【消灭易错】专题02 函数与导数（5大考点）-备战2025年高考数学考试易错题（新高考通用）

专题02 函数与导数 考点01 函数的定义域 1．（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出各选项中函数的定义域，可得出合适的选项． 【详解】对于A选项，函数的定义域为； 对于B选项，由，得，故函数的定义域为； 对于C选项，函数的定义域为； 对于D选项，函数的定义域为． 故选：B． 2．（24-25高三上·河北沧州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由解析式可得函数的定义域应满足，求解即可. 【详解】函数的定义域应满足： ,解得且， 所以函数的定义域为. 故选:D. 3．已知函数，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的定义域，然后由抽象函数的定义域的求法求解即可. 【详解】因为， 由得：， 所以的定义域为：， 由得，所以， 故的定义域为：. 故选：A 易错分析：已知函数f(x)的定义域为[a,b]，求f[g(x)]的定义域应由求得. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的定义域得到的范围，根据分母不为0及被开方数非负得到关于的不等式，求出不等式的解集． 【详解】解：由函数的定义域是，得到， 故即 解得：； 所以原函数的定义域是：． 故选：． 【点睛】本题考查学生掌握复合函数的定义域，考查了对数不等式的解法，属于基础题． 5．已知函数的定义域为，值域为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是 【答案】B 【分析】根据题意，由抽象函数单调性的求解，逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A选项：令，可得，所以函数的定义域为，故A选项错误； 对于B选项：因为的值域为，所以的值域为，可得向下平移两个单位的函数的值域也为，故B选项正确； 对于C选项：令，得，所以函数的定义域为，故C选项错误； 对于D选项：若函数的值域为，则，此时无法判断其定义域是否为，故D选项错误. 故选：B 6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据的定义域为，得到的定义域为，再由求解. 【详解】解：因为的定义域为， 则，即， 所以的定义域为， 又， 所以函数的定义域为. 故答案为： 考点02 函数的单调性 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出定义域，再利用二次函数单调性判断出结果. 【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 故选：D. 易错分析：求函数的单调区间应先求函数的定义域，因为单调区间一定是函数定义域的子集. 2．函数的单调增区间为（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】由可得且，然后求出的减区间即可. 【详解】由可得且， 因为开口向下，其对称轴为， 所以的减区间为和 所以的单调增区间为和 故选：C 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（且）在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数型复合函数单调性列式求解即得. 【详解】由函数在上单调递增，得或，解得或， 实数的取值范围是. 故选：D 易错分析：函数在上单调递增，则函数一定在区间上有意义. 4．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数的单调性，结合对数函数、二次函数的单调性即可求解. 【详解】由于在上单调递减，令，， 因为为减函数，又在区间上单调递增， 由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减， 且在上恒成立，因为为二次函数，开口向下， 对称轴为，由在上单调递减，可得，解得， 由在上恒成立，即，， 可得在上恒成立，则， 综上，实数a的取值范围为 故选：D. 5．（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题设条件证明，再验证时条件满足即可. 【详解】若在上单调递增， 则必然在处有定义，所以，即； 若，则当时，所以在上有定义， 再由知在上单调递增，所以在上单调递增. 故选：C. 6．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性、结合对数型复合函数的单调性列不等式求解作答. 【详解】由或. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 又函数在上单调递增，所以. 即的取值范围为：. 故选：D 7．（24-25高三上·四川眉山·期中）命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性得到不等式得到，分离常数后，由的单调性得到，结合集合的包含关系得到是的充分不必要条件. 【详解】要在上单调递减， 则，解得， 在为增函数，则，解得， 因为是的真子集，故命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 易错分析：分析分段函数的单调性时要注意两方面，一是各段的单调性，二是分段处函数值的大小关系. 8．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知的最小值是，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因为函数有最小值，所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，再结合，即可解得结果. 【详解】因为函数的最小值是， 所以当时，函数单调递减，即，解得① 当时，函数单调递增，即② 又因最小值为，得，解得③，联立①②③可得. 故选：D 考点03 导数的几何意义 1．（24-25高三上·黑龙江·期末）设函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出导函数，再得出切线的斜率进而得出点斜式方程即可. 【详解】由题意得， 于是当时，曲线在点处的切线斜率为， 此时切线方程为，即. 故选:D. 2．过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标为，求得切线方程为，把原点代入方程，得到，解得，即可求得切线方程. 