第16讲 三角形的概念与性质（讲练）（思维导图+6个考点讲练+6种解题方法题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

第四章 三角形 第16讲 三角形的概念与性质 （思维导图+6个考点讲练+6种解题方法题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维导航 3 考点突破 考法探究 3 重点考点一 三角形的相关概念 3 重点考点二 三角形的重要线段 4 重点考点三 三角形的性质 6 第一部分：常考考点讲练 6 考点1：三角形的角平分线、中线和高 6 考点2：三角形的面积 7 考点3：三角形的重心 8 考点4：三角形三边关系 10 考点5：三角形内角和定理 11 考点6：三角形的外角性质 12 第二部分：解题方法突破题型洞悉 13 题型1：重心定理 13 题型2：“8”字模型 14 题型3：飞镖模型 16 题型4：“A”字模型 17 题型5：三角形的外心与外接圆有关的问题 18 题型6：三角形的内心与内切圆有关的问题 19 分层训练 巩固提升 20 基础夯实训练 20 能力拔高训练 22 考点要求 新课标要求 命题预测 三角形的相关概念 · 理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性. 在初中几何数学中，三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础.所以，在中考中，与其它几何图形结合考察的几率比较大，特别是全等三角形的性质和判定的综合应用.考生在复习该考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和应用，还要注重转化思想在题目中的应用，同步联想，其他几何图形在什么情况下会转化成该考点的知识考察. 三角形的重要线段 · 三角形的性质 · 探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. · 证明三角形的任意两边之和大于第三边. 重点考点一 三角形的相关概念 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形. 三角形的表示：用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”. 三角形的分类： 1）三角形按边分类：三角形 2）三角形按角分类：三角形 三角形的稳定性: 三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了. 1. 三角形的表示方法中“”代表“三角形”,后边的字母为三角形的三个顶点,字母的顺序可以自由安排. 即 ∆ABC, ∆ACB等均为同一个三角形. 2. 等腰三角形中至少有两边相等,而等边三角形中三边都相等,所以等边三角形是特殊的等腰三角形. 3. 四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了. 重点考点二 三角形的重要线段 重要线段 概念 图形 性质 三角形的高 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）． ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线 ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC 三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线． ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 ∵DE是∆ABC的中位线 ∴AD=DB AE=EC DE=BC DE∥BC 　 概念 图形 性质 重心 三角形三条中线交点 1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3) 重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 垂心 三角形三条高交点 1）锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外； 2）锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 3）三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6组四点共圆. 4）锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短. 1. 三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系． 2. 常见三角形的高： 3. 当已知三角形两边的中点时，可考虑运用三角形中位线定理，得到相应线段的数量关系与位置关系. 重点考点三 三角形的性质 三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边． 三角形三边关系定理及推论的应用： 1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 第一部分：常考考点讲练 考点1：三角形的角平分线、中线和高 【例1】（2024•常州一模）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是△的　　 A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 【变式1】（2024•宿迁）如图，在中，，，是高，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点，作射线，则　　． 【变式2】（2024•沭阳县校级模拟）已知：如图所示，在△中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 　　． 考点2：三角形的面积 【例2】（2024•泉山区校级模拟）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为　　 A． B． C．3 D． 【变式1】（2024•秦淮区模拟）平面直角坐标系中，已知，，，其中，均为常数，且．