补充】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”.书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上. 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换. 全等三角形的性质：1）对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． 3）全等三角形的周长相等、面积相等． 1. 形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形. 2. 通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形. 重点考点二 全等三角形的判定 一、全等三角形的判定 1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5.对于特殊的直角三角形：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路. 三、常见的全等三角形模型（基础） 常见的全等三角形模型（基础） 平移模型 模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等． 对称模型 模型分析：所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等． 一线三垂直/一线三等角 模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角 旋转模型 模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况： ①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角； ②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角． 若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目． 若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目． 利用辅助线构造全等三角形： 1）把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律． 2）证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． 重点考点三 角平分线的性质 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 1. 性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等. 重点考点四 全等三角形的应用 利用全等三角形解决实际问题的方法：把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 第一部分：常考考点讲练 考点1：全等三角形的性质 【例1】（2023•泗洪县二模）如图，已知，平分，若，，则的度数是　　 A． B． C． D． 解：，， ，， ， 在四边形中，， ， 平分， ， ， 故选：． 【变式1】（2023•如皋市一模）三个全等三角形按如图所示摆放，则的度数为 　180　． 解：如图所示： 由图形可得：， 三个全等三角形， ， 又， ， 的度数是． 故答案为：180． 【变式2】（2019•六合区模拟）如图，，，，则　2　． 解：，，， ， ， 故答案为：2 考点2：全等三角形的判定 【例2】（2024•武进区校级二模）如图，虽然三角形被纸板挡住了一部分，但是小明仍能画出一个能与这个三角形完全重合的三角形，其数学依据是　　 A． B． C． D． 解：利用“”能判断所画三角形与原三角形全等． 故选：． 【变式1】（2024•盐城三模）如图，中，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为3厘米秒，则当与全等时，的值为 　2.25或3　． 解：中，厘米，点为的中点， 厘米， 若，则需厘米，（厘米）， 点的运动速度为3厘米秒， 点的运动时间为：， （厘米秒）； 若，则需厘米，， ， 解得：； 的值为：2.25或3， 故答案为：2.25或3． 【变式2】（2021•射阳县三模）如图，中，厘米，，厘米，点为的中点．如果点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为3厘米秒，则当与全等时，的值为 　2.25或3　． 解：中，厘米，点为的中点， 厘米， 若，则需厘米，（厘米）， 点的运动速度为3厘米秒， 点的运动时间为：， （厘米秒）； 若，则需厘米，， ， 解得：； 的值为：2.25或3， 故答案为：2.25或3 考点3：直角三角形全等的判定 【例3】（2021秋•高淳区校级月考）如图，在中，，垂足分别为、，、交于点，已知，，则的长是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 解：在中，，， ； ，，（对顶角相等）， （等量代换）； 在和中 ， ； ； ，， ． 故选：． 【变式1】（2022秋•东台市校级月考）经过顶点的一条直线，．，分别是直线上两点，且． （1）若直线经过的内部，且，在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，，则 　　； 　　（填“”，“ ”或“” ； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 　　，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线经过的外部，，请提出，，三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 解：（1）①，， ，， ， 在和中， ， ， ；． ②所填的条件是：． 证明：在中，． ， ． 又， ， 又，， ，， 又， ． （2）猜想：． 证明过程： ，，，， ， 又， ． ，， ． 考点4：全等三角形的判定与性质 【例4】（2024•玄武区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，，点、分别在轴正半轴和轴正半轴上，，则等于　　 A．8 B．9 C．10 D．11 解：过作轴于，轴于， 则， ， ， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， △△， ， ． 故选：． 【变式1】（2024•亭湖区校级模拟）如图，以正方形的两边和为斜边向外作两个全等的直角三角形和，过点作于点，交于点，过点作于点，过点作，交延长线于点，交于点．若，，则的长为 　　． 解：过作于点，交于点， ．， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】．（2024•宝应县二模）如图，中，是边上一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接． （1）求证：； （2）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 证明：（1）是的中点， ， ， ，， ； （2）四边形是菱形． ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，是边上的中线， ， 四边形是菱形． 考点5：全等三角形的应用 【例5】（2020•如皋市一模）如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点，，使，再画出的垂线，使与，在一条直线上，这时测得的长就是的长．为什么？ 解：，理由如下： ，， ． 在和中，， ， ． 