第15讲 几何图形初步（讲练）（思维导图+8个考点讲练+6种解题方法题型+难度分层练）-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（江苏专用）

第四章 三角形 第15讲 几何图形初步 （思维导图+8个考点讲练+6种解题方法题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维导航 3 考点突破 考法探究 4 重点考点一 认识几何图形 4 重点考点二 直线、射线、线段的相关概念 5 重点考点三 角的相关概念 6 重点考点四 相交线 8 重点考点五 平行线 10 第一部分：常考考点讲练 11 考点1：几何体的展开图 11 考点2：专题：正方体相对两个面上的文字 13 考点3：方向角 14 考点4：角的计算 16 考点5：对顶角、邻补角 18 考点6：平行线的判定 19 考点7：平行线的性质 21 考点8：平行线的判定与性质 23 第二部分：解题方法突破题型洞悉 25 题型1：线段分点模型 25 题型2：线段的（折叠、动点）模型 29 题型3：角n等分模型 34 题型4：M模型（含锯齿型） 38 题型5：笔尖型 42 题型6：“鸡翅”型 48 题型7：“骨折”型 54 分层训练 巩固提升 60 能力拔高训练 60 考点要求 新课标要求 命题预测 认识几何图形 通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念. 该专题内容是初中几何的基础，在中考数学中属于基础考点，年年都会考查，分值为8分左右，预计2024年各地中考还将出现. 大部分地区在选择、填空题中考察可能性较大，主要考察平行线的性质和判定、方位角、角度的大小等知识，这些知识点考查较容易，另外平行线的性质可能在综合题中出现，考查学生综合能力，比如：作平行的辅助线，构造特殊四边形，此类题目有一定难度，需要学生灵活掌握．对本专题的复习也直接影响后续对其他几何图形的学习，需要考生细心对待. 直线、射线、线段的相关概念 会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义. 掌握基本事实:两点确定一条直线和两点之间线段最短. 理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离. 角的相关概念 理解角的概念，能比较角的大小，认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差. 理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角、同 (或)的补的性质. 相交线 理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线. 掌握基本事实:同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离. 识别同位角、内错角、同旁内角. 平行线 理解平行线的概念. 掌握平行线的性质与判定定理. 了解平行于同一条直线的两条直线平行. 重点考点一 认识几何图形 几何图形的概念: 我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形,几何图形分为平面图形和立体图形. 立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形. 平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形. 正方体展开图（共计11种）： 口诀：1）“一四一”、“一三二”，“一”在同层可任意, 2）“三个二”成阶梯, 3）“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如. 几何图形的组成：1）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形. 2）线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线. 3）面：包围着体的是面，分为平面和曲面. 4）体：几何体也简称体. 组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体. 【扩展】 名称 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 存在关系 三棱锥 4 4 6 V+F-E=2 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 1.同一个立体图形按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的. 2.在正方体的展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个,图1所示的图形不是正方体的展开图. 3.正方体的展开图中不会有“田”字形、“凹”字形的形状,图2、图3所示的图形不是正方体的展开图. 正方体展开图相对面的确定方法：1）同一行或同一列，间隔一个面的两个面是相对面； 2）“Z”字型图案中，两端点处的两个面是相对面. 重点考点二 直线、射线、线段的相关概念 一、直线、射线、线段的相关概念 直线 射线 线段 概念 直线是几何图形基础，是一个不做定义的原始概念. 直线上一点和它一旁的部分叫做射线. 直线上两点和它们之间的部分叫做线段. 图形 表示方法 直线AB或直线BA 直线m 射线OA 射线n 线段AB 线段l 端点个数 无 1个 2个 延伸、度量情况 可向两方无限延伸 不可度量 只能以一方无限延伸 不可度量 不能延伸，可以度量 不同点 线段向一方延伸就成为射线，向两方延伸就成为直线 相同点 都是直的线 直线的性质： 1）直线公理: 经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线； 2）经过一点的直线有无数条，过两点的直线只有一条，过三点就不一定了. 两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离. 线段的性质：两点的所有连线中，线段最短. 简称：两点之间，线段最短. 线段的长度比较方法：1)度量法:分别用刻度尺测量线段AB、线段CD的长度，再进行比较 2)叠加法:让线段某一段端点重合，比较另一边两端点的位置. 线段中点的概念：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点. 1. 线段的长度可以度量，所以能够比较线段的长短，而且线段的长度是非负数. 2. 一条线段的中点只有一个. 3. 某一个点要成为一条线段的中点必须同时满足两个条件： 1）点必须在这条直线上. 2）它把这条线段分为两条相等的两条线段. 重点考点三 角的相关概念 角的定义（静态）：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角. 角的定义（动态）：由一条射线绕着它的端点旋转一定角度而形成的图形. 角的分类： ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° 角的表示方法： 角的表示 图例 适用范围 注意事项 用三个大写字母表示 记作：∠ABC或∠CBA 任何情况都适用 表示顶点的字母一定要写在中间，边上的字母写在两侧. 用一个大写字母表示 记作：∠O 1）以这个字母为顶点的角只有一个； 2）当在一个顶点处有两个或两个以上的角时,其中的任意一个角都不能用一个大写英文字母表示. 用一个数字表示 任何情况都适用 在靠近顶点处画上弧线，表示出角的范围，并注上数字或小写的希腊字母 用一个希腊字母表示 角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制. 度、分、秒的运算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（）′；1″=（）° 1周角=2平角=4直角=360°. 角的大小的比较：1）叠合法：使两个角的顶点及一边重合，比较另一边的位置； 2）度量法：分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较. 角的平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线. 【性质】①若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC． ②角平分线上的点到角两边的距离相等． 余角的概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角. 补角的概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角. 【性质】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等. 1. 因为射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与边的长短无关. 2. 角的大小可以度量，可以比较. 3. 在进行度、分、秒运算时，由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化要逐步进行. 4. 一条射线要成为一个角的平分线必须同时满足两个条件： 1）射线必须在角的内部. 2）它把这个角分成两个相等的角. 5. 钝角没有余角. 6. 互为余角、补角是两个角之间的关系, 7. 两个角互为余角、互为补角只与角的度数有关，与角的位置无关. 只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角. 重点考点四 相交线 一、相交线 直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行. 垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足. 