当的面积最小时，的值为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•姜堰区一模）如图，中，，点为延长线上一点． （1）若 　　，　　，求的长；（请从信息“①，②，③”中选择两个分别填入横线中，将题目补充完整，并完成解答． （2）在（1）的条件下，当时，求的面积． 考点3：三角形的重心 【例3】（2024•宜兴市二模）如图，点是的重心，交于点．如果，那么的长为　　 A．3 B．4 C．6 D．8 【变式1】（2024•宜兴市模拟）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，若与的交点为，则点是　　 A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的中心 【变式2】（2023•无锡）如图中，，，，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论： ①若，与相交于，则点不一定是的重心； ②若，则的最大值为； ③若，，则的长为； ④若，则当时，取得最大值． 其中正确的为 A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【变式3】（2024•滨湖区二模）如图，在中，是的重心，的延长线交边于点． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：求作，使得经过点，且与相切于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，设与半径相交于点，交于点，连接．若，，则弓形的面积为 　　．（如需画草图，请使用图 考点4：三角形三边关系 【例4】（2024•淮安）用一根小木棒与两根长度分别为、的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•盐都区校级二模）如图，是的直径，点是上一动点，连接，点在直径上，，连接并延长交于点，若，则的最大值是 　9　． 【变式2】（2024•沛县校级二模）如图，已知矩形中，，，直线将矩形的面积分成相等的两部分，过点作直线的垂线，垂足为，连接，则的最小值为 　　． 【变式3】（2023•灌云县校级模拟）若三角形三边长都是整数且至少有一个内角为，则称该三角形为“完美三角形”．那么在中，若，，，则　　“完美三角形”（填“是”或“不是” ． 考点5：三角形内角和定理 【例5】（2024•高邮市一模）如图，已知中，、，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•姑苏区校级二模）如图，在中，，，则的度数为　　 A． B． C． D．不确定 【变式2】（2024•南京二模）如图，在四边形中，，，若，则　 　 ． 【变式3】（2023•江都区一模）如图，直线，一块的直角三角板按如图所示放置，若，则的度数为 　　． 考点6：三角形的外角性质 【例6】2024•盐城模拟）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•泗阳县二模）一天，李明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“李明，我考考你这个人字架中的，你能求出比大多少吗？”请你帮李明计算一下，正确的答案是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023•姜堰区一模）如图，在扇形中，为弧上的点，连接并延长与的延长线交于点，若，，则　　． 【变式3】（2021•徐州模拟）如图，在中，，，平分，则的度数是 　　． 第二部分：解题方法突破题型洞悉 题型1：重心定理 【例1】（2022•镇江模拟）已知在正方形网格中的位置如图所示，则点叫做的　　 A．中心 B．重心 C．外心 D．内心 【变式1】如图，已知，是斜边的中点，过作于，连接交于；过作于，连接交于；过作于，，如此继续，可以依次得到点、、、，分别记、、的面积为、、、．则　（用含的代数式表示）． 【变式2】（2021•高邮市二模）如图，已知点是的重心，过作的平行线，分别交于点，交于点，作，交于点，若的面积为9，则四边形的面积为 　　． 题型2：“8”字模型 【例2】（2023•新吴区二模）如图，正方形的边长为1，点在边上，延长到点，使得，连接． （1）求证：； （2）若延长与恰好相交于中点，求的长． 【变式1】（2024•沭阳县校级二模）如图，在四边形中，，为上一点，，的延长线交于点，． （1）求证：； （2）若，直接写出和的周长之比． 【变式2】（2023•邗江区校级二模）【阅读材料】 教材习题 如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点． 问题分析 由条件易证，从而得到，即点是的中点 方法提取 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法 请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题． 【基础应用】已知中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点． （1）如图1，若，，求证：点是的中点； （2）如图2，若，，探究与之间的数量关系； 【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为 　　，扫过的面积为 　　． 题型3：飞镖模型 【例3】（2012•南通模拟）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图1，若，点在、外部，则有，又因是的外角，故．得．将点移到、内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论； （2）在如图2中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图3，则、、、之间有何数量关系？（不需证明）； （3）根据（2）的结论求如图4中的度数． 【变式1】（2013•海州区校级二模）如图，内有一点，且，若，，则的大小是　　 A． B． C． D． 题型4：“A”字模型 【例4】（2024•淮安模拟）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． 