信息必刷卷02（新高考Ⅰ卷专用）-2025年高考数学考前信息必刷卷

绝密★启用前 2025年高考考前信息必刷卷02（新高考Ⅰ卷） 数 学·参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A D D A A B A C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD AC AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14．； 1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 【详解】（1），所以由得，所以，解得或，（4分） 因为，所以，则，故，则，故．（3分） （2） 因为，令，则，由三角形面积公式得，（9分） 则，故， 由余弦定理得，则，解得，（11分） 从而，，，故的周长为．（12分） 16．（15分） 【答案】(1)至少有1人初赛成绩优秀的概率为，分布列见详解，.(2)估计小华有资格参加复赛. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，样本中位于区间内的人数：，样本中位于区间内的人数，（2分） 抽取的2人中成绩优秀的人数可能的取值有0，1，2，则， ，，（5分） 所以的分布列为 X 0 1 2 P 因此，至少有1人初赛成绩优秀的概率，数学期望.（9分） （2）由频率分布直方图可知：，由，得，又，，（13分） 所以全校参加初赛学生中，不低于85分的约有人，因为，所以估计小华有资格参加复赛.（15分） 17．（15分） 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1）图乙中，由题意知，所以，，，平面，所以平面．（2分） （2）取中点为，由于为中点，故且，结合，，所以且，故四边形为平行四边形，所以，而平面，平面，故平面．（6分） （3）在等腰梯形中，设，过C作，则所以，在中，由余弦定理得， 所以,所以，（10分） 如图以分别为轴建立空间直角坐标系：， 设平面法向量为，则，即， 令，则，则，（13分） 平面法向量可取为，设平面与平面夹角为，所以，故．（15分） 18．（17分） 【答案】(1)，；(2)；(3)2170. 【详解】（1）在等差数列中，，而，解得，公差， 则；（2分） 设等比数列的公比为，，由，得，即，解得，，所以数列和的通项公式分别为，.（5分） （2）由（1）得，当为奇数时，， 则；（7分） 当为偶数时，，， ， 则，（9分） 两式相减得 ，因此， 所以.（12分） （3）依题意，数列： 项为前的总项数为，数列是递增的，（14分） 当时，，当时，， 因此数列的前项中，有数列的前项，有个， 所以.（17分） 19．（17分） 【答案】(1)在区间上单调递减；(2)；(3)证明见解析 【详解】（1）时，.显然，在区间上单调递增.所以，即.所以在区间上单调递减.（3分） （2）在上存在极值.即在上有变号零点. 令.则，记，即与的图像在上有交点.（5分） 又，易知在上恒成立，所以在上为增函数且.所以，从而，（8分） 当时，存在唯一实数，使得成立当时在上单调递增；当时，在上单调递减.所以为函数的极值，综上，若函数在上存在极值，的取值范围为.（12分） （3） 当时，要证，即证.令，显然.令，（14分） 当时，；当时，.所以在时单调递减；在时单调递增.所以（16分） 所以，即.所以时，，得证.（17分） 7 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年高考考前信息必刷卷02（新高考Ⅰ卷） 数 学 考情速递 高考·新动向：高考数学的新动向不仅体现在命题趋势的变化上，还包括题目呈现方式的多样化，比如选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现以考查“三基”为重点的导向。 高考·新考法：对常规考点的新设问或知识融合，对非常规考点的创新糅合等，比如以古代建筑中的几何结构为背景，考查立体几何中的角度、距离计算等。考生需要从复杂的文化背景中抽象出几何模型，像古代的亭台楼阁可能涉及到棱柱、棱锥等立体几何形状，然后运用立体几何知识解题。 高考·新情境：在新高考的要求下，数学试题的呈现方式有了很大变化。比如通过开放性试题、探究性试题以及应用性建模创新题等新题型，对学生的数学思维和综合能力进行考查。像2024年的一些模拟试题中，开放性试题要求学生根据给定条件，自主寻找满足条件的取值等，这体现了在题型设计上的创新，突破了传统题型的局限，更加注重学生的自主思考和创新能力的培养 命题·大预测：2025年高考数学将会更加注重基础回归，考点精简，更多考查基本概念、原理。题面创新：虽考点简化，但题面呈现形式创新，考查知识的灵活运用能力。开放性增强：开放性问题会增加，着重考查思维品质与创新精神 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，所以，则. 2．已知集合，，下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，易知但，因此不正确，即A错误；对于B，易知，即B错误；对于C，，即C错误；对于D，易求得，即D正确. 3．已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】由，则，即，即.解得. 4．已知函数定义域为，则命题：“函数为偶函数”是命题“，满足”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若为偶函数，则有，充分性满足；若，则有. ，即，而为奇函数，因此必要性不满足.故命题：“函数为偶函数”是命题“，满足”的充分不必要条件. 5．函数，的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，该函数为偶函数，所以 ,则关于 对称，又 故排除B项； ，则，即，只有A中图象符合， 6．已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】显然离心率，解得，即，分别为C的左右顶点，B为上顶点，则，，于是，而，即，又，因此联立解得，所以椭圆的方程为. 7. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球的直径，且，则点到底面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】∵三棱锥的所有顶点都在球的球面上，为球的直径且，∴球心是的中点，球半径，过作平面，垂足是，∵满足，，∴是中点，且，∴，∴点到底面的距离为．故选：A． 8．设，若方程（）有个不同的根，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因方程（）有个不同的根，，，则，经比较系数可得，则问题等价于，当方程有三个不同根时，k的范围，即图象与有三个交点时，k的范围，注意到， 令；令，则在上单调递增，在上单调递减，则极大值为，极小值为，则要使图象与有三个交点，k需在极小值与极大值之间，即. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为，大正方形面积为，则下列说法正确的是（    ） A．每一个直角三角形的面积为 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】如图：设，，则，所以. 所以，.对于A选项：每个直角三角形的面积为：，故A正确；对于B选项：，故B错误；对于C选项：，故C正确；对于D选项：，故D正确.故选：ACD 10. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字表示第一次抛掷骰子的点数，数字表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记事件“”，事件“”，事件“”，[注：余数运算表示整数除以整数所得余数为．则（ ） A. B.与为对立事件 C. 与相互独立 D. 与相互独立 【答案】AC 【详解】依题意，依次拋郑两枚质地均匀的骰子，基本事件总数为个，事件“”包含的样本点有：，共个；事件，包含的样本点有：，， 共个；事件“”，包含的样本点有：，共个， 对于A，，A正确；对于B，包含样本点，事件与不为对立事件，B错误； 对于C，事件包含的样本点有，个，， 则，即，事件与相互独立，C正确；对于D，事件包含的样本点有：，共个，而，，事件与不相互独立，D错误．故选：AC 11．用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，则（    ） A．C的准线方程为 B． C．若点，则 D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线上 【答案】AD 【详解】由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为，所以A正确；由抛物线的光学性质可知，直线经过焦点F，且斜率不为0，设直线，联立方程组，整理得，可得，所以，所以B错误；若点，则，所以，所以，，所以，所以C错误；又由直线，联立方程组，解得，由，得，所以，所以点N在直线上，所以D正确.故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数的定义域，值域，则函数为增函数的概率是 ． 【答案】 【详解】若函数的定义域为，值域为，则不同的函数的个数为，其中增函数共有3个：（1）；（2）； （3）；故所求概率为. 13．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，点在上，且在轴上的射影为，若，则的渐近线方程为 ． 【答案】 【详解】易知轴，不妨设点在第一象限，联立得，故，又，即，可得，即，则，解得或（舍），即，则，故渐近线方程为． 14．现代建筑讲究的线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率，若曲线和在处的曲率分别为，则 ；设余弦曲线的曲率为K，则的最大值为 ． 【答案】 ； 1 【详解】因为,所以 ,所以,所以 .因为 ,所以 .所以,所以 ,.,,则,所以.令则因为所以在上单调递增，当即时，有最大值所以 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小；(2)若，且AC边上的高为，求的周长． 【答案】(1)；(2)15 【详解】（1），所以由得，所以，解得或，（4分） 因为，所以，则，故，则，故．（3分） （2） 因为，令，则，由三角形面积公式得，（9分） 则，故， 由余弦定理得，则，解得，（11分） 从而，，，故的周长为．（12分） 16．（15分）某中学为提升学生们的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩排名前两百名的学生参加复赛．已知共有8000名学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)规定初赛成绩中不低于90分为优秀，8090分为良好，7080分为一般，6070分为合格，60分以下为不合格，若从上述样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求至少有1人初赛成绩优秀的概率，并求初赛成绩优秀的人数的分布列及数学期望； (2)由频率分布直方图可认为该校全体参加初赛学生的初赛成绩服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．已知小华的初赛成绩为85分，利用该正态分布，估计小华是否有资格参加复赛？ （参考数据：；若，则，，． 【答案】(1)至少有1人初赛成绩优秀的概率为，分布列见详解，.(2)估计小华有资格参加复赛. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，样本中位于区间内的人数：，样本中位于区间内的人数，（2分） 抽取的2人中成绩优秀的人数可能的取值有0，1，2，则， ，，（5分） 所以的分布列为 X 0 1 2 P 因此，至少有1人初赛成绩优秀的概率，数学期望.（9分） （2）由频率分布直方图可知：，由，得，又，，（13分） 所以全校参加初赛学生中，不低于85分的约有人，因为，所以估计小华有资格参加复赛.（15分） 17．（15分）如图，在平面图形甲中，，，与分别为以斜边的等腰直角三角形，现将该图形沿向上翻折使边重合（重合于），连.图乙中，为中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【详解】（1）图乙中，由题意知，所以，，，平面，所以平面．（2分） （2）取中点为，由于为中点，故且，结合，，所以且，故四边形为平行四边形，所以，而平面，平面，故平面．（6分） （3）在等腰梯形中，设，过C作，则所以，在中，由余弦定理得， 所以,所以，（10分） 如图以分别为轴建立空间直角坐标系：， 设平面法向量为，则，即， 令，则，则，（13分） 平面法向量可取为，设平面与平面夹角为，所以，故．（15分） 18．（17分）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数，设，求； (3)若对于数列，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求. 【答案】(1)，；(2)；(3)2170. 【详解】（1）在等差数列中，，而，解得，公差， 则；（2分） 设等比数列的公比为，，由，得，即，解得，，所以数列和的通项公式分别为，.（5分） （2）由（1）得，当为奇数时，， 则；（7分） 当为偶数时，，， ， 则，（9分） 两式相减得 ，因此， 所以.（12分） （3）依题意，数列： 项为前的总项数为，数列是递增的，（14分） 当时，，当时，， 因此数列的前项中，有数列的前项，有个， 所以.（17分） 19．