【变式1】（2017•盐都区一模）如图1，以的边、为边分别向外作等腰直角和等腰直角，连接、、 （1）证明：； （2）试判断与面积之间的关系，并说明理由； （3）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成，已知中间的所有正方形的面积之和是平方米，内圈的所有三角形的面积之和是平方米，这条小路一共占地　　平方米．（不用写过程） （1）证明：和都为等腰直角三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； （2）与面积相等． 证明：和都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ； （3）解：由（2）知外圈的所有三角形的面积之和等于内圈的所有三角形的面积之和． 这条小路的面积为平方米． 故答案为：． 【变式2】（2018•泰州）对给定的一张矩形纸片进行如下操作：先沿折叠，使点落在边上（如图①，再沿折叠，这时发现点恰好与点重合（如图② （1）根据以上操作和发现，求的值； （2）将该矩形纸片展开． ①如图③，折叠该矩形纸片，使点与点重合，折痕与相交于点，再将该矩形纸片展开．求证：； ②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的点，要求只有一条折痕，且点在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由） 解：（1）由图①，可得， 又， 是等腰直角三角形， ，即， 由图②，可得，而， ， ； （2）①设，则，， ， 如图③，连接，则， ，， ， ， 设，则，由翻折可得，，即， ， 即， 解得，即， 又，， ， ， 又中，， ， ； ②折法：如图，由，可得是等腰直角三角形，平分， 故沿着过的直线翻折，使点落在边上，此时折痕与的交点即为； 折法：如图，由，可得， 由，可得， 又， ，即平分， 故沿着过点的直线折叠，使点落在上，此时，折痕与的交点即为． 考点6：角平分线的性质 【例6】（2023•宝应县二模）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点作于，则的值为　　 A．9 B． C．7.2 D．6 解：如图，过点作交的延长线于点，则， ， ， ， ， 平分， ， 四边形的对角互补， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设， ，， ， ， ，， ， 故选：． 【变式1】（2024•梁溪区校级模拟）已知，用两把完全相同的直尺按如图方式摆放，一把直尺（甲的一边与射线重合，另一边交射线于点，另一把直尺（乙的靠在直尺（甲的处，且另一边与射线重合，作射线．若，则的大小为　　 A． B． C． D． 解：过点作于点，如图所示： 图中是两把完全相同的直尺， ，， 为的平分线， ， ， ， ． 故选：． 【变式2】（2024•泗阳县二模）在中，，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．如果，则的长为 　2　． 解：， ， ， 由题意得：平分， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 故答案为：2． 考点7：线段垂直平分线的性质 【例7】（2024•沛县校级三模）如图，在中，，，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线分别交、于点、，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：，， ， 由作图可知：为的垂直平分线， ， ， ， ； 故选项①正确， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选项②正确， 设，，则， 则， ， ，， ， ， 即， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ， ， ， 故选项③正确， ， ， ， 故选项④正确， 故选：． 【变式1】．（2024•南京三模）如图，在中，、是角平分线，的垂直平分线分别交、于点、、若，，则的长为 　　． 解：在中，，，， ， 是的垂直平分线， ，， 过点作于， ，是角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（2014•溧水县校级模拟）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念． 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． 举例：如图1，若，则点为的准外心． 应用：如图2，为等边三角形的高，准外心在高上，且，求的度数． 探究：已知为直角三角形，斜边，，准外心在边上，试探究的长． 应用：解：①若，连接，则， 为等边三角形的高， ，， ， ， 与已知矛盾，， ②若，连接，同理可得， ③若，由，得， ， 故； 探究：解：，， ， ①若，设，则， ，即， ②若，则， ③若，由图知，在中，不可能． 故或． 第二部分：解题方法突破题型洞悉 题型1：一线三等角构造全等三角形 【例1】如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆交轴于点．已知点，点为上的一动点，以为直角顶点，在左侧作等腰直角三角形，连接，则面积的最小值为 　　． 解：如图，设， 过点作轴，过点作，过点作， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， ，， ，， 点在以为圆心半径为4的圆上， 连接，则， ， 即， 点在以点为圆心，为半径的圆上，（到定点的距离是的点的轨迹）， 以点为圆心，4为半径的圆交轴于点， ， ， ， ， ， 过点作于， 则， ， ， ，即， ， 设点到的距离为， ， 最小时，最小，而， ， 故答案为：． 【变式1】如图，直线与轴、轴分别相交于点、点，以线段为边在第一象限作正方形．反比例函数在第一象限内的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）将正方形沿轴向上平移几个单位能使点落在（1）中所得的双曲线上？ 解：（1）作垂直轴于点， 把代入得， 把代入得， 点，坐标分别为，， ，． ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点坐标为， 反比例函数图象经过点， ， ． （2）把代入得， 向上平移6个单位能使点落在双曲线上． 【变式2】如图，中，，为上一点，是上一点，且，，若，则的长是 　10　． 解：过点作，垂足为， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， 故答案为：10． 题型2：手拉手模型-旋转全等 【例2】如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在轴上，则点到轴的距离为　　 A． B． C． D． 解：设到轴距离为， 由旋转可知， ，， ，，， ， ； 故选：． 【变式1】如图，在和中，已知，，． （1）如图1，求证：； （2）当、、三点在一条直线上时， ①如图2，已知，求的度数； ②如图3，过作交于点，若，的面积为13，求的长． （1）证明：， ， ， 在和中， ， ， ； （2）①同理（1）可得：， ， ， ， ，， ， ， ， ； ②过点作于点， ， ，， ， 令，， ，， ， 的面积为13， ， 四边形的面积， ， ， ， ， ． 【变式2】如图，两条互相垂直的直线、交于点，一块等腰直角三角尺的直角顶点在直线上，锐角顶点在直线上，是斜边的中点．已知，，则　　． 解：连接，过点作，交直线于点， ， △是等腰直角三角形，， ， 是斜边的中点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， △△， ，， ， ， ， ， ， 在△中，， ， ， ， △的面积， 故答案为：． 