培优专练+三年真题20数列与数列求和-2027年高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

**基本信息** 聚焦数列性质、通项求法及求和技巧，以题型为载体构建从性质分析到运算求解的逻辑体系 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断数列增减性|4题/含真题|结合充分必要条件、等差等比数列性质|性质-通项-求和递进，强化推理与运算能力| |确定最大(小)项|4题/含多选|通过通项公式或递推关系分析项的最值| |根据单调性求参数|4题/含解答题|结合数列增减性建立参数不等式| |累加法求通项|4题/含新定义|利用递推关系累加求通项| |an与sn关系求通项|4题/含求和最值|通过sn表达式转化求通项| |倒序相加法求和|4题/含函数背景|利用函数对称性构造倒序和| |错位相减法求和|4题/含证明|等差乘等比数列求和的核心方法| |裂项相消法求和|4题/含不等式证明|分式型数列裂项规律应用| |分组(并项)法求和|4题/含奇偶项分组|复杂数列拆分求和策略|

培优专练+三年真题20数列与数列求和 【考点一】判断数列的增减性 【考点六】倒序相加法求和 【考点二】确定数列中的最大(小)项 【考点七】错位相减法求和 【考点三】根据数列的单调性求参数 【考点八】裂项相消法求和 【考点四】累加法求数列通项 【考点九】分组(并项)法求和 【考点五】利用an与sn关系求通项或项 【题型一】判断数列的增减性 1．（2025·天津·二模）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据递增数列的概念及充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】递增数列是指一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，即. 若是摆动数列，可能有，但是不是递增数列，则仅不能推出为递增数列，但为递增数列可以推出. 所以“”是“为递增数列”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（2026·福建福州·三模）记为数列的前项和，则最小时，的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据数列的通项可知，数列中先从负数变为正数，故前n项和先减后增，在最后一项负数处取最小值． 【详解】令，； 故时，，越来越小； 故时，，从第10项开始，各项为正，开始变大； 故最小． 3．（2025·北京海淀·一模）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．若，则“是递增数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等差数列等比数列的性质来判断. 【详解】若是递增数列，则对所有的正整数都成立， 充分性：若是递增数列，则 即恒成立，又，， ①若数列为无穷数列， 若，则，时，，所以； 若，则，时，，所以; 此时充分性成立； ②若数列为有穷数列， 若， ，只需即可，此时充分性不成立. 必要性：时， 若，有，则不一定成立，故必要性不成立； 即时，“是递增数列”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4．（2026·安徽·模拟预测）已知数列满足 (n∈N*). (1)求数列的前项和； (2)设，证明：. 【答案】(1)； (2)由（1）知，， ，显然数列单调递减，因此， 即，所以. 【分析】（1）利用等差数列前项和公式求解. （2）由（1）的结论并变形并求出，再结合数列单调性及不等式性质推理得证. 【详解】（1）数列中，，则， 数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以数列的前项和. （2）略 【题型二】确定数列中的最大(小)项 1．（2026·陕西咸阳·三模）已知数列的通项公式为，则取到最大值时的值是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将通项公式变形为，通过分析其在分母临界点两侧的单调性来求解最大值. 【详解】对分离常数得：， 令，得， 当（为正整数）时，，因此； 当（为正整数）时，，因此， 因此的最大值一定出现在中，排除C、D， 在时，增大，（负数）增大，减小，增大， 因此随增大而增大，所以时，取到最大值， 验证：，是所有项中的最大值， 故. 2．（2025·浙江温州·模拟预测）已知数列满足，则数列中的最小项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项可得，计算，结合即可求解. 【详解】由可知为等差数列，且公差为2，首项为， 因此， 由于且， 故中的最小项为， 故选：B 3.（多选）（2025·山西晋中·三模）已知数列的通项公式为，前项和为，则（   ） A．既有最小项，也有最大项 B．使的的值共有个 C．满足的的值共有个 D．使取得最小值的的值为 【答案】AD 【分析】构造，由函数的单调性得的单调性，从而有，，即可判断A，C，D的正误；对于B，利用，直接求出的个数，即可求解. 【详解】令，易知在，上单调递减， 所以当时，，时，， 又由，知， ， 对于A，由上述分析知数列有最小项，且有最大项，故A正确； 对于B，由，知，又，所以或或或， 所以使的的值共有个，故B错误； 对于C，要使，又，所以，，中有个负数或个负数， 所以或或，故满足的n的值共有个，故C错误； 对于D，因为时，，时，，所以当时，取得最小值，故D正确． 