（17分）已知函数，其中为自然对数的底数. (1)当时，判断函数在区间上的单调性； (2)令，若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围； (3)求证：当时，. 【答案】(1)在区间上单调递减；(2)；(3)证明见解析 【详解】（1）时，.显然，在区间上单调递增.所以，即.所以在区间上单调递减.（3分） （2）在上存在极值.即在上有变号零点. 令.则，记，即与的图像在上有交点.（5分） 又，易知在上恒成立，所以在上为增函数且.所以，从而，（8分） 当时，存在唯一实数，使得成立当时在上单调递增；当时，在上单调递减.所以为函数的极值，综上，若函数在上存在极值，的取值范围为.（12分） （3） 当时，要证，即证.令，显然.令，（14分） 当时，；当时，.所以在时单调递减；在时单调递增.所以（16分） 所以，即.所以时，，得证.（17分） 8 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 2025年高考考前信息必刷卷02（新高考Ⅰ卷） 数 学 考情速递 高考·新动向：高考数学的新动向不仅体现在命题趋势的变化上，还包括题目呈现方式的多样化，比如选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现以考查“三基”为重点的导向。 高考·新考法：对常规考点的新设问或知识融合，对非常规考点的创新糅合等，比如以古代建筑中的几何结构为背景，考查立体几何中的角度、距离计算等。考生需要从复杂的文化背景中抽象出几何模型，像古代的亭台楼阁可能涉及到棱柱、棱锥等立体几何形状，然后运用立体几何知识解题。 高考·新情境：在新高考的要求下，数学试题的呈现方式有了很大变化。比如通过开放性试题、探究性试题以及应用性建模创新题等新题型，对学生的数学思维和综合能力进行考查。像2024年的一些模拟试题中，开放性试题要求学生根据给定条件，自主寻找满足条件的取值等，这体现了在题型设计上的创新，突破了传统题型的局限，更加注重学生的自主思考和创新能力的培养 命题·大预测：2025年高考数学将会更加注重基础回归，考点精简，更多考查基本概念、原理。题面创新：虽考点简化，但题面呈现形式创新，考查知识的灵活运用能力。开放性增强：开放性问题会增加，着重考查思维品质与创新精神 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则（   ） A．4 B． C． D． 2．已知集合，，下列结论成立的是（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数（   ） A． B． C． D．2 4．已知函数定义域为，则命题：“函数为偶函数”是命题“，满足”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数，的部分图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 7. 已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，满足，，为球的直径，且，则点到底面的距离为（ ） A. B. C. D. 8．设，若方程（）有个不同的根，，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为，大正方形面积为，则下列说法正确的是（    ） A．每一个直角三角形的面积为 B． C． D． 10. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，用数字表示第一次抛掷骰子的点数，数字表示第二次抛掷骰子的点数，用表示一次试验的结果．记事件“”，事件“”，事件“”，[注：余数运算表示整数除以整数所得余数为．则（ ） A. B.与为对立事件 C. 与相互独立 D. 与相互独立 11．用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，则（    ） A．C的准线方程为 B． C．若点，则 D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线上 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数的定义域，值域，则函数为增函数的概率是 ． 13．已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，点在上，且在轴上的射影为，若，则的渐近线方程为 ． 14．现代建筑讲究的线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率，若曲线和在处的曲率分别为，则 ；设余弦曲线的曲率为K，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小；(2)若，且AC边上的高为，求的周长． 16．（15分）某中学为提升学生们的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩排名前两百名的学生参加复赛．已知共有8000名学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图： (1)规定初赛成绩中不低于90分为优秀，8090分为良好，7080分为一般，6070分为合格，60分以下为不合格，若从上述样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求至少有1人初赛成绩优秀的概率，并求初赛成绩优秀的人数的分布列及数学期望； (2)由频率分布直方图可认为该校全体参加初赛学生的初赛成绩服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．已知小华的初赛成绩为85分，利用该正态分布，估计小华是否有资格参加复赛？ （参考数据：；若，则，，． 17．（15分）如图，在平面图形甲中，，，与分别为以斜边的等腰直角三角形，现将该图形沿向上翻折使边重合（重合于），连.图乙中，为中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求平面与平面夹角的正弦值. 18．（17分）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，满足，，，. (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数，设，求； (3)若对于数列，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前项和为，求. 19．（17分）已知函数，其中为自然对数的底数. (1)当时，判断函数在区间上的单调性； (2)令，若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围； (3)求证：当时，. 8 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$