垂线的性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 2）两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角. 3）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 二、相交线中的角 第一种 对顶角与邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 （∠1与∠2） 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 ∠1=∠2 邻补角 （∠3与∠4） 有公共顶点 ∠3与∠4有一条公共边，另一边互为反向延长线. ∠3+∠4=180° 第二种 同位角、内错角与同旁内角 同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线同侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.（同旁同侧）如：∠1和∠5. 内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.（内部异侧）如：∠3和∠5. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线内部，具有这样位置关系的一对叫同旁内角.（同旁内侧）如：∠3和∠6. 【速记同位角、内错角与同旁内角】 三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对. 正确认识这八个角要抓住:同位角位置相同即“同旁和同侧”;内错角要抓住“内部和异侧”;同旁内角要抓住“同旁和内部”. 1. 线段与线段、线段与射线、线段与直线、射线与射线或射线与直线垂直，是指它们所在的直线互相垂直. 2. 垂线是一条直线，而垂线段是一条线段. 3. 对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角. 4. 如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角. 5. 如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角. 6. 两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 7. 两条直线相交所成的四个角中，有2对对顶角，有4对邻补角. 8. 同位角、内错角、同旁内角是指具有特殊位置关系的两个角，是成对出现的，对它们的识别要结合图形. 重点考点五 平行线 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示. 平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 平行线的性质： 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补.. 平行线的判定 判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：同位角相等，两直线平行. 判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：内错角相等，两直线平行. 判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行. 判定方法4：垂直于同一直线的两直线互相平行． 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合. 平行线之间的距离概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离. 性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等； 2）平行线间的距离处处相等. 1. 平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面内”是平行线存在的前提条件. 2. 平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或线段，今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行. 3. 在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论. 这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的. 第一部分：常考考点讲练 考点1：几何体的展开图 【例1】（2023•盐都区一模）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是　　 A． B． C． D． 解：根据几何体的展开图可知： 这个几何体是：． 故选：． 【变式1】（2024•宿迁三模）操作：小明准备制作棱长为的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计： 方案一：图形中的圆过点、、； 方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点纸片利用率 以上方案一、二的利用率分别为、，则　　 A． B． C． D． 解：方案一：圆的半径为：， ， 方案二：直角三角形的直角边的比为：， 直角三角形的直角边分别为：，， ， ， 故选：． 【变式2】（2024•亭湖区一模）一个无盖的长方体包装盒展开后如图所示（单位：，则其容积为 　800　． 解：， ， ， ． 答：其容积为． 故答案为：800． 考点2：专题：正方体相对两个面上的文字 【例2】（2024•常州模拟）如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是　　 A．核 B．心 C．数 D．养 解：在该正方体中，与“学”字相对的面所写的汉字是：心． 故选：． 【变式1】（2024•大丰区模拟）为了发扬“中国航天精神”，每年的4月24日设立为“中国航天日”．正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是　　 A．航 B．天 C．精 D．神 解：原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是天， 故选：． 【变式2】（2023•沛县三模）一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示． （1）该盒子的底面的长为　　（用含的式子表示）． （2）若①，②，③，④四个面上分别标有整式，，，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，求的值． （3）请在图中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖． 解：（1）由题可得，无盖的长方体盒子的高为，底面的宽为， 底面的长为， 故答案为：； （2）①，②，③，④四个面上分别标有整式，，，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等， ， 解得； （3）如图所示：（答案不唯一） 考点3：方向角 【例3】（2020•海门市校级模拟）海平面上， 有一个灯塔， 测得海岛在灯塔北偏东方向上， 同时测得海岛在灯塔北偏东的方向上， 则灯塔的位置可以是　　 A ． 点 B ． 点 C ． 点 D ． 点 解： 由题意知， 若海岛在灯塔北偏东方向上、 海岛在灯塔北偏东的方向上， 如图所示， 灯塔的位置可以是点， 故选：． 【变式1】（2024•丹徒区二模）如图，在、两地间修一条笔直的公路，从地测得公路的走向为北偏东，如果、两地同时开工，那么为 　110　时，才能使公路准确接通． 解：使公路准确接通， ， ， ． 故答案为：110． 【变式2】（2023•东海县三模）如图所示，一只渔船由西向东沿水平直线行驶，在航线的正南方有两个航标、．渔船在处时，测得航标、在渔船的南偏东方向分别为和．渔船航行了6海里到处时，测得航标在渔船的南偏西方向，而航标恰好渔船的正南方．求航标、之间的距离． 解：过作于， ，，， ， ，， ， ， ， 在中，， ，， ， 在中，， 航标、之间的距离是 海里． 考点4：角的计算 【例4】（2023•姑苏区三模）如图所示，等于　　 A． B． C． D． 解：结合图形，显然． 故选：． 【变式1】．（2019•高邮市一模）将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中与相等的是　　 A． B． C． D． 解：、由图形得：，，不合题意； 、由图形得：，不合题意； 、根据同角的余角相等，可得：，符合题意； 、由图形得：，，不合题意． 故选：． 【变式2】（2023•邗江区校级二模）如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若，则　　． 解：四边形是正方形， ， 由折叠可知，，， ，， ，即：， ， ， 故答案为：． 考点5：对顶角、邻补角 【例5】（2022•锡山区校级三模）下列说法中，正确的是　　 A．相等的角是对顶角 B．若两条直线被第三条直线所截，则同旁内角互补 C．三角形的外角等于两个内角的和 D．若三条直线两两相交，则共有6对对顶角 解：、相等的角是对顶角，错误，不符合题意； 、若两条平行直线被第三条直线所截，则同旁内角互补，错误，不符合题意； 、三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，故错误，不符合题意； 、若三条直线两两相交，则共有6对对顶角，故正确，符合题意； 故选：． 【变式1】．（2024•邗江区二模）如图，直线，相交于点，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：， ． 故选：． 【变式2】（2024•泰兴市三模）如图，、是平面内两条不相交的直线，，，则　55　． 解：延长交直线于， 、是平面内两条不相交的直线， ， ， ， ， ． 故答案为：55． 考点6：平行线的判定 【例6】（2024•宿迁三模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：水面和杯底相互平行， ， ， ， 水中的两条光线平行， ， 故选：． 【变式1】（2024•建湖县二模）下列图形中，由，能得到的是　　 A． B． C． D． 解：、中的和不是同位角，也不是内错角，不能判定，故、不符合题意； 、由判定，不能判定，故不符合题意； 、和的对顶角相等，由同位角相等，两直线平行推出，故符合题意． 故选：． 【变式2】（2023•苏州）如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有，，，四个格点，下面四个结论中，正确的是　　 A．