题型3：倍长中线模型 【例3】在中，，，则边上的中线的取值范围是　　． 解：延长到，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【变式1】（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接． ①证明； ②若，，设，可得的取值范围是 　　； （2）如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． （1）①证明：是的中线， ， 在和中， ， ； ②解：由①知，， ， ， ， ，， ， 在中，， 根据三角形的三边关系得，， ， 故答案为：； （2）证明：如图2，延长，截取，连接，， ，， 即，， ， ， 是中线， ， ，， ， ， ， ． 【变式2】【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是△的中线，且，延长至点，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得△△，其中判定全等的依据为：　　； ②若，，则的取值范围是 　　； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是△的中线，点在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点是边的中点，点在上，，，若，求的长． （1）①解：是△的中线， ， 在△和△中， ， △△， 故答案为：； ②由△△可得， 又， 在△中，由三边关系可得： ，即， 又， 故． 故答案为：． （2）证明：如图2所示，延长至，使． 在△和△中， ， △△． ，， 又， ，， ， 由外角定理有， ． 在△和△中， ， △△． ． 故平分． （3）解：如图3所示， 延长至点，使得， 在△和△中， ， △△． ，， ． ， ． 又， ， 又， △为等边三角形，， 从而，， 在△和△中， ， △△． ，， 又， ， 故△为等边三角形， ． 即． 题型4：平行线＋线段中点构造全等模型 【例4】如图，边长为的等边中，是上中线，点是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值是　　 A． B． C． D． 解：如图，，都是等边三角形， ，，， ， ， ， 是的中线， ， ， ，， 点在射线上运动，作点关于直线的对称点，连接，，则， 由对称可得，， 是等边三角形， ，， ， 点，，三点共线， ， 故选：． 【变式1】已知：是的角平分线，点为直线上一点，，过点作交直线于点，当点在边的延长线上时，如图①易证；当点在边上，如图②；当点在边的延长线上，是的外角平分线时，如图③．写出、与的数量关系，并对图②进行证明． （1）证明：如图①，延长、交于点， 平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）结论：． 证明：如图②，延长、交于点， 平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）结论：． 证明：如图③，延长交于点， 平分， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； 【变式2】已知：如图，，，垂足分别为、，，且． 求证：（1）； （2）． 证明：（1），， ， ， ， 在与中， ， ； （2）， ， ． 题型5：角平分线+垂直构造全等三角形 【例5】如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点． （1）　4　，　　度； （2）当四边形为轴对称图形时，求的长； （3）若是等腰三角形，求的度数； （4）若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度． 解：（1），， ， ， 点是边的中点， ， 平分， ； 故答案为：4，45． （2）四边形为轴对称图形，平分， 对称轴为直线， ； （3）平分， ， 当时， ， ； 当时， ； 当时， ； 综上，的度数为或或． （4）如图，点在上，且，作点关于的对称点， ， ， 平分， ， 在和△中， ， △， ，， ， 当点、、三点共线时，的值最小， 又根据垂线段最短， 当时，有最小值， ， ，， ， ， ． 【变式1】如图，在中，点为边的中点，点在内，平分，，点在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）线段，，之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论． （1）证明：延长交于点， ， ， 在和中， ， ． ． ， 为的中位线， ． ， 四边形是平行四边形． （2）解：． 理由如下： 四边形是平行四边形，． 、分别是、的中点， ． ， ， ． 【变式2】如图，在中，平分，于点，于点，，，则　1.4　． 解：延长与相交于点， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在中，， 的面积， ， ， 解得：， 在中，， 故答案为：1.4． 题型6：正方形中的半角模型 【例6】正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点． （1）如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是 　　； （2）过点作，垂足为，连接，求的度数； （3）在（2）的条件下，当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 解：（1）四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， 故答案为：． （2）①当点在边上时，如图1，过点作，垂足为，延长交于点， 则， 四边形是矩形， ， ，， ， 为等腰直角三 角形，， ， 在和， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ． ②当点在边上时，如图2，过点作，垂足为，延长交延长线于点， 则四边形是矩形， 同理可得， ， 为等腰直角三角形，， ． 综上，的度数为或． （3）①当点在边上时，如图1， Ⅰ．当时， 由（2）①知，为等腰直角三角形，， 设，则， ， 易知，， ， ， ，， ； Ⅱ．当时， 则， 此时，则，即点在与点重合，与题意矛盾． ②当点在边上时，如图2， Ⅰ．当时， 则， 此时， 又， 此时点与点重合，与题意矛盾； Ⅱ．当时， 设，则， ， ， ， ． 综上，． 【变式1】已知：如图，四边形为正方形，点在的延长线上，连接、．（1）求证：△△； （2）若，求证：． 证明：（1）四边形为正方形， ，， 在△和△中， ， △△； （2）四边形为正方形， ， △△，， ， ， ， ， ． 【变式2】如图，正方形的边长为1，、是边、上的动点．若，则的最小值为 　　． 解：方法一：如图，延长到点，使． 四边形为正方形， ，， ， 又，， △△， ，， ， ， ，即， 在△和△中， ， △△， ． 设，，则，． ， ，， 在△中，由勾股定理得：， 即， 整理可得：， ， ， 当时，最小值为． 方法二：如图，延长到点，使． 四边形为正方形， ，， ， 又，， △△， ，， ， ， ，即， 在△和△中， ， △△， ． 作△的外接圆，圆心为， ， ， 过作于点，则， 设，则，， 在△中，， ， ， ， ， 当、、三点共线时取等， 此时， ； 故的最小值为：． 题型7：等腰三角形中的半角模型 【例7】习题课上，张老师和同学们一起探究一个问题：“如图，在中，、分别是、上的点，与相交于点，给出四个条件：①；②；③；④．若在上述四个条件中，选择两个作为已知条件，哪种组合能判定是等腰三角形？”你认为正确的组合方法有　　 A．2种 B．3种 C．4种 D．