【详解】由函数，可得， 设切点坐标为，可得切线方程为， 把原点代入方程，可得，即， 解得，所以切线方程为，即. 故选：A. 易错分析： 求曲线的切线方程时要区分在P点和过P点的切线的不同. 3．（2024·湖南·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义求解即可. 【详解】由题意，的导函数，故曲线在点处的切线斜率为， 则切线方程，即， 故选：B. 4．（2024·河北邯郸·二模）设函数的图像与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令可计算出切点坐标，结合导数的几何意义可得切线斜率，即可得解. 【详解】令，即，即，解得， 故，，则， 则其切线方程为：，即. 故选：C. 5．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 6．（2024·河南信阳·三模）动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出定义域，求导，结合基本不等式得到，求出以P为切点的切线的倾斜角取值范围. 【详解】令，解得，故的定义域为， ，当且仅当，即时，等号成立， 故，故以P为切点的切线的倾斜角取值范围是. 故选：C 易错分析： 复合函数求导时要注意正确应用复合函数的求导法则. 7．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线的一条切线方程为，则实数（　　） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据切线的斜率的几何意义可知，求出切点，代入切线即可求出. 【详解】设切点为 因为切线， 所以， 解得（舍去） 代入曲线得， 所以切点为 代入切线方程可得，解得. 故选：D. 8．（2024·四川宜宾·模拟预测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】求出的导数，求得切线的斜率为1，可得切线方程，再设与曲线相切的切点为，求得函数的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得的值，进而得到的值. 【详解】由曲线，得， 在处的切线斜率为，当时，， 曲线在处的，即， 曲线，导数为， 设切点为，则，解得，切点在切线上， 即有，得. 故选：A. 9．已知直线是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再利用导数的几何意义求解作答. 【详解】函数，求导得，令直线与曲线相切的切点为， 于是且，所以. 故选：B 10．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】利用方程组法求出函数解析式，然后利用导数求切线斜率，由点斜式可得切线方程. 【详解】因为，所以， 令，得，解得，所以切线斜率为2， 因为，令，得， 解得，所以切点坐标为. 所以在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 11．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 【答案】2 【分析】设出两个切点坐标，根据导数的几何意义可得．将切点代入两条曲线，联立方程可分别求得. 【详解】直线是曲线的切线，也是曲线的切线， 则两个切点都在直线上，设两个切点分别为,，,， 则两个曲线的导数分别为，， 由导数的几何意义可知，则， 且切点在各自曲线上， 则将代入①可得，，③ ③②可得， 故答案为：2． 考点04 导数与函数的单调性 1．函数的递增区间是（    ） A． B．和 C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求的递增区间. 【详解】由题设，且，可得， 所以递增区间为. 故选：C 易错分析： 利用导数求函数的单调区间时要先求函数的定义域，再在定义域上求函数的单调区间. 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，解不等式可得. 【详解】的定义域为 解不等式，可得， 故函数的递减区间为. 故选：B． 3．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，导函数在上恒非负，根据恒成立的问题的办法解决. 【详解】，又在上单调递增，故在上恒成立，而时，易见，只需要即可，故. 故选：B. 4．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得导函数，根据函数单调递减可知在区间上恒成立，即可由定义域及不等式求得的取值范围. 【详解】函数，. 则， 因为在区间上单调递减， 则在区间上恒成立，即， 所以在区间上恒成立， 所以，解得， 故选：A. 5．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把题意转化为在上有解，设，利用导数判断单调性，即可求解. 【详解】由可得：. 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在上有解，即在上有解. 设，由在上恒成立，所以在单调递增，所以. 所以. 故选：D 易错分析： 已知函数的单调性求参数问题往往要转化为函数的最值问题处理. 6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，只需存在区间，使得当时，，根据导数的零点大小分，和讨论求解. 【详解】由题意得， 要使在上存在单调递减区间，只需存在区间，使得当时，， 当时，，显然不存在满足条件的区间； 当时，的解集为，因为， 所以要使在上存在单调递减区间，则，解得； 当时，的解集为，因为， 所以要使在上存在单调递减区间，则，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A. 7．若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 【答案】B 【详解】首先求出的定义域和极值点，由题意得极值点在区间内，且，得出关于的不等式组，求解即可． 【分析】函数的定义域为， 且， 令，得， 因为在区间上不单调， 所以，解得： 故选：B. 8．若都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】将所给不等式转化为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，由此得出正确的选项. 