连接，则 B．连接，则 C．连接，则 D．连接，则 解：连接，将点平移到点，即为向上平移3个单位，将点向上平移3个单位后，点不在直线上， 与不平行，选项错误， 连接，将点平移到点，即为向上平移4个单位，再向右平移1个单位，将点按点方式平移后，点在直线上， ，选项正确， 连接、，并延长与直线相交， 根据垂直的意义，、与不垂直， 选项、错误． 故选：． 考点7：平行线的性质 【例7】（2024•苏州）如图，，若，，则的度数为　　 A．45 B． C． D． 解：，， ， ，， ， 故选：． 【变式1】（2024•海门区一模）如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点放在直尺上，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 解：过点作交于， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ，， ， ． 故选：． 【变式2】（2020•灌云县一模）如图，，的顶点，分别落在直线，上，交于点，平分．若，，求的度数． 解：，， ， 平分，， ， 是的外角， ． 考点8：平行线的判定与性质 【例8】（2024•宿迁三模）如图，在中，为边上的三等分点，为边的中点，过点，分别作，的平行线，记交点为．若，则四边形的面积为 　8　． 解：连接、，如图， 点为的中点， ， ， ， 为边上的三等分点， 即， ， ，， 四边形为平行四边形， 四边形的面积． 故答案为：8． 【变式1】（2024•盐城）已知：如图，点、、、在同一条直线上，，． 若 　③　，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 证明：选择①， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 选择③， ， ， 在和中， ， ， ， ． 【变式2】（2019春•江宁区校级月考）如图，在中，，于点，于点．求证：． 证明：，， ． ． ． ，， ． ． 第二部分：解题方法突破题型洞悉 题型1：线段分点模型 【例1】已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧， (1)若，，线段在线段上移动， ①如图1，当E为中点时，求的长； ②当点C是线段的三等分点时，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求． 【答案】(1)①7；②或 (2)或． 【分析】本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质、线段的和差、准确识图分类讨论的位置是解题的关键． （1）根据已知条件得到，①由线段中点的定义得到，求得，由线段的和差得到；②当点C线段的三等分点时，可求得或，则或，由线段的和差即可得到结论； （2）当点E在线段之间时，设，则，求得，设，得到，求得，当点E在点A的左侧，设，则，设，求得，得到，于是得到结论． 【详解】（1）∵， ∴， ①∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵点C是线段的三等分点，， ∴或， ∴或， ∴或； （2）当点E在线段之间时，如图， 设， 则， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴x， ∴； 当点E在点A的左侧，如图， 设，同理， 设， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 当点E在线段上及点E在点B右侧时，无解， 综上所述的值为或． 【变式1】如图，线段，，点M是的中点．    (1)求线段的长度； (2)在上取一点N，使得．求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段的中点以及和差关系，求解即可； （2）根据线段的比值关系以及和差关系，即可求解． 【详解】（1）解：线段线段，， ∴． 又∵点M是的中点． ∴，即线段的长度是． （2）∵， ∴． 又∵点M是的中点，， ∴， ∴，即的长度是． 【点睛】此题考查了与线段中点有关的和差关系，解题的关键是理解题意，正确的进行求解． 【变式2】如图，点在线段AB上，，点分别是的中点． 求线段的长; 若为线段上任一点，满足，其它条件不变，猜想的长度，并说明理由; 若在线段的延长线上，且满足分别为的中点，猜想的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由; 请用一句简洁的话，描述你发现的结论． 【答案】；，证明解解析；，证明见解析；见解析 【分析】根据“点、分别是、的中点”，先求出、的长度，再利用即可求出的长度即可； 当为线段上一点，且，分别是，的中点，则存在； 点在的延长线上时，根据、分别为、的中点，即可求出的长度； 根据前面的结果解答即可． 【详解】解：分别是的中点， 分别是的中点 又 ∵， ∴在点的右边， 如图示： 分别是的中点， 又 只要满足点在线段所在直线上，点分别是的中点．那么就等于的一半 【点睛】本题主要是线段中点的运用，熟悉相关性质是解题的关键． 题型2：线段的（折叠、动点）模型 【例2】如图，在等边中，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向点B运动．过点P作交折线于点，以为边在右侧作等边．设等边与重叠部分图形的面积为，点P的运动时间为t秒． (1)当点D在边上时，求等边的边长（用含t的代数式表示）； (2)当点E落在边上时，判断与的关系并说明理由，并求此时t的值； (3)在点P运动过程中，求S与t之间的函数关系式． 【答案】(1) (2)，证明见解析；． (3)当时，；当时， ；当时， 【分析】 （1）由，可得，再用勾股定理即可求． （2）根据是等边三角形可得，，又因为可得，再根据三角形全等的判定即可证明． （3）根据点D的移动轨迹，可分成以下三种情况：①点D在上移动且不与点C重合；②点D与点C重合；③点D在上移动，按照这三种情况即可写出函数关系式． 【详解】（1）解：由题意知，在中，点P的运动时间为t秒 ∴，， ∴， 由勾股定理，得 即等边的边长为 （2）解：当点E落在边上时，如图所示，． 理由如下 ∵为等边三角形 ∴， ∵为等边三角形 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）解：分类讨论（三种情况），如图所示： ①如图1：当时，                                          ②如图2：当时， ③如图3，当时， ． 【点睛】本题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、全等三角形的判定、求函数关系式，熟练掌握全等三角形的判定和具备分类讨论的数学思想是解决本题的关键． 【变式1】已知线段AB=15cm，点C在线段AB上，且AC：CB=3：2． (1)求线段AC，CB的长； (2)点P是线段AB上的动点，线段AP的中点为M，设AP=m cm． ①请用含有m的代数式表示线段PC，MC的长； ②若三个点M，P，C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，C三点为“共谐点”的m的值． 【答案】(1)AC=9cm，CB=6cm； (2)①当点P在线段AC上时，PC=（9-m）cm，MC=（9-m）cm；当点P在线段BC上时，PC=（m-9）cm，MC=（9-m）cm； ②m的值为6或12． 【分析】（1）由线段AB=15cm，点C在线段AB上，且AC：CB=3：2，可得答案； （2）①分当点P在线段AC上时和当点P在线段BC上两种情况分别计算即可； ②分情况列方程可得m的值． 【详解】（1）解：∵线段AB=15cm，点C在线段AB上，且AC：CB=3：2， ∴AC=15×=9cm，CB=15×=6cm； （2）解：①当点P在线段AC上时， PC=AC-AP=（9-m）cm， MC=AC-AM=AC-AP=（9-m）cm； 当点P在线段BC上时， PC=AP-AC=（m-9）cm， MC=AC-AM=（9-m）cm； ②当点P在线段AC上时， 则MP=PC， ∴m＝9−m， 解得：m=6， 当点P在线段BC上时， 则MC=PC， ∴9−m＝m−9， 解得：m=12， 综上：m的值为6或12． 【点睛】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义和线段的和差是解题关键． 【变式2】．在数轴上有两点A，B，并且A，B表示的数a，b分别是﹣6，18．现在P，Q都从A点出发往B点停止，已知P点速度是4个单位长度/秒，Q点速度6个单位长度/秒，已知P出发1秒后，Q才出发． （1）若M点与Q点同时从A点出发，且M点速度是8个单位长度/秒，M出发追上P后再返回与Q相遇就停止，它一共走了多远？ （2）在整个过程中，P，Q两点在Q点出发后多久相距一个单位长度？ 【答案】（1）个单位长度；（2）秒或秒或时 【分析】（1）先计算出M与P相遇的时间，再计算M返回与Q相遇的时间，根据路程＝速度×时间即可求出M的路程． （2）根据PQ相距1个单位，设Q出发的时间为t，分情况讨论，P点在Q点的左面和右面和Q到达B时，列出相对的关于t的方程即可求得相对的时间． 【详解】（1）M出发追上P的时间为4×1÷（8﹣4）＝1（秒），此时，Q点走的路程为6×1=6；M点走的路程为8×1=8；M追上P后再返回与Q相遇时间为（8﹣6）÷（8+6）＝ M一共走了， 答：M出发追上P后再返回与Q相遇就停止，它一共走了个单位长度； （2）设Q点出发t秒后，与P点相距1个单位，则P点运动的时间为t+1秒， ①P在Q点的右边时，AP﹣AQ＝1， 4×（t+1）﹣6t＝1， 解得t＝， ②P在Q点的左边时，AQ﹣AP＝1， 6t﹣4（t+1）＝1， 解得t＝． ③当Q到达B时，t＝， 此时P距B点24-4×(4+1)=4， 再走3个单位长度时，PQ相距1个单位， t＝4+ ∴当Q点出发秒或秒或时，PQ相距1个单位． 【点睛】本题主要考查的数轴上点的运动，掌握路程＝速度×时间是基本要求，关键在于能用时间t的代数表示出两点间的距离，构建方程模型解决问题． 题型3：角n等分模型 【例3】如图，已知，，平分，平分，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算．先根据角平分线，求得的度数，再根据角的和差关系，求得的度数，最后根据角平分线，求得、的度数． 