6种 解：有①②，①③，②④，③④，共4种， ①②， 理由是：， ， ， ， 即， ， 即是等腰三角形； ①③， 理由是：在和中， ， ， ， （已证）， ， 即， 即， 是等腰三角形； ②④， 理由是：在和中， ， ， ， ， ， 即， 即， 是等腰三角形； ③④， 理由是：在和中， ， ， ，， ， ， 即， 即， 是等腰三角形； 故选：． 【变式1】如图，等腰直角三角形中，，，点，在边上，且．若，，则的长为 　　． 解：将逆时针旋转到，连接， ，，．， 是等腰直角三角形，，， ， ， ， 在和中 ， ， ，， ， ，， 在中，由勾股定理得：， 故答案为：． 题型8：对角互补且邻边相等的半角模型 【例8】【问题背景】 如图1：在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 　　． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长． （1）解：如图1， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）解：结论仍然成立； 理由：如图2，延长到点．使．连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图3，延长到点，截取，连接， 在与中， ， ， ，． ，， ， ． 在与中， ， ， ， 的周长． 【变式1】已知，如图，在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且．求证：． 证明：把绕点顺时针旋转的度数得到，旋转到，旋转到，如图， ，，，， ， ， 点、、共线， ， ， 在和中， ， ， ， 而， ， ． 【变式2】问题背景： （1）如图1：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 　　． 探索延伸： （2）如图2，若在四边形中，，．，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 证明：（1）在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为． （2）结论仍然成立； 理由：如图2，延长到点．使．连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 题型9：“边边角”模型 【例9】数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是　　 A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．两点之间线段最短 解：在和中， ， ， ， 此方案依据的数学定理是全等三角形的判定定理边角边． 故选：． 【变式1】（1）问题背景： 如图1，在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 　　． （2）探索延伸： 如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）结论应用： 如图3，等腰直角三角形中，，，点，在边上，且．若，，则的长为 　　． 解：（1），证明如下： 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）结论仍然成立； 理由：延长到点，使，连接，如图， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）过点作，垂足为点，截取，使，连接、， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ，， ， 故答案为：20． 【变式2】如图，△和△均为等腰三角形，，，，点在线段上（与，不重合），连接． （1）证明：△△． （2）若，，求的长． （1）证明：， ， 在△和△中，， △△； （2）解：由（1）知：△△， ， 基础夯实训练 1．（2024秋•赣榆区期中）如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是　　 A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 解：， ，， 在△和△中， ， △△， ， ， ． 故选：． 2．（2024•常州）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点在的平分线上，则　　 A．与一定相等 B．与一定不相等 C．与一定相等 D．与一定不相等 解：根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知：当点在的平分线上时，与一定相等， 故选：． 3．（2023•昆山市模拟）如图，在△中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则△的周长为　　 A．25 B．22 C．19 D．18 解：由题意可得， 垂直平分， ， △的周长是， ， ，， ， △的周长是19， 故选：． 4．（2022•南京二模）如图，在中，点在上，平分，延长到点，使得，连接．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 解：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 5．（2024•海安市二模）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的长等于 　　． 解：连接， 为的垂直平分线， ， 在中，，，， 由勾股定理得， 设的长为，则，在中， 由勾股定理得：， 解得：， 故答案为：． 6．（2023•秦淮区一模）如图，在四边形中，，对角线平分．若，，则的度数是 　　． 解：如图，过作于，于， 对角线平分， ，， ， ， 在与中， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ． 故答案为：． 7．（2023•南京一模）如图，在中，，，，，分别是射线，射线上的点，，的垂直平分线交于点，当点落在上时，长的最小值为 　　． 解：，的垂直平分线交于点， ， 点是外接圆的圆心， 以为圆心，长为半径作外接圆，连接，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 当长最小时长最小， 当时，长最小， ，， ， ， 长的最小值是． 故答案为：． 8．（2024•新吴区二模）如图，在△与△中，与交于点，且，． （1）求证：△△； （2）当时，求的度数． （1）证明：在△和△中， ， △△； （2）△△， ， 又， ， ． 9．（2024•海安市二模）如图，点是内一射线上一点，点、分别是边、上的点，连接，且，．求证：是的平分线． 小星的解答如下： 证明：在和中， ，，， 第一步 第二步 是的平分线．第三步 （1）小星的解答从第 　一　步开始出现错误； （2）请写出你认为正确的证明过程． （1）解：小星的解答从第一步开始出现错误， 故答案为：一； （2）证明：过点作，于点，， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 是的平分线． 10．（2024•高新区二模）如图，在四边形中，，，点为的中点，连接并延长，交于点． （1）求证：； （2）连接，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． （1）证明：， ， 点为的中点， ， 在和中， ， ． （2）解：四边形是菱形， 证明：由（1）得， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． 11．（2022•镇江二模）如图，，，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． （1）证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：，，， ，， ． 12．