【变式1】（2023•滨海县模拟）如图，等边内接于，，则图中阴影部分的面积等于 　　． 【变式2】（2024•武进区校级二模）如图，在中，，分别是和上的点，，，的面积为32，则的面积为 　　． 【变式3】（2023•梁溪区校级二模）如图，在中，，，，点为边上的任意一点，将沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，探究：是否存在点，使得为直角三角形？ （1）请仅用无刻度的直尺和圆规作出所有可能的点，不同的折叠方式确定的点请在不同的图中作出来（不写作法，保留作图痕迹）； （2）直接写出对应的线段的长． 题型5：三角形的外心与外接圆有关的问题 【例5】（2022•海陵区二模）如图，点是的外心，连接，若，则的度数为 　． 【变式1】（2023•鼓楼区校级自主招生）如图，的外心为，垂心为，为的中点．求证：． 题型6：三角形的内心与内切圆有关的问题 【例6】（2023•海安市模拟）如图，△中，，，，为△的内心，若、分别是斜边和直角边上的动点，连接、，则的最小值为 　 　． 【变式1】如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），他们的具体裁法如下：甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为；乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为；丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰△的直角边上，面积记为；丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为则下列判断正确的是　　 ①；②；③在，，，中，最小． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 基础夯实训练 1．（2024•海安市二模）如图所示，为估计池塘两岸，间的距离，小华在池塘一侧选取一点，测得，，那么，之间的距离不可能是　　 A． B． C． D． 2．（2024•盐城二模）一副三角板如图所示摆放，其中含角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 3．（2023•盐城）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：，其中能搭成一个三角形的是　　 A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12 4．（2024•邳州市校级一模）三角形的两边长分别为2和9，周长为偶数，则第三边长为　 　． 5．（2022•淮阴区模拟）将一副三角板按如图方式重叠，则的度数为 　　． 6．（2024•鼓楼区二模）用图中两块相同的含的三角板拼成一个四边形，在所有拼成的四边形中，两条对角线的所有比值的最大值为 　　． 7．（2023•靖江市二模）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数为　 　． 8．（2023•广陵区一模）将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的浓度为． （1）再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为 　　； （2）请证明（1）中的数学关系式； （3）在中，三条边的长度分别为，，，证明：． 9．（2024•邗江区校级一模）如图，在中，，，分别在，上，，，交于点，则面积是 　　． 10．（2023•盐都区一模）如图，在中，是的中点，点是的重心．，则　　． 11． （2023•广陵区校级三模）在中，，，，求长的取值范围． 能力拔高训练 12．（2022•宜兴市一模）如图，中，，，点为的重心，连接、、，若固定边，使顶点在所在平面内进行运动，在运动过程中，保持的大小不变，则线段的长度的取值范围为　　 A． B． C． D． 13．（2021•武进区校级自主招生）已知锐角三角形的边长是2，3，，那么第三边的取值范围是　　 A． B． C． D． 14．（2021•鼓楼区校级一模）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 15．（2023•高港区二模）木工师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为和的木条，需要将其中一根木条分为两段与另一根组成一个三角形．如果不考虑损耗和接头部分，那么木工师傅应该选择把哪根木条分为两段？　　 A．长为的木条 B．长为的木条 C．两根都可以 D．两根都不行 16．（2023•建邺区校级二模）在锐角△中已知，，则锐角△面积的取值范围为 　　． 17．（2023•兴化市一模）已知，是边上一点，、的重心分别为，连接、、，若的面积为9，则四边形的面积为 　　． 18．（2023•梁溪区二模）如图，在中，，，则的面积是 　　． 19．（2023•苏州模拟）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若是“倍角三角形”， ，，则的面积为 　　． 20．（2021•盐都区二模）如图，在直角中，，，是的平分线，交边于点，过点作中边上的高线，则的度数为　　 A． B． C． D． 21．（2023•淮阴区模拟）如图，在中，，分别是和的角平分线，且，相交于一点，若，则　　． 22．（2021•滨湖区模拟）如图，是的一个外角，平分，若，，则的大小是　 　度． 23．（2020•南通模拟）如图，、分别是的角平分线和高线． （1）若，，求的度数； （2）若，猜想与之间的数量关系，并加以证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形 第16讲 三角形的概念与性质 （思维导图+6个考点讲练+6种解题方法题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维导航 2 考点突破 考法探究 3 重点考点一 三角形的相关概念 3 重点考点二 三角形的重要线段 3 重点考点三 三角形的性质 5 第一部分：常考考点讲练 6 考点1：三角形的角平分线、中线和高 6 考点2：三角形的面积 7 考点3：三角形的重心 10 考点4：三角形三边关系 16 考点5：三角形内角和定理 19 考点6：三角形的外角性质 21 第二部分：解题方法突破题型洞悉 23 题型1：重心定理 23 题型2：“8”字模型 25 题型3：飞镖模型 31 题型4：“A”字模型 33 题型5：三角形的外心与外接圆有关的问题 36 题型6：三角形的内心与内切圆有关的问题 38 分层训练 巩固提升 42 基础夯实训练 42 能力拔高训练 48 考点要求 新课标要求 命题预测 三角形的相关概念 · 理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性. 