【详解】根据题意，若，则. 设. 所以可得在，函数为增函数. 对于，其导数. 若，解得，即函数的递增区间为； 若都有成立，即在，函数为增函数，则的最大值为1. 故选：B. 9．（24-25高三上·山东烟台·期末）已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)或； (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义结合切线方程，列式求解，即得答案. （2）求出函数的导数，结合二次函数的判别式，分类讨论，判断导数正负，即可求得答案. 【详解】（1）由于，则， 点在上， 故； 又，则， 则，解得或； （2）由题意得的定义域为， 则， 令， 当时，即，所以在上单调递减； 当时，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，的根为， 由于，即， 当或时，， 在和上单调递增； 当时，， 在上单调递减； 综上，当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减. 当时，在上单调递增. 考点05导数与函数的极值 1．（24-25高三上·北京海淀·期末）设函数，则“”是“没有极值点”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求出函数的导数，利用极值点的意义，及充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】函数，求导得， 当时，，当且仅当时取等号，则在R上单调递增，无极值点； 若没有极值点，则没有变号零点，因此，解得， 所以“”是“没有极值点”的充分必要条件. 故选：C 2．（24-25高三上·江苏常州·期末）若函数在处取得极小值，则实数（    ） A． B．2 C．2或0 D．0 【答案】D 【分析】对函数求导，根据极小值点求参数，注意验证即可得答案. 【详解】由，则，得或2， 时，，在R上单调递增，不满足； 时，，在上，在上， 所以在上单调递增，在上单调递减，满足题设， 所以. 故选：D 易错分析： 已知函数的极值（点）求参数要注意函数极值点其本质是函数单调性的转折点，对于可导函数而言，极值点处导数为零且两侧导函数的符号相反. 3．（2024·河北·模拟预测）设函数，若存在使得既是的零点，也是的极值点，则的可能取值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导后，令导数为零，讨论方程的根，再根据零点的定义即可求值. 【详解】由，得， 令，则或， 当时，由，得， 所以，则 当时，由，得， 由，得或， 当时，不存在极值点， 当时，得， 综上，， 所以当时，. 故选：B 4．函数在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，根据极值分析可得与有2个变号交点，对求导，利用导数判断其单调性和最值，结合的图象分析求解. 【详解】因为的定义域为，且， 令，可得， 由题意可知与有2个变号交点， 则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 可得，且当x趋近于0，趋近于，当x趋近于，趋近于0， 可得的图象，如图所示： 由图象可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D. 5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数有极值点在闭区间上，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对求导，求出的单调性和极值，可得或，解不等式即可得出答案. 【详解】因为的定义域为， 所以， 令，解得：或， 令，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以为的极大值点，为的极小值点， 所以或， 解得：或. 所以的取值范围为：. 故选：A. 6．（2024·广西·二模）已知是函数的极小值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据极小值的定义，在的左侧函数递减，右侧函数递增可得. 【详解】由已知，， 令得或， 由题意是极小值点，则， 若，则时，，单调递减，时，，单调递增， 则是函数的极小值点， 若，则时，，单调递减，时，，单调递增， 则是函数的极大值点，不合题意， 综上，，即. 故选：A. 7．（2025高三·全国·专题练习）函数的极值点为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，运用导函数正负得到单调性，得到极值点. 【详解】由已知，得的定义域为，且， 令，得（负根舍去）. 当时，； 当时，， 当时，取得极小值，故的极小值点为，无极大值点. 故选:B. 8．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知函数，则（    ） A．函数有两个零点 B．函数在区间上单调递增 C．函数的极小值为 D．函数是奇函数 【答案】AC 【分析】求出函数的解析式，可求出函数的零点，可判断A选项；利用导数分析函数的单调性，可判断B选项；利用函数的极值与导数的关系可判断C选项；计算出的值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为， 所以，令，可得， 可知函数有两个零点，A对； 对于BC选项，因为，由可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减， 故在区间上不单调，函数的极小值为，B错C对； 对于D选项，设，若为奇函数，则， 即，但， 所以函数不是奇函数． 故选：AC． 9．（24-25高三上·青海·期中）已知函数的极小值点为1，极小值为.则（    ） A． B． C．有3个零点 D．直线与的图像仅有1个公共点 【答案】ACD 【分析】首先求函数的导数，根据极小值点以及极小值求参数，判断AB，再根据导数与函数的关系判断函数的图象，即可判断CD. 【详解】由题意得 则，解得，故A正确. 由，解得，故B错误. ， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以的极大值为， 画出草图，所以有3个零点，故C正确； 直线与的图像仅有1个公共点，故D正确. 故选：ACD. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数与导数 考点01 函数的定义域 1．