（2022•泰州）如图①，矩形与以为直径的半圆在直线的上方，线段与点、都在直线上，且，，．点以1个单位秒的速度从点处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为秒． （1）如图②，当时，求半圆在矩形内的弧的长度； （2）在点运动的过程中，当、都与半圆相交时，设这两个交点为、．连接、，若为直角，求此时的值． 解：（1）设与交于点， 当时，， ， ， ， ， 在矩形中，， ， 又， ， 是等边三角形， ， ， 即半圆在矩形内的弧的长度为； （2）连接，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：，， 即的值为8或9． 能力拔高训练 13．（2024•苏州模拟）如图所示，点、、、均在正方形网格格点上，则　　 A． B． C． D． 解：如图，在和中， ， ， ， ， ， 故选：． 14．（2022秋•铜山区校级月考）如图，锐角三角形中，直线为的中垂线，直线为的角平分线，与相交于点．若，，则的度数为何？　　 A． B． C． D． 解：直线为的角平分线， ． 直线为的中垂线， ， ， ， 在中，， 即， 解得． 故选：． 15．（2023•建湖县一模）如图，直线经过的对角线交点，若四边形的面积为，则四边形的面积为　　 A．12 B． C．24 D． 解：如图所示，连接，， 四边形是平行四边形， ，，，，， ，， 在与△中， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， 故选：． 16．（2024•宝应县二模）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是 　3　． 解：，， ， 是的垂直平分线， ， 故答案为：3． 17．（2018•江阴市二模）如图，中，，垂足为，，，点从点出发沿线段的方向移动到点停止，连接，若与的面积相等，则线段的长度是　　． 解：， ， 在中，，， 则由勾股定理知：， ， ， 当时，与的面积相等，此时， ，即， 解得：； 故答案为：． 18．（2017•南京一模）如图，在中，、的垂直平分线、相交于点，若等于，则　8　． 解：连接， ， ， 、的垂直平分线交于点， ，， ，， ， ， 故答案为：8． 19．（2023•宝应县一模）如图，在的正方形网格图形中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，、分别是、上的格点．若点是这个网格图形中的格点，连结、，则所有满足的点有　　 A．3 B．4 C．5 D．6 解：如图，在边上取点，使，连接，， ，， ， ， ， ，， ， ， △是等腰直角三角形， ， 作△的外接圆交网格于、、、， 根据圆周角定理，得， 故选：． 20．（2024•梁溪区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知，将点绕原点逆时针旋转45度得到点，则点的坐标为 　，　． 解：如图，过作轴的垂线，垂足为，绕点顺时针旋转的到线段，过点作的垂线交于点．连接． ， ， ， ， ， ， ． ，， 的坐标为． 所在直线的解析式为． 中，，， ， 点在上． 设点坐标为， ， ， ， 点在第三象限， ，， 点坐标为，． 故答案为：，． 21．（2020•灌云县模拟）如图，在菱形中，，是锐角，于点，是的中点，连接，．若，则的值为　　． 解：延长交的延长线于点． 四边形是菱形， ，， ， ，， ， ， ， ，设， ， ， ， ， 或（舍弃）， ， 故答案为． 22．（2023•灌云县校级模拟）在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点旋转得到线段，连接，，． （1）当时， ①如图1，当点在的边上时，线段绕点顺时针旋转得到线段，则与的数量关系是 　　． ②如图2，当点在内部时，线段绕点顺时针旋转得到线段，①中与的数量关系还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由； （2）当时， ①如图3，线段绕点顺时针旋转得到线段．试判断与的数量关系，并说明理由； ②若点，，在一条直线上，且，线段绕点逆时针旋转得到线段，求的值． 解：（1）①，， 是等边三角形， ，， 将线段绕点旋转得到线段， ，， ， ， 故答案为：； ②仍然成立，理由如下： 由①得，， ， ，， ， ； （2）①，， 是等腰直角三角形， ， 同理可得，， ， ， 即， ， ， ； ②当点在的延长线上时，设， 则，， ， ， 在中，，， ， ， 当点落在上时，设，则，， ， ， ， ， 综上所述，的值为或． 23．（2023•泰州模拟）如图，中，，点在上，交于，将绕点旋转得到△，连结、． （1）求证：； （2）若，在旋转的某一时刻，点恰好在线段上，试判断此时四边形的形状，并说明理由． （1）证明：， ， ， ，， ， ， 绕点旋转得到△， ，， ， 即， ， ． （2）解：四边形是平行四边形． 理由如下：如图，由（1）得，， ，， 由旋转的性质得，，， ， ， 又， ， ， ， ，， ， ， 由（1）知，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 24．（2023•苏州一模）如图，是边长为3的等边三角形，是上一动点，连接，以为边向的右侧作等边三角形，连接． （1）【尝试初探】 如图1，当点在线段上运动时，，相交于点，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由． （2）【深入探究】 如图2，当点在线段上运动时，延长，交的延长线于点，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当时，求的值． （3）【拓展延伸】 如图3，当点在的延长线上运动时，，相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求的长． 解：（1）如图1，，理由如下： 与都是等边三角形， ，，， ， 即， 在与中， ， ； （2）如图2，过点作于点， 是边长为3的等边三角形，， ，，， ， ， ， 由（1）得，， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （3）如图3，过点作于点， 与都是等边三角形， ，， ， ， 即， 在与中， ， ， ， 又， ， ， ， ， 设， 则， ， ，是边长为3的等边三角形， ， ， ， ， ， 即， 解得， 点在的延长线上， ， ， ， 即． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形 第17讲 全等三角形 （思维导图+7个考点讲练+9种解题方法题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导航 思维引航 2 考点突破 考法探究 3 重点考点一 全等三角形及其性质 3 重点考点二 全等三角形的判定 4 重点考点三 角平分线的性质 7 重点考点四 全等三角形的应用 7 第一部分：常考考点讲练 7 考点1：全等三角形的性质 7 考点2：全等三角形的判定 8 考点3：直角三角形全等的判定 9 考点4：全等三角形的判定与性质 10 考点5：全等三角形的应用 11 考点6：角平分线的性质 13 考点7：线段垂直平分线的性质 14 第二部分：解题方法突破题型洞悉 15 题型1：一线三等角构造全等三角形 15 题型2：手拉手模型-旋转全等 16 题型3：倍长中线模型 17 题型4：平行线＋线段中点构造全等模型 19 题型5：角平分线+垂直构造全等三角形 20 题型6：正方形中的半角模型 21 题型7：等腰三角形中的半角模型 23 题型8：对角互补且邻边相等的半角模型 24 题型9：“边边角”模型 26 分层训练 巩固提升 27 基础夯实训练 27 能力拔高训练 32 考点要求 新课标要求 命题预测 全等三角形及其性质 · 理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角. 