故选：AD. 4.（2026·山东青岛·模拟预测）已知数列满足如下条件： ①； ②； ③存在正整数，使得； ④对任意正整数i，j，k满足，都有． (1)若，求的最大值； (2)设n的最大值为m，求m的值； (3)当n取最大值m时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，分类与两类，分析满足不等式关系的的取值（范围），进而得到的最大值； （2）通过分析数列的性质，构造关于的多个不等式，利用累加法由等比数列求和公式得到递推不等关系，再结合所得条件求解关于的范围，再给出取最值时符合题意的数列，即可得的最大值； （3）在取最大值的情况下，根据数列的性质④构造系列不等式，结合第（2）问解答可得，由得到，按照的取值情况分类讨论是否符合题意，排除产生矛盾的取值，再给出取最值时符合题意的数列即可得. 【详解】（1）若，当时，只需， 即，解得，如等差数列满足题意条件； 当时，只需， 即，解得，如等差数列满足题意条件； 综上可知，的最大值为. （2）由性质④对任意正整数i，j，k满足，， 令，分别取值，可得， 所以， 各式相加得， 即；可变形为， 由性质①与性质②，可得， 故任意，都有， 又因为性质③存在正整数，使得，可知， 所以，解得； 当时，数列符合题意， 所以n的最大值. （3）由（2）知，故. 由，， 由性质④对任意正整数i，j，k满足，都有， 可得下列不等式，记为系列不等式（） ，，， ，，， ，，， 由（2）知任意，都有，则， 又因为，故，解得. 下面结合的取值情况讨论. 若且上述系列不等式（）均取等号时，， 此时，可知此时数列中不含，故不合题意； ①当时，由，且数列递增， 故若，则. 若时，此时（即不等式一侧取不到等号）， 故由上述系列不等式（）依次可得 ，， ，， ，， 故，这与矛盾，故不合题意； 若时，由， 同理可得，故也不合题意； ②当时，由，且数列递增， 故若，同样可得. 但因为，又由， 则由系列不等式（）可得， ，即； 由，即， 同理依次可得 ，，， ，由数列递增， 则任意，，这与存在，矛盾，不合题意； ③当，同上可得，又由， 故若，则，满足， 当时，上述系列不等式（）均取等号时，此时， 此时数列满足题意， 故的最小值为． 【题型三】根据数列的单调性求参数 1．（2026·河北·三模）在数列中，，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 由题知恒成立，当时，即，得. 讨论单调性，若是递增数列，则函数随增大而增大. 已知为正且随n增大而增大，则随n增大而减小，故需，即. 综上，实数k的取值范围是. 2．（2025·上海·模拟预测）已知 ，若的前项和为，为递增数列，则范围为 ______． 【答案】 【分析】根据的前项和为，为递增数列，可知数列从第二项开始要为正数，然后即可求范围. 【详解】因为的前项和为，为增数列， 所以数列从第二项开始要为正数， ， 则范围为. 故答案为： 3.（多选）（2025·山东·模拟预测）已知数列的通项公式为，若为递减数列，为递增数列，则t的可能取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】分为正偶数、为正奇数两种情况，分别化简，利用增减性将问题转化为恒成立问题，即可求出的取值范围. 【详解】当为正偶数时，，则， 因为递增数列，则对任意的正偶数恒成立， 则，解得， 当为正奇数时，，则， 因为递减数列，则对任意的正奇数恒成立， 则，解得， 所以的取值范围是，故的可能取值为，． 故选：CD 4.（2026·山西运城·二模）已知等差数列的公差为． (1)若，求数列的前项和； (2)若数列为递减数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助等差数列定义计算可得，再利用等比数列与等差数列求和公式计算即可得解； （2）令，作差可得，结合递减数列定义，分为奇数与为偶数讨论即可得. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以 ； （2）设，则 ， 当为奇数时，， 因为数列为递减数列，所以，得， 当为偶数时，， 因为数列为递减数列，所以，得； 故的取值范围是． 【题型四】累加法求数列通项 1.（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 【答案】A 【分析】借助累加法及等差数列求和公式可求出数列的通项公式，即可得. 【详解】由，则，，， 则， 即， 又，故， 故. 2．（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 【答案】C 【分析】根据题可得，即可利用累加法求解通项得解. 【详解】由可得， 故 累加可得， 故， 故选：C 3.（2025·浙江绍兴·三模）已知定义在R上的函数满足且，则________． 【答案】 【分析】令，可得，由累加法求出，即可求出. 【详解】令，所以， 所以， 即，，……， 所以，以上式子相加可得：， 所以， 所以. 故答案为：. 4.（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列满足，且． (1)求； (2)若，求证：； (3)求的值． 【答案】(1) (2)证明如下： 由（1）可得， 则由， 可得， 即 整理得，因，则， 所以， 故. (3) 【分析】（1）根据题意结合累加法求解即可； （2）根据题干递推关系，利用两角和差的余弦公式化简推得，结合同角三角函数关系即可证得； （3）利用和差角的余弦公式可得，再根据三角函数的诱导公式化简并分组求和即可求解. 