【详解】解：∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式1】解答下列问题．    (1)【探索新知】 如图1，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． ①一个角的平分线 这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”） ②如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 ．（用含的代数式表示出所有可能的结果） (2)【深入研究】 如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”． ②若射线同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止．请直接写出当射线是的“巧分线”时的值． 【答案】(1)①是；②或或 (2)①或或；②或或 【分析】（1）①根据巧分线定义即可求解； ②分3种情况，根据巧分线定义即可求解； （2）①分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可； ②分3种情况，根据巧分线定义得到方程求解即可． 【详解】（1）解：①一个角的平分线是这个角的“巧分线”； 故答案为：是 ②∵， 当是的角平分线时， ∴； 当是三等分线时，较小时， ∴； 当是三等分线时，较大时， ∴； 故答案为：或或； （2）解：①∵是的“巧分线”， ∴在内部，所以转至左侧， ∵与成时停止旋转，且，旋转速度为． ∴． 当时，如图所示：   ， 解得； 当时，如图所示：   ， 解得； 当时，如图所示：   ， 解得． ∵或或均在的范围内， ∴综上可得：当为或或时，射线是的“巧分线”； ②依题意有：在的内部， ∴，， 当时，如图所示：   ， 解得； ②当时，如图所示：   ， 解得； ③当时，如图所示：   ， 解得． ∴当t为或或时，射线是的“巧分线”． 【点睛】本题是一道阅读理解型的题目，主要考查了角之间的数量关系，巧分线定义，学生的阅读理解能力及知识的迁移能力，解题的关键是理解“巧分线”的定义． 【变式2】将两个形状、大小完全相同的含有角的三角尺与按图①的方式放置，三点在同一直线上．现将三角尺绕点P沿顺时针方向旋转一定角度，如图②．若射线平分，射线平分，则的度数是 ． 【答案】 【解析】设三角尺绕点P沿顺时针方向旋转的角度为，则．因为射线平分，射线平分，所以，， 所以． 题型4：M模型（含锯齿型） 【例4】如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 【变式1】如图，直线，，则 (    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的外角定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握“三角形的一个外角定于与它不相邻的两个内角之和”，“两直线平行，同旁内角互补”．根据三角形的外角定理可得，，再根据平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意可得： ，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【变式2】在平面直角坐标系中，点，，的位置如图所示，且是的立方根；方程是关于，的二元一次方程；为不等式组的最大整数解． (1)求点，，的坐标． (2)如图1，点为轴正半轴上的一个动点，且． ①求证：； ②如图2，与的平分线交于点，求的度数； (3)如图3，点为轴正半轴上的一个动点，连接，，线段与轴交于点．若三角形的面积不大于三角形的面积，设动点的坐标为，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，， (2)①见解析；② (3) 【分析】（1）根据立方根的概念、二元一次方程组的定义、一元一次不等式组的解法分别求出a、b、c、d，得到点A、B、C的坐标； （2）①根据平行线的性质得到，得到，②作，根据角平分线的定义得到，再根据平行线的性质计算即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程，解不等式求解即可． 【详解】（1）解：的立方根是， ， 方程是关于x，y的二元一次方程， ， 解得，， 不等式组的最大整数解是5，则 则、、； （2）①， ， ， ， ， ②作，   ， ， ，， ； 与的平分线交于P点， ，， ， ； （3），，， ， ， ，即， 解得，， 在y轴正半轴上， ， 的纵坐标的取值范围是． 题型5：笔尖型 【例5】已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先过点P作，则可得，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解； （2）作，可得，根据平行线的性质，即可证得； （3）先证明，利用（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， 过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ∴； （3）解：设交于O，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 【变式1】（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现，请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作． ，， ． __________． ， __________． __________． 即； （2）拓展探究： 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：； （3）解决问题： 如图③，，，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能正确过拐点作出辅助线是解此题的关键，注意：①两直线平行，内错角相等；②两直线平行，同位角相等；③两直线平行，同旁内角互补；④平行于同一直线的两直线平行． （1）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可； （2）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可； （3）过点E作，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可． 【详解】（1）证明：如图①， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故答案为：； （2）证明：如图②，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图③，过点E作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】如图，已知直线，和分别交于点A、B、C、D，点P 在直线或上且不与点A、B、C、D重合，记．    (1)若点P在图（1）位置时，求证：； (2)若点P在图（2）位置时，写出之间的关系并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与平行公理； （1）过点P作，则，从而有，根据即可求证； （2）过点P作，则，，由即可得之间的关系． 【详解】（1）证明：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴；    （2）解：； 证明如下： 如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴．   + 题型6：“鸡翅”型 【例6】已知直线， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P． (1)如果P点在C，D之间运动时，问有怎样的数量关系？请说明理由． (2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明） 【答案】(1)，理由见解析 (2)当点在直线上方时，；当点在直线下方时， 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）如图1，作，则，由，可得，则，； （2）由题意知，分点在点上方，在点下方两种情况求解；①当点在点上方，如图2，作， 过程同（1）；②当点在点下方，如图3，作，过程同①． 【详解】（1）解：，理由如下； 如图1，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：由题意知，分点在点上方，在点下方两种情况求解； ①当点在点上方，如图2，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即； ②当点在点下方，如图3，作， 同理①，∴，， ∴，即； 综上所述，或． 【变式1】（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）图（3），图（4） 【分析】（1）过点P作，得到，由，，得到，得到，由此得到； （2）过点P作，由，得到，从而得到结论； （3）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与的关系． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 理由：如图，过点P作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图（3）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即； 如图（4）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键． 【变式2】．已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______； （2）点在两条平行线之间，过点作于点． ①如图2，说明成立的理由； ②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数． 