第六章 一元一次方程-阶段拔尖专训课件 2024-2025学年鲁教版（五四制）数学六年级下册

阶段拔尖专训3 一元一次方程的应 用类型 1 数字问题 （第1题） 1.在探究“幻方”“幻圆”的活动课上，学生们感 悟到我国传统数学文化的魅力.某小组尝试将 ，，，， ，0，1，2，3，4，5， 6这12个数填入如图的“六角幻星”图中，使6条 边上四个数之和都相等.部分数已填入圆圈中， 则 的值为____. 2 【点拨】设右下角圆圈中的数为 ，由6条边上 四个数之和都相等可知，每条边上四个数的和 为 ，则各个圆圈中的数如图所示. 观察“六角幻星”图可知还有， ，0，3，4， 6六个数未填，且与相差6，故只有 ，3或0， 6满足，则或，解得或 . 当时，易知不合题意，故舍去，当 时，易知符 合题意. 3 环形跑道问题 （第2题） 2. 地球、火星的运行轨道近似是同一平 面内的以太阳为圆心的两个同心圆，“火星冲日”是指火星、 地球和太阳近似在一条直线上且地球位于火星与太阳之间 的现象（如图所示），已知火星绕太阳运行一周的时间近 似是地球绕太阳运行一周的时间的 倍（地球绕太阳运行 一周需要一年），上一次火星冲日的时间为2022年12月8日，那么下次火 星冲日的时间最为接近的是 ( ) A. 2024年12月10日 B. 2025年1月20日 C. 2025年2月10日 D. 2025年3月20日 B 4 （第2题） 【点拨】一年按365天计算.设自2022年12 月8日起， 天后火星再次冲日，由题意得 ，所以 ，所以在2年 天后， 即2025年1月22日左右，火星再次冲日，B选项中的2025年1 月20日最为接近，故选B. 5 3.甲、乙两名同学从400米环形跑道的某一点背向出发，分别 以2米/秒和3米/秒的速度慢跑，6秒后，一只小狗从甲处以6 米/秒的速度跑向乙，遇到乙后，立即返回向甲跑，如此往复 直至甲、乙相遇，则小狗共跑了_____米. 444 【点拨】设甲、乙两人相遇需要的时间为 秒，则 ，解得，所以小狗跑了 （秒），所以小狗跑的路程为 （米）. 6 4.如图，运动场环形跑道的周长为 300米，爷爷一直都在跑道上按逆 时针方向匀速跑步，速度为3米/秒， 与此同时小红在爷爷后面100米的 （1）若 ，求两人第一次相遇所用的时间； 【解】设小红、爷爷两人第一次相遇所用的时间为 秒，根 据题意，得，解得 . 所以小红、爷爷两人第一次相遇所用的时间为100秒. 地方也沿该环形跑道按逆时针方向运动，速度为 米/秒. 7 （2）若两人第一次相遇所用的时间 为80秒，试求 的值. 【解】①当 时，根据题意，得 ，解得 ； ②当 时，根据题意，得 ，解得 . 所以 的值为0.5或4.25. 8 5.（1）在一条周长为400米的环形跑道上，甲、乙两人使用 不同的交通工具同时不同地出发，都以逆时针方向进行匀速 运动，已知甲在第20秒时第一次追上乙，第120秒时再次追 上乙，甲的速度为每秒13米，求乙的速度； 【解】设乙的速度为每秒 米，根据题意，得 ，解得 ， 所以乙的速度为每秒9米. 9 （2）在一条周长为400米的环形跑道上，甲、乙、丙三人使 用不同的交通工具同时不同地出发，都以逆时针方向进行匀 速运动，已知甲在第20秒时第一次追上乙，第60秒时第一次 追上丙，第120秒时再次追上乙，第140秒时再次追上丙，则 乙与丙的速度差为___米/秒，乙第一次追上丙用了_____秒. 1 220 10 顺风（水）逆风（水）问题 6.一架飞机顺风从机场飞到 机场用2.8小时，它逆风飞行同 样的航线要用3小时，若当天风速为25千米/小时，则两机场 之间的航程是多少千米？ 【解】设两机场之间的航程为 千米，根据题意,得 ，解得 ，所以两机场之间的航程 为2 100千米. 11 7.某客轮沿长江从A港顺流到达B港需3小时，从B港逆流到达 A港需4小时.一天，该客轮从A港出发开往B港，1小时后，客 轮上的一位旅客的帽子不慎掉入江中，求帽子漂流到B港要 多少小时. 【解】设A港到B港的路程为1，帽子漂流到B港需要的时间 是小时，由题意，得，解得 . 所以帽子漂流到B港要16小时. 12 日历问题 8.如图是2024年2月的日历表. 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 13 （1）在图中用优美的 形框“ ”框住五个数，其中最小的 数为1，则 形框中的五个数之和为____. 38 （2）在图中将 形框上下左右移动，框住日历表中的五个数， 设最小的数为，用代数式表示 形框框住的五个数之和为 ________. 14 （3）在图中移动 形框的位置，框住的五个数之和可以为113 吗？若能，求出这五个数中最小的数；若不能，请说明理由. 【解】框住的五个数之和不可以为113.