在中考中，全等三角形主要以选择题、填空题和解答题的简单类型为主．常结合四边形综合考查． 全等三角形的判定 · 掌握基本事实:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； · 掌握基本事实:两角及其夹边分别相等的两个三角形全等； · 掌握基本事实:三边分别相等的两个三角形全等； · 证明定理两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等； · 探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理. 角平分线的性质 · 探索并证明角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等;反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 全等三角形的应用 · 重点考点一 全等三角形及其性质 全等图形概念：能完全重合的两个图形叫做全等图形. 特征：①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等. 全等三角形概念：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 【补充】两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角. 表示方法：全等用符号“≌”，读作“全等于”.书写三角形全等时，要注意对应顶点字母要写在对应位置上. 全等变换定义：只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小的变换. 全等三角形的性质：1）对应边相等，对应角相等. 2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等． 3）全等三角形的周长相等、面积相等． 1. 形状相同的两个图形不一定是全等图形，面积相同的两个图形也不一定是全等图形. 2. 通过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等图形. 重点考点二 全等三角形的判定 一、全等三角形的判定 1.边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； 2.边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）； 3.角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）； 4.角角边定理：有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）； 5.对于特殊的直角三角形：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素（其中至少有一个元素是边）对应相等，这样就可以利用题目中的已知边（角）准确地确定要补充的边（角），有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路. 三、常见的全等三角形模型（基础） 常见的全等三角形模型（基础） 平移模型 模型分析：此模型特征是有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行，常要在移动的方向上加（减）公共线段，构造线段相等，或利用平行线性质找到对应角相等． 对称模型 模型分析：所给图形可沿某一直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，重合的顶点就是全等三角形的对应顶点，解题时要注意隐含条件，即公共边或公共角相等． 一线三垂直/一线三等角 模型解读：一线：经过直角顶点的直线；三垂直：直角两边互相垂直，过直角的两边向直线作垂直，利用“同角的余角相等”转化找等角 旋转模型 模型解读：将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则称这两个三角形为旋转型三角形．旋转后的图形与原图形存在两种情况： ①无重叠：两个三角形有公共顶点，无重叠部分，一般有一对隐含的等角； ②有重叠：两个三角形含有一部分公共角，运用角的和差可得到等角． 若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目． 若题中没有全等的三角形，则可根据题中条件合理地添加辅助线，如运用作高法、倍长中线法、截长补短法、分解图形法等来解决运动、拼接、旋转等探究性题目． 利用辅助线构造全等三角形： 1）把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律． 2）证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． 重点考点三 角平分线的性质 角平分线的性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 角平分线的判定定理：角的内部，与角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上． 1. 性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”,因此在应用时必须含有“垂直”这个条件,否则不能得到线段相等. 重点考点四 全等三角形的应用 利用全等三角形解决实际问题的方法：把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 第一部分：常考考点讲练 考点1：全等三角形的性质 【例1】（2023•泗洪县二模）如图，已知，平分，若，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023•如皋市一模）三个全等三角形按如图所示摆放，则的度数为 　　． 【变式2】（2019•六合区模拟）如图，，，，则　　． 考点2：全等三角形的判定 【例2】（2024•武进区校级二模）如图，虽然三角形被纸板挡住了一部分，但是小明仍能画出一个能与这个三角形完全重合的三角形，其数学依据是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•盐城三模）如图，中，厘米，厘米，点为的中点，如果点在线段上以厘米秒的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．若点的运动速度为3厘米秒，则当与全等时，的值为 　 　． 考点3：直角三角形全等的判定 【例3】（2021秋•高淳区校级月考）如图，在中，，垂足分别为、，、交于点，已知，，则的长是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（2022秋•东台市校级月考）经过顶点的一条直线，．，分别是直线上两点，且． （1）若直线经过的内部，且，在射线上，请解决下面两个问题： ①如图1，若，，则 　　； 　　（填“”，“ ”或“” ； ②如图2，若，请添加一个关于与关系的条件 　　，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． （2）如图3，若直线经过的外部，，请提出，，三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）． 考点4：全等三角形的判定与性质 【例4】（2024•玄武区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，，点、分别在轴正半轴和轴正半轴上，，则等于　　 A．8 B．9 C．10 D．11 【变式1】（2024•亭湖区校级模拟）如图，以正方形的两边和为斜边向外作两个全等的直角三角形和，过点作于点，交于点，过点作于点，过点作，交延长线于点，交于点．若，，则的长为 　　． 【变式2】．