【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①见解析；②105° 【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可； （2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°． 【详解】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O， ∵AM∥CN， ∴∠C=∠AOB， ∵AB⊥BC， ∴∠A+∠AOB=90°， ∴∠A+∠C=90°； （2）①如图2，过点B作BG∥DM， ∵BD⊥AM， ∴DB⊥BG， ∴∠DBG=90°， ∴∠ABD+∠ABG=90°， ∵AB⊥BC， ∴∠CBG+∠ABG=90°， ∴∠ABD=∠CBG， ∵AM∥CN，BG∥DM， ∴∠C=∠CBG， ∠ABD=∠C； ②如图3，过点B作BG∥DM， ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE， 由（2）知∠ABD=∠CBG， ∴∠ABF=∠GBF， 设∠DBE=α，∠ABF=β， 则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG， ∠GBF=∠AFB=β， ∠BFC=3∠DBE=3α， ∴∠AFC=3α+β， ∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°， ∴∠FCB=∠AFC=3α+β， △BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得： 2α+β+3α+3α+β=180°， ∵AB⊥BC， ∴β+β+2α=90°， ∴α=15°， ∴∠ABE=15°， ∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用． 题型7：“骨折”型 【例7】如图， 在四边形中， (1)求证： (2)如图2， 点E在线段上， 点G在线段的延长线上，连接， 求证： 是 的平分线： (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段的延长线上， 的平分线交于点H， 若 求 的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，进而推出，即可证明ABCD； （2）先由平行线的性质得到，，进而推出，即可证明是的平分线； （3）设，设，根据平行线的性质推出，则，过点作交于，得到，推出，则即，即可求出； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的平分线； （3）解：∵ 是的平分线， ∴， 设， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作交于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 即， ∴； 【变式1】如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点C作，则，根据平行线的性质可得出、，据此可得； （2）过点Q作，则，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出，结合（1）的结论可得出； （3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出的度数，再结合（ 1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论． 【详解】（1）在图①中，过点C作，则．    ∵， ∴， ∴． （2）在图2中，过点Q作，则．    ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线． 【变式2】如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE； （3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°． 【分析】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解； （2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解； （3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解． 【详解】解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN， ∵MN∥PQ，AD∥MN， ∴AD∥MN∥PQ， ∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB， ∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA， 即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，∵CD∥AB， ∴∠CAB+∠ACD＝180°， ∵∠ECM+∠ECN＝180°， ∵∠ECN＝∠CAB ∴∠ECM＝∠ACD， 即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE， ∴∠MCA＝∠DCE； （3）∵AF∥CG， ∴∠GCA+∠FAC＝180°， ∵∠CAB＝60° 即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°， ∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA， 由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP， ∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN， ∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF， 又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN， ∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°， ∴∠GCA﹣∠ABF＝60°， ∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°， ∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA ＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF ＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF ＝120°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键． 能力拔高训练 一．选择题 1．（2023•梁溪区一模）小明在数学实践活动中尝试做一个无盖的长方体纸盒．他把一张长为，宽为的矩形纸板分割成5个矩形纸板，他用其中1个作为底面，其余4个作为侧面，恰好能做成这个纸盒，则这个纸盒的侧面高不可能是　　 A． B． C． D． 解：根据题意可得，有4种分割方法， 设侧面的高为厘米，底面的长为厘米，底面的宽为厘米， 如图1，，解得； 如图2，，解得； 如图3，， 解得； 如图4，， 解得，，． 侧面高不可能是． 故选：． 2．（2021•苏州二模）某几何体的主视图和俯视图及相关数据（单位：如图所示，则该几何体的侧面积是　　 A． B． C． D． 解：由图象可得圆锥底面半径， 则母线长为：， 侧面积， 故选：． 3．（2021•建湖县二模）如图，在的正方形网格中，记，，，则　　 A． B． C． D． 解：由图知，， ； 由图知，，， ， 由图知，，， ， ， 故选：． 4．（2024•盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：如图： 直尺的两边平行，， ， ， ， ． 故选：． 5．（2024•宝应县一模）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，，，已知与平行，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：，都与地面平行，， ， ， ， 与平行， ． 故选：． 6．（2024•沭阳县校级三模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 解：， ， ， ， ， ． 故选：． 7．（2024•苏州模拟）在数学活动课上，小丽同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得，则的度数是　　 A． B． C． D． 解：如图，三角板与直尺分别交于点、． ， ． 又， ． 故选：． 8．（2021•阜宁县二模）如图，已知，平分，且，则　　 A． B． C． D． 解：， ，， 又， ， 平分， ， ， 故选：． 9．（2020•常州）如图，直线、被直线所截，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 解：，， ， ． 故选：． 二．填空题 10．（2024•盐城模拟）如图，是的边上的高线，，且，，那么　　． 解：是的边上的高线，， ， 即，， 解得：， ， ，， ， 故答案为：． 11．（2022•镇江模拟）如图，已知，，，则的度数为 　　． 解：，，， ，， ． 故答案为： 12．（2023•南京一模）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放．若，则　105　． 解：， ， ， ． 故答案为：105． 13．（2023•东台市校级模拟）如图，在中，是斜边边上一点，且，分别过点、作、平行于，若，则与之间的最大距离为 　　． 解：如图，延长交于点， ，，， ， ， ， 定边定角隐圆，过点，作垂直，，垂足分别为，， 距离最大就是最大，也就是最大， 所以此时， ， ． 故答案为：． 三．解答题 14．（2023•海州区校级三模）如图是某区域的平面示意图，码头在观测站的正东万向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里． （1）　30　度，　　度； （2）求观测站到的距离． 