在初中几何数学中，三角形的基础知识是解决后续很多几何问题的基础.所以，在中考中，与其它几何图形结合考察的几率比较大，特别是全等三角形的性质和判定的综合应用.考生在复习该考点时，不仅要熟悉掌握其本身的性质和应用，还要注重转化思想在题目中的应用，同步联想，其他几何图形在什么情况下会转化成该考点的知识考察. 三角形的重要线段 · 三角形的性质 · 探索并证明三角形的内角和定理.掌握它的推论:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. · 证明三角形的任意两边之和大于第三边. 重点考点一 三角形的相关概念 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做三角形. 三角形的表示：用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”. 三角形的分类： 1）三角形按边分类：三角形 2）三角形按角分类：三角形 三角形的稳定性: 三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了. 1. 三角形的表示方法中“”代表“三角形”,后边的字母为三角形的三个顶点,字母的顺序可以自由安排. 即 ∆ABC, ∆ACB等均为同一个三角形. 2. 等腰三角形中至少有两边相等,而等边三角形中三边都相等,所以等边三角形是特殊的等腰三角形. 3. 四边形及多边形不具有稳定性，要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了. 重点考点二 三角形的重要线段 重要线段 概念 图形 性质 三角形的高 从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）． ∵AD是∆ABC中BC边的高 ∴∠ADB=∠ADC=90° 三角形的中线 在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线 ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∴BD=CD S△ABD=S△ADC 三角形的角平分线 三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线． ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=∠BAC 三角形的中位线 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 ∵DE是∆ABC的中位线 ∴AD=DB AE=EC DE=BC DE∥BC 　 概念 图形 性质 重心 三角形三条中线交点 1）重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2）重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3) 重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 垂心 三角形三条高交点 1）锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外； 2）锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 3）三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6组四点共圆. 4）锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短. 1. 三角形的高、中线、角平分线是三条线段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中线可得线段之间的关系，由三角形的角平分线可得角之间的关系． 2. 常见三角形的高： 3. 当已知三角形两边的中点时，可考虑运用三角形中位线定理，得到相应线段的数量关系与位置关系. 重点考点三 三角形的性质 三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边． 推论：三角形的两边之差小于第三边． 三角形三边关系定理及推论的应用： 1）判断三条已知线段能否组成三角形，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形． 2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a-b|＜c＜a＋b 3）所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形． 三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°． 推论：直角三角形的两个锐角互余. 三角形的内角和定理的应用： 1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数； 2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数； 3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数. 三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°． 三角形的外角和的性质：1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和； 2）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角． 