第九章 变量之间的关系-阶段拔尖专训课件 2024-2025学年鲁教版（五四制）数学六年级下册

阶段拔尖专训 整体思想在整式乘 法中的运用 1 幂的运算法则在整体思想中的应用 1.已知， . （1）求 的值； 【解】 . （2）求 的值. . 2 2.[2024·青岛月考] 已知 ，求 的值. 【解】因为，所以 . 所以 . 3 化繁为简法在整体思想中的应用 3.已知,, ,求 的值. 【解】由,, ,可得 ,,所以 . 4 变形在整体思想中的应用 4.[2024·德州月考] 已知 ，求代数式 的值. 【解】原式 . 因为 ， 所以原式 . 5 5.已知，.求 的值. 【解】因为 ， 所以 ， 即 . 所以 . 因为 ， 所以 . 6 6.[2024·济南槐荫区期末] “数缺形时少直观，形缺数时难入 微.数形结合百般好，隔裂分家万事休.”数形结合是解决数学 问题的重要思想方法.如图①，是一个长为、宽为 的长 方形，沿图中虚线用剪刀分成四个小长方形，然后按图②的 形状拼成一个正方形. 7 （1）用两种不同的方法表示图②中小正方形（阴影部分） 的面积： 方法一： _________； 方法二： ________________； 8 （2），， 这三个代数式之间的等量关 系为 __________________________； 9 （3）应用（2）中发现的关系式解决问题：若 ， ，求 的值； 10 【解】由（2）得 . 因为， ， 所以 . 11 （4）已知 ，求 的值. 12 【解】设， ， 则， ， 所以 . 13 与数字有关的换元法在整体思想中的应用 7.若 ， ，试比较与 的大小. 14 【解】设 , 则 , , ， 所以 , . 所以 . 所以 . 15 多项式中的换元法在整体思想中的应用 8.[2024·济南市中区月考] 阅读下列材料： 已知数，满足 ，试求 的值. 解：设，则原方程变为 ，整 理得， ， 所以 . 16 因为 ， 所以 . 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的 一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中 某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能 使复杂的问题简单化. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程. （1）已知数，满足 ， 求 的值； 【解】设 ， 则原方程变形为 ， 整理得，所以 . 所以.所以 . 所以 . 18 （2）在（1）的条件下，若，求和 的值. 【解】因为， ， 所以 ， .所以 . 19 $$阶段拔尖专训 用图象表示变量间 的关系 1 根据情境确定图象 1. 如图，四幅图象分别表示变量之间的关系，请按图象的顺 序，将下面的四种情境与之对应排序. .运动员推出去的铅球（铅球的高度与时间的关系）； 2 .一辆汽车在平直的公路上匀速运动（汽车行驶路程与时间 的关系）； .一个弹簧由不挂重物到所挂重物的质量逐渐增加 （弹簧的长度与所挂重物的质量的关系）； .小明从地到 地后，停留一段时间，然后按原来的速度原 路返回（小明离 地的距离与时间的关系）. 正确的顺序是( ) A. B. C. D. D 2. 如图，在边长为4的正方形 中剪去一个边长为2的小正 方形，动点从点出发，沿 的 路线绕多边形的边匀速运动到点时停止（不含点， ），则 三角形的面积随着时间 变化的图象大致是( ) B A. B. C. D. 4 【点拨】当点在上时，三角形 的底 不变，高增大，所以三角形的面积 随着时间的增大而增大；当点在 上时， 三角形的底 不变，高不变，所以三角 形的面积 不变； 当点在上时，三角形的底 不变，高减小，所以三 角形的面积随着时间 的减小而减小； 5 当点在上时，三角形的底 不变， 高不变，所以三角形的面积 不变； 当点在上时，三角形的底 不变， 高减小，所以三角形的面积随着时间 的减小而减小. 综上分析可知，B选项中的图象符合题意. 与图象有关的结论的判断 3. [2024·烟台芝罘区期末] 小明和小刚 在如图所示的跑道上进行 折返 跑.在整个过程中，跑步者距起跑线的距 离（单位： ）与跑步时间（单位： ）的对应关系如图所示.下列叙述 正确的是 ( ) D A. 两人从起跑线同时出发，同时到达终点 B. 小明跑全程的平均速度大于小刚跑全程的平均速度 C. 小明前跑过的路程大于小刚前 跑过的路程 D. 小刚在跑最后 的过程中，与小明相遇2次 7 【点拨】A.根据图象可以 看出，两人同时出发，但 小刚先到达终点，故A说 法错误； B.根据图象可知，两人从起跑线同时出发，小刚先到达终点， 小明后到达终点，小明用的时间多，而路程相同，根据速度 可知，小明跑全程 的平均速度小于小刚跑全程的平均速度，故B说法错误； 8 C.根据题意可知两人进行 的是折返跑，第 时， 两人是在跑完 后往回 跑，且小刚图象上对应的点在小明图象上对应的点的下方，因 为纵轴表示的是两人距起跑线的距离，所以小明前 跑过的 路程小于小刚前 跑过的路程，故C说法错误；D.由图象可 知，小刚在跑最后 的过程中，与小明相遇2次，故D说 法正确. 4. 如图（折线 ）描述了一辆汽车在某一直路上行驶的 过程中，汽车离出发地的距离（千米）与行驶时间 （小时） 之间的变量关系.