【详解】（1）由可得： ， ， ， ， 由累加法得， 又因为， 所以，故. （2）略 （3）由 ，可得 所以 . 【题型五】利用an与sn关系求通项或项 1．（2026·云南·模拟预测）已知数列的前n项和，则（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D． 【答案】B 【详解】. 2．（2026·河南商丘·模拟预测）记数列的前项和为，若，则当取最小值时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】当时，，当时，， 所以取最小值时，. 3.（2026·上海黄浦·三模）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 【答案】 【详解】当时，， 当时，，符合上式， 所以. 4.（2026·云南红河·模拟预测）若数列的前项和满足． (1)求，，的值，猜想数列的通项公式，并证明你的结论； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 猜想：． 证明： 当时，由① 得② ①－②得， 即，所以，即． 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以数列的通项公式为． (2) 【分析】（1）利用代入法，结合之间的关系进行运算证明即可； （2）根据对数的运算性质，结合等差数列的前项公式进行求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，故， 所以， 所以的前项和． 【题型六】倒序相加法求和 1．（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 【答案】D 【分析】由已知可得，利用倒序相加求和即得答案. 【详解】因为， 所以 ， 即：， 令， 则， 所以， 所以. 2．（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】B 【分析】根据给定函数，得，再利用倒序相加法求和即可. 【详解】由函数，得 ， 令， 则， 两式相加得， 所以，解得. 3．（2025·辽宁·模拟预测）若，数列满足，则的值是（    ） A．2024 B．4048 C．3036 D．2025 【答案】B 【分析】由表达式及得到 ，利用等差数列求和公式及倒序相加求和可求得结果. 【详解】， ， 则 . 因为 令，得 ； ； ； ………… 又 . 故 故选：B 4.（2026·安徽安庆·模拟预测）已知公差不为0的等差数列前项和为，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列性质得出，再结合等比中项求出公差即可写出通项； （2）先化简，推导出，26项可凑成13对即可求和. 【详解】（1）由题知，，得， 设等差数列的公差为， 则，解得（舍去）， 所以； （2）由题知，， 所以， 所以． 【题型七】错位相减法求和 1.（2025·河北沧州·模拟预测）已知为数列的前项和，且，若，则______． 【答案】 【分析】由题意以及等比数列的定义，可得数列的通项，根据等差数列的定义，可得的通项，利用错位相减法，可得答案. 【详解】因为，即， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以有， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， ， ， 则 ， 所以. 故答案为：. 2.（多选）（2026·辽宁盘锦·二模）已知数列的首项为4，且满足，则（   ） A．为等比数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 【答案】ABD 【分析】由数列递推式两边同除以，可得，推得为等比数列，可判断A项；通过证明和可得B正确；利用错位相减法可求得的前项和为，排除C项；化简得，易求得该数列的前项和推出D项正确. 【详解】由两边同除以，可得：， 因，则，故为等比数列，首项为4，公比为2. 对于A，由上分析，是公比为2的等比数列，即A正确； 对于B，由上分析，可得，即， 由，因，故为递增数列，故B正确； 对于C，由上已得，则 ①， 则 ②， 由：， 即，即， 故得，故C错误； 对于D，因，则， 故的前项和为，故D正确. 3.（2026·吉林长春·模拟预测）已知数列的前项和（）． (1)证明：为等差数列； (2)设（），求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)由即可证明数列为等差数列. (2)先利用错位相减求出解析式，再将代入即可求解的值. 【详解】（1）证明：由题意,在数列中, ， ∴,，   又满足 所以 ∴是以为首项，为公差的等差数列. （2）在中，   ， ， 两式相减得， ， ∴ 4．（2026·河北雄安·三模）已知在数列中，，当时，． (1)证明：为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可得，再利用等比数列定义即可证明； （2）借助错位相减法计算即可得. 【详解】（1）由，则， 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）可得，则，故， 则， 故， 则 ， 故. 【题型八】裂项相消法求和 1.（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知数列的前n项和，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据关系求出，再用裂项相消计算即可. 