解：（1）由题意得：，， ； 故答案为：30，45； （2）过点作于点，即的长即为站到的距离， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 解得：， 答：观测站到的距离为10海里． 15．（2012•滨湖区模拟）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题． （1）请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全． （2）若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的容积：　12　． 解：（1）拼图存在问题，如图： （2）折叠而成的长方体的容积为：． 故答案为：12． 16．（2018•南京一模）【经典公式】 还记得欧拉公式吗？它讲述的是多面体的顶点数、面数、棱数（E）之间存在存在的等量关系．（1）请你通过对如图1所示的多面体的归纳，补全欧拉公式：　2　． 【实际应用】 （2）足球一般有32块黑白皮子缝合而成（如图，且黑色的是正五边形，白色的是正六边形，如果我们可近似把足球看成一个多面体．你能利用欧拉公式计算出正五边形和正六边形各有多少块吗？请写出你的解答过程． 解：（1）． 故答案为：2； （2）设正五边形有块，则正六边形有块， 则，， ， 根据欧拉公式得：， 则， 解得：，， 所以，正五边形有12块，正六边形有20块． 17．（2024•武进区校级一模）如图，在四边形中，，，点在的延长线上，连接． （1）求证：； （2）若，平分，请判断的形状，证明你的结论． （1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： ， ， 平分， ， ， ， 是等边三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 三角形 第15讲 几何图形初步 （思维导图+8个考点讲练+6种解题方法题型+难度分层练） 考情透视 目标导航 2 知识导图 思维导航 3 考点突破 考法探究 4 重点考点一 认识几何图形 4 重点考点二 直线、射线、线段的相关概念 5 重点考点三 角的相关概念 6 重点考点四 相交线 8 重点考点五 平行线 10 第一部分：常考考点讲练 11 考点1：几何体的展开图 11 考点2：专题：正方体相对两个面上的文字 12 考点3：方向角 13 考点4：角的计算 14 考点5：对顶角、邻补角 15 考点6：平行线的判定 16 考点7：平行线的性质 17 考点8：平行线的判定与性质 18 第二部分：解题方法突破题型洞悉 19 题型1：线段分点模型 19 题型2：线段的（折叠、动点）模型 20 题型3：角n等分模型 22 题型4：M模型（含锯齿型） 23 题型5：笔尖型 25 题型6：“鸡翅”型 27 题型7：“骨折”型 29 分层训练 巩固提升 30 能力拔高训练 30 考点要求 新课标要求 命题预测 认识几何图形 通过实物和模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念. 该专题内容是初中几何的基础，在中考数学中属于基础考点，年年都会考查，分值为8分左右，预计2024年各地中考还将出现. 大部分地区在选择、填空题中考察可能性较大，主要考察平行线的性质和判定、方位角、角度的大小等知识，这些知识点考查较容易，另外平行线的性质可能在综合题中出现，考查学生综合能力，比如：作平行的辅助线，构造特殊四边形，此类题目有一定难度，需要学生灵活掌握．对本专题的复习也直接影响后续对其他几何图形的学习，需要考生细心对待. 直线、射线、线段的相关概念 会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义. 掌握基本事实:两点确定一条直线和两点之间线段最短. 理解两点间距离的意义，能度量和表达两点间的距离. 角的相关概念 理解角的概念，能比较角的大小，认识度、分、秒等角的度量单位，能进行简单的单位换算，会计算角的和、差. 理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角(或等角)的余角、同 (或)的补的性质. 相交线 理解垂线、垂线段等概念，能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线. 掌握基本事实:同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离. 识别同位角、内错角、同旁内角. 平行线 理解平行线的概念. 掌握平行线的性质与判定定理. 了解平行于同一条直线的两条直线平行. 重点考点一 认识几何图形 几何图形的概念: 我们把实物中抽象出来的各种图形叫做几何图形,几何图形分为平面图形和立体图形. 立体图形的概念：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，这个图形叫做立体图形. 平面图形的概念：有些几何图形的各个部分在同一平面内的图形，这个图形叫做平面图形. 正方体展开图（共计11种）： 口诀：1）“一四一”、“一三二”，“一”在同层可任意, 2）“三个二”成阶梯, 3）“二个三”“日”相连,异层必有“日”，“凹”“田”不能有，掌握此规律，运用定自如. 几何图形的组成：1）点：线和线相交的地方是点，它是几何图形最基本的图形. 2）线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线. 3）面：包围着体的是面，分为平面和曲面. 4）体：几何体也简称体. 组成几何图形元素的关系：点动成线，线动成面，面动成体. 【扩展】 名称 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 存在关系 三棱锥 4 4 6 V+F-E=2 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 1.同一个立体图形按不同的方式展开得到的平面展开图是不一样的. 2.在正方体的展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个,图1所示的图形不是正方体的展开图. 3.正方体的展开图中不会有“田”字形、“凹”字形的形状,图2、图3所示的图形不是正方体的展开图. 正方体展开图相对面的确定方法：1）同一行或同一列，间隔一个面的两个面是相对面； 2）“Z”字型图案中，两端点处的两个面是相对面. 重点考点二 直线、射线、线段的相关概念 一、直线、射线、线段的相关概念 直线 射线 线段 概念 直线是几何图形基础，是一个不做定义的原始概念. 直线上一点和它一旁的部分叫做射线. 直线上两点和它们之间的部分叫做线段. 图形 表示方法 直线AB或直线BA 直线m 射线OA 射线n 线段AB 线段l 端点个数 无 1个 2个 延伸、度量情况 可向两方无限延伸 不可度量 只能以一方无限延伸 不可度量 不能延伸，可以度量 不同点 线段向一方延伸就成为射线，向两方延伸就成为直线 相同点 都是直的线 直线的性质： 1）直线公理: 经过两点有且只有一条直线，简称：两点确定一条直线； 2）经过一点的直线有无数条，过两点的直线只有一条，过三点就不一定了. 两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离. 线段的性质：两点的所有连线中，线段最短. 简称：两点之间，线段最短. 线段的长度比较方法：1)度量法:分别用刻度尺测量线段AB、线段CD的长度，再进行比较 2)叠加法:让线段某一段端点重合，比较另一边两端点的位置. 线段中点的概念：把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段中点. 1. 线段的长度可以度量，所以能够比较线段的长短，而且线段的长度是非负数. 2. 一条线段的中点只有一个. 3. 某一个点要成为一条线段的中点必须同时满足两个条件： 1）点必须在这条直线上. 2）它把这条线段分为两条相等的两条线段. 重点考点三 角的相关概念 角的定义（静态）：由公共端点的两条射线所组成的图形叫做角. 角的定义（动态）：由一条射线绕着它的端点旋转一定角度而形成的图形. 角的分类： ∠β 锐角 直角 钝角 平角 周角 范围 0＜∠β＜90° ∠β=90° 90°＜∠β＜180° ∠β=180° ∠β=360° 角的表示方法： 角的表示 图例 适用范围 注意事项 用三个大写字母表示 记作：∠ABC或∠CBA 任何情况都适用 表示顶点的字母一定要写在中间，边上的字母写在两侧. 用一个大写字母表示 记作：∠O 1）以这个字母为顶点的角只有一个； 2）当在一个顶点处有两个或两个以上的角时,其中的任意一个角都不能用一个大写英文字母表示. 用一个数字表示 任何情况都适用 在靠近顶点处画上弧线，表示出角的范围，并注上数字或小写的希腊字母 用一个希腊字母表示 角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制. 度、分、秒的运算方法：1°=60′；1′=60″；1°=3600″；1″=（）′；1″=（）° 1周角=2平角=4直角=360°. 角的大小的比较：1）叠合法：使两个角的顶点及一边重合，比较另一边的位置； 2）度量法：分别用量角器测量两个角的大小，再进行比较. 角的平分线的概念：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线. 【性质】①若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC． ②角平分线上的点到角两边的距离相等． 余角的概念：如果两个角的和等于直角，就说这两个角互为余角，即其中一个是另一个的余角. 补角的概念：如果两个角的和等于平角，就说这两个角互为补角，即其中一个是另一个的补角. 【性质】同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等. 1. 因为射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角的大小与边的长短无关. 2. 角的大小可以度量，可以比较. 3. 在进行度、分、秒运算时，由低级单位向高级单位转化或由高级单位向低级单位转化要逐步进行. 4. 一条射线要成为一个角的平分线必须同时满足两个条件： 1）射线必须在角的内部. 2）它把这个角分成两个相等的角. 5. 钝角没有余角. 6. 互为余角、补角是两个角之间的关系, 7. 两个角互为余角、互为补角只与角的度数有关，与角的位置无关. 