理由如下： 设最小的数为，由（2）可知这五个数之和为 ， 所以，解得 ，所以框住的五个数中最小 的数是16，由题图可知，不能框住这样的五个数. 15 图形问题 9.如图，在一块展示牌上，整齐地贴着许多资料卡片，这些 卡片均为大小相同的长方形，卡片之间露出了三块正方形 （图中阴影部分），每一块正方形的面积为 ，求每一 张卡片的面积. 16 【解】设每张卡片的长为，宽为 .根据题图可知， ，所以.因为 ，所以 （负值已舍去）.所以，解得 .所以 .所以每一张卡片的面积为 . 17 $$阶段拔尖专训1 解一元一次方程的 技巧 1 分子、分母含小数的一元一次方程 技巧1 巧化分母为1 1.解方程： . 【解】去分母，得 去括号、移项、合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 2 2.解方程： . 【解】去分母、去括号，得 ，移项、 合并同类项，得，系数化为1，得 . 3 技巧2 巧化同分母 3.解方程： . 【解】化为同分母，得 .去分母，得 .去括号、移项、合并同类项，得 ,系数化为1，得 . 4 技巧3 巧约分，去分母 4.解方程： . 【解】原方程可化为 .去分母，得 .移项、合并同类项，得 ，系 数化为1，得 . 5 技巧4 巧化小数为整数 5.解方程： . 【解】整理，得 .去分母，得 去括号，得 . 移项、合并同类项，得.系数化为1，得 . 6 分母为整数的一元一次方程 技巧1 巧用拆分法 6.解方程： . 【解】拆项后整理，得 . 移项、合并同类项，得.系数化为1，得 . 7 7.解方程： . 【解】拆项，得 .整 理，得,解得 . 技巧2 分组结合法 8.解方程： . 【解】原方程可化为 . 整理，得,解得 . 9 9.解方程： . 此方程若采用直接去分母的方法很麻烦，通过观察 分母的特点，将分母有倍数关系的结合在一起进行通分合并， 则简便很多. 10 【解】原方程可变形为 . 方程两边分别通分后相加，得 , 整理，得.去分母，得 .去括 号、移项、合并同类项，得，解得 . 11 10.解方程： . 【解】原方程可变形为 .两边分别通 分后相加，得 . 整理，得，解得 . 12 技巧3 巧通分 11.解方程： . 【解】方程两边分别通分后相加，得 . 化简，得，解得 . 13 技巧4 整体求解法 12.解方程： . 【解】将, 都看成整体进行移项、合并同类项，得 ，去分母，得 ，去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ，方程两边同除以73，得 . 14 含括号的一元一次方程 技巧1 利用倒数关系去括号 13.解方程： . 【解】去括号，得 . 移项、合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 15 技巧2 整体合并去括号 14.解方程： . 【解】原方程可化为 合并同类项，得,解得 . 16 技巧3 整体合并去分母 15.解方程： . 【解】移项，得 合并同类项，得，解得 . 17 技巧4 添括号 16.解方程： . 【解】原方程可化为 ， 即 . 去中括号，得 移项、合并同类项，得,解得 . 18 技巧5 由外向里去括号 17.解方程： . 【解】去中括号，得 ， 即.去小括号，得 . 移项，得 . 系数化为1，得 . 19 技巧6 由里向外去括号 18.解方程： . 【解】去小括号，得 . 去括号，得 . 移项、合并同类项，得 . 系数化为1，得 . 20 $$阶段拔尖专训2 巧妙设元方法归纳 1 直接设元法 1. 中国古代问题：有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的 羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍.”乙回答说：“最 好还是把你的羊给我一只，我们的羊数就一样了.”则甲的羊 数是( ) C A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2 2.一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为204 米与600米，它们在平行的轨道上相向行驶，若坐在高速列 车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普 通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是____秒. 1.7 3 （第3题） 3.