【详解】，则，则，， 而时，满足，故对，， 故. 故选：B. 2.（2025·河南·一模）数列的前项和为，，若在所有的正整数中，与最接近，则为_______. 【答案】15 【分析】由裂项相消法求和，即可求解. 【详解】令，则，， 所以 ， 所以，所以. 故答案为：15 3.（2026·甘肃嘉峪关·三模）记数列的前n项和为，已知． (1)求； (2)记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用数列的前n项和与第n项的关系求出通项公式. （2）利用裂项相消法求和即可推理得证. 【详解】（1）在数列中，， 当时，，而，满足上式， 所以. （2）依题意，， 则 ，而， 所以. 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列， . (1)求的通项公式； (2)设，求满足的的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等差数列通项公式写出的表达式，结合已知条件求和，再用前项和与通项的关系求的通项； （2）用裂项相消法求，代入不等式求解最小正整数. 【详解】（1）设的首项为，因为是公差为2的等差数列，故，， 当时，，平方得，因此， 由，得，令，则，解得（负根舍去），故， 因此，即， 当时，；当时，，符合上式， 综上，的通项公式为. （2）由，得： ， 因此： ， 代入不等式，得： ， 化简得， 解得， 又，故的最小值为. 【题型九】分组(并项)法求和 1.（2025·湖北武汉·模拟预测）数列的前2025项和为（   ） A．1012 B． C．1013 D． 【答案】C 【分析】通过将数列的前2025项和进行分组，根据相邻两项的规律，并项求出和. 【详解】设数列的前项和为，则. 可以将相邻两项看作一组，即，，，，，一共有组，还剩下最后一项2025. 每一组的值都为，例如，，，以此类推. 因为一共有1012组，每组的值为，所以前2024项分组后的和为. 等于前2024项分组后的和加上最后一项2025，即. 故选：C. 2.（2025·山东泰安·三模）数列的通项公式为，则_______. 【答案】 【分析】根据题意，得到，得到是以8为周期的数列，结合数列的周期性，即可求解. 【详解】由，可得， 所以是以8为周期的数列，且2025=8×253+1，， 所以. 故答案为：. 3.（多选）（2025·河北·二模）已知数列的前项和为，且满足，，，则以下说法正确的是（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C． D． 【答案】AB 【分析】设，求出，可构造等比数列、，进而求出数列的通项，再利用分组求和求. 【详解】设，则， 则，解得或， 当时，， 因，所以是以4为首项，4为公比的等比数列， 所以①，故A正确； 当时，， 因，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以②，故B正确； ①②两式作差得，，故C错误； 数列的前项和为， 数列的前项和为， 则，故D错误． 故选：AB． 4.（2026·广西南宁·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系求出的通项公式，根据题意得到为等比数列，根据等比数列通项公式求出，进而求出的通项公式； （2）分组后由等差数列和等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，满足上式，所以； 由得， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. （2） . 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 2．（2026·北京·高考真题）已知，均为无穷数列，则“存在常数，使得”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】通过验证充分性与必要性，即可得出结论. 【详解】由题意， ，是无穷数列， 验证充分性： 当存在常数，使时， ，， 显然成立， 验证必要性： 当，时，此时满足, 假设存在常数，使成立， 当时，，， 此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”， 但不存在这样的固定常数， ∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立， ∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件. 3．（2026·天津·高考真题）已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 【答案】C 【分析】根据前n项和的含义，依次令，逐步计算即可得到结果. 【详解】由，得 ，即； ，即； 因为，所以； ，即，所以； ，即，所以. 二、填空题 4．（2024·上海·高考真题），任意，满足，求有序数列有_____对. 【答案】48 【分析】先确定，再结合，设，可得到，进而求出这四个数，从而求得答案. 【详解】由题意知， 满足， 不妨设， 则必有， 若，解得； 若，解得， 由此可知此时有2种情况， 结合任意，共有对， 故答案为：48 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是结合推出时，这四个数的值，进而结合题意求得答案. 