（2025高三·全国·专题练习）下列函数中，定义域为的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·河北沧州·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 易错分析：已知函数f(x)的定义域为[a,b]，求f[g(x)]的定义域应由求得. 4．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，值域为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是 6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为 ，则函数的定义域为 ． 考点02 函数的单调性 1．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 易错分析：求函数的单调区间应先求函数的定义域，因为单调区间一定是函数定义域的子集. 2．函数的单调增区间为（    ） A． B． C．和 D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数（且）在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错分析：函数在上单调递增，则函数一定在区间上有意义. 4．（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 5．（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·河南许昌·期中）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·四川眉山·期中）命题在上为减函数，命题在为增函数，则命题是命题的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 易错分析：分析分段函数的单调性时要注意两方面，一是各段的单调性，二是分段处函数值的大小关系. 8．（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知的最小值是，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点03 导数的几何意义 1．（24-25高三上·黑龙江·期末）设函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（    ） A． B． C． D． 易错分析： 求曲线的切线方程时要区分在P点和过P点的切线的不同. 3．（2024·湖南·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·河北邯郸·二模）设函数的图像与轴相交于点，则该曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·河南信阳·三模）动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（     ） A． B． C． D． 易错分析： 复合函数求导时要注意正确应用复合函数的求导法则. 7．（2024·贵州六盘水·三模）已知曲线的一条切线方程为，则实数（　　） A． B． C．1 D．2 8．（2024·四川宜宾·模拟预测）若曲线在处的切线也是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D． 9．已知直线是曲线的切线，则（    ） A． B．1 C． D．2 10．（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则曲线在点处的切线方程为 . 11．（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 考点04 导数与函数的单调性 1．函数的递增区间是（    ） A． B．和 C． D． 易错分析： 利用导数求函数的单调区间时要先求函数的定义域，再在定义域上求函数的单调区间. 2．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 3．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错分析： 已知函数的单调性求参数问题往往要转化为函数的最值问题处理. 6．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 8．若都有成立，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 9．（24-25高三上·山东烟台·期末）已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为，求实数的值； (2)讨论函数的单调性. 考点05导数与函数的极值 1．（24-25高三上·北京海淀·期末）设函数，则“”是“没有极值点”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三上·江苏常州·期末）若函数在处取得极小值，则实数（    ） A． B．2 C．2或0 D．0 易错分析： 已知函数的极值（点）求参数要注意函数极值点其本质是函数单调性的转折点，对于可导函数而言，极值点处导数为零且两侧导函数的符号相反. 3．（2024·河北·模拟预测）设函数，若存在使得既是的零点，也是的极值点，则的可能取值为（   ） A．0 B． C． D． 4．函数在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数有极值点在闭区间上，则的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 6．（2024·广西·二模）已知是函数的极小值点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（2025高三·全国·专题练习）函数的极值点为（   ） A．3 B． C． D． 8．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知函数，则（    ） A．函数有两个零点 B．函数在区间上单调递增 C．函数的极小值为 D．函数是奇函数 9．（24-25高三上·青海·期中）已知函数的极小值点为1，极小值为.则（    ） A． B． C．有3个零点 D．直线与的图像仅有1个公共点 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$