第一部分：常考考点讲练 考点1：三角形的角平分线、中线和高 【例1】（2024•常州一模）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是△的　　 A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是 解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分， 他所作的线段应该是△的中线， 故选：． 【变式1】（2024•宿迁）如图，在中，，，是高，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点，作射线，则　10　． 解：在中，，， ， 由作图知，平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 【变式2】（2024•沭阳县校级模拟）已知：如图所示，在△中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 　1　． 解：为中点，根据同底等高的三角形面积相等， ， 同理， ， 为中点， ． 故答案为1． 考点2：三角形的面积 【例2】（2024•泉山区校级模拟）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为　　 A． B． C．3 D． 解：如图：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：平分， ， ， 的面积， 的面积的面积， 故选：． 【变式1】（2024•秦淮区模拟）平面直角坐标系中，已知，，，其中，均为常数，且．当的面积最小时，的值为　　 A． B． C． D． 解：，， ， 此时，中，长度确定，设的高为， ， 当的面积最小时，最小， 设直线为：，则， 解得：， 直线为：， ，， 点到直线的距离为：， 由图可知， 点在第三象限会使最小时，，， 当且仅当，时，才会有最小值， 故选：． 【变式2】（2024•姜堰区一模）如图，中，，点为延长线上一点． （1）若 　①　，　　，求的长；（请从信息“①，②，③”中选择两个分别填入横线中，将题目补充完整，并完成解答． （2）在（1）的条件下，当时，求的面积． 解：（1）若①，③，求的长； ，， ， ， ， ， ； 另外（ⅰ）如果选择①，②， 同理， ， ，， 此时求不出的长； （ⅱ）如果选择②，③，此时也求出的长． 故答案为：①，③． （2）过点作于，如图所示： 在（1）的条件下， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ，， ， ， ． 考点3：三角形的重心 【例3】（2024•宜兴市二模）如图，点是的重心，交于点．如果，那么的长为　　 A．3 B．4 C．6 D．8 解：连接并延长交于， 点是的重心， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 【变式1】（2024•宜兴市模拟）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，若与的交点为，则点是　　 A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的中心 解：由题意得：，， 为角平分线的交点， 则点是的内心． 故选：． 【变式2】（2023•无锡）如图中，，，，，为中点，若点为直线下方一点，且与相似，则下列结论： ①若，与相交于，则点不一定是的重心； ②若，则的最大值为； ③若，，则的长为； ④若，则当时，取得最大值． 其中正确的为 A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 解：①有3种情况，如图1，和都是中线，点是重心； 如图2，四边形是平行四边形，是中点，点是重心； 如图3，点不是中点，所以点不是重心； 故①正确； ②当，如图，取得最大值，， ，，， ， ， ②错误． ③如图，若，， ，，，，，，， ，，， ，， ， ③错误． ④如图，， ， 即， 在中，， ， ， 当时，最大为5， 故④正确． 故选：． 【变式3】（2024•滨湖区二模）如图，在中，是的重心，的延长线交边于点． （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：求作，使得经过点，且与相切于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，设与半径相交于点，交于点，连接．若，，则弓形的面积为 　　．（如需画草图，请使用图 解：（1）如图，以为圆心、以为半径画弧交于点，分别以、为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于、，作直线；分别以、为圆心、以大于的长为半径画弧两弧交于、，作直线交直线于点，以为圆心、以的长为半径作，则即为所求； （2）如图，设直线交于点，连接、， 则， ， ， ， 与相切于， ， ， ， ， 是的重心，， ， 设的半径为，则， 解得：， ， ， ． 考点4：三角形三边关系 【例4】（2024•淮安）用一根小木棒与两根长度分别为、的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以是　　 A． B． C． D． 解：设第三根木棒长为 ，由三角形三边关系定理得， 所以的取值范围是， 观察选项，只有选项符合题意． 故选：． 【变式1】（2024•盐都区校级二模）如图，是的直径，点是上一动点，连接，点在直径上，，连接并延长交于点，若，则的最大值是 　9　． 解：如图，连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， △△， ， ， ， ，， ， ， ， 当时，，此时最大， 故答案为：9． 【变式2】（2024•沛县校级二模）如图，已知矩形中，，，直线将矩形的面积分成相等的两部分，过点作直线的垂线，垂足为，连接，则的最小值为 　　． 解：如图，连接与交于点，作于，连接． 四边形是矩形， ，， ，， ， ， 是等边三角形， ，，， 直线将矩形的面积分成相等的两部分， 必过点， ， ， ， 、、三点在以为圆点，以2为半径的圆上， ， 当且仅当、、三点共线时，取得最小值． 