三、解答题 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 6．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）, 所以 故 所以 ， . 7．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 【答案】(1)； (2)（i）证明：由（1）或，， 当时， 设 ， 所以， 所以 ， 所以，为中的最大元素， 此时恒成立， 所以对，均有. （ii） 【分析】（1）设数列的公差为d，数列公比为，由题设列出关于d和的方程求解，再结合等差和等比数列通项公式即可得解； （2）（i）由题意结合（1）求出和的最大值，再作差比较两者大小即可证明； （ii）法一：根据中全为1、一个为0其余为1、2个为0其余为、…、全为0几个情况将中的所有元素分系列，并求出各系列中元素的和，最后将所有系列所得的和加起来即可得解； 法二：根据元素的特征得到中的所有元素的和中各项出现的次数均为次即可求解. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列公比为， 则由题得， 所以； （2）（i）略 （ii）法一：由（i）得对任意实数，均有， 所以，， 所以取值随着的取值不同各不相同， 又为中的最大元素， 由题意可得中的所有元素由以下系列中所有元素组成： 当均为1时：此时该系列元素只有即个； 当中只有一个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素有共有个， 则这个元素的和为； 当中只有2个为0，其余均为1时： 此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当中有个为0，其余均为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； … 当中有个为0，1个为1时：此时该系列的元素为共有个， 则这个元素的和为； 当均为0时：此时该系列的元素为即个， 综上所述，中的所有元素之和为 ； 法二：由（i）得，为中的最大元素， 由题意可得， 所以的所有的元素的和中各项出现的次数均为次， 所以中的所有元素之和为. 8．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）通过基本量计算即可求得通项公式； （2）（i）分析和项的特征，结合集合的定义即可得解；（ii）利用分组求和法和错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，即，解得或（公比不能为0，舍去）， 所以 （2）（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项， 根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成， 小于的正偶数有个，由得，， 所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个， 所以. （ii）当时，中小于等于的项有个， 又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个， 所以， 所以， 从到共有项， 又为奇数时， 所以 ， 所以 令①， 则②， ①-②得 ， 所以， 所以 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专练+三年真题20数列与数列求和 【考点一】判断数列的增减性 【考点六】倒序相加法求和 【考点二】确定数列中的最大(小)项 【考点七】错位相减法求和 【考点三】根据数列的单调性求参数 【考点八】裂项相消法求和 【考点四】累加法求数列通项 【考点九】分组(并项)法求和 【考点五】利用an与sn关系求通项或项 【题型一】判断数列的增减性 1．（2025·天津·二模）已知是一个无穷数列，“”是“为递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·福建福州·三模）记为数列的前项和，则最小时，的值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3．（2025·北京海淀·一模）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列．若，则“是递增数列”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2026·安徽·模拟预测）已知数列满足 (n∈N*). (1)求数列的前项和； (2)设，证明：. 【题型二】确定数列中的最大(小)项 1．（2026·陕西咸阳·三模）已知数列的通项公式为，则取到最大值时的值是（） A． B． C． D． 2．（2025·浙江温州·模拟预测）已知数列满足，则数列中的最小项为（    ） A． B． C． D． 3.（多选）（2025·山西晋中·三模）已知数列的通项公式为，前项和为，则（   ） A．既有最小项，也有最大项 B．使的的值共有个 C．满足的的值共有个 D．使取得最小值的的值为 4.（2026·山东青岛·模拟预测）已知数列满足如下条件： ①； ②； ③存在正整数，使得； ④对任意正整数i，j，k满足，都有． (1)若，求的最大值； (2)设n的最大值为m，求m的值； (3)当n取最大值m时，求的最小值． 【题型三】根据数列的单调性求参数 1．