（2024•宝应县二模）如图，中，是边上一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接． （1）求证：； （2）若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 考点5：全等三角形的应用 【例5】（2020•如皋市一模）如图，要测量池塘两岸相对的两点，的距离，可以在池塘外取的垂线上的两点，，使，再画出的垂线，使与，在一条直线上，这时测得的长就是的长．为什么？ 【变式1】（2017•盐都区一模）如图1，以的边、为边分别向外作等腰直角和等腰直角，连接、、 （1）证明：； （2）试判断与面积之间的关系，并说明理由； （3）园林小路，曲径通幽，如图2所示，小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成，已知中间的所有正方形的面积之和是平方米，内圈的所有三角形的面积之和是平方米，这条小路一共占地　 　 平方米．（不用写过程） 【变式2】（2018•泰州）对给定的一张矩形纸片进行如下操作：先沿折叠，使点落在边上（如图①，再沿折叠，这时发现点恰好与点重合（如图② （1）根据以上操作和发现，求的值； （2）将该矩形纸片展开． ①如图③，折叠该矩形纸片，使点与点重合，折痕与相交于点，再将该矩形纸片展开．求证：； ②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的点，要求只有一条折痕，且点在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由） 考点6：角平分线的性质 【例6】（2023•宝应县二模）如图，已知四边形的对角互补，且，，．过顶点作于，则的值为　　 A．9 B． C．7.2 D．6 【变式1】（2024•梁溪区校级模拟）已知，用两把完全相同的直尺按如图方式摆放，一把直尺（甲的一边与射线重合，另一边交射线于点，另一把直尺（乙的靠在直尺（甲的处，且另一边与射线重合，作射线．若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•泗阳县二模）在中，，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．如果，则的长为 　　． 考点7：线段垂直平分线的性质 【例7】（2024•沛县校级三模）如图，在中，，，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线分别交、于点、，连接．以下结论：①；②；③；④．其中正确的有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】．（2024•南京三模）如图，在中，、是角平分线，的垂直平分线分别交、于点、、若，，则的长为 　　． 【变式2】（2014•溧水县校级模拟）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念． 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． 举例：如图1，若，则点为的准外心． 应用：如图2，为等边三角形的高，准外心在高上，且，求的度数． 探究：已知为直角三角形，斜边，，准外心在边上，试探究的长． 第二部分：解题方法突破题型洞悉 题型1：一线三等角构造全等三角形 【例1】如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，4为半径的圆交轴于点．已知点，点为上的一动点，以为直角顶点，在左侧作等腰直角三角形，连接，则面积的最小值为 　 ． 【变式1】如图，直线与轴、轴分别相交于点、点，以线段为边在第一象限作正方形．反比例函数在第一象限内的图象经过点． （1）求反比例函数的解析式； （2）将正方形沿轴向上平移几个单位能使点落在（1）中所得的双曲线上？ 【变式2】如图，中，，为上一点，是上一点，且，，若，则的长是 　　． 题型2：手拉手模型-旋转全等 【例2】如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点按顺时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在轴上，则点到轴的距离为　　 A． B． C． D． 【变式1】如图，在和中，已知，，． （1）如图1，求证：； （2）当、、三点在一条直线上时， ①如图2，已知，求的度数； ②如图3，过作交于点，若，的面积为13，求的长． 【变式2】如图，两条互相垂直的直线、交于点，一块等腰直角三角尺的直角顶点在直线上，锐角顶点在直线上，是斜边的中点．已知，，则　　． 题型3：倍长中线模型 【例3】在中，，，则边上的中线的取值范围是　　． 【变式1】（1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接． ①证明； ②若，，设，可得的取值范围是 　　； （2）如图2，在中，是边上的中点，，交于点，交于点，连接，求证：． 【变式2】【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一．在解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑利用中线作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． （1）如图1，是△的中线，且，延长至点，使，连接． ①根据所作辅助线可以证得△△，其中判定全等的依据为：　　； ②若，，则的取值范围是 　　； 【方法运用】 运用上面的方法解决下面的问题： （2）如图2，是△的中线，点在的延长线上，，求证：平分； 【问题拓展】 （3）如图3，是四边形的对角线，，点是边的中点，点在上，，，若，求的长． 题型4：平行线＋线段中点构造全等模型 【例4】如图，边长为的等边中，是上中线，点是线段上的动点，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值是　　 A． B． C． D． 【变式1】已知：是的角平分线，点为直线上一点，，过点作交直线于点，当点在边的延长线上时，如图①易证；当点在边上，如图②；当点在边的延长线上，是的外角平分线时，如图③．写出、与的数量关系，并对图②进行证明． 【变式2】已知：如图，，，垂足分别为、，，且． 求证：（1）； （2）． 题型5：角平分线+垂直构造全等三角形 【例5】如图，在中，，，，平分，交边于点，点是边的中点．点为边上的一个动点． （1）　　，　　度； （2）当四边形为轴对称图形时，求的长； （3）若是等腰三角形，求的度数； （4）若点在线段上，连接、，直接写出的值最小时的长度． 【变式1】如图，在中，点为边的中点，点在内，平分，，点在上，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）线段，，之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论． 【变式2】如图，在中，平分，于点，于点，，，则　　． 题型6：正方形中的半角模型 【例6】正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转，交射线于点． （1）如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是 　　； （2）过点作，垂足为，连接，求的度数； （3）在（2）的条件下，当是以为腰的等腰三角形时，求的值． 【变式1】已知：如图，四边形为正方形，点在的延长线上，连接、．（1）求证：△△； （2）若，求证：． 【变式2】如图，正方形的边长为1，、是边、上的动点．若，则的最小值为 　　． 题型7：等腰三角形中的半角模型 【例7】习题课上，张老师和同学们一起探究一个问题：“如图，在中，、分别是、上的点，与相交于点，给出四个条件：①；②；③；④．若在上述四个条件中，选择两个作为已知条件，哪种组合能判定是等腰三角形？”你认为正确的组合方法有　　 A．