故答案为：． 【变式3】（2023•灌云县校级模拟）若三角形三边长都是整数且至少有一个内角为，则称该三角形为“完美三角形”．那么在中，若，，，则　不是　“完美三角形”（填“是”或“不是” ． 解：如图中，过点作于． 在中，，，， ，， ，， ， ，， ，不是整数， 不是完美三角形． 故答案为：不是． 考点5：三角形内角和定理 【例5】（2024•高邮市一模）如图，已知中，、，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【变式1】（2024•姑苏区校级二模）如图，在中，，，则的度数为　　 A． B． C． D．不确定 解：在中，， ， ， ， ， ， 故选：． 【变式2】（2024•南京二模）如图，在四边形中，，，若，则　78　． 解：设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：78． 【变式3】（2023•江都区一模）如图，直线，一块的直角三角板按如图所示放置，若，则的度数为 　　． 解：如图： ， ， ， ， ． 考点6：三角形的外角性质 【例6】2024•盐城模拟）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为　　 A． B． C． D． 解：由三角形的外角性质可知：， 故选：． 【变式1】（2024•泗阳县二模）一天，李明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“李明，我考考你这个人字架中的，你能求出比大多少吗？”请你帮李明计算一下，正确的答案是　　 A． B． C． D． 解：， ， ． 故选：． 【变式2】（2023•姜堰区一模）如图，在扇形中，为弧上的点，连接并延长与的延长线交于点，若，，则　66　． 解：连接， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：66． 【变式3】（2021•徐州模拟）如图，在中，，，平分，则的度数是 　　． 解：，，， ， 平分， ， ， 故答案为： 第二部分：解题方法突破题型洞悉 题型1：重心定理 【例1】（2022•镇江模拟）已知在正方形网格中的位置如图所示，则点叫做的　　 A．中心 B．重心 C．外心 D．内心 解：、等边三角形才有中心，故此选项不合题意； 、三角形的重心是三角形的三条中线的交点，故此选项符合题意； 、三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点，故此选项不合题意； 、三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，故此选项不合题意． 故选：． 【变式1】如图，已知，是斜边的中点，过作于，连接交于；过作于，连接交于；过作于，，如此继续，可以依次得到点、、、，分别记、、的面积为、、、．则　　（用含的代数式表示）． 解：易知，△与△同底同高，面积相等，以此类推； 根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：，，； 在中，为其重心， ， ，，， ，，； ． 故答案为：． 【变式2】（2021•高邮市二模）如图，已知点是的重心，过作的平行线，分别交于点，交于点，作，交于点，若的面积为9，则四边形的面积为 　4　． 解：连接延长交于点， ， ， ， 是的重心， 点是的中点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， ， 故答案为：4． 题型2：“8”字模型 【例2】（2023•新吴区二模）如图，正方形的边长为1，点在边上，延长到点，使得，连接． （1）求证：； （2）若延长与恰好相交于中点，求的长． 解：（1）四边形是正方形， ，， 在和中， ， ； （2）如图，连接，则， ， ， 又， ， ， 又是的中点， 垂直平分， ， ． 【变式1】（2024•沭阳县校级二模）如图，在四边形中，，为上一点，，的延长线交于点，． （1）求证：； （2）若，直接写出和的周长之比． （1）证明：， ， ． ， ． ． ； （2）解：由（1）知：，， 四边形为平行四边形， ． ， ， ， ， ． ， ， 和的周长之比． 【变式2】（2023•邗江区校级二模）【阅读材料】 教材习题 如图，、相交于点，是中点，，求证：是中点． 问题分析 由条件易证，从而得到，即点是的中点 方法提取 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种常用方法 请运用上述阅读材料中获取的经验和方法解决下列问题． 【基础应用】已知中，，点在边上，点在边的延长线上，连接交于点． （1）如图1，若，，求证：点是的中点； （2）如图2，若，，探究与之间的数量关系； 【灵活应用】如图3，是半圆的直径，点是半圆上一点，点是上一点，点在延长线上，，，，当点从点运动到点，点运动的路径长为 　　，扫过的面积为 　　． （1）证明：，， ， 过点作，则，， 是等腰直角三角形，则， ， ， ， ， 又， ， ， 点是的中点； （2）过点作，则， ， ，，则， ， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ，则 ， ， ； 灵活应用： 是半圆的直径，点是半圆上一点， ， 过点作，则， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 过点作，则，， ， ，， ，则， ， 点在以为直径的半圆上运动， 运动的路径长为：， 过点作，则，， ， ， ， 点在以为直径的半圆上运动， 则扫过的面积为以为直径的半圆与以为直径的半圆的面积之差， 即：扫过的面积为， 故答案为：，． 题型3：飞镖模型 【例3】（2012•南通模拟）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． （1）如图1，若，点在、外部，则有，又因是的外角，故．得．将点移到、内部，如图2，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论； （2）在如图2中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图3，则、、、之间有何数量关系？（不需证明）； （3）根据（2）的结论求如图4中的度数． 解：（1）不成立，结论是． 