（2026·河北·三模）在数列中，，若是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·模拟预测）已知 ，若的前项和为，为递增数列，则范围为 ______． 3.（多选）（2025·山东·模拟预测）已知数列的通项公式为，若为递减数列，为递增数列，则t的可能取值为（    ） A． B． C． D． 4.（2026·山西运城·二模）已知等差数列的公差为． (1)若，求数列的前项和； (2)若数列为递减数列，求的取值范围． 【题型四】累加法求数列通项 1.（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 2．（2025·天津和平·三模）定义新运算：，已知数列满足，，则（   ） A．239 B．225 C．211 D．261 3.（2025·浙江绍兴·三模）已知定义在R上的函数满足且，则________． 4.（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列满足，且． (1)求； (2)若，求证：； (3)求的值． 【题型五】利用an与sn关系求通项或项 1．（2026·云南·模拟预测）已知数列的前n项和，则（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D． 2．（2026·河南商丘·模拟预测）记数列的前项和为，若，则当取最小值时，（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3.（2026·上海黄浦·三模）已知数列的前项和为（为正整数），则数列的通项公式为________． 4.（2026·云南红河·模拟预测）若数列的前项和满足． (1)求，，的值，猜想数列的通项公式，并证明你的结论； (2)设，求数列的前项和． 【题型六】倒序相加法求和 1．（2026·广西桂林·一模）已知函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1013 D． 2．（2026·山西临汾·一模）已知，数列满足：，则为（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 3．（2025·辽宁·模拟预测）若，数列满足，则的值是（    ） A．2024 B．4048 C．3036 D．2025 4.（2026·安徽安庆·模拟预测）已知公差不为0的等差数列前项和为，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求. 【题型七】错位相减法求和 1.（2025·河北沧州·模拟预测）已知为数列的前项和，且，若，则______． 2.（多选）（2026·辽宁盘锦·二模）已知数列的首项为4，且满足，则（   ） A．为等比数列 B．为递增数列 C．的前项和 D．的前项和 3.（2026·吉林长春·模拟预测）已知数列的前项和（）． (1)证明：为等差数列； (2)设（），求． 4．（2026·河北雄安·三模）已知在数列中，，当时，． (1)证明：为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【题型八】裂项相消法求和 1.（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知数列的前n项和，则（   ） A． B． C． D． 2.（2025·河南·一模）数列的前项和为，，若在所有的正整数中，与最接近，则为_______. 3.（2026·甘肃嘉峪关·三模）记数列的前n项和为，已知． (1)求； (2)记数列的前n项和为，证明：． 4．（2026·安徽合肥·模拟预测）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列， . (1)求的通项公式； (2)设，求满足的的最小值. 【题型九】分组(并项)法求和 1.（2025·湖北武汉·模拟预测）数列的前2025项和为（   ） A．1012 B． C．1013 D． 2.（2025·山东泰安·三模）数列的通项公式为，则_______. 3.（多选）（2025·河北·二模）已知数列的前项和为，且满足，，，则以下说法正确的是（    ） A．是等比数列 B．是等比数列 C． D． 4.（2026·广西南宁·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）. 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 2．（2026·北京·高考真题）已知，均为无穷数列，则“存在常数，使得”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·天津·高考真题）已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 二、填空题 4．（2024·上海·高考真题），任意，满足，求有序数列有_____对. 三、解答题 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 6．（2024·全国甲卷·高考真题）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 7．（2025·天津·高考真题）已知数列是等差数列，是等比数列，． (1)求，的通项公式； (2)，，有， （i）求证：对任意实数，均有; （ii）求所有元素之和． 8．（2026·天津·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 1 学科网（北京）股份有限公司 $