2种 B．3种 C．4种 D．6种 【变式1】如图，等腰直角三角形中，，，点，在边上，且．若，，则的长为 　　． 题型8：对角互补且邻边相等的半角模型 【例8】【问题背景】 如图1：在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图中线段、、之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 　　． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【学以致用】 如图3，四边形是边长为5的正方形，，直接写出的周长． 【变式1】已知，如图，在四边形中，，，，分别是线段，上的点，且．求证：． 【变式2】问题背景： （1）如图1：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点．使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 　　． 探索延伸： （2）如图2，若在四边形中，，．，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 题型9：“边边角”模型 【例9】数学课上老师布置了“测量锥形瓶内部底面的内径”的探究任务，善思小组想到了以下方案：如图，用螺丝钉将两根小棒，的中点固定，只要测得，之间的距离，就可知道内径的长度．此方案依据的数学定理或基本事实是　　 A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．两点之间线段最短 【变式1】（1）问题背景： 如图1，在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是延长到点，使，连结，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 　　． （2）探索延伸： 如图2，若在四边形中，，，，分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）结论应用： 如图3，等腰直角三角形中，，，点，在边上，且．若，，则的长为 　　． 【变式2】如图，△和△均为等腰三角形，，，，点在线段上（与，不重合），连接． （1）证明：△△． （2）若，，求的长． 基础夯实训练 1．（2024秋•赣榆区期中）如图，是上一点，交于点，，，若，，则的长是　　 A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 2．（2024•常州）如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点在的平分线上，则　　 A．与一定相等 B．与一定不相等 C．与一定相等 D．与一定不相等 3．（2023•昆山市模拟）如图，在△中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线，交于点，交于点，连接．若，，，则△的周长为　　 A．25 B．22 C．19 D．18 4．（2022•南京二模）如图，在中，点在上，平分，延长到点，使得，连接．若，则的度数是　　 A． B． C． D． 5．（2024•海安市二模）如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，则的长等于 　　． 6．（2023•秦淮区一模）如图，在四边形中，，对角线平分．若，，则的度数是 　　． 7．（2023•南京一模）如图，在中，，，，，分别是射线，射线上的点，，的垂直平分线交于点，当点落在上时，长的最小值为 　　． 8．（2024•新吴区二模）如图，在△与△中，与交于点，且，． （1）求证：△△； （2）当时，求的度数． 9．（2024•海安市二模）如图，点是内一射线上一点，点、分别是边、上的点，连接，且，．求证：是的平分线． 小星的解答如下： 证明：在和中， ，，， 第一步 第二步 是的平分线．第三步 （1）小星的解答从第 　　步开始出现错误； （2）请写出你认为正确的证明过程． 10．（2024•高新区二模）如图，在四边形中，，，点为的中点，连接并延长，交于点． （1）求证：； （2）连接，若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 11．（2022•镇江二模）如图，，，于点，于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 12．（2022•泰州）如图①，矩形与以为直径的半圆在直线的上方，线段与点、都在直线上，且，，．点以1个单位秒的速度从点处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为秒． （1）如图②，当时，求半圆在矩形内的弧的长度； （2）在点运动的过程中，当、都与半圆相交时，设这两个交点为、．连接、，若为直角，求此时的值． 能力拔高训练 13．（2024•苏州模拟）如图所示，点、、、均在正方形网格格点上，则　　 A． B． C． D． 14．（2022秋•铜山区校级月考）如图，锐角三角形中，直线为的中垂线，直线为的角平分线，与相交于点．若，，则的度数为何？　　 A． B． C． D． 15．（2023•建湖县一模）如图，直线经过的对角线交点，若四边形的面积为，则四边形的面积为　　 A．12 B． C．24 D． 16．（2024•宝应县二模）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是 　　． 17．（2018•江阴市二模）如图，中，，垂足为，，，点从点出发沿线段的方向移动到点停止，连接，若与的面积相等，则线段的长度是　　． 18．（2017•南京一模）如图，在中，、的垂直平分线、相交于点，若等于，则　　． 19．（2023•宝应县一模）如图，在的正方形网格图形中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，、分别是、上的格点．若点是这个网格图形中的格点，连结、，则所有满足的点有　　 A．3 B．4 C．5 D．6 20．（2024•梁溪区校级模拟）在平面直角坐标系中，已知，将点绕原点逆时针旋转45度得到点，则点的坐标为 　　． 21．（2020•灌云县模拟）如图，在菱形中，，是锐角，于点，是的中点，连接，．若，则的值为　　． 22．（2023•灌云县校级模拟）在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点旋转得到线段，连接，，． （1）当时， ①如图1，当点在的边上时，线段绕点顺时针旋转得到线段，则与的数量关系是 　　． ②如图2，当点在内部时，线段绕点顺时针旋转得到线段，①中与的数量关系还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由； （2） 当时， ①如图3，线段绕点顺时针旋转得到线段．试判断与的数量关系，并说明理由； ②若点，，在一条直线上，且，线段绕点逆时针旋转得到线段，求的值． 23．（2023•泰州模拟）如图，中，，点在上，交于，将绕点旋转得到△，连结、． （1）求证：； （2）若，在旋转的某一时刻，点恰好在线段上，试判断此时四边形的形状，并说明理由． 24．（2023•苏州一模）如图，是边长为3的等边三角形，是上一动点，连接，以为边向的右侧作等边三角形，连接． （1）【尝试初探】 如图1，当点在线段上运动时，，相交于点，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由． （2）【深入探究】 如图2，当点在线段上运动时，延长，交的延长线于点，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当时，求的值． （3）【拓展延伸】 如图3，当点在的延长线上运动时，，相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$