延长交于点， ， ， 又， ； （2）结论：． 连接并延长， 是的外角，是的外角， ，， ，即； （3）由（2）的结论得：．． 又 ． （或由（2）的结论得：且， ． 【变式1】（2013•海州区校级二模）如图，内有一点，且，若，，则的大小是　　 A． B． C． D． 解：延长交于． ， ，． 又， ，， ． 故选：． 题型4：“A”字模型 【例4】（2024•淮安模拟）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后呈的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，求蜡烛的像的长度以及像与透镜之间的距离． 解：由题意得：，，，， ， ， ， ， ， 解得：， ， ， ， ， ， ， 烛的像的长度为2，像与透镜之间的距离为12． 【变式1】（2023•滨海县模拟）如图，等边内接于，，则图中阴影部分的面积等于 　　． 解：如图，连接，过点作于， 则， 为等边三角形， ，， ， ， ， 故答案为：． 【变式2】（2024•武进区校级二模）如图，在中，，分别是和上的点，，，的面积为32，则的面积为 　18　． 解：， ，即， ， ， ，即， ． 故答案为：18． 【变式3】（2023•梁溪区校级二模）如图，在中，，，，点为边上的任意一点，将沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，探究：是否存在点，使得为直角三角形？ （1）请仅用无刻度的直尺和圆规作出所有可能的点，不同的折叠方式确定的点请在不同的图中作出来（不写作法，保留作图痕迹）； （2）直接写出对应的线段的长． 解：（1）存在点，使得为直角三角形． 为直角三角形， 有以下两种情况： ①当时，折叠方法如下： 作的平分线交于点， 沿折叠，则为直角三角形； ②当时，折叠方法如下： 作的平分线交于点，作的垂直平分线交于点， 沿折叠，则为直角三角形． （2）①；②． 理由如下：设，则， ①在中，，， 由勾股定理得：， 由折叠的性质得：，， ， 在中，由勾股定理得：， 即：， 解得：， ； ②由作图可知：， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， ， 即：， 解得：， ． 综上所述：的长为或． 题型5：三角形的外心与外接圆有关的问题 【例5】（2022•海陵区二模）如图，点是的外心，连接，若，则的度数为 　73　． 解：连接，作的外接圆， 点是的外心， ， ， ， ， 故答案为：73． 【变式1】（2023•鼓楼区校级自主招生）如图，的外心为，垂心为，为的中点．求证：． 证明：过点作圆的直径，连接，，．如图， 为的垂心， ， 为圆的直径， ， ， 同理， 四边形是平行四边形， ． 又为的中点，为的中点， ． ． 题型6：三角形的内心与内切圆有关的问题 【例6】（2023•海安市模拟）如图，△中，，，，为△的内心，若、分别是斜边和直角边上的动点，连接、，则的最小值为 　5.2　． 解：分别作，，，垂足分别为点、、，延长到，使，作于点，交于点，延长，交于点，连接， ，， ， ， 当、、三点共线，且时，最短，即的值最小． 为△的内心，，，， ， 设， 又，，， 四边形是正方形， ， △中，，，， ， ，， 在△和△中， ， △△， ， 同理， ， ，解得， ， ， ，，， ， 又，， ， ， ， 四边形为矩形，△△， ，，即， ， ， 的最小值为5.2． 故答案为：5.2． 【变式1】（2012•南京模拟）如图，甲、乙、丙、丁四位同学从四块全等的等腰直角三角形纸板上裁下四块不同的纸板（阴影部分），他们的具体裁法如下：甲同学：如图1所示裁下一个正方形，面积记为；乙同学：如图2所示裁下一个正方形，面积记为；丙同学：如图3所示裁下一个半圆，使半圆的直径在等腰△的直角边上，面积记为；丁同学：如图所示裁下一个内切圆，面积记为则下列判断正确的是　　 ①；②；③在，，，中，最小． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 解：图1中，设四块全等的等腰直角三角形的腰长为1，则斜边长为，图1中阴影正方形的对角线长为，； 图2中，设正方形的边长为，则，，； 图3中，设半圆的半径为，则，，； 图4中，设三角形的内切圆半径为，则，解得，； 根据以上计算的值进行比较，，在，，，中，最小，所以正确的是②③． 故选：． 【变式2】（2022•南京自主招生）如图，在中，，，，，为内心，则　　． 解：作于，于，于，于，连接， 为内心， ， ，， ， ， 同理，， ， 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 基础夯实训练 1．（2024•海安市二模）如图所示，为估计池塘两岸，间的距离，小华在池塘一侧选取一点，测得，，那么，之间的距离不可能是　　 A． B． C． D． 解：由三角形三边关系定理得：， ， 、之间的距离不可能是． 故选：． 2．（2024•盐城二模）一副三角板如图所示摆放，其中含角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的斜边上，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 解：如图， 由题意得：，， ， ， ． 故选：． 3．（2023•盐城）下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：，其中能搭成一个三角形的是　　 A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12 解：、，不能构成三角形，故此选项不合题意； 、，不能构成三角形，故此选项不合题意； 、，不能构成三角形，故此选项不合题意； 、，能构成三角形，故此选项符合题意． 故选：． 4．（2024•邳州市校级一模）三角形的两边长分别为2和9，周长为偶数，则第三边长为　9　． 解：设第三边长． 根据三角形的三边关系，得． 三角形的周长的取值范围是：． 又三角形的周长为偶数，因而满足条件的数有20． 第三边长为． 故答案为9． 5．（2022•淮阴区模拟）将一副三角板按如图方式重叠，则的度数为 　　． 解：根据三角板的度数知，，， ， 故答案为：． 6．（2024•鼓楼区二模）用图中两块相同的含的三角板拼成一个四边形，在所有拼成的四边形中，两条对角线的所有比值的最大值为 　　． 