只要它们的度数之和等于90°或180°，就一定互为余角或补角. 重点考点四 相交线 一、相交线 直线的位置关系：在同一平面内不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行. 垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足. 垂线的性质：1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 2）两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角. 3）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么这条直线垂直于另一条. 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简称垂线段最短. 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离. 二、相交线中的角 第一种 对顶角与邻补角 种类 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 （∠1与∠2） 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 ∠1=∠2 邻补角 （∠3与∠4） 有公共顶点 ∠3与∠4有一条公共边，另一边互为反向延长线. ∠3+∠4=180° 第二种 同位角、内错角与同旁内角 同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线同侧，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.（同旁同侧）如：∠1和∠5. 内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.（内部异侧）如：∠3和∠5. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，在被截两条直线内部，具有这样位置关系的一对叫同旁内角.（同旁内侧）如：∠3和∠6. 【速记同位角、内错角与同旁内角】 三线八角的概念：指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角4对，内错角有2对，同旁内角有2对. 正确认识这八个角要抓住:同位角位置相同即“同旁和同侧”;内错角要抓住“内部和异侧”;同旁内角要抓住“同旁和内部”. 1. 线段与线段、线段与射线、线段与直线、射线与射线或射线与直线垂直，是指它们所在的直线互相垂直. 2. 垂线是一条直线，而垂线段是一条线段. 3. 对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角. 4. 如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角. 5. 如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角. 6. 两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 7. 两条直线相交所成的四个角中，有2对对顶角，有4对邻补角. 8. 同位角、内错角、同旁内角是指具有特殊位置关系的两个角，是成对出现的，对它们的识别要结合图形. 重点考点五 平行线 平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示. 平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. 平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 平行线的性质： 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补.. 平行线的判定 判定方法1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：同位角相等，两直线平行. 判定方法2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：内错角相等，两直线平行. 判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 　　　　 简称：同旁内角互补，两直线平行. 判定方法4：垂直于同一直线的两直线互相平行． 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合. 平行线之间的距离概念：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫做这两条平行线之间的距离. 性质：1）夹在两条平行线间的平行线段处处相等； 2）平行线间的距离处处相等. 1. 平行线必在同一平面内，分别在两个平面内的两条直线，即使不相交，也可以不平行，因此“在同一平面内”是平行线存在的前提条件. 2. 平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或线段，今后遇到线段、射线平行时，特指线段、射线所在的直线平行. 3. 在两直线平行的前提下才存在同位角相等、内错角相等、同旁内角互补的结论. 这是平行线特有的性质不要一提同位角或内错角就认为它们相等，一提同旁内角就认为互补，若没有两直线平行的条件，这些是不成立的. 第一部分：常考考点讲练 考点1：几何体的展开图 【例1】（2023•盐都区一模）如图是一个几何体的表面展开图，这个几何体是　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•宿迁三模）操作：小明准备制作棱长为的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计： 方案一：图形中的圆过点、、； 方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点纸片利用率 以上方案一、二的利用率分别为、，则　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•亭湖区一模）一个无盖的长方体包装盒展开后如图所示（单位：，则其容积为 　800　． 考点2：专题：正方体相对两个面上的文字 【例2】（2024•常州模拟）如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是　　 A．核 B．心 C．数 D．养 【变式1】（2024•大丰区模拟）为了发扬“中国航天精神”，每年的4月24日设立为“中国航天日”．正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在原正方体中，与“国”字所在面相对的面上的汉字是　　 A．航 B．天 C．精 D．神 【变式2】（2023•沛县三模）一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示． （1）该盒子的底面的长为　　（用含的式子表示）． （2）若①，②，③，④四个面上分别标有整式，，，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，求的值． （3）请在图中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖． 考点3：方向角 【例3】（2020•海门市校级模拟）海平面上， 有一个灯塔， 测得海岛在灯塔北偏东方向上， 同时测得海岛在灯塔北偏东的方向上， 则灯塔的位置可以是　　 A ． 点 B ． 点 C ． 点 D ． 点 【变式1】（2024•丹徒区二模）如图，在、两地间修一条笔直的公路，从地测得公路的走向为北偏东，如果、两地同时开工，那么为 　　时，才能使公路准确接通． 【变式2】（2023•东海县三模）如图所示，一只渔船由西向东沿水平直线行驶，在航线的正南方有两个航标、．渔船在处时，测得航标、在渔船的南偏东方向分别为和．渔船航行了6海里到处时，测得航标在渔船的南偏西方向，而航标恰好渔船的正南方．求航标、之间的距离． 考点4：角的计算 【例4】（2023•姑苏区三模）如图所示，等于　　 A． B． C． D． 【变式1】．（2019•高邮市一模）将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中与相等的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023•邗江区校级二模）如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若，则　　． 考点5：对顶角、邻补角 【例5】（2022•锡山区校级三模）下列说法中，正确的是　　 A．相等的角是对顶角 B．若两条直线被第三条直线所截，则同旁内角互补 C．三角形的外角等于两个内角的和 D．若三条直线两两相交，则共有6对对顶角 【变式1】．（2024•邗江区二模）如图，直线，相交于点，若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式2】（2024•泰兴市三模）如图，、是平面内两条不相交的直线，，，则　55　． 考点6：平行线的判定 【例6】（2024•宿迁三模）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2024•建湖县二模）下列图形中，由，能得到的是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2023•苏州）如图，在正方形网格内，线段的两个端点都在格点上，网格内另有，，，四个格点，下面四个结论中，正确的是　　 A．连接，则 B．连接，则 C．连接，则 D．连接，则 考点7：平行线的性质 【例7】（2024•苏州）如图，，若，，则的度数为　　 A．45 B． C． D． 【变式1】（2024•海门区一模）如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点放在直尺上，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【变式2】（2020•灌云县一模）如图，，的顶点，分别落在直线，上，交于点，平分．若，，求的度数． 