在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学 小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛， 活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三 个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每 一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之 39 和分别相等.王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学 的数学知识，很快就完成了这个游戏，则每一横行的3个数 之和为____. 4 （第4题） 4. 10个人围成一个圆圈做游戏， 游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并 把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人， 然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的 平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报 2的人心里想的数是____. 5 （第4题） 【点拨】设报2的人心里想的数是 ，则报4的 人心里想的数是 ，报6的人心里想的数是 ，报8的人心里想的数是 ，报10的人心里想的数 是 ，报2的人心里想的数 是，所以，解得 . 6 间接设元法 5. 大数学家欧拉的数学名著《代数学基础》中 记录了一个有趣的问题：有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子 这样来分他的财产：第一个儿子分得100克朗和剩下财产的 十分之一；第二个儿子分得200克朗和剩下财产的十分之一； 第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一；第四个儿 子分得400克朗和剩下财产的十分之一…；按这种方法一直 分下去，最后，每一个儿子所得财产一样多.问：这位父亲共 有几个儿子？每个儿子分得多少财产？ 7 【解】设遗产总数为 克朗，则第一个儿子分得 克朗，第二个儿子分得 克朗. 根据题意，得 ， 8 解得，则 （克朗）， （个）.因此这位父亲共有9个儿 子，每个儿子分得900克朗. 6. 小明家的电话号码是八位数，它的前四位 数字相同，后五位数字是连续的自然数，电话号码的数字和 等于它的最后两位数.问：小明家的电话号码是多少？ 10 【解】①当后五位数字依次增加时，设前四位数字均为 ， 则后四位数字依次为，，， ，根据题意， 得，解得 ，不符合实际，舍去; ②当后五位数字依次减小时，设前四位数字均为 ，则后四 位数字依次为，，， ，根据题意，得 ，解得.所以，， ， .因此小明家的电话号码是88887654. 11 辅助设元法 7. 两块锌铜合金的质量分别为， ，这 两块合金含铜的百分比不同，现分别从这两块合金中各切下 一块质量相同的合金，交换后分别与另一块合在一起熔化， 冷却后测得这两块合金含铜的百分比相同，求切下的一块合 金的质量. 12 【解】设切下的一块合金的质量为，原来质量为 和 的合金含铜的百分比分别为， ，则交换熔化 后的合金中铜的质量为， 的合 金中铜的质量为 ， 由题意，得 ， 解得.所以切下的一块合金的质量为 . 13 8.某人乘坐小船沿河逆流而上，途中不慎将手机保护壳丢失， 手机保护壳在河中顺流而下. 后此人发现这一情况，并 立即掉转方向去寻找手机保护壳.假设小船在静水中的行驶速 度不变，水流速度也不变,则此人掉转方向后需要多长时间可 追上手机保护壳? 14 【解】设此人掉转方向后需要 可追上手机保护壳,小船 在静水中的行驶速度为,水流速度为 ,则小船 逆流行驶的路程为,顺流行驶 的路程 为 . 由题意，得 . 化简，得.因为，所以 . 所以此人掉转方向后需要 可追上手机保护壳. 15 整体设元法 9. 2024年10月30日，中国 成功发射神舟十九号载人飞船，为了弘扬 航天精神，某数学小组设计了如图所示的 307 692 算式，其中每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的 数字，已知“神” ，那么乘数“神舟飞船升空”是_________. 16 10.一个五位数，个位上的数为4，这个五位数加上6 120后所 得的新五位数的万位、千位、百位、十位、个位上的数恰巧 分别为原五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数， 试求原五位数. 【解】设原五位数去掉个位上的数后所得四位数为 ，则原 五位数可表示为 .根据题意，得 ，解得 .所以 . 因此，原五位数是37 644. 17 $$