解：分4种情况： ①如图，比值为； ②如图，比值为； ③如图，比值为1； ④如图，比值为； 故答案为：． 7．（2023•靖江市二模）如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数为　　． 解：如图，延长交于， ，的角平分线交于点， ，， 由三角形的内角和定理得，①， 在中，， 在中，， ②， ①②得，， ， ，， ． 故答案为：． 8．（2023•广陵区一模）将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的浓度为． （1）再往杯中加入克糖，生活经验告诉我们糖水变甜了，用数学关系式可以表示为 　　； （2）请证明（1）中的数学关系式； （3）在中，三条边的长度分别为，，，证明：． 解：（1）由题意得：加入克糖后糖水浓度为：， 由糖水变甜可知：， 故答案为：； （2）利用作差法比较大小： ． ，， ，，即， ，即． （3）在中，，，，且，，， ，，． 由糖水不等式得，，，， ， ． 9．（2024•邗江区校级一模）如图，在中，，，分别在，上，，，交于点，则面积是 　　． 解：， ， ， ， 连接， ，，， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（2023•盐都区一模）如图，在中，是的中点，点是的重心．，则　4　． 解：点为的重心， ， 故答案为：4． 11．（2023•广陵区校级三模）在中，，，，求长的取值范围． 解：作的外接圆，如图， ,, 当时，是直径，此时最长， ， , , 当时，是等边三角形， , , ． 能力拔高训练 12．（2022•宜兴市一模）如图，中，，，点为的重心，连接、、，若固定边，使顶点在所在平面内进行运动，在运动过程中，保持的大小不变，则线段的长度的取值范围为　　 A． B． C． D． 解：如图1，作的外接圆，连接，，过点作于， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， 当点接近点或点时，的值最小，， 当与在同一直线上时，如图2，最大， ， 是重心， ，即的最大值是； 综上所述， 故选：． 13．（2021•武进区校级自主招生）已知锐角三角形的边长是2，3，，那么第三边的取值范围是　　 A． B． C． D． 解：首先要能组成三角形，易得 下面求该三角形为直角三角形的边长情况（此为临界情况），显然长度为2的边对应的角必为锐角，短边对小角）则只要考虑3或者为斜边的情况． 3为斜边时，由勾股定理，，得 作出图形，固定2边，旋转3边易知当 时，该三角形是以3为最大边的钝角三角形； 为斜边时，由勾股定理，，得，同样作图可得 当时，该三角形是以为最大边的钝角三角形． 综上可知，当 时，原三角形为锐角三角形． 故选：． 14．（2021•鼓楼区校级一模）长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 解：①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5； ②长度分别为2、6、4，不能构成三角形； ③长度分别为2、7、3，不能构成三角形； ④长度分别为6、3、3，不能构成三角形； 综上所述，得到三角形的最长边长为5． 故选：． 15．（2023•高港区二模）木工师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为和的木条，需要将其中一根木条分为两段与另一根组成一个三角形．如果不考虑损耗和接头部分，那么木工师傅应该选择把哪根木条分为两段？　　 A．长为的木条 B．长为的木条 C．两根都可以 D．两根都不行 解：三角形两边之和大于第三边，两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架，可以把的细木条分为两截．理由：，满足两边之和大于第三边． 故选：． 16．（2023•建邺区校级二模）在锐角△中已知，，则锐角△面积的取值范围为 　　． 解：△在以为圆心，为半径的圆上， 当△为等边三角形时，△的面积有最大值， 当△为直角三角形时，△的面积， ， 故答案为：． 17．（2023•兴化市一模）已知，是边上一点，、的重心分别为，连接、、，若的面积为9，则四边形的面积为 　4　． 解：如图，取中点，过作，交、于、，则、分别为、中点， 连接、交于，则为重心，连接、交于，则为重心， 点为中点， ，， ， 点为中点，点为中点， ， 同理，， ， ， ， ， 四边形的面积为． 故答案为：4． 18．（2023•梁溪区二模）如图，在中，，，则的面积是 　25　． 解：过点作交于点，作交于点，如图， ，， ， ， 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ， ， ， 即， ， 在等腰直角中，， ， 在直角中，， ， 解得：， ． 故答案为：25． 19．（2023•苏州模拟）定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若是“倍角三角形”， ，，则的面积为 　4或　． 解：是“倍角三角形”， 分四种情况： 当时， ， 是等腰直角三角形， ， ， 的面积； 当时，同理可得：的面积为4； 当时， ， ， ， ，， ， ，， 的面积； 当时， ， ， ， ，， ， ，， 的面积； 综上所述：的面积为4或， 故答案为：4或． 20．（2021•盐都区二模）如图，在直角中，，，是的平分线，交边于点，过点作中边上的高线，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：，是的角平分线， ， ， ， ， ， 故选：． 21．（2023•淮阴区模拟）如图，在中，，分别是和的角平分线，且，相交于一点，若，则　　． 解：、的平分线、相交于点， ，， ， ， ． 故答案为：． 22．（2021•滨湖区模拟）如图，是的一个外角，平分，若，，则的大小是　50　度． 解：是的一个外角，，， ， 平分， ， 故答案为：50． 23．（2020•南通模拟）如图，、分别是的角平分线和高线． （1）若，，求的度数； （2）若，猜想与之间的数量关系，并加以证明． 解：（1）在中，，， ． 是的角平分线， ． 又是上的高， ． 在中，， ． （2），证明如下： 是的高， ， ， 是的角平分线， ． ， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$