考点8：平行线的判定与性质 【例8】（2024•宿迁三模）如图，在中，为边上的三等分点，为边的中点，过点，分别作，的平行线，记交点为．若，则四边形的面积为 　　． 【变式1】（2024•盐城）已知：如图，点、、、在同一条直线上，，． 若 　　，则． 请从①；②；③这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【变式2】（2019春•江宁区校级月考）如图，在中，，于点，于点．求证：． 第二部分：解题方法突破题型洞悉 题型1：线段分点模型 【例1】已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧， (1)若，，线段在线段上移动， ①如图1，当E为中点时，求的长； ②当点C是线段的三等分点时，求的长； (2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求． 【变式1】如图，线段，，点M是的中点．    (1)求线段的长度； (2)在上取一点N，使得．求的长． 【变式2】如图，点在线段AB上，，点分别是的中点． 求线段的长; 若为线段上任一点，满足，其它条件不变，猜想的长度，并说明理由; 若在线段的延长线上，且满足分别为的中点，猜想的长度，请画出图形，写出你的结论，并说明理由; 请用一句简洁的话，描述你发现的结论． 题型2：线段的（折叠、动点）模型 【例2】如图，在等边中，．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向点B运动．过点P作交折线于点，以为边在右侧作等边．设等边与重叠部分图形的面积为，点P的运动时间为t秒． (1)当点D在边上时，求等边的边长（用含t的代数式表示）； (2)当点E落在边上时，判断与的关系并说明理由，并求此时t的值； (3)在点P运动过程中，求S与t之间的函数关系式． 【变式1】已知线段AB=15cm，点C在线段AB上，且AC：CB=3：2． (1)求线段AC，CB的长； (2)点P是线段AB上的动点，线段AP的中点为M，设AP=m cm． ①请用含有m的代数式表示线段PC，MC的长； ②若三个点M，P，C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，C三点为“共谐点”的m的值． 【变式2】．在数轴上有两点A，B，并且A，B表示的数a，b分别是﹣6，18．现在P，Q都从A点出发往B点停止，已知P点速度是4个单位长度/秒，Q点速度6个单位长度/秒，已知P出发1秒后，Q才出发． （1）若M点与Q点同时从A点出发，且M点速度是8个单位长度/秒，M出发追上P后再返回与Q相遇就停止，它一共走了多远？ （2）在整个过程中，P，Q两点在Q点出发后多久相距一个单位长度？ 题型3：角n等分模型 【例3】如图，已知，，平分，平分，求和的度数． 【变式1】解答下列问题．    (1)【探索新知】 如图1，射线在的内部，图中共有个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”． ①一个角的平分线 这个角的“巧分线”．（填“是”或“不是”） ②如图2，若，且射线是的“巧分线”，则 ．（用含的代数式表示出所有可能的结果） (2)【深入研究】 如图2，若，且射线绕点从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与与成时停止旋转，旋转的时间为秒． ①当为何值时，射线是的“巧分线”． ②若射线同时绕点以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止．请直接写出当射线是的“巧分线”时的值． 【变式2】将两个形状、大小完全相同的含有角的三角尺与按图①的方式放置，三点在同一直线上．现将三角尺绕点P沿顺时针方向旋转一定角度，如图②．若射线平分，射线平分，则的度数是 ． 题型4：M模型（含锯齿型） 【例4】如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线，，则 (    ) A． B． C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中，点，，的位置如图所示，且是的立方根；方程是关于，的二元一次方程；为不等式组的最大整数解． (1)求点，，的坐标． (2)如图1，点为轴正半轴上的一个动点，且． ①求证：； ②如图2，与的平分线交于点，求的度数； (3)如图3，点为轴正半轴上的一个动点，连接，，线段与轴交于点．若三角形的面积不大于三角形的面积，设动点的坐标为，直接写出的取值范围． 题型5：笔尖型 【例5】已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【变式1】（1）问题发现：如图①，直线，是与之间的一点，连接，，可以发现，请把下面的证明过程补充完整： 证明：过点作． ，， ． __________． ， __________． __________． 即； （2）拓展探究： 如果点运动到图②所示的位置，其他条件不变，求证：； （3）解决问题： 如图③，，，，求的度数． 【变式2】如图，已知直线，和分别交于点A、B、C、D，点P 在直线或上且不与点A、B、C、D重合，记．    (1)若点P在图（1）位置时，求证：； (2)若点P在图（2）位置时，写出之间的关系并给予证明． 题型6：“鸡翅”型 【例6】已知直线， A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线上有一点P． (1)如果P点在C，D之间运动时，问有怎样的数量关系？请说明理由． (2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明） 【变式1】（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    【变式2】．已知，点为平面内一点，于． （1）如图1，点在两条平行线外，则与之间的数量关系为______； （2）点在两条平行线之间，过点作于点． ①如图2，说明成立的理由； ②如图3，平分交于点平分交于点．若，求的度数． 题型7：“骨折”型 【例7】如图， 在四边形中， (1)求证： (2)如图2， 点E在线段上， 点G在线段的延长线上，连接， 求证： 是 的平分线： (3)如图3，在（2）的条件下，点在线段的延长线上， 的平分线交于点H， 若 求 的度数． 【变式1】如图，已知：点A、C、B不在同一条直线，    (1)求证：： (2)如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点P，，直接写出　 　． 【变式2】如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间． （1）求证：∠CAB＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，CD∥AB，点E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求证：∠MCA＝∠DCE； （3）如图3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度数． 能力拔高训练 一．选择题 1．（2023•梁溪区一模）小明在数学实践活动中尝试做一个无盖的长方体纸盒．他把一张长为，宽为的矩形纸板分割成5个矩形纸板，他用其中1个作为底面，其余4个作为侧面，恰好能做成这个纸盒，则这个纸盒的侧面高不可能是　　 A． B． C． D． 2．（2021•苏州二模）某几何体的主视图和俯视图及相关数据（单位：如图所示，则该几何体的侧面积是　　 A． B． C． D． 3．（2021•建湖县二模）如图，在的正方形网格中，记，，，则　　 A． B． C． D． 4．（2024•盐城）小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2024•宝应县一模）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，，，已知与平行，则的度数为　　 A． B． C． D． 6．（2024•沭阳县校级三模）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 7．（2024•苏州模拟）在数学活动课上，小丽同学将含角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺的一边上，测得，则的度数是　　 A． B． C． D． 8．（2021•阜宁县二模）如图，已知，平分，且，则　　 A． B． C． D． 9．（2020•常州）如图，直线、被直线所截，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 二．填空题 10．（2024•盐城模拟）如图，是的边上的高线，，且，，那么　　． 11．（2022•镇江模拟）如图，已知，，，则的度数为 　　． 12．（2023•南京一模）将一副直角三角板按如图所示的位置摆放．若，则　　． 13．（2023•东台市校级模拟）如图，在中，是斜边边上一点，且，分别过点、作、平行于，若，则与之间的最大距离为 　　． 三．解答题 14．（2023•海州区校级三模）如图是某区域的平面示意图，码头在观测站的正东万向，码头的北偏西方向上有一小岛，小岛在观测站的北偏西方向上，码头到小岛的距离为海里． （1）　　度，　　度； （2）求观测站到的距离． 15．（2012•滨湖区模拟）如图，小华用若干个正方形和长方形准备拼成一个长方体的展开图．拼完后，小华看来看去总觉得所拼图形似乎存在问题． （1）请你帮小华分析一下拼图是否存在问题：若有多余块，则把图中多余部分涂黑；若还缺少，则直接在原图中补全． （2）若图中的正方形边长为，长方形的长为，宽为，请直接写出修正后所折叠而成的长方体的容积：　 　． 16．（2018•南京一模）【经典公式】 还记得欧拉公式吗？它讲述的是多面体的顶点数、面数、棱数（E）之间存在存在的等量关系．（1）请你通过对如图1所示的多面体的归纳，补全欧拉公式：　　． 【实际应用】 （2）足球一般有32块黑白皮子缝合而成（如图，且黑色的是正五边形，白色的是正六边形，如果我们可近似把足球看成一个多面体．你能利用欧拉公式计算出正五边形和正六边形各有多少块吗？请写出你的解答过程． 17．（2024•武进区校级一模）如图，在四边形中，，，点在的延长线上，连接． （1）求证：； （2）若，平分，请判断的形状，证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$