根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车共行驶了100千米；②汽车在行驶途 中停留了0.5小时；③汽车在整个行驶过程 中（含停留过程）的平均速度为 千米/ B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 时；④汽车出发后3小时至4.5小时之间，其行驶的速度在逐渐 减小.其中正确的有 ( ) 10 【点拨】①汽车从出发地到目的地走了 100千米，又回到出发地因而共行驶了200 千米，故①错误； ②汽车在行驶途中停留了 （小时），故②正确； ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 （千米/时），故③正确； ④由图象可知汽车出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度不 变，故④错误. 综上所述，正确的有②③，共2个.故B正确. 11 5.某车间的甲、乙两名工人分别同时生产 同一种零件，每天完成规定工作量后即 停止生产.开工两小时后，甲停下升级设 备，乙每小时生产零件个数增加4个，他 ②一天中甲乙生产量最多相差6个； ②④ 们一天生产零件的个数与生产时间 （时）的关系如图所示， 根据图象，下列结论正确的是______（填序号）. ①乙升级设备用了2小时； ③图中的， ； ④甲比乙提前1小时完成工作. 12 6.“互联网 ”的出现，在一定程度上推动了现代物流业尤其是 快递业的发展.小刚打算网购一些物品，并了解到两家快递公 司的收费方式.甲公司：物品质量不超过1千克的，需付费20 元，超过1千克的部分按每千克4元计价；乙公司：按物品质 量每千克6元计价外再加包装费10元.设小刚网购物品的质量 为千克（ 为正数），根据题意列表： 13 物品质量 千克 0.5 1 1.5 2 … 甲公司费用 元 20 20 22 … 乙公司费用 元 13 16 19 22 … （1）物品质量 （千克）和甲公司费 用 （元），其中，自变量是_______ ____，因变量是______________，表格 中 的值为____. 物品质量 甲公司费用 24 （2）请直接写出表示与 之间关系 的关系式：_____________. 15 （3）如图，是小刚画出的表示甲公司费用 （元）和乙公 司费用（元）分别与物品质量 （千克）关系的图象. ①图中两图象的交点 表示的意义是：___________________ ________________________________. 当物品的质量为3千克时，甲乙两家公司的收费均为28元 ②若小刚网购物品的质量为4千克，如果想节省快递费用， 结合图象，你认为小刚应选择哪家快递公司？ 【解】根据图象可知，当 时，甲公司的费用更少，所以 应该选择甲公司. 16 与图象有关的计算 7.[2024·东营东营区期末] 明明骑自行 车去上学时，经过一段先上坡后下坡 的路，在这段路上所走的路程 （单位：千米）与时间 （单位：分） 14 之间的函数关系如图所示.放学后如果按原路返回，且往返过 程中，上坡速度相同，下坡速度相同，那么他回来时，走这 段路所用的时间为____分. 17 【点拨】根据图象可得：上坡速度为 （千米/分），下坡速度为 （千米/分），放学后 如果按原路返回，且往返过程中，上坡速度相同，下坡速度 相同，那么他回来时，上坡路程为2千米，速度为 千米/分， 下坡路程为1千米，速度为 千米/分，因此走这段路所用的时 间为 （分）. 18 8.甲、乙两人同时从地骑车出发向 地方向 行驶（， 两地在一条直线上），图中实 线表示甲离地的距离随时间 的变化情况， 虚线表示乙离地的距离随时间 的变化情 况.根据图象解答下列问题. （1）甲的平均速度是多少？ 【解】因为 （千米/时）， 所以甲的平均速度是10千米/时. 19 （2）乙在哪一个时段速度最快，请通过计 算比较说明. 小时，乙的速度是 （千米/时）； 小时，乙的速度是 （千米/时）； 小时，乙的速度是 （千米/时）， 所以乙在 小时速度最快. 20 （3）甲、乙从开始出发经过多长时间第二 次相遇？ 【解】由题图可得，3小时时，甲与乙相 距10千米，且开始相向而行，设从开始出发经过 小时 后两人第二次相遇，则，解得 ， 所以从开始出发经过 小时后两人第二次相遇. 21 9.兄妹俩放学后沿图①中的马路从学校出发，到书吧看书后 回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妹妹骑车，到 书吧前的速度为 ，图②中的图象分别表示两人离 学校的路程与哥哥离开学校的时间 的关系． 22 （1）求哥哥步行的速度. 【解】哥哥的速度为 ． 23 （2）已知妹妹比哥哥迟 到书吧． ①求图②中 的值； 【解】因为妹妹骑车到书吧前的速度为 ， 所以妹妹从学校到书吧所用时间为 因为妹妹比哥哥迟 到书吧， 所以 ． 24 ②妹妹在书吧待了 后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否 在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妹俩离家还有多 远；若不能，说明理由． 【解】由（1）可知哥哥的速度为 ， 所以哥哥到家的时间为． 因为回家时妹妹的速度是哥哥的1.6倍， 所以回家时妹妹的速度是 ． 25 设妹妹在 追上哥哥，则有 ，解得 ，所以妹妹能追上哥哥，此时哥哥所走的路程为 , ， 即妹妹能追上哥哥，追上时兄妹俩离家 远． 26 $$